Chap 4 : Puissance d'une force

# Chap 4 : Puissance d'une force ## Objectifs et prérequis **Objectifs** : À l’issue de ce chapitre, l’élève sera capable de : - Définir la puissance d’une force et d’un couple de forces. - Exprimer la puissance d’une force constante en fonction du travail et du temps, puis en fonction du scalaire produit de la force et de la vitesse du point d’application. - Exprimer la puissance d’un couple de force de moment constant en fonction du travail et du temps, puis en fonction du scalaire produit du moment du couple et de la vitesse angulaire. - Appliquer ces définitions à des situations physiques simples (mouvement rectiligne uniforme, rotation uniforme autour d’un axe fixe). - Résoudre des exercices d’application en utilisant les formules appropriées et en vérifiant l’homogénéité des grandeurs. **Prérequis** : - Notion de travail d’une force : $W = \vec{F} \cdot \vec{d}$ pour une force constante, ou $W = \int \vec{F} \cdot d\vec{r}$ en général. - Notion de travail d’un couple : $W = \tau \Delta\theta$ pour un moment constant, où $\tau$ est le module du moment du couple et $\Delta\theta$ l’angle de rotation. - Notion de vitesse : $\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt}$, et de vitesse angulaire : $\vec{\omega} = \frac{d\vec{\theta}}{dt}$ (pour une rotation autour d’un axe fixe, $\omega = \frac{d\theta}{dt}$ en module). - Notion de produit scalaire : $\vec{A} \cdot \vec{B} = AB\cos\theta$. - Unités du Système International : joule (J) pour le travail, watt (W) pour la puissance, newton (N) pour la force, mètre (m) pour la distance, seconde (s) pour le temps, newton·mètre (N·m) pour le moment, radian (rad) pour l’angle, radian/seconde (rad/s) pour la vitesse angulaire. --- ## I. Puissance d’une force constante ### Définition et expression générale > **La puissance instantanée d’une force $\vec{F}$ appliquée à un point matériel est définie comme le taux auquel cette force effectue du travail sur le point :** > $$ > P = \frac{dW}{dt} > $$ > où $W$ est le travail élémentaire effectué par la force sur un déplacement élémentaire $d\vec{r}$. Pour une force **constante** $\vec{F}$ agissant sur un point dont la vitesse est $\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt}$, le travail élémentaire est $dW = \vec{F} \cdot d\vec{r}$. En divisant par $dt$ : $$ P = \vec{F} \cdot \frac{d\vec{r}}{dt} = \vec{F} \cdot \vec{v} $$ Ainsi, la puissance instantanée d’une force constante est égale au produit scalaire de la force et de la vitesse du point d’application. ### Propriétés - La puissance est une grandeur scalaire (peut être positive, nulle ou négative). - $P > 0$ : la force effectue un travail positif (transfère de l’énergie au système). - $P = 0$ : la force est perpendiculaire à la vitesse ($\vec{F} \perp \vec{v}$) ou la vitesse est nulle. - $P < 0$ : la force effectue un travail négatif (le système effectue un travail contre la force). - L’unité de puissance est le watt (W) : $1\,\text{W} = 1\,\text{J/s} = 1\,\text{N·m/s}$. - Si la force et la vitesse sont constantes et alignées ($\vec{F} \parallel \vec{v}$), alors $P = Fv$. - Si la force est constante mais la vitesse varie, la puissance varie avec $\vec{v}$. ### Exemple résolu 1 : Puissance d’une force constante tirant un bloc sur un plan horizontal sans frottement Un bloc de masse $m = 5\,\text{kg}$ est tiré sur un plan horizontal lisse par une force constante $\vec{F} = 20\,\text{N}$ dirigée à $30^\circ$ par rapport à l’horizontale. À un instant donné, la vitesse du bloc est $\vec{v} = 4\,\text{m/s}$ dirigée horizontalement vers la droite. Calculer la puissance instantanée de la force $\vec{F}$ à cet instant. **Solution** : On utilise $P = \vec{F} \cdot \vec{v}$. Le vecteur force : $$ \vec{F} = (F\cos 30^\circ)\,\hat{i} + (F\sin 30^\circ)\,\hat{j} = (20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2})\,\hat{i} + (20 \cdot \frac{1}{2})\,\hat{j} = 10\sqrt{3}\,\hat{i} + 10\,\hat{j} \,\text{N} $$ Le vecteur vitesse : $$ \vec{v} = 4\,\hat{i} \,\text{m/s} $$ Produit scalaire : $$ \vec{F} \cdot \vec{v} = (10\sqrt{3})(4) + (10)(0) = 40\sqrt{3} \,\text{W} $$ Valeur numérique : $$ 40 \times 1.732 \approx 69.28 \,\text{W} $$ **Réponse** : $P \approx 69.3\,\text{W}$ > **À retenir** : Pour une force constante, la puissance instantanée se calcule par $P = \vec{F} \cdot \vec{v}$, où $\vec{v}$ est la vitesse du point d’application. ### Exemple résolu 2 : Puissance moyenne d’une force constante sur un déplacement rectiligne uniforme Un objet de masse $m = 2\,\text{kg}$ est soumis à une force constante $\vec{F} = 5\,\text{N}$ dans la direction du mouvement. Il part du repos et atteint une vitesse $v_f = 10\,\text{m/s}$ après un déplacement $d = 10\,\text{m}$. Calculer la puissance moyenne de la force sur cet intervalle. **Solution** : La puissance moyenne est définie comme : $$ \langle P \rangle = \frac{W}{\Delta t} $$ où $W$ est le travail total effectué et $\Delta t$ la durée du déplacement. Travail effectué par la force constante : $$ W = F d = 5 \times 10 = 50\,\text{J} $$ Pour trouver $\Delta t$, on utilise la cinétique du mouvement uniformément accéléré. Accélération : $a = \frac{F}{m} = \frac{5}{2} = 2.5\,\text{m/s}^2$ Équation du mouvement : $v_f^2 = v_i^2 + 2ad$ → $10^2 = 0 + 2 \cdot 2.5 \cdot d$ → $100 = 5d$ → $d = 20\,\text{m}$ Attention : contradiction avec les données ! On a dit $d = 10\,\text{m}$, mais avec $v_f=10\,\text{m/s}$ et $a=2.5\,\text{m/s}^2$, on obtient $d = \frac{v_f^2}{2a} = \frac{100}{5} = 20\,\text{m}$. Donc les données sont incohérentes. On corrige : supposons que la distance soit $d = 20\,\text{m}$ (comme calculé), ou qu’on veuille trouver la puissance moyenne sur la distance réellement parcourue pour atteindre $v_f=10\,\text{m/s}$. Reprenons avec des données cohérentes : Soit $F = 5\,\text{N}$, $m = 2\,\text{kg}$, $v_i = 0$, $v_f = 10\,\text{m/s}$. Alors : $a = F/m = 2.5\,\text{m/s}^2$ $v_f^2 = v_i^2 + 2ad$ → $100 = 0 + 2 \cdot 2.5 \cdot d$ → $d = 20\,\text{m}$ Temps : $v_f = v_i + at$ → $10 = 0 + 2.5 t$ → $t = 4\,\text{s}$ Travail : $W = F d = 5 \times 20 = 100\,\text{J}$ Puissance moyenne : $$ \langle P \rangle = \frac{W}{t} = \frac{100}{4} = 25\,\text{W} $$ Vérification : puissance instantanée initiale : $P_i = F v_i = 0$ puissance instantanée finale : $P_f = F v_f = 5 \times 10 = 50\,\text{W}$ Comme la force est constante et l’accélération uniforme, la vitesse varie linéairement, donc la puissance varie linéairement de 0 à 50 W. La moyenne arithmétique est $(0+50)/2 = 25\,\text{W}$, cohérent. **Réponse** : $\langle P \rangle = 25\,\text{W}$ > **À retenir** : Pour une force constante et un mouvement uniformément accéléré partir du repos, la puissance moyenne vaut $\langle P \rangle = \frac{1}{2} F v_f$, où $v_f$ est la vitesse finale. ### Exercices d’application corrigés **Exercice 1** : Une voiture de masse $1200\,\text{kg}$ subit une force de traction constante de $4000\,\text{N}$ dirigée horizontalement. À un instant, sa vitesse est $20\,\text{m/s}$. Calculer la puissance instantanée de la force de traction. **Solution** : Comme la force est horizontale et la vitesse aussi (on suppose mouvement rectiligne horizontal), $\vec{F} \parallel \vec{v}$, donc : $$ P = F v = 4000 \times 20 = 80\,000\,\text{W} = 80\,\text{kW} $$ **Réponse** : $80\,\text{kW}$ **Exercice 2** : Un bloc est tiré vers le haut d’un plan incliné sans frottement par une force constante $\vec{F} = 50\,\text{N}$ parallèle au plan. L’angle du plan est $30^\circ$. À un instant, la vitesse du bloc le long du plan est $3\,\text{m/s}$ vers le haut. Calculer la puissance de la force $\vec{F}$. **Solution** : Le vecteur force est parallèle au plan, donc parallèle à la vitesse (qui est aussi le long du plan, vers le haut). $$ P = F v = 50 \times 3 = 150\,\text{W} $$ **Réponse** : $150\,\text{W}$ **Exercice 3** : Une force constante de $10\,\text{N}$ agit sur un objet se déplaçant selon une trajectoire circulaire de rayon $2\,\text{m}$ à vitesse constante $4\,\text{m/s}$. La force est toujours dirigée selon le rayon vers le centre. Quelle est la puissance de cette force ? **Solution** : Dans un mouvement circulaire uniforme, la vitesse est tangentielle, la force centripète est radiale. Donc $\vec{F} \perp \vec{v}$ en tout point. $$ P = \vec{F} \cdot \vec{v} = F v \cos 90^\circ = 0 $$ **Réponse** : $0\,\text{W}$ > **À retenir** : Une force centripète dans un mouvement circulaire uniforme ne travaille pas, donc sa puissance est nulle. --- ## II. Puissance d’un couple de force de moment constant ### Définition et expression générale > **La puissance instantanée d’un couple de forces de moment $\vec{\tau}$ agissant sur un corps rigide tournant autour d’un axe fixe est définie comme le taux auquel ce couple effectue du travail :** > $$ > P = \frac{dW}{dt} > $$ > où $dW$ est le travail élémentaire effectué par le couple sur une rotation élémentaire $d\vec{\theta}$. Pour un couple de moment **constant** $\vec{\tau}$ (en module et direction) agissant sur un corps tournant avec vitesse angulaire $\vec{\omega} = \frac{d\vec{\theta}}{dt}$ autour d’un axe fixe, le travail élémentaire est $dW = \vec{\tau} \cdot d\vec{\theta}$. En divisant par $dt$ : $$ P = \vec{\tau} \cdot \frac{d\vec{\theta}}{dt} = \vec{\tau} \cdot \vec{\omega} $$ Ainsi, la puissance instantanée d’un couple de moment constant est égale au produit scalaire du moment du couple et de la vitesse angulaire du corps. ### Propriétés - La puissance est une grandeur scalaire. - $P > 0$ : le couple effectue un travail positif (augmente l’énergie cinétique de rotation). - $P = 0$ : le moment du couple est perpendiculaire à la vitesse angulaire (dans le cas d’un axe fixe, cela signifie que le moment est nul ou que l’axe de rotation du couple est perpendiculaire à l’axe de rotation du corps — mais pour un axe fixe, on considère généralement que $\vec{\tau}$ et $\vec{\omega}$ sont colinéaires le long de l’axe). - Dans le cas d’une rotation autour d’un axe fixe, on choisit l’axe comme direction commune : si $\vec{\tau}$ et $\vec{\omega}$ sont alignés le long de l’axe, alors $P = \tau \omega$ (avec signe selon la direction). - Si $\vec{\tau}$ et $\vec{\omega}$ sont opposés, $P = -\tau \omega$. - L’unité est toujours le watt (W) : $1\,\text{W} = 1\,\text{N·m·rad/s}$. Puisque le radian est sans dimension, on a bien $1\,\text{W} = 1\,\text{J/s}$. - Si le moment du couple et la vitesse angulaire sont constants et alignés, $P = \tau \omega$ (en valeur absolue, avec signe selon le sens). ### Exemple résolu 1 : Puissance d’un couple constant faisant tourner une roue Une roue libre de tourner autour d’un axe fixe horizontal est soumise à un couple constant de moment $\tau = 15\,\text{N·m}$ dans le sens antihoraire. À un instant donné, sa vitesse angulaire est $\omega = 8\,\text{rad/s}$ dans le même sens. Calculer la puissance instantanée du couple. **Solution** : Comme le couple et la vitesse angulaire sont dans le même sens (on prend le sens antihoraire comme positif), on a : $$ P = \tau \omega = 15 \times 8 = 120\,\text{W} $$ **Réponse** : $120\,\text{W}$ > **À retenir** : Pour un couple de moment constant et une rotation autour d’un axe fixe, la puissance instantanée se calcule par $P = \tau \omega$, où $\tau$ et $\omega$ sont pris avec leur signe selon le sens de rotation choisi comme positif. ### Exemple résolu 2 : Puissance moyenne d’un couple constant accélérant un disque Un disque uniforme de moment d’inertie $I = 0.5\,\text{kg·m}^2$ autour de son axe central est soumis à un couple constant $\tau = 4\,\text{N·m}$. Il part du repos et atteint une vitesse angulaire $\omega_f = 10\,\text{rad/s}$. Calculer la puissance moyenne du couple sur cet intervalle. **Solution** : La puissance moyenne est : $$ \langle P \rangle = \frac{W}{\Delta t} $$ où $W$ est le travail total effectué par le couple et $\Delta t$ la durée. Travail effectué par un couple constant : $$ W = \tau \Delta\theta $$ On doit trouver $\Delta\theta$, l’angle total tourné. On utilise l’équation du mouvement rotationnel uniformément accéléré : $$ \omega_f^2 = \omega_i^2 + 2 \alpha \Delta\theta $$ avec $\omega_i = 0$, $\alpha = \frac{\tau}{I}$ (équation dynamique de la rotation pour un axe fixe). $$ \alpha = \frac{4}{0.5} = 8\,\text{rad/s}^2 $$ Alors : $$ (10)^2 = 0 + 2 \cdot 8 \cdot \Delta\theta \rightarrow 100 = 16 \Delta\theta \rightarrow \Delta\theta = \frac{100}{16} = 6.25\,\text{rad} $$ Travail : $$ W = \tau \Delta\theta = 4 \times 6.25 = 25\,\text{J} $$ Durée : on utilise $\omega_f = \omega_i + \alpha \Delta t$ $$ 10 = 0 + 8 \Delta t \rightarrow \Delta t = \frac{10}{8} = 1.25\,\text{s} $$ Puissance moyenne : $$ \langle P \rangle = \frac{W}{\Delta t} = \frac{25}{1.25} = 20\,\text{W} $$ Vérification : puissance instantanée initiale : $P_i = \tau \omega_i = 0$ puissance instantanée finale : $P_f = \tau \omega_f = 4 \times 10 = 40\,\text{W}$ Comme le couple est constant et l’accélération angulaire uniforme, $\omega$ varie linéairement de 0 à 40 rad/s, donc $P = \tau \omega$ varie linéairement de 0 à 40 W. La moyenne est $(0+40)/2 = 20\,\text{W}$, cohérent. **Réponse** : $\langle P \rangle = 20\,\text{W}$ > **À retenir** : Pour un couple constant et un mouvement rotationnel uniformément accéléré partir du repos, la puissance moyenne vaut $\langle P \rangle = \frac{1}{2} \tau \omega_f$, où $\omega_f$ est la vitesse angulaire finale. ### Exercices d’application corrigés **Exercice 1** : Un moteur fournit un couple constant de $25\,\text{N·m}$ à une poulie tournant à $120\,\text{tr/min}$. Calculer la puissance délivrée par le moteur. **Solution** : On doit convertir la vitesse angulaire en rad/s. $$ \omega = 120\,\text{tr/min} \times \frac{2\pi\,\text{rad}}{1\,\text{tr}} \times \frac{1\,\text{min}}{60\,\text{s}} = 120 \times \frac{2\pi}{60} = 4\pi\,\text{rad/s} \approx 12.566\,\text{rad/s} $$ Puis : $$ P = \tau \omega = 25 \times 4\pi = 100\pi\,\text{W} \approx 314.16\,\text{W} $$ **Réponse** : $100\pi\,\text{W}$ ou environ $314\,\text{W}$ **Exercice 2** : Une clé à molette exerce un couple constant de $15\,\text{N·m}$ sur un boulon. Si le boulon tourne à $5\,\text{rad/s}$ dans le sens du couple, quelle est la puissance développée ? **Solution** : $$ P = \tau \omega = 15 \times 5 = 75\,\text{W} $$ **Réponse** : $75\,\text{W}$ **Exercice 3** : Un volant d’inertie est soumis à un couple de freinage constant de $\tau = -10\,\text{N·m}$ (négatif car opposé au mouvement). À un instant, sa vitesse angulaire est $\omega = 20\,\text{rad/s}$ (positive dans le sens du mouvement initial). Quelle est la puissance du couple de freinage ? **Solution** : On prend le sens du mouvement initial comme positif. Alors $\tau = -10\,\text{N·m}$, $\omega = +20\,\text{rad/s}$. $$ P = \tau \omega = (-10) \times 20 = -200\,\text{W} $$ Le signe négatif indique que le couple effectue un travail négatif : il retire de l’énergie cinétique de rotation au système (freinage). **Réponse** : $-200\,\text{W}$ > **À retenir** : La puissance d’un couple peut être négative ; cela signifie que le couple dissipe de l’énergie (comme un frein), plutôt que d’en fournir. --- ## Synthèse du chapitre - La puissance instantanée d’une force $\vec{F}$ est $P = \vec{F} \cdot \vec{v}$, où $\vec{v}$ est la vitesse du point d’application. - Pour une force constante, si $\vec{F}$ et $\vec{v}$ sont alignés, $P = Fv$. - La puissance moyenne sur un intervalle est $\langle P \rangle = W / \Delta t$, où $W$ est le travail total et $\Delta t$ la durée. - Dans le cas d’un mouvement uniformément accéléré partir du repos sous une force constante, $\langle P \rangle = \frac{1}{2} F v_f$. - La puissance instantanée d’un couple de moment $\vec{\tau}$ est $P = \vec{\tau} \cdot \vec{\omega}$, où $\vec{\omega}$ est la vitesse angulaire. - Pour un couple constant et une rotation autour d’un axe fixe, si $\vec{\tau}$ et $\vec{\omega}$ sont alignés, $P = \tau \omega$. - La puissance moyenne d’un couple constant dans un mouvement rotationnel uniformément accéléré partir du repos est $\langle P \rangle = \frac{1}{2} \tau \omega_f$. - Une puissance négative indique un transfert d’énergie du système vers l’extérieur (travail négatif effectué par la force ou le couple). - L’unité de puissance est le watt (W), équivalente à un joule par seconde (J/s). - Dans le Système International, le radian est sans dimension, donc $1\,\text{W} = 1\,\text{N·m·rad/s} = 1\,\text{J/s}$. --- ## Glossaire - **Puissance instantanée** : Taux auquel une force ou un couple effectue du travail à un instant donné, définie comme $P = dW/dt$. - **Puissance moyenne** : Rapport du travail total effectué sur un intervalle de temps à la durée de cet intervalle : $\langle P \rangle = W / \Delta t$. - **Produit scalaire** : Opération entre deux vecteurs donnant un scalaire : $\vec{A} \cdot \vec{B} = AB\cos\theta$, où $\theta$ est l’angle entre les vecteurs. - **Vitesse** : Taux de variation du vecteur position : $\vec{v} = d\vec{r}/dt$. - **Vitesse angulaire** : Taux de variation de l’angle de rotation : $\vec{\omega} = d\vec{\theta}/dt$ (pour une rotation autour d’un axe fixe, $\omega = d\theta/dt$ en module). - **Travail d’une force** : Pour une force constante, $W = \vec{F} \cdot \vec{d}$ ; en général, $W = \int \vec{F} \cdot d\vec{r}$. - **Travail d’un couple** : Pour un moment constant, $W = \tau \Delta\theta$ ; en général, $W = \int \vec{\tau} \cdot d\vec{\theta}$. - **Moment d’un couple** : Grandeur vectorielle mesurant l’effet de rotation d’un couple de forces ; pour un couple dans un plan perpendiculaire à l’axe, $\tau = F d$, où $F$ est la module d’une force et $d$ le bras de levier. - **Mouvement uniformément accéléré** : Mouvement où l’accélération est constante ; pour la translation : $\vec{a} = cte$ ; pour la rotation : $\vec{\alpha} = cte$. - **Freinage** : Phénomène où un couple ou une force agit opposé au mouvement, entraînant une puissance négative et une diminution de l’énergie cinétique. - **Axe fixe** : Ligne autour de laquelle un corps rigide peut tourner sans translation ; la rotation est décrite par un seul angle $\theta$ et une vitesse angulaire $\omega$ le long de cet axe. - **Bras de levier** : Distance perpendiculaire entre l’axe de rotation et la ligne d’action d’une force, utilisée pour calculer le moment : $d = r \sin\theta$. --- *Fin du cours de référence pour le chapitre « Puissance d’une force » — Physique, Première, système éducatif camerounais francophone.*