Chap 7 : Principe de conservation de l'énergie mécanique

# Chap 7 : Principe de conservation de l'énergie mécanique ## Objectifs et prérequis **Objectifs** : - Définir l'énergie potentielle gravitationnelle et élastique, et savoir l'exprimer mathématiquement. - Définir l'énergie mécanique d'un système et identifier ses composantes. - Énoncer le principe de conservation de l'énergie mécanique et en préciser les conditions d'application. - Appliquer ce principe à la résolution de problèmes de mécanique (chute libre, plan incliné, pendule, ressort). - Analyser énergétiquement un mouvement et déterminer les points où l'énergie mécanique est conservée ou non. **Prérequis** : - Notions de travail d'une force, énergie cinétique ($E_c = \frac{1}{2}mv^2$), deuxième principe de la dynamique. - Notion de force conservative (poids, force élastique d'un ressort idéal). - Maîtrise du système international d'unités (SI) : joule (J), newton (N), mètre (m), kilogramme (kg), seconde (s). - Capacité à résoudre des équations du second degré et à manipuler des expressions algébriques. --- ## Introduction Dans l'étude du mouvement d'un corps, l'approche newtonienne via les forces et l'accélération peut devenir complexe lorsque les trajectoires sont courbes ou lorsque plusieurs forces agissent. L'approche énergétique offre une alternative puissante : elle permet de relier l'état du système à des instants différents sans détailler le trajet intermédiaire, à condition que seules des forces conservatrices travaillent. Ce chapitre introduit les notions d'énergie potentielle et d'énergie mécanique, puis établit le principe de leur conservation dans des cas bien définis. Cette approche est fondamentale en physique, car elle sous-tend de nombreux domaines : mécanique céleste, oscillations, thermodynamique, et même la physique quantique. Nous verrons comment l'énergie, grandeur scalaire, simplifie l'analyse des phénomènes mécaniques lorsqu'on peut négliger les forces dissipatives (frottement, résistance de l'air). --- ## I. Notion d’énergie potentielle L'énergie potentielle est l'énergie associée à la position ou à la configuration d'un corps dans un champ de forces conservatrices. Elle représente la capacité du système à effectuer un travail en raison de sa position relative ou de sa déformation. Deux types sont étudiés en première : l'énergie potentielle gravitationnelle et l'énergie potentielle élastique. ### A. Énergie potentielle gravitationnelle Définition : L'énergie potentielle gravitationnelle d'un corps de masse $m$ situé à une hauteur $z$ au-dessus d'un niveau de référence choisi arbitrairement est égale au travail que la force de pesanteur exercerait sur le corps s'il descendait jusqu'à ce niveau de référence. > $E_p = mgz$ où $g$ est l'intensité de la pesanteur ($g \approx 9,81\,\text{N/kg}$ près de la surface terrestre), $m$ la masse en kg, et $z$ l'altitude en m au-dessus du niveau de référence. Propriétés : - L'énergie potentielle gravitationnelle dépend du choix du niveau de référence ($z=0$). Seul le **changement** d'énergie potentielle entre deux points a une signification physique : $\Delta E_p = mg\Delta z$. - Elle est positive si le corps est au-dessus du niveau de référence, négative en dessous. - Elle est une fonction scalaire de la position. - La force de pesanteur étant conservative, le travail qu'elle effectue dépend uniquement des positions initiale et finale, pas du trajet. Exemple résolu : Un objet de masse $2,0\,\text{kg}$ est soulevé verticalement de $1,5\,\text{m}$ au-dessus du sol. On prend le sol comme niveau de référence ($z=0$). Calculer son énergie potentielle gravitationnelle par rapport au sol. Solution : $E_p = mgz = (2,0\,\text{kg}) \times (9,81\,\text{N/kg}) \times (1,5\,\text{m}) = 29,43\,\text{J} \approx 29\,\text{J}$ (arrondi à deux chiffres significatifs). Si l'on choisit plutôt le plafond situé à $3,0\,\text{m}$ au-dessus du sol comme référence, alors la hauteur de l'objet est $z = 1,5 - 3,0 = -1,5\,\text{m}$, et $E_p = (2,0)(9,81)(-1,5) = -29,43\,\text{J}$. Le changement d'énergie potentielle entre sol et hauteur de $1,5\,\text{m}$ reste toutefois $\Delta E_p = mg(1,5 - 0) = +29,43\,\text{J}$, indépendamment du choix de référence. Exercice d'application corrigé : Un skieur de masse $70\,\text{kg}$ part du sommet d'une pente située à $120\,\text{m}$ d'altitude au-dessus du bas de la piste, pris comme référence. 1. Quelle est son énergie potentielle gravitationnelle au départ ? 2. Arrivé à mi-pente ($60\,\text{m}$ d'altitude), quelle est-elle ? 3. Quel est le changement d'énergie potentielle entre le départ et mi-pente ? Correction : 1. $E_{p1} = mgh = 70 \times 9,81 \times 120 = 82\,404\,\text{J} \approx 8,2 \times 10^4\,\text{J}$ 2. $E_{p2} = 70 \times 9,81 \times 60 = 41\,202\,\text{J} \approx 4,1 \times 10^4\,\text{J}$ 3. $\Delta E_p = E_{p2} - E_{p1} = -41\,202\,\text{J}$ (diminution de $4,1 \times 10^4\,\text{J}$), ou bien en valeur absolue : $| \Delta E_p | = mg \Delta h = 70 \times 9,81 \times 60 = 41\,202\,\text{J}$. ### B. Énergie potentielle élastique Définition : L'énergie potentielle élastique d'un ressort idéal (obéissant à la loi de Hooke) étiré ou comprit d'une longueur $x$ par rapport à sa longueur naturelle est égale au travail que la force élastique exercerait pour ramener le ressort à sa longueur naturelle. > $E_p = \frac{1}{2} k x^2$ où $k$ est la raideur du ressort en $\text{N/m}$, et $x$ l'allongement ou la compression en m (valeur absolue de la déformation par rapport à l'équilibre). Propriétés : - Toujours positive ou nulle (puisque dépend de $x^2$). - Nulle lorsque le ressort est à sa longueur naturelle ($x=0$). - La force élastique $\vec{F} = -kx \vec{i}$ est conservative : le travail qu'elle effectue dépend uniquement des déformations initiale et finale. - L'énergie potentielle élastique représente l'énergie stockée dans le ressort sous forme de déformation. Exemple résolu : Un ressort de raideur $k = 200\,\text{N/m}$ est comprimé de $5,0\,\text{cm}$ par rapport à sa longueur naturelle. Calculer son énergie potentielle élastique. Solution : $x = 5,0\,\text{cm} = 0,050\,\text{m}$ $E_p = \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} \times 200 \times (0,050)^2 = 100 \times 0,0025 = 0,25\,\text{J}$ Exercice d'application corrigé : Un bloc de masse $0,5\,\text{kg}$ est placé contre un ressort horizontal de raideur $k = 400\,\text{N/m}$, comprimé de $10\,\text{cm}$. Le système est libéré sur une surface horizontale sans frottement. 1. Quelle est l'énergie potentielle élastique initiale du ressort ? 2. Quelle énergie cinétique le bloc acquiert-il au moment où le ressort retrouve sa longueur naturelle ? 3. Quelle est alors sa vitesse ? Correction : 1. $x = 0,10\,\text{m}$ ; $E_{p,i} = \frac{1}{2} k x^2 = 0,5 \times 400 \times (0,10)^2 = 200 \times 0,01 = 2,0\,\text{J}$ 2. Sur une surface sans frottement, seule la force élastique travaille (conservative). À l'instant où $x=0$, $E_p=0$. Par conservation de l'énergie mécanique (voir partie II), l'énergie potentielle initiale se transforme entièrement en énergie cinétique : $E_{c,f} = E_{p,i} = 2,0\,\text{J}$ 3. $E_c = \frac{1}{2} m v^2 \Rightarrow v = \sqrt{\frac{2E_c}{m}} = \sqrt{\frac{2 \times 2,0}{0,5}} = \sqrt{\frac{4,0}{0,5}} = \sqrt{8,0} \approx 2,8\,\text{m/s}$ --- ## II. Notion d’énergie mécanique L'énergie mécanique d'un système est la somme de son énergie cinétique et de son énergie potentielle (toutes formes confondues : gravitationnelle, élastique, etc.). Elle représente l'énergie associée au mouvement et à la position/configuration des corps. ### A. Définition et composantes Définition : L'énergie mécanique $E_m$ d'un système est égale à la somme de son énergie cinétique $E_c$ et de son énergie potentielle totale $E_p$ (somme des énergies potentielles de toutes les forces conservatrices agissant sur le système). > $E_m = E_c + E_p$ où $E_c = \frac{1}{2} m v^2$ pour un point matériel de masse $m$ et vitesse $v$, et $E_p$ inclut $E_{p,grav} = mgz$ et/ou $E_{p,elas} = \frac{1}{2} k x^2$ selon les interactions présentes. Propriétés : - Grandeur scalaire, exprimée en joules (J). - Dépend de l'état du système (vitesse et positions/configurations) à un instant donné. - Peut varier si des forces non conservatrices (frottement, résistance de l'air, force de traction) travaillent sur le système. - Si seules des forces conservatrices travaillent, alors $E_m$ reste constante (voir partie suivante). Exemple résolu : Une balle de masse $0,15\,\text{kg}$ est lancée verticalement vers le haut avec une vitesse initiale de $12,0\,\text{m/s}$. On prend le point de lancement comme référence pour l'énergie potentielle gravitationnelle ($z=0$). 1. Quelle est son énergie mécanique au lancement ? 2. Quelle est-elle à la hauteur maximale atteinte ? Solution : 1. Au lancement : $z=0 \Rightarrow E_{p,i}=0$ ; $v_i=12,0\,\text{m/s} \Rightarrow E_{c,i} = \frac{1}{2} \times 0,15 \times (12,0)^2 = 0,075 \times 144 = 10,8\,\text{J}$ ; donc $E_{m,i} = 10,8 + 0 = 10,8\,\text{J}$ 2. À la hauteur maximale, la vitesse est nulle ($v_f=0 \Rightarrow E_{c,f}=0$). Si seules la pesanteur travaille (force conservative), alors $E_m$ est conservée : $E_{m,f} = E_{m,i} = 10,8\,\text{J}$. On peut vérifier : $E_{p,f} = E_{m,f} - E_{c,f} = 10,8\,\text{J}$ ; puis $z_{max} = \frac{E_{p,f}}{mg} = \frac{10,8}{0,15 \times 9,81} \approx 7,34\,\text{m}$ Exercice d'application corrigé : Un cycliste de masse totale $75\,\text{kg}$ (véhicule compris) roule à $10,0\,\text{m/s}$ sur une route horizontale. Il arrive au pied d'une pente qu'il monte sans pédaler, jusqu'à s'arrêter momentanément à une hauteur verticale de $3,0\,\text{m}$ au-dessus du départ. On néglige les frottements et la résistance de l'air. 1. Quelle est son énergie mécanique au départ (pied de la pente, vitesse $10,0\,\text{m/s}$) ? 2. Quelle est-elle au sommet du mouvement (arrêt momentané à $3,0\,\text{m}$) ? 3. Comment expliquez-vous le résultat ? Correction : On prend le pied de la pente comme référence pour $E_p$ ($z=0$). 1. Au départ : $E_{c,i} = \frac{1}{2} \times 75 \times (10,0)^2 = 37,5 \times 100 = 3750\,\text{J}$ ; $E_{p,i}=0$ ; $E_{m,i} = 3750\,\text{J}$ 2. Au sommet : $v_f=0 \Rightarrow E_{c,f}=0$ ; $z_f=3,0\,\text{m} \Rightarrow E_{p,f} = 75 \times 9,81 \times 3,0 = 75 \times 29,43 = 2207,25\,\text{J} \approx 2200\,\text{J}$ ; $E_{m,f} = 0 + 2200 = 2200\,\text{J}$ 3. Les valeurs ne sont pas égales : $E_{m,i} \neq E_{m,f}$. Cela indique que l'hypothèse de négligence des frottements n'est pas vérifiée dans la réalité, ou qu'une autre force non conservative a travaillé. En réalité, pour monter jusqu'à $3,0\,\text{m}$ sans pédaler, il faudrait que $E_{m,i} \geq mgh = 2200\,\text{J}$. Ici $E_{m,i}=3750\,\text{J} > 2200\,\text{J}$, donc en l'absence de frottements, le cycliste monterait plus haut. Le fait qu'il s'arrête à exactement $3,0\,\text{m}$ implique que des forces dissipatives (frottement des pneus, résistance de l'air) ont travaillé, convertissant une partie de l'énergie mécanique en énergie interne (chaleur). Le changement d'énergie mécanique est égal au travail des forces non conservatrices : $\Delta E_m = W_{nc}$. Ici $\Delta E_m = 2200 - 3750 = -1550\,\text{J}$, donc $W_{nc} = -1550\,\text{J}$ (travail négatif, dissipation). --- ## III. Conservation de l’énergie mécanique Le principe de conservation de l'énergie mécanique est une conséquence directe du théorème du travail et de l'énergie lorsque seules des forces conservatrices exercent un travail non nul sur le système. ### A. Énoncé et conditions Définition : Si seules des forces conservatrices (poids, force élastique d'un ressort idéal, etc.) travaillent sur un système, alors l'énergie mécanique de ce système reste constante au cours du temps. > $\Delta E_m = 0$ ou bien $E_{m,i} = E_{m,f}$ c'est-à-dire : $(E_{c,i} + E_{p,i}) = (E_{c,f} + E_{p,f})$ Conditions d'application : - Le système doit être soumis exclusivement à des forces conservatrices. - Toute force non conservative (frottement glissant ou de roulement, résistance des fluides, force de traction ou de poussée non dérivable d'un potentiel) doit être nulle ou produire un travail nul. - Le système peut être isolé ou non, tant que seules les forces internes conservatrices travaillent (les forces externes doivent être conservatrices ou nulles). Exemple résolu : Un pendule simple constitué d'une boule de masse $0,20\,\text{kg}$ fixée à un fil inextensible et sans masse de longueur $L=1,0\,\text{m}$ est relâché depuis l'angle $\theta_0 = 60^\circ$ par rapport à la verticale. On néglige la résistance de l'air et la friction au point de suspension. 1. Déterminer la vitesse de la boule au point le plus bas de sa trajectoire. 2. Quelle hauteur maximale atteint-elle de l'autre côté ? Solution : On prend le point le plus bas comme référence pour $E_p$ ($z=0$). Au point de relâchement ($\theta=60^\circ$) : La hauteur au-dessus du bas est $h = L - L\cos\theta_0 = L(1 - \cos\theta_0) = 1,0 \times (1 - \cos 60^\circ) = 1,0 \times (1 - 0,5) = 0,5\,\text{m}$ Donc $E_{p,i} = mgh = 0,20 \times 9,81 \times 0,5 = 0,981\,\text{J}$ $v_i = 0 \Rightarrow E_{c,i} = 0$ $E_{m,i} = 0 + 0,981 = 0,981\,\text{J}$ Au point le plus bas ($\theta=0^\circ$) : $z=0 \Rightarrow E_{p,f}=0$ Par conservation de $E_m$ : $E_{m,f} = E_{m,i} = 0,981\,\text{J} = E_{c,f} + 0$ Donc $E_{c,f} = \frac{1}{2} m v_f^2 = 0,981$ $v_f = \sqrt{\frac{2 \times 0,981}{0,20}} = \sqrt{\frac{1,962}{0,20}} = \sqrt{9,81} \approx 3,13\,\text{m/s}$ De l'autre côté, par symétrie et conservation de $E_m$, la boule atteint la même hauteur que celle de départ : $h_{max} = 0,5\,\text{m}$ au-dessus du bas, donc même angle $\theta = 60^\circ$ de l'autre côté. Exercice d'application corrigé : Une masse $m=0,30\,\text{kg}$ est attachée à un ressort horizontal de raideur $k=150\,\text{N/m}$. Le système est initialement étiré de $x_i=0,12\,\text{m}$ et libéré depuis le repos sur une surface horizontale sans frottement. 1. Quelle est l'énergie mécanique initiale du système ? 2. Quelle est la vitesse de la masse lorsque le ressort est à sa longueur naturelle ($x=0$) ? 3. Quelle est l'allongement maximal du ressort lors de l'oscillation (valeur absolue de $x$) ? Correction : On prend $x=0$ comme référence pour $E_p$ (longueur naturelle du ressort). Aucune pesanteur ne travaille verticalement (mouvement horizontal, surface plane), donc seule l'énergie potentielle élastique est pertinente. 1. Initialement : $v_i=0 \Rightarrow E_{c,i}=0$ ; $x_i=0,12\,\text{m} \Rightarrow E_{p,i} = \frac{1}{2} k x_i^2 = 0,5 \times 150 \times (0,12)^2 = 75 \times 0,0144 = 1,08\,\text{J}$ ; $E_{m,i} = 0 + 1,08 = 1,08\,\text{J}$ 2. Lorsque $x=0$ : $E_{p,f}=0$ ; par conservation de $E_m$ : $E_{m,f} = E_{m,i} = 1,08\,\text{J} = E_{c,f} + 0$ Donc $\frac{1}{2} m v_f^2 = 1,08$ $v_f = \sqrt{\frac{2 \times 1,08}{0,30}} = \sqrt{\frac{2,16}{0,30}} = \sqrt{7,2} \approx 2,68\,\text{m/s}$ 3. Lors de l'oscillation, l'énergie mécanique est constante. L'allongement maximal se produit lorsque $v=0$ (toute l'énergie mécanique est potentielle). Soit $x_{max}$ l'allongement maximal (en valeur absolue). Alors : $E_{m} = \frac{1}{2} k x_{max}^2$ $1,08 = \frac{1}{2} \times 150 \times x_{max}^2 = 75 x_{max}^2$ $x_{max}^2 = \frac{1,08}{75} = 0,0144$ $x_{max} = \sqrt{0,0144} = 0,12\,\text{m}$ Donc l'allongement maximal est de $12\,\text{cm}$ (même que l'étirement initial, comme attendu en absence de frottements). ### B. Cas où l'énergie mécanique n'est pas conservée Lorsque des forces non conservatrices travaillent, le changement d'énergie mécanique est égal au travail de ces forces : > $\Delta E_m = E_{m,f} - E_{m,i} = W_{nc}$ où $W_{nc}$ est le travail total des forces non conservatrices (frottement, résistance de l'air, etc.). Si $W_{nc} < 0$, l'énergie mécanique diminue (dissipation). Si $W_{nc} > 0$, l'énergie mécanique augmente (apport d'énergie externe, ex. : moteur, muscle). Exemple résolu : Un bloc de masse $2,0\,\text{kg}$ glisse le long d'un plan incliné rugueux de longueur $l=5,0\,\text{m}$ et d'angle $\alpha=20^\circ$ par rapport à l'horizontale. Il part du haut avec une vitesse nulle et arrive en bas avec une vitesse de $3,0\,\text{m/s}$. 1. Calculer le travail de la force de frottement. 2. Déterminer la valeur du coefficient de frottement $\mu$ (on suppose que la force de frottement est constante). Solution : On prend le bas du plan comme référence pour $E_p$ ($z=0$). Hauteur verticale de départ : $h = l \sin\alpha = 5,0 \times \sin 20^\circ \approx 5,0 \times 0,3420 = 1,71\,\text{m}$ État initial (haut) : $v_i=0 \Rightarrow E_{c,i}=0$ $z_i=h=1,71\,\text{m} \Rightarrow E_{p,i} = mgh = 2,0 \times 9,81 \times 1,71 \approx 33,55\,\text{J}$ $E_{m,i} = 0 + 33,55 = 33,55\,\text{J}$ État final (bas) : $z_f=0 \Rightarrow E_{p,f}=0$ $v_f=3,0\,\text{m/s} \Rightarrow E_{c,f} = \frac{1}{2} \times 2,0 \times (3,0)^2 = 1,0 \times 9,0 = 9,0\,\text{J}$ $E_{m,f} = 9,0 + 0 = 9,0\,\text{J}$ Changement d'énergie mécanique : $\Delta E_m = E_{m,f} - E_{m,i} = 9,0 - 33,55 = -24,55\,\text{J}$ Par le théorème généralisé : $\Delta E_m = W_{nc}$ Seule la force de frottement travaille en tant que force non conservative (la pesanteur et la réaction normale sont conservatrices ou travaillent nullement). Donc : $W_{frott} = \Delta E_m = -24,55\,\text{J}$ Le travail de la force de frottement est aussi donné par : $W_{frott} = -F_{frott} \cdot l$ (puisque la force de frottement s'oppose au déplacement, angle de $180^\circ$) Donc $-F_{frott} \cdot l = -24,55$ $F_{frott} \cdot 5,0 = 24,55$ $F_{frott} = \frac{24,55}{5,0} = 4,91\,\text{N}$ La force de frottement glissant est : $F_{frott} = \mu N$, où $N$ est la réaction normale. Sur un plan incliné : $N = mg \cos\alpha$ Donc : $\mu = \frac{F_{frott}}{mg \cos\alpha} = \frac{4,91}{2,0 \times 9,81 \times \cos 20^\circ}$ $\cos 20^\circ \approx 0,9397$ $mg \cos\alpha = 2,0 \times 9,81 \times 0,9397 \approx 18,44\,\text{N}$ $\mu = \frac{4,91}{18,44} \approx 0,266 \approx 0,27$ --- ## Synthèse du chapitre - L'énergie potentielle gravitationnelle dépend de la hauteur par rapport à un niveau de référence choisi : $E_p = mgz$. Seul son variation a un sens physique. - L'énergie potentielle élastique d'un ressort idéal est toujours positive ou nulle : $E_p = \frac{1}{2} k x^2$, où $x$ est la déformation par rapport à l'équilibre. - L'énergie mécanique $E_m = E_c + E_p$ est la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle totale (gravitationnelle + élastique + éventuelles autres formes conservatrices). - **Principe de conservation de l'énergie mécanique** : Si seules des forces conservatrices travaillent sur un système, alors $E_m$ est constante : $E_{m,i} = E_{m,f}$. - Lorsque des forces non conservatrices (frottement, résistance de l'air) travaillent, le changement d'énergie mécanique équivaut au travail de ces forces : $\Delta E_m = W_{nc}$. - Cette approche permet de résoudre des problèmes de mouvement sans détailler les forces intermédiaires, en se concentrant sur les états initial et final. - Le choix du niveau de référence pour $E_p$ est arbitraire, mais doit être fixé une fois pour toutes dans un problème donné. - L'énergie mécanique n'est pas une quantité fondamentale : elle peut se transformer en autres formes d'énergie (interne, rayonnement) lorsque des forces non conservatrices agissent. --- ## Glossaire - **Énergie cinétique** : Énergie associée au mouvement d'un corps, donnée par $E_c = \frac{1}{2}mv^2$. - **Énergie potentielle gravitationnelle** : Énergie liée à la position d'un corps dans un champ de pesanteur uniforme, $E_p = mgz$. - **Énergie potentielle élastique** : Énergie stockée dans un ressort déformé, $E_p = \frac{1}{2}kx^2$. - **Énergie mécanique** : Somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle totale d'un système, $E_m = E_c + E_p$. - **Force conservative** : Force dont le travail dépend uniquement des positions initiale et finale, pas du trajet (ex. : poids, force élastique d'un ressort idéal). - **Force non conservative** : Force dont le travail dépend du trajet suivi (ex. : frottement, résistance de l'air). - **Travail d'une force** : Produit scalaire de la force par le déplacement du point d'application, mesuré en joules. - **Niveau de référence** : Position choisie où l'énergie potentielle gravitationnelle est nulle ($z=0$). - **Raideur d'un ressort** : Constante $k$ dans la loi de Hooke ($F = -kx$), mesurée en N/m. - **Allongement** : Déformation d'un ressort par rapport à sa longueur naturelle, notée $x$ (en m). - **Coefficient de frottement** : Rapport sans dimension entre la force de frottement et la réaction normale ($\mu = F_{frott}/N$). - **Théorème du travail et de l'énergie** : Le changement d'énergie cinétique d'un corps équivaut au travail total des forces agissant sur lui ($\Delta E_c = W_{tot}$). - **Principe de conservation de l'énergie mécanique** : Lorsque seules des forces conservatrices travaillent, l'énergie mécanique d'un système reste constante. --- *Fin du cours de référence pour le chapitre « Principe de conservation de l'énergie mécanique » en physique de Première (système éducatif camerounais francophone).*