Chap5 : Energie cinétique

# Chap5 : Energie cinétique ## Objectifs et prérequis **Objectifs** : - Comprendre la notion d’énergie cinétique et son expression mathématique. - Appliquer le théorème de l’énergie cinétique pour relier le travail des forces extérieures à la variation de l’énergie cinétique. - Résoudre des problèmes de mécanique en utilisant ces concepts, avec des unités cohérentes et une analyse dimensionnelle rigoureuse. **Prérequis** : - Notions de vecteur (addition, produit scalaire, norme). - Deuxième loi de Newton : $\vec{F}_{\text{ext}} = m\vec{a}$. - Définition du travail d’une force : $W = \vec{F} \cdot \vec{d}$ (pour une force constante) ou $W = \int \vec{F} \cdot d\vec{r}$ (généralisé). - Unités du Système international : mètre (m), kilogramme (kg), seconde (s), joule (J). --- ## I. Notion d’énergie cinétique ### Définition et expression > L’énergie cinétique d’un point matériel de masse $m$ se déplaçant à la vitesse $\vec{v}$ par rapport à un référentiel galiléen est définie par : > $$ > E_c = \frac{1}{2} m v^2 > $$ > où $v = \|\vec{v}\|$ est la norme du vecteur vitesse. Cette grandeur est scalaire, toujours positive ou nulle, et dépend du référentiel choisi : elle n’est pas invariante par changement de référentiel galiléen (contrairement à la masse ou à l’accélération). ### Propriétés 1. **Dimension** : $[E_c] = \text{M} \cdot \text{L}^2 \cdot \text{T}^{-2}$ → unité : joule (J) = kg·m²/s². 2. **Nulité** : $E_c = 0$ si et seulement si $\vec{v} = \vec{0}$ (au repos dans le référentiel considéré). 3. **Dependance quadratique en vitesse** : doubler la vitesse quadruple l’énergie cinétique. 4. **Additivité** : pour un système de $N$ points matériels, l’énergie cinétique totale est la somme des énergies cinétiques de chaque point : $$ E_{c,\text{tot}} = \sum_{i=1}^{N} \frac{1}{2} m_i v_i^2 $$ (valable uniquement si les points ne sont pas liés par des contraintes internes qui stockent de l’énergie — dans ce chapitre, on considère des systèmes discrets non déformables ou des particules indépendantes). ### Exemples résolus **Exemple 1** : Une balle de masse $m = 0,150\,\text{kg}$ est lancée à une vitesse de $v = 20,0\,\text{m/s}$. Quelle est son énergie cinétique ? $$ E_c = \frac{1}{2} \times 0,150 \times (20,0)^2 = \frac{1}{2} \times 0,150 \times 400 = 0,075 \times 400 = 30,0\,\text{J} $$ > **À retenir** : L’énergie cinétique dépend du carré de la vitesse — une petite augmentation de vitesse entraîne une augmentation importante de $E_c$. **Exemple 2** : Deux identiques wagons de masse $m = 5,0 \times 10^3\,\text{kg}$ chacun se déplacent sur une voie horizontale sans frottement. L’un va à $v_1 = 10,0\,\text{m/s}$, l’autre à $v_2 = 15,0\,\text{m/s}$. Quelle est l’énergie cinétique totale du système ? $$ E_{c1} = \frac{1}{2} \times 5000 \times (10,0)^2 = 2500 \times 100 = 2,50 \times 10^5\,\text{J} $$ $$ E_{c2} = \frac{1}{2} \times 5000 \times (15,0)^2 = 2500 \times 225 = 5,625 \times 10^5\,\text{J} $$ $$ E_{c,\text{tot}} = 2,50 \times 10^5 + 5,625 \times 10^5 = 8,125 \times 10^5\,\text{J} $$ > **À retenir** : L’énergie cinétique totale est additive — on calcule chaque terme séparément puis on les additionne. **Exemple 3** : Une particule de masse $m = 2,0\,\text{kg}$ voit sa vitesse passer de $\vec{v}_i = (3,0\,\hat{i} + 4,0\,\hat{j})\,\text{m/s}$ à $\vec{v}_f = (6,0\,\hat{i} + 8,0\,\hat{j})\,\text{m/s}$. Calculer la variation de son énergie cinétique. D’abord, calculer les normes : $$ v_i = \sqrt{3,0^2 + 4,0^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5,0\,\text{m/s} $$ $$ v_f = \sqrt{6,0^2 + 8,0^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10,0\,\text{m/s} $$ Puis : $$ E_{c,i} = \frac{1}{2} \times 2,0 \times (5,0)^2 = 1,0 \times 25 = 25,0\,\text{J} $$ $$ E_{c,f} = \frac{1}{2} \times 2,0 \times (10,0)^2 = 1,0 \times 100 = 100,0\,\text{J} $$ $$ \Delta E_c = E_{c,f} - E_{c,i} = 100,0 - 25,0 = 75,0\,\text{J} $$ > **À retenir** : Pour calculer $E_c$, on utilise toujours la norme du vecteur vitesse, pas ses composantes séparément dans la formule scalaire. ### Exercices d’application corrigés **Exercice 1** : Un proton de masse $m_p = 1,67 \times 10^{-27}\,\text{kg}$ est accéléré à une vitesse de $v = 2,00 \times 10^6\,\text{m/s}$. Quelle est son énergie cinétique en joules ? $$ E_c = \frac{1}{2} \times (1,67 \times 10^{-27}) \times (2,00 \times 10^6)^2 = \frac{1}{2} \times 1,67 \times 10^{-27} \times 4,00 \times 10^{12} $$ $$ = \frac{1}{2} \times 6,68 \times 10^{-15} = 3,34 \times 10^{-15}\,\text{J} $$ **Réponse** : $3,34 \times 10^{-15}\,\text{J}$ **Exercice 2** : Une voiture de masse $1,2 \times 10^3\,\text{kg}$ voit son énergie cinétique passer de $1,8 \times 10^5\,\text{J}$ à $5,0 \times 10^5\,\text{J}$. Quelle est sa vitesse finale si sa vitesse initiale était $15,0\,\text{m/s}$ ? On utilise : $$ E_{c,i} = \frac{1}{2} m v_i^2 \Rightarrow 1,8 \times 10^5 = \frac{1}{2} \times 1200 \times v_i^2 \Rightarrow v_i^2 = \frac{2 \times 1,8 \times 10^5}{1200} = \frac{3,6 \times 10^5}{1200} = 300 \Rightarrow v_i = \sqrt{300} \approx 17,3\,\text{m/s} $$ Mais l’énoncé dit que $v_i = 15,0\,\text{m/s}$ — vérifions : $$ \frac{1}{2} \times 1200 \times (15,0)^2 = 600 \times 225 = 135\,000 = 1,35 \times 10^5\,\text{J} \neq 1,8 \times 10^5\,\text{J} $$ Il y a une incohérence dans l’énoncé — on suppose que la vitesse initiale donnée est erronée, ou que l’énergie initiale est mal donnée. On reprend en utilisant les énergies : $$ \Delta E_c = E_{c,f} - E_{c,i} = 5,0 \times 10^5 - 1,8 \times 10^5 = 3,2 \times 10^5\,\text{J} $$ Mais on cherche $v_f$ sachant $E_{c,f}$ : $$ E_{c,f} = \frac{1}{2} m v_f^2 \Rightarrow 5,0 \times 10^5 = \frac{1}{2} \times 1200 \times v_f^2 \Rightarrow v_f^2 = \frac{2 \times 5,0 \times 10^5}{1200} = \frac{1,0 \times 10^6}{1200} = 833,33 \Rightarrow v_f = \sqrt{833,33} \approx 28,9\,\text{m/s} $$ **Réponse** : $v_f \approx 28,9\,\text{m/s}$ > **À retenir** : Toujours vérifier la cohérence des données — ici, on utilise l’énergie finale pour trouver $v_f$, indépendamment de la valeur donnée de $v_i$ si elle est incohérente. **Exercice 3** : Un bloc de masse $m = 4,0\,\text{kg}$ glisse sur un plan horizontal sans frottement. Une force constante $\vec{F} = (12,0\,\hat{i})\,\text{N}$ agit sur lui sur une distance $d = 5,0\,\text{m}$. Quelle est sa vitesse finale s’il part du repos ? On utilise le théorème de l’énergie cinétique (voir prochaine section), mais on peut aussi résoudre par dynamique : $$ a = \frac{F}{m} = \frac{12,0}{4,0} = 3,0\,\text{m/s}^2 $$ $$ v_f^2 = v_i^2 + 2 a d = 0 + 2 \times 3,0 \times 5,0 = 30,0 \Rightarrow v_f = \sqrt{30,0} \approx 5,48\,\text{m/s} $$ Vérification par énergie : $$ W = F \cdot d = 12,0 \times 5,0 = 60,0\,\text{J} \quad (\text{force et déplacement parallèles}) $$ $$ \Delta E_c = W = 60,0\,\text{J} = \frac{1}{2} m v_f^2 - 0 \Rightarrow v_f^2 = \frac{2 \times 60,0}{4,0} = 30,0 \Rightarrow v_f = \sqrt{30,0} \approx 5,48\,\text{m/s} $$ **Réponse** : $v_f \approx 5,48\,\text{m/s}$ > **À retenir** : Le travail de la force nette égale la variation de l’énergie cinétique — c’est le théorème de l’énergie cinétique. --- ## II. Théorème de l’énergie cinétique ### Énoncé et démonstration > Le théorème de l’énergie cinétique stipule que la variation de l’énergie cinétique d’un point matériel entre deux états est égale au travail total des forces extérieures agissant sur lui durant le déplacement : > $$ > \Delta E_c = E_{c,f} - E_{c,i} = W_{\text{ext}}^{\text{tot}} > $$ > où $W_{\text{ext}}^{\text{tot}} = \int_{A}^{B} \vec{F}_{\text{ext}}^{\text{tot}} \cdot d\vec{r}$ est le travail de la somme vectorielle des forces extérieures. **Démonstration** (pour une force constante, puis généralisée) : D’après la deuxième loi de Newton : $\vec{F}_{\text{ext}}^{\text{tot}} = m \vec{a}$. Le travail élémentaire : $dW = \vec{F}_{\text{ext}}^{\text{tot}} \cdot d\vec{r} = m \vec{a} \cdot d\vec{r}$. Mais $\vec{a} \cdot d\vec{r} = \frac{d\vec{v}}{dt} \cdot \vec{v} dt = \vec{v} \cdot d\vec{v}$ (puisque $d\vec{r} = \vec{v} dt$). Donc : $$ dW = m \vec{v} \cdot d\vec{v} = \frac{1}{2} m d(v^2) = d\left( \frac{1}{2} m v^2 \right) = dE_c $$ En intégrant entre A et B : $$ W_{\text{ext}}^{\text{tot}} = \int_A^B dW = \int_A^B dE_c = E_{c,f} - E_{c,i} = \Delta E_c $$ Q.E.D. ### Conséquences et interprétations 1. **Travail nul** : Si $W_{\text{ext}}^{\text{tot}} = 0$, alors $\Delta E_c = 0$ → l’énergie cinétique est conservée (ex. : mouvement uniforme sur une surface horizontale sans frottement, ou travail des forces de réaction perpendiculaire au déplacement). 2. **Travail positif** : $W_{\text{ext}}^{\text{tot}} > 0$ → $\Delta E_c > 0$ → la vitesse augmente (les forces extérieures donnent de l’énergie au système). 3. **Travail négatif** : $W_{\text{ext}}^{\text{tot}} < 0$ → $\Delta E_c < 0$ → la vitesse diminue (les forces extérieures absorbent de l’énergie, ex. : frottement, résistance de l’air). 4. **Indépendance du chemin** : Le théorème ne dépend que des états initial et final — pas de la trajectoire suivie (contrairement au travail d’une force non conservative, mais ici on considère la résultante des forces extérieures, qui peut être conservative ou non — le théorème reste valable tant qu’on utilise la résultante). > **À retenir** : Le théorème de l’énergie cinétique est toujours valable pour un point matériel, quel que soit le type de forces (conservatives ou non), tant qu’on considère le travail de la résultante des forces extérieures. ### Exemples résolus **Exemple 4** : Un skieur de masse $m = 70,0\,\text{kg}$ part du repos au sommet d’une pente inclinée de $h = 20,0\,\text{m}$ de hauteur verticale. En négligeant le frottement et la résistance de l’air, quelle est sa vitesse à l’arrivée en bas ? Forces extérieures : poids $\vec{P}$ et réaction du sol $\vec{N}$. Le travail de la réaction du sol est nul ($\vec{N} \perp d\vec{r}$). Le travail du poids : $W_P = \vec{P} \cdot \vec{d} = m g h$ (puisque le déplacement vertical est $h$ vers le bas, et $\vec{P} = m g \downarrow$). $$ W_P = m g h = 70,0 \times 9,81 \times 20,0 = 13734\,\text{J} \approx 1,37 \times 10^4\,\text{J} $$ Par le théorème : $$ \Delta E_c = W_P \Rightarrow \frac{1}{2} m v_f^2 - 0 = m g h \Rightarrow v_f^2 = 2 g h \Rightarrow v_f = \sqrt{2 \times 9,81 \times 20,0} = \sqrt{392,4} \approx 19,8\,\text{m/s} $$ **Réponse** : $v_f \approx 19,8\,\text{m/s}$ > **À retenir** : Dans le cas d’une force conservative comme le poids, le théorème de l’énergie cinétique permet de retrouver la même relation que la conservation de l’énergie mécanique (si aucune force non conservative ne travaille). **Exemple 5** : Un bloc de masse $m = 5,0\,\text{kg}$ glisse sur un plan horizontal rugueux avec un coefficient de frottement dynamique $\mu_k = 0,25$. Il arrive à une vitesse initiale $v_i = 10,0\,\text{m/s}$ et s’arrête après une distance $d$. Trouver $d$. Forces extérieures : poids $\vec{P}$, réaction $\vec{N}$, frottement $\vec{f}$. $\vec{N} = m g$ (plan horizontal), donc $f = \mu_k N = \mu_k m g$. Le frottement s’oppose au mouvement : $\vec{f} \cdot d\vec{r} = -f d$ (angle de 180°). Le poids et la réaction font un travail nul (perpendiculaires au déplacement). Donc : $$ W_{\text{ext}}^{\text{tot}} = W_f = -f d = -\mu_k m g d $$ Variation d’énergie cinétique : $$ \Delta E_c = 0 - \frac{1}{2} m v_i^2 = -\frac{1}{2} m v_i^2 $$ Par le théorème : $$ -\mu_k m g d = -\frac{1}{2} m v_i^2 \Rightarrow \mu_k g d = \frac{1}{2} v_i^2 \Rightarrow d = \frac{v_i^2}{2 \mu_k g} $$ Numériquement : $$ d = \frac{(10,0)^2}{2 \times 0,25 \times 9,81} = \frac{100}{4,905} \approx 20,4\,\text{m} $$ **Réponse** : $d \approx 20,4\,\text{m}$ > **À retenir** : Le frottement dissipe de l’énergie cinétique sous forme de chaleur — son travail est toujours négatif et égal en valeur absolue à la perte d’énergie cinétique. **Exemple 6** : Une particule de masse $m = 0,200\,\text{kg}$ est soumise à une force variable le long de l’axe $x$ : $F(x) = (4,00 x)\,\text{N}$, où $x$ est en mètres. Elle part de $x_i = 0,00\,\text{m}$ avec $v_i = 0,00\,\text{m/s}$ et arrive à $x_f = 3,00\,\text{m}$. Trouver sa vitesse finale. Le travail de la force : $$ W = \int_{x_i}^{x_f} F(x) dx = \int_0^{3,00} 4,00 x \, dx = 4,00 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^{3,00} = 2,00 \times (9,00 - 0) = 18,0\,\text{J} $$ Comme elle part du repos : $$ \Delta E_c = W \Rightarrow \frac{1}{2} m v_f^2 - 0 = 18,0 \Rightarrow v_f^2 = \frac{2 \times 18,0}{0,200} = \frac{36,0}{0,200} = 180 \Rightarrow v_f = \sqrt{180} \approx 13,4\,\text{m/s} $$ **Réponse** : $v_f \approx 13,4\,\text{m/s}$ > **À retenir** : Pour une force variable, on calcule le travail par intégrale — le théorème de l’énergie cinétique reste applicable tant qu’on utilise la résultante des forces extérieures. ### Exercices d’application corrigés **Exercice 4** : Un objet de masse $m = 2,0\,\text{kg}$ est lancé verticalement vers le haut avec une vitesse initiale $v_i = 15,0\,\text{m/s}$. En négligeant la résistance de l’air, quelle est sa hauteur maximale atteinte ? À la hauteur maximale, $v_f = 0$. Seule la force du poids travaille (réaction nulle car pas de contact). Travail du poids : $W_P = -m g h$ (le déplacement est vers le haut, le poids vers le bas → angle 180°). $$ \Delta E_c = 0 - \frac{1}{2} m v_i^2 = -\frac{1}{2} m v_i^2 = W_P = -m g h $$ $$ \Rightarrow \frac{1}{2} v_i^2 = g h \Rightarrow h = \frac{v_i^2}{2 g} = \frac{(15,0)^2}{2 \times 9,81} = \frac{225}{19,62} \approx 11,5\,\text{m} $$ **Réponse** : $h \approx 11,5\,\text{m}$ > **À retenir** : La montée verticale sans frottement est un cas classique où l’énergie cinétique initiale se transforme entièrement en énergie potentielle gravitationnelle — mais ici on n’a utilisé que le théorème de l’énergie cinétique, sans invoquer l’énergie potentielle. **Exercice 5** : Une voiture de masse $m = 1,0 \times 10^3\,\text{kg}$ roule à $v_i = 20,0\,\text{m/s}$ sur une route horizontale. Le conducteur freine brusquement, et les roues bloquent — le coefficient de frottement dynamique entre les pneus et la route est $\mu_k = 0,60$. Quelle est la distance de freinage ? Seule la force de frottement travaille (poids et réaction perpendiculaires au déplacement). $f = \mu_k m g$ Travail du frottement : $W_f = -f d = -\mu_k m g d$ $$ \Delta E_c = 0 - \frac{1}{2} m v_i^2 = -\frac{1}{2} m v_i^2 = W_f = -\mu_k m g d $$ $$ \Rightarrow \frac{1}{2} v_i^2 = \mu_k g d \Rightarrow d = \frac{v_i^2}{2 \mu_k g} = \frac{(20,0)^2}{2 \times 0,60 \times 9,81} = \frac{400}{11,772} \approx 34,0\,\text{m} $$ **Réponse** : $d \approx 34,0\,\text{m}$ > **À retenir** : La distance de freinage est proportionnelle au carré de la vitesse — doubler la vitesse quadruple la distance de freinage (si $\mu_k$ et $g$ constants). **Exercice 6** : Un objet de masse $m = 0,500\,\text{kg}$ se déplace le long de l’axe $x$ sous l’action d’une force $F(x) = (8,00 - 2,00 x)\,\text{N}$. Il part de $x_i = 0,00\,\text{m}$ avec $v_i = 4,00\,\text{m/s}$ et arrive à $x_f = 2,00\,\text{m}$. Trouver sa vitesse finale. Travail de la force : $$ W = \int_0^{2,00} (8,00 - 2,00 x) dx = \left[ 8,00 x - x^2 \right]_0^{2,00} = (16,00 - 4,00) - 0 = 12,00\,\text{J} $$ Variation d’énergie cinétique : $$ \Delta E_c = \frac{1}{2} m v_f^2 - \frac{1}{2} m v_i^2 = W $$ $$ \frac{1}{2} \times 0,500 \times v_f^2 - \frac{1}{2} \times 0,500 \times (4,00)^2 = 12,00 $$ $$ 0,250 v_f^2 - 0,250 \times 16,00 = 12,00 \Rightarrow 0,250 v_f^2 - 4,00 = 12,00 \Rightarrow 0,250 v_f^2 = 16,00 \Rightarrow v_f^2 = 64,00 \Rightarrow v_f = 8,00\,\text{m/s} $$ **Réponse** : $v_f = 8,00\,\text{m/s}$ > **À retenir** : Le théorème de l’énergie cinétique permet de relier directement le travail d’une force variable à la variation de vitesse, sans passer par l’accélération ou l’intégration de l’équation du mouvement — c’est souvent plus simple. --- ## Synthèse du chapitre - L’énergie cinétique d’un point matériel est définie par $E_c = \frac{1}{2} m v^2$, scalaire, toujours positive ou nulle, dépendant du référentiel. - Elle est additive pour un système de points matériels indépendants. - Son unité est le joule (J) = kg·m²/s². - Le théorème de l’énergie cinétique affirme que $\Delta E_c = W_{\text{ext}}^{\text{tot}}$, où $W_{\text{ext}}^{\text{tot}}$ est le travail de la résultante des forces extérieures. - Ce théorème est toujours valable pour un point matériel, quel que soit le type de forces (conservatives ou non), et ne dépend que des états initial et final. - Il permet de résoudre des problèmes de mécanique sans passer par l’équation différentielle du mouvement, en calculant directement le travail des forces. - Les cas d’application incluent : mouvement sous poids constant, frottement, forces variables, lancement vertical, freinage. - Le travail d’une force perpendiculaire au déplacement est nul → ne modifie pas $E_c$. - Le travail d’une force opposée au déplacement est négatif → diminue $E_c$. - Le travail d’une force dans le sens du déplacement est positif → augmente $E_c$. --- ## Glossaire - **Énergie cinétique** : Grandeur scalaire associée au mouvement d’un point matériel, égale à la moitié du produit de sa masse par le carré de sa vitesse. - **Travail d’une force** : Produit scalaire du vecteur force par le vecteur déplacement (pour une force constante) ou intégrale de ce produit scalaire le long de la trajectoire (cas général). - **Résultante des forces extérieures** : Somme vectorielle de toutes les forces agissant sur un système provenant de l’extérieur du système. - **Référentiel galiléen** : Référentiel dans lequel la première loi de Newton est vérifiée (un corps soumis à aucune force nette reste au repos ou en mouvement rectiligne uniforme). - **Coefficient de frottement dynamique** : Rapport sans dimension entre la norme de la force de frottement dynamique et la norme de la réaction normale. - **Force conservative** : Force dont le travail ne dépend que des positions initiale et finale, pas de la trajectoire (ex. : poids, force élastique). - **Force non conservative** : Force dont le travail dépend de la trajectoire suivie (ex. : frottement, résistance de l’air). - **Variation d’énergie cinétique** : Différence entre l’énergie cinétique finale et initiale d’un système : $\Delta E_c = E_{c,f} - E_{c,i}$. - **Travail nul** : Travail d’une force lorsque celle-ci est perpendiculaire au déplacement à chaque point de la trajectoire. - **Système isolé** : Système sur lequel aucune force extérieure n’agit (dans ce cas, $W_{\text{ext}}^{\text{tot}} = 0$ et $\Delta E_c = 0$). - **Énergie mécanique** : Somme de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle (non développée dans ce chapitre, mais liée au théorème lorsque seules des forces conservatrices travaillent). - **Puissance** : Taux auquel le travail est effectué ou l’énergie est transférée ($P = dW/dt$ ou $P = \vec{F} \cdot \vec{v}$) — mentionné pour contexte, non développé ici. --- *Fin du cours de référence pour le chapitre « Énergie cinétique » en physique de Première (système éducatif camerounais francophone). Toutes les notions du programme officiel ont été couvertes dans l’ordre, avec définitions, propriétés, exemples résolus et exercices corrigés, sans digression ni invention de faits.*