Mod2, Leçon 13 : Construction des images

# Mod2, Leçon 13 : Construction des images ## Objectifs et prérequis **Objectifs** : - Comprendre les conditions de Gauss pour la formation d’images nettes par un système optique centré. - Savoir construire graphiquement l’image d’un objet par un miroir sphérique ou une lentille mince en utilisant les rayons caractéristiques. - Déterminer la position, la nature (réelle ou virtuelle), l’orientation et le grossissement de l’image à partir des données du système optique. - Appliquer les formules de conjugaison et de grossissement transverse dans des exercices numériques. - Interpréter les schémas de construction d’image en lien avec les propriétés des systèmes optiques (convergents/divergents). **Prérequis** : - Notions de base en optique géométrique : lois de la réflexion et de la réfraction, indice de réfraction, foyer principal, foyer image, foyer objet, axe principal, centre optique. - Savoir tracer un rayon incident et déterminer sa direction après réflexion ou réfraction. - Connaître les définitions des grandeurs : distance objet \(p\), distance image \(p'\), foyer \(f\), grossissement transverse \(\gamma\). - Maîtrise du système de signes cartésien (distances mesurées depuis le sommet ou le centre optique, positif dans le sens de la propagation de la lumière). --- ## I. Conditions de Gauss Les conditions de Gauss définissent les hypothèses sous lesquelles un système optique centré (miroir sphérique ou lentille mince) produit des images nettes et stigmates (points objet donnant un seul point image) pour des objets situés près de l’axe principal et de petite taille. > **À retenir** : Les conditions de Gauss sont : > 1. **Petite ouverture** : les rayons considérés font un petit angle avec l’axe principal (paraxiaux). > 2. **Petite taille de l’objet** : l’objet est situé près de l’axe principal et ses dimensions sont faibles comparées aux distances objet et image. > 3. **Système optique centré et homogène** : les surfaces sont sphériques, centrées sur le même axe, et le milieu environnant est uniforme (souvent air). > 4. **Milieux isotropes** : la vitesse de la lumière dépend seulement de l’indice, pas de la direction. Sous ces conditions, les formules de conjugaison et de grossissement deviennent linéaires et valables pour tout objet situé près de l’axe. ### Propriétés découlant des conditions de Gauss - La relation entre les distances objet \(p\) et image \(p'\) et la longueur focale \(f\) est donnée par la formule de conjugaison : $$ \frac{1}{p} + \frac{1}{p'} = \frac{1}{f} $$ où les signes suivent la convention cartésienne : - \(p > 0\) si l’objet est réel (du côté où vient la lumière), - \(p' > 0\) si l’image est réelle (du côté opposé à l’objet par rapport au système), - \(f > 0\) pour un système convergents (lentille convergente, miroir concave), - \(f < 0\) pour un système divergents (lentille divergente, miroir convexe). - Le grossissement transverse \(\gamma\) est défini comme : $$ \gamma = \frac{y'}{y} = -\frac{p'}{p} $$ où \(y\) et \(y'\) sont les hauteurs de l’objet et de l’image (positives si érigées par rapport à l’axe). Le signe moins indique que si \(p'\) et \(p\) ont le même signe, l’image est renversée. - La nature de l’image dépend du signe de \(p'\) : - \(p' > 0\) : image réelle (peut être projetée sur un écran), - \(p' < 0\) : image virtuelle (ne peut pas être projetée, vue seulement par l’œil ou un instrument). ### Exemple résolu 1 : Lentille mince convergente Une lentille mince convergente de foyer \(f = +10\,\text{cm}\) est éclairée par un objet réel placé à \(p = +30\,\text{cm}\) de son centre optique. Déterminer la position, la nature et le grossissement de l’image. **Étape 1 : Formule de conjugaison** $$ \frac{1}{p} + \frac{1}{p'} = \frac{1}{f} \Rightarrow \frac{1}{30} + \frac{1}{p'} = \frac{1}{10} $$ $$ \frac{1}{p'} = \frac{1}{10} - \frac{1}{30} = \frac{3 - 1}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15} \Rightarrow p' = +15\,\text{cm} $$ **Étape 2 : Interprétation de \(p'\)** \(p' > 0\) → image réelle, située du côté opposé à l’objet par rapport à la lentille. **Étape 3 : Grossissement transverse** $$ \gamma = -\frac{p'}{p} = -\frac{15}{30} = -0,5 $$ Le négatif indique que l’image est renversée. La valeur \(0,5\) signifie qu’elle est deux fois plus petite que l’objet. **Étape 4 : Vérification** Objet au-delà de \(2f\) (\(p = 30 > 20\)) → image entre \(f\) et \(2f\) de l’autre côté, réelle, renversée, réduite. Cohérent. > **À retenir** : Pour une lentille convergente, si \(p > 2f\), l’image est réelle, renversée et réduite ; si \(f < p < 2f\), elle est réelle, renversée et agrandie ; si \(p < f\), elle est virtuelle, érigée et agrandie. ### Exercice d’application 1 : Corrigé Un miroir concave de rayon de courbure \(R = +20\,\text{cm}\) (donc \(f = R/2 = +10\,\text{cm}\)) forme l’image d’un objet placé à \(p = +25\,\text{cm}\). Trouver \(p'\), la nature de l’image et \(\gamma\). **Corrigé** : $$ \frac{1}{25} + \frac{1}{p'} = \frac{1}{10} \Rightarrow \frac{1}{p'} = \frac{1}{10} - \frac{1}{25} = \frac{5 - 2}{50} = \frac{3}{50} \Rightarrow p' = \frac{50}{3} \approx +16,67\,\text{cm} $$ \(p' > 0\) → image réelle. $$ \gamma = -\frac{p'}{p} = -\frac{50/3}{25} = -\frac{50}{75} = -\frac{2}{3} \approx -0,67 $$ Image réelle, renversée, réduite. --- ## II. Construction des images La construction graphique de l’image permet de déterminer sa position, sa taille et son orientation sans calcul, en tracant quelques rayons caractéristiques issus d’un point de l’objet. Elle repose sur les propriétés des foyers et du centre optique (pour les lentilles) ou du centre de courbure (pour les miroirs). ### Rayons caractéristiques pour une lentille mince Pour un objet placé devant une lentille mince, on utilise trois rayons types (un seul suffit parfois, mais trois permettent de vérifier) : 1. **Rayon parallèle à l’axe** : incident parallèle à l’axe principal, il passe par le foyer image \(F'\) après réfraction (pour une lentille convergente) ou semble venir du foyer objet \(F\) (pour divergente). 2. **Rayon passant par le foyer objet** : incident en passant par \(F\), il ressort parallèle à l’axe après réfraction. 3. **Rayon passant par le centre optique** : il traverse la lentille sans déviation appréciable ( sous les conditions de Gauss). > **À retenir** : Pour une lentille mince, le rayon passant par le centre optique n’est pas dévié. C’est un rayon clé pour la construction. ### Rayons caractéristiques pour un miroir sphérique Pour un miroir (concave ou convexe), on utilise : 1. **Rayon parallèle à l’axe** : après réflexion, il passe par le foyer \(F\) (miroir concave) ou semble venir du foyer \(F\) (miroir convexe). 2. **Rayon passant par le foyer** : incident en passant par \(F\), il est réfléchi parallèle à l’axe. 3. **Rayon passant par le centre de courbure \(C\)** : il frappe le miroir selon le rayon (normal à la surface) et est réfléchi sur lui-même. 4. **Rayon incident au sommet** : réfléchi avec un angle égal à l’angle d’incidence par rapport à la normale (qui est l’axe au sommet). > **À retenir** : Pour un miroir sphérique, le rayon passant par le centre de courbure est réfléchi sur lui-même. Ce rayon est toujours utile pour localiser l’image. ### Construction pas à pas : Lentille convergente, objet entre \(f\) et \(2f\) **Données** : Lentille convergente \(f = +10\,\text{cm}\), objet de hauteur \(y = +2\,\text{cm}\) placé à \(p = +15\,\text{cm}\) (donc entre \(f\) et \(2f\)). **Étape 1 : Tracer l’axe principal, la lentille (représentée par un trait vertical au centre optique \(O\)), marquer \(F\) et \(F'\) à \(10\,\text{cm}\) de chaque côté.** **Étape 2 : Placer l’objet** : une flèche verticale de hauteur \(2\,\text{cm}\) au sommet placée à \(15\,\text{cm}\) à gauche de \(O\) (côté objet). **Étape 3 : Tracer les rayons depuis le sommet de l’objet** : - **Rayon 1** : parti du sommet, parallèle à l’axe. Après la lentille, il passe par \(F'\) (à droite). - **Rayon 2** : parti du sommet, passant par \(F\) (à gauche). Après la lentille, il ressort parallèle à l’axe. - **Rayon 3** : parti du sommet, passant par \(O\). Il traverse sans déviation. **Étape 4 : Reporter l’intersection** : les trois rayons se coupent en un point à droite de la lentille. C’est le sommet de l’image. On abaisse alors une perpendiculaire à l’axe pour obtenir la taille de l’image. **Résultat graphique attendu** : - L’image se trouve à droite de \(O\), donc \(p' > 0\) → réelle. - Elle est située au-delà de \(2f\) (puisque l’objet est entre \(f\) et \(2f\)) → \(p' > 20\,\text{cm}\). - Elle est renversée (les rayons se croisent en dessous de l’axe si l’objet est au-dessus). - Elle est agrandie (puisque l’objet est proche de \(f\)). **Vérification par calcul** : $$ \frac{1}{15} + \frac{1}{p'} = \frac{1}{10} \Rightarrow \frac{1}{p'} = \frac{1}{10} - \frac{1}{15} = \frac{3 - 2}{30} = \frac{1}{30} \Rightarrow p' = +30\,\text{cm} $$ $$ \gamma = -\frac{p'}{p} = -\frac{30}{15} = -2 $$ Image réelle, renversée, agrandie deux fois. Cohérent avec la construction. ### Construction pas à pas : Miroir convexe, objet réel **Données** : Miroir convexe de rayon de courbure \(R = -30\,\text{cm}\) (donc \(f = R/2 = -15\,\text{cm}\)), objet placé à \(p = +20\,\text{cm}\) devant le miroir. **Étape 1 : Tracer l’axe principal, le miroir (représenté par un arc convexe vers la gauche, sommet \(O\)), marquer \(F\) et \(C\) derrière le miroir (puisque \(f < 0\), \(R < 0\)) à \(15\,\text{cm}\) et \(30\,\text{cm}\) derrière \(O\). **Étape 2 : Placer l’objet** : flèche de hauteur \(y = +3\,\text{cm}\) placée à \(20\,\text{cm}\) à gauche de \(O\). **Étape 3 : Tracer les rayons depuis le sommet de l’objet** : - **Rayon 1** : parti du sommet, parallèle à l’axe. Après réflexion, il semble venir du foyer \(F\) (derrière le miroir). On prolonge le rayon réfléchi en arrière pour qu’il passe par \(F\). - **Rayon 2** : parti du sommet, dirigé vers \(F\) (derrière le miroir). Comme il va vers un point derrière le miroir, il frappe le miroir et est réfléchi parallèle à l’axe. On trace donc un rayon incident allant vers \(F\) (en arrière), puis après réflexion, parallèle à l’axe vers la gauche. - **Rayon 3** : parti du sommet, dirigé vers le centre de courbure \(C\) (derrière le miroir). Il frappe le miroir selon le rayon (puisque \(C\) est sur la normale) et est réfléchi sur lui-même. On trace donc un rayon incident allant vers \(C\) (en arrière), puis après réflexion, il revient sur le même chemin vers l’objet. **Étape 4 : Reporter l’intersection en arrière** : les rayons réfléchis (ou leurs prolongements en arrière) semblent provenir d’un point derrière le miroir. C’est le sommet de l’image virtuelle. On abaisse une perpendiculaire à l’axe pour obtenir la taille. **Résultat graphique attendu** : - L’image se trouve derrière le miroir → \(p' < 0\) → virtuelle. - Elle est érigée (puisque les prolongements se croisent du même côté de l’axe que l’objet). - Elle est réduite (puisque le miroir convexe diminue toujours). **Vérification par calcul** : $$ \frac{1}{20} + \frac{1}{p'} = \frac{1}{-15} \Rightarrow \frac{1}{p'} = -\frac{1}{15} - \frac{1}{20} = -\frac{4}{60} - \frac{3}{60} = -\frac{7}{60} \Rightarrow p' = -\frac{60}{7} \approx -8,57\,\text{cm} $$ $$ \gamma = -\frac{p'}{p} = -\frac{-60/7}{20} = \frac{60}{140} = \frac{3}{7} \approx +0,43 $$ Le positif indique image érigée. Valeur \(< 1\) → réduite. Cohérent. > **À retenir** : Dans la construction graphique, on prolonge toujours les rayons réfléchis ou réfractés en arrière (en pointillés) lorsqu’ils divergent pour localiser une image virtuelle. ### Tableau comparatif : Lentille convergente vs miroir concave (objet réel) | Position de l’objet \(p\) | Lentille convergente (\(f>0\)) | Miroir concave (\(f>0\)) | |---------------------------|-------------------------------|--------------------------| | \(p > 2f\) | Image réelle, renversée, réduite (\(p'\) entre \(f\) et \(2f\)) | Image réelle, renversée, réduite (\(p'\) entre \(f\) et \(2f\)) | | \(p = 2f\) | Image réelle, renversée, même taille (\(p' = 2f\)) | Image réelle, renversée, même taille (\(p' = 2f\)) | | \(f < p < 2f\) | Image réelle, renversée, agrandie (\(p' > 2f\)) | Image réelle, renversée, agrandie (\(p' > 2f\)) | | \(p = f\) | Image à l’infini (rayons parallèles après réfraction) | Image à l’infini (rayons parallèles après réflexion) | | \(p < f\) | Image virtuelle, érigée, agrandie (\(p' < 0\)) | Image virtuelle, érigée, agrandie (\(p' < 0\)) | > **À retenir** : Les comportements des lentilles convergentes et des miroirs concaves sont qualitativement identiques pour un objet réel placé devant eux. Les différences apparaissent dans la signification physique des côtés (transmission vs réflexion) et dans les cas d’objet virtuel. ### Exercice d’application 2 : Corrigé Un objet de hauteur \(4\,\text{cm}\) est placé à \(12\,\text{cm}\) devant une lentille mince divergente de foyer \(f = -8\,\text{cm}\). Construire l’image graphiquement et vérifier par le calcul. **Corrigé graphique (description)** : - Lentille divergente représentée par un trait vertical au centre optique \(O\). Foyers \(F\) et \(F'\) à \(8\,\text{cm}\) de chaque côté (mais \(f<0\) → \(F\) du côté objet, \(F'\) du côté image, tous deux virtuels). - Objet : flèche de \(4\,\text{cm}\) hauteur, placée à \(12\,\text{cm}\) à gauche de \(O\). - Rayon 1 : parti du sommet, parallèle à l’axe. Après la lentille, il semble venir de \(F'\) (côté image, donc on le prolonge en arrière vers la droite pour qu’il passe par \(F'\)). - Rayon 2 : parti du sommet, dirigé vers \(F\) (côté objet, à \(8\,\text{cm}\) à gauche). Comme il va vers un foyer du côté objet, il frappe la lentille et est dévié pour ressortir parallèle à l’axe (côté image). - Rayon 3 : parti du sommet, passant par \(O\). Il traverse sans déviation. - Les trois rayons émergents (ou leurs prolongements en arrière) semblent provenir d’un point du même côté que l’objet (gauche de la lentille) → image virtuelle. - L’image est érigée et réduite. **Corrigé calcul** : $$ \frac{1}{12} + \frac{1}{p'} = \frac{1}{-8} \Rightarrow \frac{1}{p'} = -\frac{1}{8} - \frac{1}{12} = -\frac{3}{24} - \frac{2}{24} = -\frac{5}{24} \Rightarrow p' = -\frac{24}{5} = -4,8\,\text{cm} $$ $$ \gamma = -\frac{p'}{p} = -\frac{-4,8}{12} = +0,4 $$ Image virtuelle (\(p'<0\)), érigée (\(\gamma>0\)), réduite (\(\vert\gamma\vert<1\)). Cohérent avec la construction. --- ## Synthèse du chapitre - Les conditions de Gauss (petite ouverture, petite taille d’objet, système centré, milieux homogènes) permettent d’utiliser les formules de conjugaison et de grossissement de façon linéaire et valable pour les objets proches de l’axe. - La formule de conjugaison \(\frac{1}{p} + \frac{1}{p'} = \frac{1}{f}\) et le grossissement transverse \(\gamma = -\frac{p'}{p}\) sont centrales pour déterminer la position, la nature et la taille de l’image. - Le signe des grandeurs suivant la convention cartésienne permet de déterminer : - \(p > 0\) : objet réel, - \(p' > 0\) : image réelle, - \(p' < 0\) : image virtuelle, - \(\gamma > 0\) : image érigée, - \(\gamma < 0\) : image renversée. - La construction graphique utilise des rayons caractéristiques : - Pour les lentilles : rayon parallèle → foyer image, rayon passant par foyer objet → parallèle, rayon passant par centre optique → non dévié. - Pour les miroirs : rayon parallèle → foyer, rayon passant par foyer → parallèle, rayon passant par centre de courbure → réfléchi sur lui-même. - Les systèmes convergents (lentille convergente, miroir concave) produisent des images réelles si l’objet est placé au-delà du foyer, et des images virtuelles si l’objet est entre le foyer et le système. - Les systèmes divergents (lentille divergente, miroir convexe) produisent toujours des images virtuelles, érigées et réduites pour un objet réel. - La construction graphique et le calcul numérique doivent conduire à des résultats cohérents : ils sont deux méthodes complémentaires pour analyser un système optique. --- ## Glossaire - **Axe principal** : ligne droite passant par les centres de courbure des surfaces d’un système optique centré, autour duquel le système est symétrique. - **Conditions de Gauss** : ensemble d’hypothèses (petite ouverture, petite taille d’objet, système centré) permettant l’usage des formules linéaires en optique géométrique. - **Distance objet (\(p\))** : distance algébrique entre l’objet et le sommet ou le centre optique du système, positive si l’objet est réel (du côté où vient la lumière). - **Distance image (\(p'\))** : distance algébrique entre l’image et le sommet ou le centre optique, positive si l’image est réelle (du côté opposé à l’objet par rapport au système). - **Foyer principal objet (\(F\))** : point situé sur l’axe principal tel que tout rayon incident parallèle à l’axe passe par ce point après réfraction (lentille) ou réflexion (miroir). - **Foyer principal image (\(F'\))** : point situé sur l’axe principal tel que tout rayon issu de ce point émerge parallèle à l’axe après traversée du système. - **Grossissement transverse (\(\gamma\))** : rapport de la hauteur de l’image à celle de l’objet, égal aussi à \(-\frac{p'}{p}\), signe indiquant l’orientation. - **Lentille mince** : système optique dont l’épaisseur est négligeable devant les rayons de courbure de ses surfaces, permettant de considérer une déviation unique au niveau du centre optique. - **Miroir sphérique** : surface réfléchissante appartenant à une sphère, classée en concave (creuse vers l’objet) ou convexe (bombée vers l’objet). - **Objet réel** : objet d’où émane effectivement de la lumière (ou qui est éclairé et réfléchit/transmet de la lumière vers le système). - **Image réelle** : image formée par l’intersection réelle des rayons lumineux, pouvant être projetée sur un écran. - **Image virtuelle** : image formée par l’intersection apparente (en prolongement arrière) des rayons lumineux, ne pouvant être projetée, vue seulement par l’œil ou un instrument. - **Centre optique (\(O\))** : point au centre d’une lentille mince où un rayon incident traverse sans déviation appréciable (sous conditions de Gauss). - **Centre de courbure (\(C\))** : centre de la sphère dont provient la surface d’un miroir sphérique. - **Rayon caractéristique** : rayon lumineux choisi pour sa trajectoire simple après interaction avec le système, utilisé dans la construction graphique de l’image.