Mod2, Leçon 15 : Détermination de la vergenc

# Mod2, Leçon 15 : Détermination de la vergenc ## Objectifs et prérequis **Objectifs** : À l’issue de cette séance, l’élève sera capable de : - Définir la vergence d’un système optique centré et son unité (dioptrie). - Déterminer expérimentalement la vergence d’une lentille mince convergente ou divergente à l’aide d’un banc d’optique. - Utiliser la relation de conjugaison de Gauss pour relier les distances objet, image et focale. - Analyser les incertitudes liées aux mesures et discuter la précision du résultat. - Interpréter le signe de la vergence selon la nature du système (convergente/divergente). **Prérequis** : - Notions de base en optique géométrique : rayon lumineux, foyer principal, foyer image, foyer objet, centre optique, axe principal. - Loi de Snell-Descartes et comportement des rayons dans une lentille mince. - Notion de conjugaison : un objet placé en A donne une image en A’ si les rayons issus de A convergent vers A’ après traversée du système. - Manipulation d’un banc d’optique (règle graduée, porte-lentille, porte-objet, porte-écran, lampe à filament). - Notions d’incertitude absolue et relative, report de chiffres significatifs. --- ## I. Définition et signification physique de la vergence ### 1. Définition de la vergence > La vergence \( V \) d’un système optique centré est l’inverse de sa longueur focale \( f \), exprimée en mètres : > $$ V = \frac{1}{f} $$ > Son unité légale est le **dioptrie** (symbole : D), où \( 1 \, \text{D} = 1 \, \text{m}^{-1} \). ### 2. Signification physique La vergence quantifie la capacité d’un système optique à converger ou diverger un faisceau de rayons parallèles incident sur son axe principal. - Un système **convergent** (lentille convexe, miroir concave) fait converger des rayons parallèles vers un foyer réel : \( f > 0 \Rightarrow V > 0 \). - Un système **divergent** (lentille concave, miroir convexe) fait diverger des rayons parallèles comme s’ils provenaient d’un foyer virtuel : \( f < 0 \Rightarrow V < 0 \). - Un système **afocal** (comme un télescope réglé pour l’infini) a une vergence nulle : \( V = 0 \). ### 3. Propriétés essentielles - La vergence est additive pour des systèmes minces placés en contact : $$ V_{\text{total}} = V_1 + V_2 + \cdots + V_n $$ Cette propriété ne vaut que si les systèmes sont minces et leurs plans principaux confondus (approximation de lentille mince). - Le signe de \( V \) indique la nature du système : positif pour convergent, négatif pour divergent. - La vergence dépend du milieu environnant : dans un milieu d’indice \( n \), \( V = \frac{n}{f} \), où \( f \) est la longueur focale mesurée dans ce milieu. En air (\( n \approx 1 \)), on utilise \( V = 1/f \). ### 4. Exemple résolu : calcul de la vergence **Exemple 1** : Une lentille mince a une longueur focale de \( 25 \, \text{cm} \). Quelle est sa vergence ? **Solution** : Convertir en mètres : \( f = 25 \, \text{cm} = 0,25 \, \text{m} \). $$ V = \frac{1}{f} = \frac{1}{0,25} = 4 \, \text{D} $$ Comme \( f > 0 \), la lentille est convergente : \( V = +4 \, \text{D} \). **Exemple 2** : Une lentille divergente produit un foyer virtuel situé à \( 10 \, \text{cm} \) devant elle. Quelle est sa vergence ? **Solution** : Pour une lentille divergente, le foyer image est virtuel et situé du côté objet : par convention, \( f = -10 \, \text{cm} = -0,10 \, \text{m} \). $$ V = \frac{1}{f} = \frac{1}{-0,10} = -10 \, \text{D} $$ La vergence est négative : \( V = -10 \, \text{D} \), cohérent avec un système divergent. ### 5. Exercices d’application corrigés **Exercice 1** : Une lentille a une vergence de \( -6 \, \text{D} \). Quelle est sa longueur focale ? **Solution** : $$ f = \frac{1}{V} = \frac{1}{-6} = -0,1667 \, \text{m} \approx -16,7 \, \text{cm} $$ La longueur focale est négative : \( f = -16,7 \, \text{cm} \), ce qui confirme un système divergent. **Exercice 2** : Deux lentilles minces de vergences \( V_1 = +8 \, \text{D} \) et \( V_2 = -3 \, \text{D} \) sont placées en contact. Quelle est la vergence du système composé ? **Solution** : $$ V_{\text{total}} = V_1 + V_2 = 8 + (-3) = +5 \, \text{D} $$ Le système résultant est convergent avec une vergence de \( +5 \, \text{D} \). **Exercice 3** : Un système optique a une longueur focale de \( 50 \, \text{mm} \) dans l’air. Quelle est sa vergence ? **Solution** : \( f = 50 \, \text{mm} = 0,050 \, \text{m} \) $$ V = \frac{1}{0,050} = 20 \, \text{D} $$ Vergence positive : système convergent. --- ## II. Détermination expérimentale de la vergence d’une lentille mince ### 1. Principe de la méthode La vergence d’une lentille mince peut être déterminée expérimentalement en mesurant ses longueurs focales objet et image, puis en utilisant la relation de conjugaison de Gauss : $$ \frac{1}{a} + \frac{1}{a'} = \frac{1}{f} $$ où : - \( a \) = distance objet (du centre optique de la lentille à l’objet, positif si réel, du côté où la lumière vient), - \( a' \) = distance image (du centre optique à l’image, positif si réel, du côté opposé à l’objet), - \( f \) = longueur focale (positive pour lentille convergente, négative pour divergente). En posant \( V = 1/f \), on obtient : $$ V = \frac{1}{a} + \frac{1}{a'} $$ Cette forme permet de calculer directement la vergence à partir des mesures de \( a \) et \( a' \), sans passer par le calcul explicite de \( f \). ### 2. Description du matériel - **Banc d’optique** : règle graduée en centimètres, permettant de lire les positions avec une précision d’environ \( \pm 1 \, \text{mm} \). - **Lampe à filament** : objet lumineux de taille connue (souvent une croix ou une flèche éclairée), placé à une extrémité du banc. - **Porte-lentille** : support glissant permettant de fixer et de déplacer la lentille étudiée. - **Porte-écran** : support muni d’un écran mat (papier blanc ou calque) pour recevoir l’image formée. - **Lentille mince** : à étudier (convergente ou divergente ; pour une lentille divergente, on utilise un système auxiliaire convergente pour rendre l’image réelle, voir § II.5). Tous les éléments sont montés sur le banc et peuvent être déplacés indépendamment. Les positions sont lues sur la règle graduée. ### 3. Protocole expérimental pour une lentille convergente **Étape 1 : Mise en place** - Allumer la lampe à filament. - Placer l’objet (lampe) à l’extrémité gauche du banc. - Placer l’écran à l’extrémité droite. - Insérer la lentille entre eux, approximativement à mi-distance. **Étape 2 : Recherche de l’image nette** - Faire glisser la lentille le long du banc jusqu’à obtenir sur l’écran une image nette de l’objet (filament bien défini). - Noter les positions sur la règle : - \( x_o \) : position de l’objet (lampe), - \( x_l \) : position de la lentille, - \( x_i \) : position de l’écran (image). **Étape 3 : Calcul des distances** - Distance objet : \( a = x_l - x_o \) (positif, car l’objet est réel et situé du côté où la lumière vient). - Distance image : \( a' = x_i - x_l \) (positif, car l’image est réelle et formée du côté opposé à l’objet). **Étape 4 : Calcul de la vergence** - Utiliser la formule : $$ V = \frac{1}{a} + \frac{1}{a'} $$ avec \( a \) et \( a' \) en **mètres**. - Répéter la mesure pour au moins trois positions différentes de l’objet (en déplaçant la lampe et en retrouvant à chaque fois l’image nette sur l’écran) pour obtenir une moyenne et estimer l’incertitude. **Étape 5 : Traitement des données** - Calculer \( V \) pour chaque triplet \( (a, a') \). - Faire la moyenne : \( \bar{V} = \frac{V_1 + V_2 + V_3}{3} \). - Calculer l’incertitude absolue moyenne : $$ \Delta V = \frac{1}{3} \sum_{i=1}^{3} |V_i - \bar{V}| $$ ou, mieux, l’écart-type si les répétitions sont suffisantes. - Exprimer le résultat sous la forme : \( V = \bar{V} \pm \Delta V \, \text{D} \). ### 4. Exemple résolu : détermination expérimentale **Exemple** : Lors d’une manipulation sur banc d’optique, on obtient les trois séries de mesures suivantes (positions en cm) : | Essai | \( x_o \) (objet) | \( x_l \) (lentille) | \( x_i \) (image) | \( a = x_l - x_o \) (cm) | \( a' = x_i - x_l \) (cm) | |-------|-------------------|----------------------|-------------------|--------------------------|---------------------------| | 1 | 10,0 | 25,0 | 45,0 | 15,0 | 20,0 | | 2 | 12,0 | 22,0 | 48,0 | 10,0 | 26,0 | | 3 | 8,0 | 30,0 | 42,0 | 22,0 | 12,0 | **Solution** : Convertir toutes les distances en mètres avant le calcul. **Essai 1** : \( a = 15,0 \, \text{cm} = 0,150 \, \text{m} \) \( a' = 20,0 \, \text{cm} = 0,200 \, \text{m} \) $$ V_1 = \frac{1}{0,150} + \frac{1}{0,200} = 6,6667 + 5,0000 = 11,6667 \, \text{D} $$ **Essai 2** : \( a = 10,0 \, \text{cm} = 0,100 \, \text{m} \) \( a' = 26,0 \, \text{cm} = 0,260 \, \text{m} \) $$ V_2 = \frac{1}{0,100} + \frac{1}{0,260} = 10,0000 + 3,8462 = 13,8462 \, \text{D} $$ **Essai 3** : \( a = 22,0 \, \text{cm} = 0,220 \, \text{m} \) \( a' = 12,0 \, \text{cm} = 0,120 \, \text{m} \) $$ V_3 = \frac{1}{0,220} + \frac{1}{0,120} = 4,5455 + 8,3333 = 12,8788 \, \text{D} $$ **Moyenne** : $$ \bar{V} = \frac{11,6667 + 13,8462 + 12,8788}{3} = \frac{38,3917}{3} = 12,7972 \, \text{D} \approx 12,8 \, \text{D} $$ **Incertitude absolue moyenne** : \( |V_1 - \bar{V}| = |11,6667 - 12,7972| = 1,1305 \) \( |V_2 - \bar{V}| = |13,8462 - 12,7972| = 1,0490 \) \( |V_3 - \bar{V}| = |12,8788 - 12,7972| = 0,0816 \) $$ \Delta V = \frac{1,1305 + 1,0490 + 0,0816}{3} = \frac{2,2611}{3} = 0,7537 \, \text{D} \approx 0,8 \, \text{D} $$ **Résultat final** : $$ V = (12,8 \pm 0,8) \, \text{D} $$ La longueur focale correspondante est : $$ f = \frac{1}{V} \approx \frac{1}{12,8} = 0,0781 \, \text{m} = 7,81 \, \text{cm} $$ Avec incertitude : comme \( V \) varie entre \( 12,0 \, \text{D} \) et \( 13,6 \, \text{D} \), \( f \) varie entre \( \frac{1}{13,6} \approx 0,0735 \, \text{m} \) et \( \frac{1}{12,0} \approx 0,0833 \, \text{m} \), soit \( f = (7,8 \pm 0,5) \, \text{cm} \). ### 5. Cas particulier : lentille divergente Une lentille divergente seule ne forme jamais d’image réelle d’un objet réel : l’image est toujours virtuelle, du même côté que l’objet. On ne peut donc pas utiliser directement un écran pour la localiser. **Méthode auxiliaire** : On place la lentille divergente en contact avec une lentille convergente de vergence connue \( V_c \) (par exemple, une lentille de \( +10 \, \text{D} \)). Le système composé (divergente + convergente en contact) a une vergence : $$ V_s = V_d + V_c $$ où \( V_d \) est la vergence inconnue de la lentille divergente. On mesure expérimentalement \( V_s \) pour le système composé (comme en § II.3-4, car si \( V_c \) est suffisamment convergente, \( V_s \) peut être positif et produire une image réelle). On en déduit alors : $$ V_d = V_s - V_c $$ **Exemple résolu** : On place une lentille divergente inconnue en contact avec une lentille convergente de \( V_c = +10,0 \, \text{D} \). On mesure pour le système composé : \( V_s = +3,0 \, \text{D} \). Alors : $$ V_d = V_s - V_c = 3,0 - 10,0 = -7,0 \, \text{D} $$ La lentille divergente a donc une vergence de \( -7,0 \, \text{D} \). ### 6. Sources d’erreur et discussion de la précision - **Erreur de lecture sur la règle graduée** : typiquement \( \pm 0,5 \, \text{mm} \) à \( \pm 1 \, \text{mm} \). Comme \( a \) et \( a' \) sont des différences de deux lectures, l’incertitude sur chaque distance est \( \Delta a \approx \pm 1,4 \, \text{mm} \) (si erreur indépendante de \( \pm 0,7 \, \text{mm} \) sur chaque lecture). - **Erreur due à l’épaisseur de la lentille** : la formule utilisée suppose une lentille mince. Si l’épaisseur n’est pas négligeable devant les distances, il y a un biais systématique. On minimise cet effet en utilisant des lentilles réellement minces ou en corrigeant avec l’indice et les rayons de courbure (hors programme de Première). - **Non-perpendicularité des éléments** : si la lampe, la lentille ou l’écran ne sont pas parfaitement perpendiculaires à l’axe du banc, l’image peut être floue ou décentrée, menant à une erreur de jugement du netteté. On minimise en alignant soigneusement les éléments. - **Étalement de l’image** : si l’objet n’est pas ponctuel (filament de lampe), l’image a une taille finie. On définit la netteté par le contraste maximal ou la taille minimale de l’image. - **Parasitage lumineux** : lumière ambiante réduisant le contraste. On travaille dans une pièce assombrie. **Discussion de la précision** : Dans l’exemple de § II.4, l’incertitude relative sur \( V \) est de \( \frac{0,8}{12,8} \approx 6,25\% \). Cette précision est typique pour une manipulation de Première avec un banc d’optique basique. Elle provient principalement des erreurs de lecture et de la difficulté à juger précisément le point de netteté maximale. Une amélioration serait d’utiliser un dispositif de mise au point fine (vis micrométrique) ou de mesurer la taille de l’image pour trouver le minimum (méthode de la croix autocollimante), mais cela dépasse le cadre du niveau Première. ### 7. Exercices d’application corrigés **Exercice 4** : Lors d’une mesure sur banc d’optique, on obtient pour une lentille convergente : \( a = 20,0 \, \text{cm} \), \( a' = 20,0 \, \text{cm} \). Quelle est la vergence de cette lentille ? **Solution** : \( a = 0,200 \, \text{m} \), \( a' = 0,200 \, \text{m} \) $$ V = \frac{1}{0,200} + \frac{1}{0,200} = 5,0 + 5,0 = 10,0 \, \text{D} $$ La lentille est convergente de vergence \( +10,0 \, \text{D} \). **Exercice 5** : Trois mesures donnent pour une lentille : Essai 1 : \( a = 18,0 \, \text{cm} \), \( a' = 36,0 \, \text{cm} \) Essai 2 : \( a = 24,0 \, \text{cm} \), \( a' = 24,0 \, \text{cm} \) Essai 3 : \( a = 30,0 \, \text{cm} \), \( a' = 18,0 \, \text{cm} \) Calculer la vergence moyenne et son incertitude absolue moyenne. **Solution** : Convertir en mètres. Essai 1 : \( a = 0,180 \, \text{m} \), \( a' = 0,360 \, \text{m} \) \( V_1 = \frac{1}{0,180} + \frac{1}{0,360} = 5,5556 + 2,7778 = 8,3334 \, \text{D} \) Essai 2 : \( a = 0,240 \, \text{m} \), \( a' = 0,240 \, \text{m} \) \( V_2 = \frac{1}{0,240} + \frac{1}{0,240} = 4,1667 + 4,1667 = 8,3334 \, \text{D} \) Essai 3 : \( a = 0,300 \, \text{m} \), \( a' = 0,180 \, \text{m} \) \( V_3 = \frac{1}{0,300} + \frac{1}{0,180} = 3,3333 + 5,5556 = 8,8889 \, \text{D} \) Moyenne : \( \bar{V} = \frac{8,3334 + 8,3334 + 8,8889}{3} = \frac{25,5557}{3} = 8,5186 \, \text{D} \approx 8,52 \, \text{D} \) Écarts absolus : \( |8,3334 - 8,5186| = 0,1852 \) \( |8,3334 - 8,5186| = 0,1852 \) \( |8,8889 - 8,5186| = 0,3703 \) Somme des écarts : \( 0,1852 + 0,1852 + 0,3703 = 0,7407 \) Incertitude absolue moyenne : \( \Delta V = \frac{0,7407}{3} = 0,2469 \, \text{D} \approx 0,25 \, \text{D} \) Résultat : \( V = (8,52 \pm 0,25) \, \text{D} \) **Exercice 6** : Une lentille divergente est placée en contact avec une lentille convergente de \( V_c = +12,0 \, \text{D} \). La vergence du système composé est mesurée à \( V_s = +4,0 \, \text{D} \). Quelle est la vergence de la lentille divergente ? **Solution** : $$ V_d = V_s - V_c = 4,0 - 12,0 = -8,0 \, \text{D} $$ La lentille divergente a une vergence de \( -8,0 \, \text{D} \). --- ## Synthèse du chapitre - La vergence \( V \) d’un système optique centré est l’inverse de sa longueur focale \( f \) : \( V = 1/f \), unité : dioptrie (D). - Un système convergent a \( V > 0 \), un système divergent a \( V < 0 \). - Pour des lentilles minces en contact, les vergences s’additionnent : \( V_{\text{total}} = \sum V_i \). - La relation de conjugaison de Gauss permet de déterminer expérimentalement la vergence : \( V = 1/a + 1/a' \), où \( a \) et \( a' \) sont les distances objet et image (en mètres). - Pour une lentille convergente, on mesure directement \( a \) et \( a' \) sur banc d’optique en recherchant l’image nette sur un écran. - Pour une lentille divergente, on utilise une lentille convergente auxiliaire de vergence connue : \( V_d = V_s - V_c \). - Le traitement des données inclut la moyenne de plusieurs mesures et l’estimation de l’incertitude absolue ou relative. - Les principales sources d’erreur sont les lectures sur la règle graduée, l’épaisseur de la lentille et le jugement de la netteté de l’image. - La vergence caractérise la puissance convergente ou divergente d’un système optique et est essentielle en optique ophtalmique et en instrumentation. --- ## Glossaire - **Vergence** : puissance d’un système optique centré, égale à l’inverse de sa longueur focale, mesurée en dioptries (D). - **Dioptrie** : unité de la vergence, symbole D, définie comme l’inverse d’un mètre (\( 1 \, \text{D} = 1 \, \text{m}^{-1} \)). - **Longueur focale** : distance entre le centre optique d’une lentille mince et son foyer principal, notée \( f \), positive pour un foyer réel (convergente), négative pour un foyer virtuel (divergente). - **Distance objet** : distance algébrique \( a \) du centre optique à l’objet, positive si l’objet est réel et situé du côté d’incidence de la lumière. - **Distance image** : distance algébrique \( a' \) du centre optique à l’image, positive si l’image est réelle et située du côté opposé à l’objet. - **Relation de conjugaison de Gauss** : équation \( \frac{1}{a} + \frac{1}{a'} = \frac{1}{f} \) liant les distances objet, image et focale pour un système optique centré. - **Lentille mince** : lentille dont l’épaisseur est négligeable devant les rayons de courbure et les distances objet/image, permettant l’usage des approximations de l’optique géométrique élémentaire. - **Banc d’optique** : dispositif expérimental constitué d’une règle graduée et de supports glissants pour positionner objet, lentille et écran afin d’étudier la formation d’images. - **Image réelle** : image formée par l’intersection réelle des rayons lumineux, pouvant être projetée sur un écran, située du côté opposé à l’objet par rapport à la lentille. - **Image virtuelle** : image formée par la prolongation arrière des rayons divergents, ne pouvant pas être projetée sur un écran, située du même côté que l’objet par rapport à la lentille. - **Système auxiliaire** : lentille convergente ajoutée en contact avec une lentille divergente pour permettre la formation d’une image réelle mesurable. - **Incertitude absolue** : estimation de l’erreur maximale sur une mesure, exprimée dans la même unité que la grandeur mesurée (ici, le dioptrie). ---