Chap 19 : Point de fonctionnement

# Chap 19 : Point de fonctionnement ## Objectifs et prérequis **Objectifs** : À l’issue de ce chapitre, l’élève sera capable de : - Interpréter graphiquement la caractéristique d’un composant électronique (résistor, diode, transistor) ; - Déterminer le point de fonctionnement (ou point de repos) d’un circuit à partir de sa caractéristique et de la loi des mailles ; - Appliquer la méthode graphique pour analyser des circuits simples contenant un résistor, une diode ou un transistor ; - Calculer les tensions et courants aux bornes des composants en régime continu ; - Utiliser les modèles linéarisés autour du point de fonctionnement pour étudier les petits signaux (notion introductive). **Prérequis** : Lois d’Ohm et de Kirchhoff (mailles et nœuds), notion de caractéristique d’un composant (tension-courant), résolution de systèmes d’équations linéaires, lecture de graphiques, notions de base sur les semiconducteurs (diode, transistor bipolaire). --- ## I. Exploitation de la caractéristique d’un résistor ### Définition et propriétés > Un résistor est un composant passif linéaire dont la caractéristique tension-courant est une droite passant par l’origine, obéissant à la loi d’Ohm : $ V = R I $, où $ R $ est la résistance en ohms ($ \Omega $). La caractéristique d’un résistor idéal est représentée dans le plan $ (I, V) $ par une droite de pente $ R $ (ou de conductance $ G = 1/R $). ### Exemple résolu : Circuit avec résistor et générateur Considérons un circuit série constitué d’un générateur de tension continue $ E = 12 \, \text{V} $, d’une résistance interne négligeable, et d’un résistor de valeur inconnue $ R $, en série avec un ampèremètre idéal. On mesure un courant $ I = 3 \, \text{mA} $ dans le circuit. **Étape 1** : Écrire la loi des mailles : $$ E = V_R $$ où $ V_R $ est la tension aux bornes du résistor. **Étape 2** : Appliquer la loi d’Ohm : $$ V_R = R I $$ **Étape 3** : Substituer : $$ E = R I \quad \Rightarrow \quad R = \frac{E}{I} = \frac{12 \, \text{V}}{3 \times 10^{-3} \, \text{A}} = 4000 \, \Omega = 4 \, \text{k}\Omega $$ **Réponse** : La résistance vaut $ 4 \, \text{k}\Omega $. ### Exercice d’application corrigé Un résistor est soumis à une tension variable. On obtient les points suivants de sa caractéristique : - Lorsque $ V = 2 \, \text{V} $, $ I = 0,5 \, \text{mA} $ - Lorsque $ V = 6 \, \text{V} $, $ I = 1,5 \, \text{mA} $ 1. Vérifier que le composant est linéaire. 2. Déterminer sa résistance. 3. Quel courant traverse-t-il si on lui applique $ V = 10 \, \text{V} $ ? **Correction** : 1. Calcul du rapport $ V/I $ pour chaque point : - Premier point : $ R_1 = \frac{2}{0,5 \times 10^{-3}} = 4000 \, \Omega $ - Deuxième point : $ R_2 = \frac{6}{1,5 \times 10^{-3}} = 4000 \, \Omega $ Comme $ R_1 = R_2 $, la caractéristique est linéaire → composant ohmique. 2. Résistance : $ R = 4 \, \text{k}\Omega $. 3. Pour $ V = 10 \, \text{V} $ : $$ I = \frac{V}{R} = \frac{10}{4000} = 2,5 \times 10^{-3} \, \text{A} = 2,5 \, \text{mA} $$ --- ## II. Exploitation de la caractéristique d’une diode ### Définition et propriétés > Une diode est un composant semi-conducteur non linéaire qui laisse passer le courant principalement dans une seule direction (de l’anode vers la cathode). Sa caractéristique tension-courant présente un seuil de conduction autour de $ 0,6 \, \text{V} $ pour une diode au silicium. En polarisation directe (anode à potentiel plus élevé que la cathode), le courant augmente rapidement avec la tension. En polarisation inverse, le courant est négligeable (de l’ordre du nanoampère) jusqu’à la tension de claquage. La caractéristique idéale d’une diode est modélisée par : $$ I = I_S \left( e^{\frac{V}{\eta V_T}} - 1 \right) $$ où $ I_S $ est le courant de saturation, $ V_T = \frac{kT}{q} \approx 25 \, \text{mV} $ à $ 300 \, \text{K} $, et $ \eta \approx 1 $ pour une diode au silicium. En pratique, pour $ V > 0,6 \, \text{V} $, on approxime souvent : $ V_D \approx 0,6 \, \text{V} $ (modèle de seuil constant). ### Exemple résolu : Circuit avec diode et résistor On considère un circuit série : générateur $ E = 5 \, \text{V} $, résistor $ R = 1 \, \text{k}\Omega $, diode au silicium (seuil $ V_{\text{seuil}} = 0,6 \, \text{V} $), tous en série. Déterminer le courant $ I $ dans le circuit. **Étape 1** : Loi des mailles : $$ E = V_R + V_D $$ **Étape 2** : Dans la zone de conduction, on approxime $ V_D = 0,6 \, \text{V} $. **Étape 3** : Loi d’Ohm sur le résistor : $$ V_R = R I $$ **Étape 4** : Substituer : $$ E = R I + V_{\text{seuil}} \quad \Rightarrow \quad I = \frac{E - V_{\text{seuil}}}{R} $$ **Étape 5** : Calcul numérique : $$ I = \frac{5 - 0,6}{1000} = \frac{4,4}{1000} = 4,4 \times 10^{-3} \, \text{A} = 4,4 \, \text{mA} $$ **Vérification** : $ V_D = 0,6 \, \text{V} $ est cohérent avec l’hypothèse de conduction. **Réponse** : $ I = 4,4 \, \text{mA} $. ### Exercice d’application corrigé Une diode au silicium est placée en série avec un résistor $ R = 470 \, \Omega $ aux bornes d’une pile de $ 9 \, \text{V} $. On mesure une tension aux bornes de la diode de $ 0,65 \, \text{V} $. 1. Quel est le courant dans le circuit ? 2. La diode est-elle bien en conduction ? Justifier. 3. Quelle serait la tension aux bornes du résistor si le courant était de $ 10 \, \text{mA} $ ? **Correction** : 1. Loi des mailles : $ E = V_R + V_D $ Donc $ V_R = E - V_D = 9 - 0,65 = 8,35 \, \text{V} $ Loi d’Ohm : $ I = \frac{V_R}{R} = \frac{8,35}{470} \approx 0,01777 \, \text{A} = 17,8 \, \text{mA} $ 2. Puisque $ V_D = 0,65 \, \text{V} > 0,6 \, \text{V} $, la diode est bien en conduction directe. 3. Si $ I = 10 \, \text{mA} = 0,01 \, \text{A} $, alors : $$ V_R = R I = 470 \times 0,01 = 4,7 \, \text{V} $$ --- ## III. Exploitation de la caractéristique d’un transistor ### Définition et propriétés > Un transistor bipolaire à jonction (BJT) est un composant semi-conducteur à trois bornes (émetteur, base, collecteur) permettant d’amplifier ou de commuter des signaux électriques. Son fonctionnement repose sur le contrôle du courant de collecteur $ I_C $ par le courant de base $ I_B $. En régime continu (polarisation), on définit le point de fonctionnement (ou point de repos, Q-point) comme le couple $ (I_{CQ}, V_{CEQ}) $ où le transistor fonctionne en l’absence de signal d’entrée. La caractéristique principale d’un transistor BJT en configuration émetteur commun est la famille de courbes $ I_C = f(V_{CE}) $ pour différentes valeurs de $ I_B $. Le courant de collecteur s’exprime approximativement par : $$ I_C = \beta I_B $$ où $ \beta $ (ou $ h_{FE} $) est le gain en courant continu, typiquement compris entre 20 et 500 selon le type de transistor. La tension $ V_{CE} $ doit rester supérieure à une valeur seuil (saturation) pour éviter la zone de saturation : - Zone d’activité linéaire : $ V_{CE} > V_{CEsat} \approx 0,2 \, \text{V} $ et $ I_B > 0 $ - Zone de saturation : $ V_{CE} \approx V_{CEsat} $, $ I_C < \beta I_B $ - Zone de coupure : $ I_B = 0 $, $ I_C \approx 0 $ ### Exemple résolu : Détermination du point de fonctionnement On considère un transistor NPN de type BC547 ($ \beta = 100 $) monté en configuration émetteur commun avec : - Alimentation $ V_{CC} = 12 \, \text{V} $ - Résistance de collecteur $ R_C = 2,2 \, \text{k}\Omega $ - Résistance de base $ R_B = 470 \, \text{k}\Omega $ - Tension de base émetteur $ V_{BE} = 0,7 \, \text{V} $ (seuil pour silicium) Déterminer le point de fonctionnement $ (I_{CQ}, V_{CEQ}) $. **Étape 1** : Boucle base-émetteur $$ V_{CC} = I_B R_B + V_{BE} \quad \Rightarrow \quad I_B = \frac{V_{CC} - V_{BE}}{R_B} $$ **Étape 2** : Calcul de $ I_B $ $$ I_B = \frac{12 - 0,7}{470 \times 10^3} = \frac{11,3}{470000} \approx 2,404 \times 10^{-5} \, \text{A} = 24,04 \, \mu\text{A} $$ **Étape 3** : Courant de collecteur (en activité linéaire) $$ I_C = \beta I_B = 100 \times 24,04 \times 10^{-6} = 2,404 \times 10^{-3} \, \text{A} = 2,404 \, \text{mA} $$ **Étape 4** : Boucle collecteur-émetteur $$ V_{CC} = I_C R_C + V_{CE} \quad \Rightarrow \quad V_{CE} = V_{CC} - I_C R_C $$ **Étape 5** : Calcul de $ V_{CE} $ $$ V_{CE} = 12 - (2,404 \times 10^{-3}) \times (2,2 \times 10^3) = 12 - 5,2888 = 6,7112 \, \text{V} \approx 6,71 \, \text{V} $$ **Vérification** : $ V_{CE} = 6,71 \, \text{V} > 0,2 \, \text{V} $ et $ I_B > 0 $ → transistor bien en zone d’activité linéaire. **Réponse** : Point de fonctionnement $ Q = (I_{CQ} = 2,40 \, \text{mA}, V_{CEQ} = 6,71 \, \text{V}) $. ### Exercice d’application corrigé Un transistor NPN ($ \beta = 120 $) est monté comme suit : - $ V_{CC} = 10 \, \text{V} $ - $ R_C = 1,8 \, \text{k}\Omega $ - $ R_B = 330 \, \text{k}\Omega $ - $ V_{BE} = 0,7 \, \text{V} $ 1. Calculer $ I_B $, puis $ I_C $. 2. Déterminer $ V_{CE} $. 3. Le transistor est-il en saturation ? Justifier en comparant $ I_C $ à $ \beta I_B $ et en vérifiant $ V_{CE} $. **Correction** : 1. $ I_B = \frac{V_{CC} - V_{BE}}{R_B} = \frac{10 - 0,7}{330 \times 10^3} = \frac{9,3}{330000} \approx 2,818 \times 10^{-5} \, \text{A} = 28,18 \, \mu\text{A} $ $ I_C = \beta I_B = 120 \times 28,18 \times 10^{-6} = 3,382 \times 10^{-3} \, \text{A} = 3,38 \, \text{mA} $ 2. $ V_{CE} = V_{CC} - I_C R_C = 10 - (3,382 \times 10^{-3}) \times (1,8 \times 10^3) = 10 - 6,0876 = 3,9124 \, \text{V} \approx 3,91 \, \text{V} $ 3. Vérification de la saturation : - Le courant de collecteur maximal en saturation serait approximativement $ I_{C(sat)} \approx \frac{V_{CC}}{R_C} = \frac{10}{1800} \approx 5,56 \, \text{mA} $ - Ici, $ I_C = 3,38 \, \text{mA} < I_{C(sat)} $, donc pas de saturation par courant. - De plus, $ V_{CE} = 3,91 \, \text{V} \gg 0,2 \, \text{V} $ → bien au-dessus du seuil de saturation. **Conclusion** : Le transistor est en zone d’activité linéaire, pas en saturation. --- ## Synthèse du chapitre - Le **point de fonctionnement** (ou Q-point) est le régime continu d’un composant électronique, déterminé par l’intersection de sa caractéristique tension-courant et de la contrainte du circuit (loi des mailles). - Pour un **résistor** (linéaire) : $ V = RI $, le point de fonctionnement se trouve facilement par substitution dans la loi d’Ohm. - Pour une **diode** (non linéaire) : on utilise souvent le modèle de seuil constant ($ V_D \approx 0,6 \, \text{V} $ pour le silicium) en conduction directe pour simplifier le calcul. - Pour un **transistor BJT** : le point de fonctionnement dépend du courant de base $ I_B $, du gain $ \beta $, et des résistances d’alimentation ; on le calcule en deux étapes : boucle base puis boucle collecteur. - La **zone d’activité linéaire** du transistor est celle où l’amplification est fidèle : $ V_{CE} > V_{CEsat} $ et $ I_B > 0 $. - La méthode graphique consiste à tracer la caractéristique du composant et la droite de charge du circuit ; leur intersection donne le point de fonctionnement. - La **droite de charge** résulte de l’application de la loi des mailles au circuit d’alimentation : elle représente toutes les combinaisons possibles de $ (I, V) $ compatibles avec la source et les résistances. - Le point de fonctionnement doit être choisi de manière à permettre une variation symétrique du signal autour de ce point pour éviter la distorsion (notion introduite pour les petits signaux). --- ## Glossaire - **Caractéristique tension-courant** : Courbe représentant la relation entre la tension aux bornes d’un composant et le courant qui le traverse. - **Point de fonctionnement (Q-point)** : Couple de valeurs $ (I, V) $ correspondant au régime continu d’un composant dans un circuit donné. - **Loi des mailles** : Principe selon lequel la somme algébrique des tensions autour d’une boucle fermée est nulle. - **Résistor linéaire** : Composant dont la caractéristique est une droite passant par l’origine, obéissant à la loi d’Ohm. - **Diode au silicium** : Composant semi-conducteur présentant un seuil de conduction d’environ $ 0,6 \, \text{V} $ en polarisation directe. - **Courant de saturation ($ I_S $)** : Très faible courant traversant une diode en polarisation inverse, dépendant de la température. - **Transistor bipolaire à jonction (BJT)** : Composant à trois bornes permettant l’amplification ou la commutation via le contrôle du courant de base. - **Gain en courant continu ($ \beta $)** : Rapport entre le courant de collecteur et le courant de base dans la zone d’activité linéaire. - **Zone d’activité linéaire** : Régime de fonctionnement du transistor où il amplifie fidèlement le signal ($ V_{CE} > 0,2 \, \text{V} $, $ I_B > 0 $). - **Zone de saturation** : Régime où le transistor est entièrement conducteur ($ V_{CE} \approx 0,2 \, \text{V} $, $ I_C $ indépendant de $ I_B $). - **Zone de coupure** : Régime où le transistor est bloqué ($ I_B = 0 $, $ I_C \approx 0 $). - **Droite de charge** : Représentation graphique de toutes les combinaisons $ (I, V) $ possibles dans un circuit d’alimentation donnée, obtenue par la loi des mailles.