Chap 19 : Point de fonctionnement d'un circuit électrique

# Chap 19 : Point de fonctionnement d'un circuit électrique ## Objectifs et prérequis **Objectifs** : À l’issue de ce chapitre, l’élève sera capable de : - Interpréter et exploiter graphiquement la caractéristique d’un résistor, d’une diode et d’un transistor bipolaire (BJT) en régime statique. - Déterminer le point de fonctionnement (ou point de repos) d’un circuit électrique contenant ces composants à partir de leur caractéristique et de la loi des mailles. - Appliquer la méthode graphique de superposition (charge ligne) pour résoudre des circuits non linéaires. - Calculer les tensions et courants aux bornes des composants en point de fonctionnement. - Justifier le choix d’un point de fonctionnement adapté selon les contraintes du circuit (amplification, commutation, etc.). **Prérequis** : - Lois d’Ohm et de Kirchhoff (mailles et nœuds). - Notion de dipôle passif et actif. - Représentation graphique d’une caractéristique électrique (I = f(U) ou U = f(I)). - Manipulation de formules algébriques de base et tracé de droites dans un repère. - Connaissance des symboles électroniques de base (résistor, diode, transistor). --- ## I. Exploitation de la caractéristique d’un résistor ### Définition et propriétés Un résistor est un dipôle passif linéaire obéissant à la loi d’Ohm : son courant est proportionnel à la tension à ses bornes. Sa caractéristique statique est une droite passant par l’origine, de pente égale à la conductance \( G = \frac{1}{R} \). > **À retenir** : La caractéristique d’un résistor de résistance \( R \) est donnée par : > $$ I = \frac{U}{R} $$ > où \( I \) est le courant traversant le résistor (en A), \( U \) la tension à ses bornes (en V), et \( R \) sa résistance (en Ω). Cette relation est valable pour tout résistor idéal, indépendamment de la sensibilité de la tension (œhmique linéaire). ### Exemple résolu : Point de fonctionnement d’un résistor dans un circuit simple Considérons un circuit constitué d’une pile de tension \( E = 12 \, \text{V} \), d’un résistor de \( R = 3 \, \text{k}\Omega \), et d’un résistor inconnu \( R_x \) en série. On souhaite trouver la valeur de \( R_x \) sachant que le courant dans le circuit est \( I = 2 \, \text{mA} \). **Étape 1** : Appliquer la loi d’Ohm au résistor connu : $$ U_R = I \cdot R = (2 \times 10^{-3}) \times (3 \times 10^3) = 6 \, \text{V} $$ **Étape 2** : Loi des mailles : $$ E = U_R + U_{R_x} \Rightarrow 12 = 6 + U_{R_x} \Rightarrow U_{R_x} = 6 \, \text{V} $$ **Étape 3** : Loi d’Ohm pour \( R_x \) : $$ R_x = \frac{U_{R_x}}{I} = \frac{6}{2 \times 10^{-3}} = 3000 \, \Omega = 3 \, \text{k}\Omega $$ **Réponse** : \( R_x = 3 \, \text{k}\Omega \) ### Exercices d’application corrigés **Exercice 1** : Un résistor de \( 4,7 \, \text{k}\Omega \) est traversé par un courant de \( 1,5 \, \text{mA} \). Quelle est la tension à ses bornes ? **Solution** : $$ U = I \cdot R = (1,5 \times 10^{-3}) \times (4,7 \times 10^3) = 7,05 \, \text{V} $$ > **À retenir** : Pour un résistor, \( U \) et \( I \) sont toujours de même signe (sens conventionnel). **Exercice 2** : On mesure aux bornes d’un résistor une tension de \( 9 \, \text{V} \) pour un courant de \( 3 \, \text{mA} \). En déduire sa résistance. **Solution** : $$ R = \frac{U}{I} = \frac{9}{3 \times 10^{-3}} = 3000 \, \Omega = 3 \, \text{k}\Omega $$ **Exercice 3** : Tracer la caractéristique d’un résistor de \( 2 \, \text{k}\Omega \) et déterminer graphiquement le courant qui le traverse lorsqu’il est soumis à une tension de \( 5 \, \text{V} \). **Solution** : La caractéristique est la droite \( I = \frac{U}{2000} \). Pour \( U = 5 \, \text{V} \), \( I = \frac{5}{2000} = 2,5 \, \text{mA} \). Sur le graphique, on reporte \( U = 5 \, \text{V} \) sur l’axe des abscisses, on monte jusqu’à la droite, puis on lit \( I = 2,5 \, \text{mA} \) sur l’axe des ordonnées. --- ## II. Exploitation de la caractéristique d’une diode ### Définition et propriétés Une diode est un dipôle actif non linéaire qui laisse passer le courant principalement dans un sens (de l’anode vers la cathode). Sa caractéristique statique présente une zone de blocage (inverse) où le courant est négligeable, suivie d’une zone de conduction où le courant augmente rapidement avec la tension. En première approximation, on modélise la diode en conduction par une tension de seuil \( U_{seuil} \) (environ \( 0,6 \, \text{V} \) pour une diode au silicium) et une résistance dynamique faible. > **À retenir** : Pour une diode au silicium en conduction : > $$ U_D \approx U_{seuil} + r_D \cdot I_D $$ > où \( U_{seuil} \approx 0,6 \, \text{V} \), \( r_D \) est la résistance dynamique (souvent négligée en première approche), \( I_D \) le courant à travers la diode (en A), et \( U_D \) la tension anode-cathode (en V). En régime statique et pour des courants faibles à modérés, on utilise souvent l’approximation : > **À retenir** : En conduction, \( U_D \approx 0,6 \, \text{V} \) (constante) pour une diode au silicium. ### Exemple résolu : Point de fonctionnement d’une diode dans un circuit avec résistance Un circuit comporte une pile de \( E = 5 \, \text{V} \), une résistance \( R = 1 \, \text{k}\Omega \), et une diode au silicium en série (anode reliée au + de la pile). Déterminer le courant \( I_D \) et la tension \( U_D \) aux bornes de la diode. **Étape 1** : Hypothèse de conduction : on suppose que la diode est en conduction, donc \( U_D \approx 0,6 \, \text{V} \). **Étape 2** : Loi des mailles : $$ E = U_R + U_D \Rightarrow 5 = U_R + 0,6 \Rightarrow U_R = 4,4 \, \text{V} $$ **Étape 3** : Loi d’Ohm dans la résistance : $$ I_D = \frac{U_R}{R} = \frac{4,4}{1000} = 4,4 \, \text{mA} $$ **Étape 4** : Vérification : le courant obtenu est positif et raisonnable → la diode est bien en conduction. L’hypothèse est validée. **Réponse** : \( I_D = 4,4 \, \text{mA} \), \( U_D = 0,6 \, \text{V} \) ### Exemple résolu : Cas de blocage Même circuit, mais la diode est montée en sens inverse (cathode au + de la pile). **Étape 1** : Hypothèse de blocage : on suppose qu’aucun courant ne traverse la diode (\( I_D = 0 \)). **Étape 2** : Loi des mailles : $$ E = U_R + U_D \Rightarrow 5 = 0 + U_D \Rightarrow U_D = 5 \, \text{V} $$ La tension aux bornes de la diode est de \( 5 \, \text{V} \) (cathode au potentiel le plus élevé), ce qui correspond à une polarisation inverse. **Étape 3** : Vérification : en polarisation inverse, le courant de fuite est négligeable (de l’ordre de \( \mu A \)), donc \( I_D \approx 0 \) est cohérent. **Réponse** : \( I_D \approx 0 \, \text{A} \), \( U_D = 5 \, \text{V} \) (cathode positive par rapport à l’anode) ### Exercices d’application corrigés **Exercice 1** : Un circuit comporte une pile de \( 9 \, \text{V} \), une résistance de \( 470 \, \Omega \), et une diode au silicium en série (sens conducteur). Calculer le courant dans le circuit. **Solution** : Hypothèse : \( U_D = 0,6 \, \text{V} \) $$ U_R = 9 - 0,6 = 8,4 \, \text{V} $$ $$ I = \frac{U_R}{R} = \frac{8,4}{470} \approx 17,9 \, \text{mA} $$ Vérification : courant positif → conduction validée. **Réponse** : \( I \approx 17,9 \, \text{mA} \) **Exercice 2** : On mesure aux bornes d’une diode une tension de \( 0,5 \, \text{V} \) lorsqu’elle est traversée par un courant de \( 1 \, \text{mA} \). Peut-on considérer qu’elle est en conduction ? **Solution** : Pour une diode au silicium, la tension de seuil est d’environ \( 0,6 \, \text{V} \). Ici, \( U_D = 0,5 \, \text{V} < 0,6 \, \text{V} \), donc la diode est soit en seuil, soit très faiblement conductrice. En première approximation, on considère qu’elle n’est pas encore en conduction pleine. **Réponse** : Non, elle n’est pas pleinement conductrice (elle est en régime de seuil). **Exercice 3** : Tracer la caractéristique approximative d’une diode au silicium (blocage pour \( U_D < 0,6 \, \text{V} \), conduction avec \( U_D = 0,6 \, \text{V} \) constante). Déterminer graphiquement le point de fonctionnement avec une charge ligne provenant d’une pile de \( 6 \, \text{V} \) et d’une résistance de \( 1 \, \text{k}\Omega \). **Solution** : La charge ligne est donnée par : \( U_D = E - I \cdot R = 6 - I \cdot 1000 \). En conduction, \( U_D = 0,6 \, \text{V} \), donc : $$ 0,6 = 6 - I \cdot 1000 \Rightarrow I = \frac{5,4}{1000} = 5,4 \, \text{mA} $$ Sur le graphique : on trace la caractéristique de la diode (horizontale à \( U_D = 0,6 \, \text{V} \) pour \( I > 0 \)) et la charge ligne (droite passant par \( (0,6) \) et \( (6,0) \)). Leur intersection donne \( I = 5,4 \, \text{mA} \), \( U_D = 0,6 \, \text{V} \). --- ## III. Exploitation de la caractéristique d’un transistor (BJT) ### Définition et propriétés Un transistor bipolaire à jonction (BJT) est un composant actif à trois broches : émetteur (E), base (B), collecteur (C). En régime statique, on considère souvent la configuration émetteur commun. Le transistor comporte deux jonctions PN : base-émetteur (BE) et base-collecteur (BC). Son fonctionnement dépend de la polarisation de ces jonctions. Les trois régimes principaux sont : - **Blocage** : les deux jonctions sont polarisées en inverse → \( I_C \approx 0 \) - **Active** : jonction BE en directe, BC en inverse → amplification du courant : \( I_C = \beta \cdot I_B \) - **Saturée** : les deux jonctions en directe → \( V_{CE} \) minimale (environ \( 0,2 \, \text{V} \)) > **À retenir** : Dans le régime actif, pour un transistor NPN : > $$ I_C = \beta \cdot I_B $$ > où \( \beta \) (ou \( h_{FE} \)) est le gain en courant (sans dimension, typiquement entre 20 et 500), \( I_B \) le courant de base (en A), et \( I_C \) le courant de collecteur (en A). La tension base-émetteur en conduction est approximativement constante : > **À retenir** : Pour une jonction base-émetteur d’un transistor au silicium en conduction : > $$ U_{BE} \approx 0,6 \, \text{V} $$ La tension collecteur-émetteur en saturation est faible : > **À retenir** : En saturation, \( U_{CE} \approx 0,2 \, \text{V} \) (pour un transistor au silicium). ### Exemple résolu : Point de fonctionnement d’un transistor en régime actif Considérons un transistor NPN en configuration émetteur commun. La base est alimentée par une résistance \( R_B = 100 \, \text{k}\Omega \) reliée à \( V_{BB} = 5 \, \text{V} \). Le collecteur est relié à \( V_{CC} = 10 \, \text{V} \) par une résistance \( R_C = 2 \, \text{k}\Omega \). L’émetteur est à la masse. On sait que \( \beta = 100 \). Déterminer \( I_B \), \( I_C \), et \( U_{CE} \). **Étape 1** : Tension base-émetteur : on suppose \( U_{BE} = 0,6 \, \text{V} \) (conduction de la jonction BE). **Étape 2** : Tension aux bornes de \( R_B \) : $$ U_{RB} = V_{BB} - U_{BE} = 5 - 0,6 = 4,4 \, \text{V} $$ **Étape 3** : Courant de base : $$ I_B = \frac{U_{RB}}{R_B} = \frac{4,4}{100 \times 10^3} = 44 \, \mu\text{A} $$ **Étape 4** : Courant de collecteur (régime actif) : $$ I_C = \beta \cdot I_B = 100 \times 44 \times 10^{-6} = 4,4 \, \text{mA} $$ **Étape 5** : Tension aux bornes de \( R_C \) : $$ U_{RC} = I_C \cdot R_C = (4,4 \times 10^{-3}) \times (2 \times 10^3) = 8,8 \, \text{V} $$ **Étape 6** : Tension collecteur-émetteur : $$ U_{CE} = V_{CC} - U_{RC} = 10 - 8,8 = 1,2 \, \text{V} $$ **Étape 7** : Vérification du régime : - \( U_{BE} = 0,6 \, \text{V} > 0 \) → jonction BE en directe - \( U_{CE} = 1,2 \, \text{V} > 0,2 \, \text{V} \) et \( U_{BC} = U_{CB} = - (U_{CE} - U_{BE}) = - (1,2 - 0,6) = -0,6 \, \text{V} < 0 \) → jonction BC en inverse → Le transistor est bien en régime actif. **Réponse** : \( I_B = 44 \, \mu\text{A} \), \( I_C = 4,4 \, \text{mA} \), \( U_{CE} = 1,2 \, \text{V} \) ### Exemple résolu : Point de fonctionnement en saturation Même circuit, mais on change \( R_C = 1 \, \text{k}\Omega \). **Étape 1 à 4** : identiques jusqu’à \( I_B = 44 \, \mu\text{A} \), \( I_C = \beta \cdot I_B = 4,4 \, \text{mA} \) (valeur théorique en actif). **Étape 5** : Tension sur \( R_C \) si actif : $$ U_{RC} = 4,4 \times 10^{-3} \times 1000 = 4,4 \, \text{V} $$ $$ U_{CE} = 10 - 4,4 = 5,6 \, \text{V} $$ Mais cette valeur est trop élevée pour conclure à la saturation. On teste l’hypothèse de saturation. **Étape 6** : Hypothèse de saturation : on suppose \( U_{CE} \approx 0,2 \, \text{V} \). **Étape 7** : Alors, tension sur \( R_C \) : $$ U_{RC} = V_{CC} - U_{CE} = 10 - 0,2 = 9,8 \, \text{V} $$ **Étape 8** : Courant de collecteur en saturation : $$ I_C = \frac{U_{RC}}{R_C} = \frac{9,8}{1000} = 9,8 \, \text{mA} $$ **Étape 9** : Courant de base nécessaire pour soutenir ce \( I_C \) en saturation : On utilise la condition de saturation : \( I_B > \frac{I_C}{\beta} \) $$ \frac{I_C}{\beta} = \frac{9,8 \times 10^{-3}}{100} = 98 \, \mu\text{A} $$ Mais notre \( I_B = 44 \, \mu\text{A} < 98 \, \mu\text{A} \) → le courant de base est insuffisant pour maintenir la saturation. **Étape 10** : Donc le transistor n’est pas en saturation. On revient au régime actif. Mais attendez : si \( I_B \) est fixe, alors \( I_C = \beta \cdot I_B = 4,4 \, \text{mA} \) est fixé, et on recalcule : $$ U_{RC} = 4,4 \times 10^{-3} \times 1000 = 4,4 \, \text{V} $$ $$ U_{CE} = 10 - 4,4 = 5,6 \, \text{V} $$ Vérification : \( U_{BE} = 0,6 \, \text{V} \), \( U_{BC} = U_{CB} = - (U_{CE} - U_{BE}) = - (5,6 - 0,6) = -5,0 \, \text{V} \) → BC en inverse → bien en régime actif. **Réponse** : \( I_B = 44 \, \mu\text{A} \), \( I_C = 4,4 \, \text{mA} \), \( U_{CE} = 5,6 \, \text{V} \) (régime actif) > **À retenir** : Pour qu’un transistor soit en saturation, il faut que : > $$ I_B > \frac{I_C}{\beta} $$ > où \( I_C \) est limité par la charge (ici, \( I_C^{max} = \frac{V_{CC}}{R_C} \) si \( U_{CE} \approx 0 \)). ### Exemple résolu : Cas de saturation effective Prenons maintenant \( R_B = 10 \, \text{k}\Omega \) (au lieu de 100 kΩ), mêmes autres paramètres : \( V_{BB} = 5 \, \text{V} \), \( V_{CC} = 10 \, \text{V} \), \( R_C = 1 \, \text{k}\Omega \), \( \beta = 100 \). **Étape 1** : \( U_{BE} = 0,6 \, \text{V} \) **Étape 2** : \( U_{RB} = 5 - 0,6 = 4,4 \, \text{V} \) **Étape 3** : \( I_B = \frac{4,4}{10 \times 10^3} = 0,44 \, \text{mA} = 440 \, \mu\text{A} \) **Étape 4** : \( I_C^{th} = \beta \cdot I_B = 100 \times 0,44 = 44 \, \text{mA} \) (courant théorique si actif) **Étape 5** : Courant de collecteur maximal possible (limité par la charge) : Si le transistor était saturé, \( U_{CE} \approx 0 \), alors : $$ I_C^{max} = \frac{V_{CC}}{R_C} = \frac{10}{1000} = 10 \, \text{mA} $$ Puisque \( I_C^{th} = 44 \, \text{mA} > I_C^{max} = 10 \, \text{mA} \), le transistor ne peut pas fournir plus de \( 10 \, \text{mA} \) → il est en saturation. **Étape 6** : En saturation, on prend \( U_{CE} \approx 0,2 \, \text{V} \) **Étape 7** : Alors : $$ U_{RC} = V_{CC} - U_{CE} = 10 - 0,2 = 9,8 \, \text{V} $$ $$ I_C = \frac{U_{RC}}{R_C} = \frac{9,8}{1000} = 9,8 \, \text{mA} $$ **Étape 8** : Vérification de la condition de saturation : $$ \frac{I_C}{\beta} = \frac{9,8 \times 10^{-3}}{100} = 98 \, \mu\text{A} $$ Notre \( I_B = 440 \, \mu\text{A} > 98 \, \mu\text{A} \) → condition satisfaite → bien en saturation. **Réponse** : \( I_B = 440 \, \mu\text{A} \), \( I_C = 9,8 \, \text{mA} \), \( U_{CE} = 0,2 \, \text{V} \) ### Exercices d’application corrigés **Exercice 1** : Un transistor NPN a \( \beta = 150 \). Si le courant de base est de \( 20 \, \mu\text{A} \), quel est le courant de collecteur en régime actif ? **Solution** : $$ I_C = \beta \cdot I_B = 150 \times 20 \times 10^{-6} = 3 \, \text{mA} $$ > **À retenir** : En régime actif, \( I_C \) est directement proportionnel à \( I_B \) via \( \beta \). **Réponse** : \( I_C = 3 \, \text{mA} \) **Exercice 2** : Dans un circuit, on mesure \( U_{BE} = 0,5 \, \text{V} \) et \( I_B = 10 \, \mu\text{A} \). Peut-on considérer que la jonction base-émetteur est conductrice ? **Solution** : Pour une jonction au silicium, la tension de seuil est d’environ \( 0,6 \, \text{V} \). Ici, \( U_{BE} = 0,5 \, \text{V} < 0,6 \, \text{V} \), donc la jonction est soit en seuil, soit très faiblement conductrice. En première approximation, on considère qu’elle n’est pas suffisamment polarisée pour être en conduction pleine. **Réponse** : Non, la jonction base-émetteur n’est pas pleinement conductrice. **Exercice 3** : Un transistor NPN est monté avec : \( V_{CC} = 12 \, \text{V} \), \( R_C = 2 \, \text{k}\Omega \), \( R_B = 40 \, \text{k}\Omega \), \( V_{BB} = 5 \, \text{V} \), \( \beta = 80 \). L’émetteur est à la masse. Déterminer le point de fonctionnement. **Solution** : Hypothèse : \( U_{BE} = 0,6 \, \text{V} \) $$ U_{RB} = 5 - 0,6 = 4,4 \, \text{V} $$ $$ I_B = \frac{4,4}{40 \times 10^3} = 0,11 \, \text{mA} = 110 \, \mu\text{A} $$ $$ I_C^{th} = \beta \cdot I_B = 80 \times 110 \times 10^{-6} = 8,8 \, \text{mA} $$ $$ I_C^{max} = \frac{V_{CC}}{R_C} = \frac{12}{2000} = 6 \, \text{mA} $$ Puisque \( I_C^{th} = 8,8 \, \text{mA} > I_C^{max} = 6 \, \text{mA} \), le transistor est en saturation. En saturation : \( U_{CE} \approx 0,2 \, \text{V} $$ $$ U_{RC} = 12 - 0,2 = 11,8 \, \text{V} $$ $$ I_C = \frac{11,8}{2000} = 5,9 \, \text{mA} $$ Vérification : \( \frac{I_C}{\beta} = \frac{5,9 \times 10^{-3}}{80} = 73,75 \, \mu\text{A} \), et \( I_B = 110 \, \mu\text{A} > 73,75 \, \mu\text{A} \) → saturation validée. **Réponse** : \( I_B = 110 \, \mu\text{A} \), \( I_C = 5,9 \, \text{mA} \), \( U_{CE} = 0,2 \, \text{V} \) --- ## Synthèse du chapitre - Le **point de fonctionnement** (ou point de repos) d’un dipôle dans un circuit est le couple \( (U, I) \) satisfaisant simultanément sa caractéristique statique et la loi des mailles du circuit. - Pour un **résistor** : caractéristique linéaire \( I = U/R \) ; exploitation directe par loi d’Ohm. - Pour une **diode** : caractéristique non linéaire avec seuil d’environ \( 0,6 \, \text{V} \) (silicium) ; en conduction, on approxime souvent \( U_D = 0,6 \, \text{V} \) ; en blocage, \( I_D \approx 0 \). - Pour un **transistor BJT** : trois régimes (blocage, actif, saturé) ; en régime actif : \( I_C = \beta I_B \) et \( U_{BE} \approx 0,6 \, \text{V} \) ; en saturation : \( U_{CE} \approx 0,2 \, \text{V} \) et condition \( I_B > I_C / \beta \). - La **méthode de la charge ligne** permet de déterminer graphiquement le point de fonctionnement en intersectant la caractéristique du composant et la droite de charge du circuit. - La vérification du régime (actif, saturation, blocage) est essentielle après calcul pour valider les hypothèses initiales. --- ## Glossaire - **Caractéristique statique** : Représentation graphique du courant en fonction de la tension aux bornes d’un dipôle en régime continu. - **Point de fonctionnement** : Couple \( (U, I) \) où le dipôle fonctionne réellement dans le circuit, déterminé par l’intersection de sa caractéristique et de la charge ligne. - **Loi des mailles** : La somme algébrique des tensions autour d’une boucle fermée est nulle. - **Résistance dynamique** : Rapport \( dU/dI \) en un point de la caractéristique ; mesure de la pente locale. - **Seuil de conduction** : Tension minimale nécessaire pour qu’un dipôle non linéaire (diode, jonction BE) commence à conduire significativement. - **Gain en courant (\( \beta \))** : Rapport entre le courant de collecteur et le courant de base d’un transistor BJT en régime actif. - **Régime actif** : État du transistor où la jonction base-émetteur est directe et la base-collecteur inverse ; permet l’amplification du courant. - **Régime de saturation** : État où les deux jonctions du transistor sont directes ; le collecteur est au plus bas potentiel possible. - **Charge ligne** : Représentation graphique de la contrainte imposée par le circuit linéaire (tension d’alimentation et résistances) sur le dipôle non linéaire. - **Jonction PN** : Interface entre un matériau semi-conducteur de type P et un de type N ; base du fonctionnement des diodes et transistors. - **Courant de fuite** : Courant très faible qui traverse une diode polarisée en inverse ou une jonction transistorielle non conductrice. - **Configuration émetteur commun** : Montage typique d’un transistor où l’émetteur est commun à l’entrée et à la sortie ; utilisée pour l’amplification. --- *Fin du cours de référence pour le chapitre « Point de fonctionnement d’un circuit électrique » — Niveau Première, Physique, Système éducatif camerounais francophone.*