Chap 10: Les lentilles

# Chap 10: Les lentilles ## Objectifs et prérequis **Objectifs** : À l’issue de ce chapitre, l’élève sera capable de : - Définir une lentille mince et distinguer les lentilles convergentes des lentilles divergentes. - Identifier les caractéristiques géométriques et optiques d’une lentille mince (centre optique, foyers principaux, axe principal, ouverture). - Définir la distance focale et la vergence d’une lentille mince, et établir leur relation. - Construire graphiquement l’image d’un objet placé devant une lentille mince convergente ou divergente en utilisant les rayons caractéristiques. - Établir et utiliser la relation de conjugaison (formule de Descartes) pour déterminer la position et la nature de l’image. - Interpréter les résultats en termes de grandeur, d’orientation et de réalité de l’image. - Résoudre des problèmes numériques liés à la formation d’images par lentilles minces. **Prérequis** : Notions de réflexion et de réfraction de la lumière (lois de Snell-Descartes), concept de rayon lumineux, représentation schématique d’un objet et d’une image, grandeur linéaire et angulaire de base, manipulation d’équations du premier degré. --- ## Introduction Les lentilles sont des dispositifs optiques transparents, généralement en verre ou en plastique, dont les surfaces sont sphériques ou planes, permettant de converger ou de diverger un faisceau lumineux grâce à la réfraction. Elles sont omniprésentes dans la vie quotidienne : lunettes, appareils photo, microscopes, télescopes, projecteurs, jumelles. Dans ce chapitre, nous nous intéressons spécifiquement aux **lentilles minces**, c’est-à-dire celles dont l’épaisseur est négligeable devant les rayons de courbure de leurs surfaces. Cette hypothèse simplifie considérablement l’analyse optique : on peut considérer que la déviation d’un rayon se produit en un seul plan, celui de la lentille, situé en son centre optique. Nous étudierons leurs propriétés géométriques, leur pouvoir de convergence ou de divergence (vergence), la construction de l’image d’un objet à travers elles, et enfin la relation mathématique qui lie les distances objet, image et focale. --- ## I. Notion de lentille mince ### Définition > Une **lentille mince** est une lentille dont l’épaisseur maximale est négligeable devant les rayons de courbure de ses deux surfaces. On peut alors considérer que la déviation d’un rayon lumineux se produit en un seul plan, appelé **plan principal**, situé au niveau du centre optique de la lentille. ### Types de lentilles minces On distingue deux grandes familles selon la forme de leurs surfaces : - **Lentille convergente** (ou **positive**) : au moins une de ses surfaces est convexe, et l’ensemble fait converger un faisceau lumineux parallèle incident vers un point réel appelé **foyer principal image**. Exemple : lentille biconvexe, plano-convexe, ménisque convergente. - **Lentille divergente** (ou **négative**) : au moins une de ses surfaces est concave, et l’ensemble fait diverger un faisceau lumineux parallèle incident comme s’il provenait d’un point virtuel appelé **foyer principal objet**. Exemple : lentille biconcave, plano-concave, ménisque divergente. ### Représentation schématique Une lentille mince est représentée par un trait vertical symétrique par rapport à l’axe principal (ou axe optique), avec des arcs de cercle indiquant la courbure des surfaces. Le centre de la lentille sur cet axe est le **centre optique**, noté **O**. > Le **centre optique O** d’une lentille mince est le point situé sur l’axe principal où un rayon incident parallèle à l’axe émerge sans déviation (pour une lentille symétrique) ou où la déviation est nulle en première approximation. --- ## II. Caractéristiques d’une lentille mince ### Éléments caractéristiques Une lentille mince possède plusieurs éléments géométriques essentiels à son étude : - **Axe principal** (ou **axe optique**) : ligne droite passant par les centres de courbure des deux surfaces et par le centre optique O. C’est la référence de symétrie. - **Centre optique O** : point situé sur l’axe principal, au milieu de la lentille (pour une lentille symétrique). - **Foyers principaux** : - **Foyer principal objet F_o** : point situé sur l’axe principal tel que tout rayon issu de F_o émerge parallèle à l’axe après traversée de la lentille. - **Foyer principal image F_i** : point situé sur l’axe principal tel que tout rayon incident parallèle à l’axe converge vers F_i (lentille convergente) ou semble en provenir (lentille divergente). - **Ouverture** : diamètre effectif de la lentille, limité par sa monture. Elle détermine la quantité de lumière pouvant traverser la lentille, mais n’affecte pas la position de l’image dans l’approximation de paraxialité (rayons proches de l’axe et petits angles). > Pour une lentille mince symétrique, les deux foyers principaux sont équidistants du centre optique : OF_o = OF_i = f, où f est la distance focale. ### Propriétés des foyers - Dans une **lentille convergente** : F_i est réel et situé du côté opposé à l’objet incident ; F_o est réel et situé du même côté que l’objet incident. - Dans une **lentille divergente** : F_i est virtuel et situé du même côté que l’objet incident ; F_o est virtuel et situé du côté opposé à l’objet incident. > Les foyers principaux d’une lentille mince sont situés de chaque côté du centre optique à une distance égale à la valeur absolue de la distance focale. ### Tableau récapitulatif des caractéristiques | Élément | Lentille convergente | Lentille divergente | |-----------------------|----------------------------|----------------------------| | Forme générale | Au moins une surface convexe | Au moins une surface concave | | Effet sur faisceau parallèle | Convergence vers F_i réel | Divergence comme provenant de F_i virtuel | | Position de F_i | Réel, côté opposé à l’objet | Virtuel, même côté que l’objet | | Position de F_o | Réel, même côté que l’objet | Virtuel, côté opposé à l’objet | | Signe de la distance focale f | f > 0 | f < 0 | | Exemple | Biconvexe, plano-convexe | Biconcave, plano-concave | --- ## III. Distance focale et vergence des lentilles minces ### Distance focale > La **distance focale** f d’une lentille mince est la distance entre le centre optique O et chacun des foyers principaux (F_o ou F_i). Elle est positive pour une lentille convergente, négative pour une lentille divergente. Elle dépend de l’indice de réfraction du matériau de la lentille n_l, de l’indice du milieu ambiant n_m (souvent air, n_m ≈ 1,00), et des rayons de courbure R₁ et R₂ de ses deux surfaces (signe selon la convention : R > 0 si le centre de courbure est du côté sortant de la lumière). La formule donnant f est celle du **fabricant de lentilles** (ou formule de Descartes pour les surfaces) : $$ \frac{1}{f} = (n_l - n_m) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) $$ > Cette formule permet de calculer la distance focale à partir des caractéristiques géométriques et matérielles de la lentille. ### Vergence > La **vergence** V d’une lentille mince est l’inverse de sa distance focale : V = 1/f. Elle s’exprime en dioptries (δ), où 1 δ = 1 m^-1. La vergence quantifie le pouvoir de convergence ou de divergence de la lentille : - V > 0 : lentille convergente (puissance convergente). - V < 0 : lentille divergente (puissance divergente). - |V| grande : forte puissance optique. > La vergence d’une lentille mince est additive : lorsqu’on place deux lentilles minces en contact, leur vergence totale est la somme de leurs vergences individuelles : V_tot = V₁ + V₂. ### Exemple résolu : calcul de la distance focale **Exercice 1** : Une lentille mince biconvexe est faite de verre d’indice n_l = 1,50. Elle est placée dans l’air (n_m = 1,00). Ses deux surfaces ont un rayon de courbure de magnitude |R| = 20 cm, avec R₁ = +20 cm (première surface convexe, centre de courbure du côté sortant) et R₂ = -20 cm (deuxième surface convexe, mais vu de l’intérieur, le centre de courbure est du côté entrant, donc négatif selon la convention de signe usuelle en optique où la lumière vient de gauche). Calculer sa distance focale. **Solution** : On applique la formule du fabricant de lentilles : $$ \frac{1}{f} = (n_l - n_m) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) $$ Substitution des valeurs : $$ \frac{1}{f} = (1,50 - 1,00) \left( \frac{1}{+20} - \frac{1}{-20} \right) = 0,50 \left( \frac{1}{20} + \frac{1}{20} \right) = 0,50 \times \frac{2}{20} = 0,50 \times 0,10 = 0,05 \ \text{cm}^{-1} $$ Donc : $$ f = \frac{1}{0,05} = 20 \ \text{cm} $$ Comme f > 0, la lentille est convergente. > **À retenir** : Pour une lentille biconvexe symétrique dans l’air, f = R / [2(n_l - 1)]. ### Exercice d’application corrigé **Exercice 2** : Une lentille mince plano-concave est faite de verre (n_l = 1,60) et placée dans l’air. La surface plane a un rayon de courbure infini (R₁ = ∞), la surface concave a un rayon de courbure de magnitude 30 cm. En admettant que la lumière vient de la côté plane, déterminer R₁ et R₂ avec leurs signes, puis calculer la distance focale f. **Solution** : - Première surface (plane, côté objet) : R₁ = ∞ → 1/R₁ = 0. - Deuxième surface (concave, côté image) : comme la lumière va du verre vers l’air, et que la surface est concave vers l’objet, le centre de courbure est du côté de l’objet entrant. Selon la convention (centre de courbure du côté sortant de la lumière pour R > 0), ici la lumière sort vers la droite, mais le centre de courbure est à gauche → R₂ < 0. Donc R₂ = -30 cm. Formule : $$ \frac{1}{f} = (n_l - n_m) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = (1,60 - 1,00) \left( 0 - \frac{1}{-30} \right) = 0,60 \times \left( 0 + \frac{1}{30} \right) = 0,60 \times \frac{1}{30} = 0,02 \ \text{cm}^{-1} $$ $$ f = \frac{1}{0,02} = 50 \ \text{cm} $$ Mais attention : le signe de f dépend du résultat. Ici, 1/f > 0 → f > 0 ? Pourtant, une lentille plano-concave est divergente. Erreur de signe dans l’application de la formule. Revoir la convention : la formule standard est : $$ \frac{1}{f} = (n_l - n_m) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) $$ avec le signe de R : R > 0 si le centre de courbure est du côté sortant de la lumière pour cette surface. Pour la première surface (plane, lumière venant de l’air vers le verre) : surface plane → R₁ = ∞ (indéterminé, mais 1/R = 0, signe neutre). Pour la deuxième surface (verre vers air, surface concave) : la lumière va du verre vers l’air. La surface est concave vu du verre, donc le centre de courbure est du côté du verre (côté entrant pour cette interface). Comme la lumière sort vers la droite, le côté sortant est l’air. Le centre de courbure est du côté du verre (côté entrant) → donc R₂ < 0. Mais dans la formule, c’est (1/R₁ - 1/R₂). Si R₂ = -30 cm, alors -1/R₂ = -1/(-30) = +1/30. Donc : $$ \frac{1}{f} = (1,60 - 1,00) \left( \frac{1}{\infty} - \frac{1}{-30} \right) = 0,60 \left( 0 - (-\frac{1}{30}) \right) = 0,60 \times \frac{1}{30} = 0,02 \ \text{cm}^{-1} $$ f = +50 cm → convergente ? Contradiction. Erreur : la formule correcte pour une lentille mince est souvent écrite comme : $$ \frac{1}{f} = (n - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) $$ pour une lentille dans l’air (n_m = 1), avec la convention que : - R > 0 si la surface est convexe vers l’objet incident (centre de courbure du côté sortant de la lumière pour cette surface). - R < 0 si la surface est concave vers l’objet incident. Dans ce cas, pour une lentille plano-concave avec le côté plat vers l’objet : - Première surface (plane) : R₁ = ∞. - Deuxième surface (concave, verre vers air) : vu de l’objet (côté air), la surface est concave → donc R₂ < 0. Disons R₂ = -30 cm. Alors : $$ \frac{1}{f} = (1,60 - 1) \left( \frac{1}{\infty} - \frac{1}{-30} \right) = 0,60 \left( 0 + \frac{1}{30} \right) = 0,02 \ \text{cm}^{-1} $$ f = +50 cm → toujours convergente ? Cela ne peut pas être. La confusion vient de la forme de la lentille. Une lentille **plano-concave** a une surface plane et une surface concave. Si la surface concave est du côté de l’image, et que la lumière vient du côté plat, alors : - En entrant : air → verre, surface plane → pas de déviation en première approximation (mais la forme globale fait que la lentille est plus mince au centre). - En sortant : verre → air, surface concave : un rayon parallèle à l’axe dans le verre, en sortant vers l’air, sera dévié loin de l’axe → effet divergent. La formule doit donner f < 0. La erreur est dans le signe de R₂. Dans la convention usuelle pour la formule du fabricant de lentilles : - R est positif si le centre de courbure est du côté du milieu sortant de la lumière pour cette surface. - Pour la deuxième surface (verre → air), la lumière sort vers la droite. Si la surface est concave vers la gauche (côté verre), alors le centre de courbure est à gauche → du côté entrant pour cette surface → donc R₂ < 0. Mais alors, dans (1/R₁ - 1/R₂), si R₂ = -30 cm, alors -1/R₂ = -1/(-30) = +1/30. Pour obtenir un 1/f négatif, il faudrait que (1/R₁ - 1/R₂) soit négatif. Si la première surface est plane (R₁ = ∞ → 1/R₁ = 0), et la deuxième surface est convexe vers la droite (alors R₂ > 0), on aurait une lentille plano-convexe. Pour une lentille plano-concave, si la surface concave est du côté de l’objet, alors : - Première surface (air → verre, concave) : R₁ < 0 (disons -30 cm). - Deuxième surface (verre → air, plane) : R₂ = ∞. Alors : $$ \frac{1}{f} = (1,60 - 1) \left( \frac{1}{-30} - \frac{1}{\infty} \right) = 0,60 \left( -\frac{1}{30} - 0 \right) = 0,60 \times (-\frac{1}{30}) = -0,02 \ \text{cm}^{-1} $$ f = -50 cm → divergente. Correct. Donc, dans l’énoncé de l’exercice 2, il fallait préciser : "la surface concave est du côté de l’objet". **Correction de l’exercice 2** : **Exercice 2 (corrigé)** : Une lentille mince plano-concave est faite de verre (n_l = 1,60) et placée dans l’air. La surface plane est du côté de l’image, la surface concave (de rayon de courbure magnitude 30 cm) est du côté de l’objet. Déterminer les signes de R₁ et R₂, puis calculer la distance focale f. **Solution** : - Première surface (objet côté, air → verre) : surface concave vers l’objet → centre de courbure du côté objet entrant → selon la convention (R > 0 si centre de courbure du côté sortant), ici la lumière entre de gauche à droite, le côté sortant est le verre. Le centre de courbure est du côté objet (côté entrant) → donc R₁ < 0. On prend R₁ = -30 cm. - Deuxième surface (verre → air, côté image) : surface plane → R₂ = ∞. Formule : $$ \frac{1}{f} = (n_l - n_m) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = (1,60 - 1,00) \left( \frac{1}{-30} - \frac{1}{\infty} \right) = 0,60 \left( -\frac{1}{30} - 0 \right) = 0,60 \times \left( -\frac{1}{30} \right) = -0,02 \ \text{cm}^{-1} $$ $$ f = \frac{1}{-0,02} = -50 \ \text{cm} $$ Comme f < 0, la lentille est divergente, ce qui convient à une lentille plano-concave. > **À retenir** : Le signe des rayons de courbure dans la formule du fabricant de lentilles dépend de la direction de la lumière et de la convexité/concavité de la surface par rapport au côté entrant de la lumière pour cette interface. ### Vergence Pour la lentille de l’exercice 1 : f = 20 cm = 0,20 m → V = 1/f = 1/0,20 = 5,00 δ (convergente). Pour la lentille de l’exercice 2 corrigé : f = -50 cm = -0,50 m → V = 1/(-0,50) = -2,00 δ (divergente). > **À retenir** : La vergence en dioptries est l’inverse de la distance focale en mètres : V (δ) = 1 / f (m). ### Exercice d’application sur la vergence **Exercice 3** : Deux lentilles minces sont placées en contact : une lentille convergente de f₁ = +10 cm et une lentille divergente de f₂ = -30 cm. Calculer la vergence totale du système et en déduire sa distance focale équivalente. **Solution** : Conversion en mètres : f₁ = 0,10 m → V₁ = 1/0,10 = +10,00 δ f₂ = -0,30 m → V₂ = 1/(-0,30) = -3,33 δ Vergence totale : V_tot = V₁ + V₂ = 10,00 + (-3,33) = +6,67 δ Distance focale équivalente : f_tot = 1 / V_tot = 1 / 6,67 ≈ 0,150 m = 15,0 cm Comme f_tot > 0, le système est convergente. > **À retenir** : Pour des lentilles minces en contact, les vergences s’ajoutent algébriquement : V_tot = Σ V_i. --- ## IV. Construction de l’image de l’objet à travers les lentilles minces ### Rayons caractéristiques Pour construire l’image d’un objet placé devant une lentille mince, on utilise trois rayons particuliers dont le tracé est simple et dont l’intersection donne la position de l’image d’un point de l’objet. On considère un objet placé perpendiculairement à l’axe principal, de hauteur h. Les trois rayons caractéristiques sont : 1. **Rayon parallèle à l’axe principal** : incident parallèle à l’axe, il ressort en passant par le foyer principal image F_i (lentille convergente) ou semble provenir du foyer principal objet F_o (lentille divergente). 2. **Rayon passant par le centre optique O** : il traverse la lentille sans déviation (approximation de lentille mince et de paraxialité). 3. **Rayon passant par le foyer principal objet F_o** (lentille convergente) ou visant le foyer principal image F_i (lentille divergente) : il ressort parallèle à l’axe principal. > Ces trois rayons permettent de construire l’image d’un point quelconque de l’objet placé perpendiculairement à l’axe principal. ### Construction pour une lentille convergente Cas 1 : Objet placé au-delà de 2F (hauteur réelle, renversée, réduite) - Objet entre F et 2F : image réelle, renversée, agrandie, au-delà de 2F. - Objet en F : image à l’infini. - Objet entre F et O : image virtuelle, droite, agrandie, du même côté que l’objet. Cas 2 : Lentille divergente - Quel que soit la position de l’objet (réel, du côté incident), l’image est toujours virtuelle, droite, réduite, et située entre F_o et O du même côté que l’objet. ### Exemple résolu : construction pour lentille convergente **Exercice 4** : Une lentille mince convergente de distance focale f = 10 cm reçoit un objet de hauteur 3,0 cm placé à 25 cm de son centre optique. Construire l’image et déterminer sa position, sa nature, sa grandeur et son orientation. **Solution** (construction schématique, description verbale) : - Tracer l’axe principal horizontal, placer O à l’origine. - Placer F_i à +10 cm (côté image), F_o à -10 cm (côté objet). - Placer l’objet : base sur l’axe, sommet en A à 25 cm à gauche de O, hauteur h = 3,0 cm vers le haut. - Tracer les trois rayons depuis le sommet A : 1. Rayon parallèle à l’axe depuis A : va vers la lentille, ressort en passant par F_i (à +10 cm). 2. Rayon passant par O : va tout droit sans déviation. 3. Rayon passant par F_o (à -10 cm) : depuis A, tracer un rayon allant vers F_o (à gauche), il atteint la lentille et ressort parallèle à l’axe. - L’intersection des deux rayons sortants (1 et 2, ou 1 et 3, ou 2 et 3) donne le sommet A’ de l’image. - On trouve A’ à environ +16,7 cm à droite de O, hauteur h’ ≈ -2,0 cm (négatif = renversé). Donc : image réelle (côté opposé à l’objet), renversée, réduite (|h’| < h), située entre F_i et 2F_i (puisque 2F_i = 20 cm, et 16,7 < 20). > **À retenir** : Pour une lentille convergente, si l’objet est placé entre F et 2F, l’image est réelle, renversée, agrandie et située au-delà de 2F. Si l’objet est au-delà de 2F, l’image est réelle, renversée, réduite et située entre F et 2F. ### Exemple résolu : construction pour lentille divergente **Exercice 5** : Une lentille mince divergente de distance focale f = -15 cm reçoit un objet de hauteur 2,0 cm placé à 30 cm de son centre optique. Construire l’image. **Solution** : - f = -15 cm → |f| = 15 cm. F_o est virtuel du côté image ? Non : pour une lentille divergente, F_o est du côté où l’objet serait placé pour avoir des rayons émergents parallèles. En fait : - F_i (foyer principal image) est virtuel, situé du même côté que l’objet incident, à |f| = 15 cm à gauche de O. - F_o (foyer principal objet) est virtuel, situé du côté opposé à l’objet, à |f| = 15 cm à droite de O. - Objet placé à 30 cm à gauche de O (côté incident réel). - Tracer les rayons depuis le sommet A de l’objet (à -30 cm, hauteur +2,0 cm) : 1. Rayon parallèle à l’axe : après la lentille, il diverge comme s’il venait de F_i (virtuel, à -15 cm). On le prolonge en arrière vers la gauche pour qu’il passe par F_i. 2. Rayon passant par O : sans déviation. 3. Rayon visant F_i : puisque F_i est virtuel du côté objet, on trace un rayon depuis A allant vers F_i (à -15 cm), il atteint la lentille et ressort parallèle à l’axe. - L’intersection des prolongements en arrière des rayons sortants (ou de celui passant par O et celui visant F_i) donne A’ du côté objet, entre O et F_i. - On trouve A’ à environ -10 cm de O, hauteur h’ ≈ +0,67 cm (même signe = droite, |h’| < h = réduite). Donc : image virtuelle (même côté que l’objet), droite, réduite. > **À retenir** : Pour une lentille divergente, quelle que soit la position réelle de l’objet du côté incident, l’image est toujours virtuelle, droite, réduite, et située entre le centre optique et le foyer principal objet du même côté que l’objet. ### Exercice d’application corrigé sur la construction **Exercice 6** : Une lentille mince convergente de f = 12,0 cm forme l’image d’un objet de hauteur 4,0 cm placé à 8,0 cm de son centre optique. Déterminer, par construction, les caractéristiques de l’image. **Solution** : - Objet entre F et O (puisque F = 12 cm, objet à 8 cm < F). - Donc : image virtuelle, droite, agrandie, du même côté que l’objet. - Construction : - Rayon parallèle à l’axe depuis l’objet : ressort en passant par F_i (à +12 cm). - Rayon passant par O : sans déviation. - Rayon visant F_o : depuis l’objet (à -8 cm), tracer un rayon allant vers F_o (à -12 cm), il atteint la lentille et ressort parallèle à l’axe. - L’intersection des prolongements en arrière des rayons sortants (ou de celui passant par O et celui visant F_o) donne l’image du côté objet. - On trouve l’image à environ -24,0 cm de O (côté objet), hauteur h’ ≈ +12,0 cm. - Vérification : agrandissement |h’/h| = 12,0/4,0 = 3,0 → agrandie trois fois. > **À retenir** : Pour une lentille convergente, lorsque l’objet est placé entre le foyer principal objet et le centre optique, l’image formée est virtuelle, droite, agrandie et située du même côté que l’objet. ---