Chap3 : Travail d'une force

# Chap3 : Travail d'une force ## Objectifs et prérequis **Objectifs** : - Définir le travail d’une force constante et savoir le calculer dans différents cas géométriques. - Déterminer le travail de la force élastique d’un ressort obéissant à la loi de Hooke. - Calculer le travail d’un couple de force lorsque son moment est constant. - Appliquer ces notions à des situations physiques simples (bloc sur plan incliné, masse-ressort, poulie avec couple). - Interpréter le signe du travail en fonction de la direction de la force par rapport au déplacement. **Prérequis** : - Notion de force (vecteur, unité newton). - Notion de déplacement et de trajectoire (vecteur déplacement, unité mètre). - Produit scalaire de deux vecteurs : $\vec{A} \cdot \vec{B} = AB\cos\theta$. - Notion d’énergie cinétique et théorème de l’énergie cinétique (notion introduite, non démontrée ici). - Loi de Hooke : $F = -kx$ (rappelée, non démontrée). - Notion de couple de force : $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$, module $\tau = rF\sin\theta$. --- ## I. Travail d’une force constante ### Définition et formule générale > Le travail d’une force constante $\vec{F}$ appliquée à un point matériel subissant un déplacement $\vec{AB}$ est défini comme le produit scalaire de la force par le déplacement : > $$ > W_{A \to B}(\vec{F}) = \vec{F} \cdot \vec{AB} = F \cdot AB \cdot \cos\theta > $$ > où $\theta$ est l’angle entre la direction de $\vec{F}$ et celle de $\vec{AB}$. ### Propriétés - Le travail est une grandeur scalaire, mesurée en joules (J) : $1\,\text{J} = 1\,\text{N} \cdot \text{m}$. - Si $\theta = 0^\circ$ : $W = F \cdot AB > 0$ (la force aide le mouvement). - Si $\theta = 90^\circ$ : $W = 0$ (la force est perpendiculaire au déplacement, ex : force normale sur un plan horizontal). - Si $\theta = 180^\circ$ : $W = -F \cdot AB < 0$ (la force s’oppose au mouvement, ex : frottement). - Le travail dépend uniquement des points A et B, pas de la trajectoire suivie (pour une force constante). ### Exemple résolu 1 : Bloc tiré horizontalement Un bloc de masse $m = 5\,\text{kg}$ est tiré sur un sol horizontal sans frottement par une force constante $\vec{F}$ de module $F = 20\,\text{N}$, faisant un angle de $30^\circ$ avec l’horizontale. Le bloc se déplace sur une distance $d = 4\,\text{m}$. Calculer le travail de $\vec{F}$. **Solution** : L’angle entre $\vec{F}$ et le déplacement (horizontal) est $\theta = 30^\circ$. $$ W = F \cdot d \cdot \cos\theta = 20 \times 4 \times \cos 30^\circ = 80 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 40\sqrt{3} \approx 69,28\,\text{J} $$ > **À retenir** : Seul la composante de la force parallèle au déplacement contribue au travail. ### Exemple résolu 2 : Bloc sur un plan incliné Un bloc de masse $m = 10\,\text{kg}$ monte un plan incliné à $\alpha = 20^\circ$ sur une longueur $L = 5\,\text{m}$, tiré par une force parallèle au plan, $F = 50\,\text{N}$. Calculer le travail de cette force. **Solution** : La force est parallèle au déplacement (le long du plan), donc $\theta = 0^\circ$. $$ W = F \cdot L \cdot \cos 0^\circ = 50 \times 5 \times 1 = 250\,\text{J} $$ > **À retenir** : Lorsque la force est alignée avec le déplacement, le travail se réduit à $W = F \cdot d$. ### Exercices d’application corrigés **Exercice 1** : Une force constante de $15\,\text{N}$ pousse un objet sur $3\,\text{m}$ dans la direction opposée à son mouvement. Quel est le travail de cette force ? **Solution** : L’angle entre force et déplacement est $180^\circ$. $$ W = 15 \times 3 \times \cos 180^\circ = 45 \times (-1) = -45\,\text{J} $$ **Exercice 2** : Une force de $40\,\text{N}$ agit verticalement vers le haut sur un objet qui se déplace de $2\,\text{m}$ horizontalement. Quel est le travail de cette force ? **Solution** : L’angle entre la force (verticale) et le déplacement (horizontal) est $90^\circ$. $$ W = 40 \times 2 \times \cos 90^\circ = 80 \times 0 = 0\,\text{J} $$ **Exercice 3** : Un objet est déplacé de $A$ à $B$ sur une distance de $6\,\text{m}$ le long d’une trajectoire quelconque. Une force constante de $10\,\text{N}$ fait un angle de $60^\circ$ avec la direction du déplacement. Calculer le travail de cette force. **Solution** : $$ W = 10 \times 6 \times \cos 60^\circ = 60 \times 0,5 = 30\,\text{J} $$ --- ## II. Travail de la tension d’un ressort à réponse linéaire ### Rappel de la loi de Hooke > Pour un ressort idéal obéissant à la loi de Hooke, la force de tension exercée par le ressort lorsqu’il est étiré ou comprit d’une longueur $x$ par rapport à sa longueur naturelle est : > $$ > F_{\text{ressort}} = -kx > $$ > où $k > 0$ est la raideur du ressort (en $\text{N/m}$), et $x$ est l’allongement (positif si étiré, négatif si comprit). Le signe moins indique que la force est dirigée vers la position d’équilibre. ### Travail de la force élastique > Le travail de la force élastique d’un ressort lorsque l’allongement varie de $x_i$ à $x_f$ est : > $$ > W_{x_i \to x_f}(F_{\text{ressort}}) = \int_{x_i}^{x_f} F_{\text{ressort}}\, dx = \int_{x_i}^{x_f} (-kx)\, dx = -\frac{1}{2}k \left( x_f^2 - x_i^2 \right) > $$ > Ce travail dépend uniquement des états initial et final, pas du chemin suivi (force conservative). ### Cas particuliers - Si le ressort part de sa longueur naturelle ($x_i = 0$) et est étiré jusqu’à $x_f = x$ : $$ W_{0 \to x}(F_{\text{ressort}}) = -\frac{1}{2}k x^2 < 0 $$ La force élastique fait un travail négatif lors de l’étirement (elle s’oppose au mouvement). - Si le ressort est comprit de $0$ à $-x$ (avec $x>0$) : $$ W_{0 \to -x}(F_{\text{ressort}}) = -\frac{1}{2}k \left( (-x)^2 - 0^2 \right) = -\frac{1}{2}k x^2 < 0 $$ Même résultat : travail négatif lors de la compression. - Si le ressort revient de $x$ à $0$ : $$ W_{x \to 0}(F_{\text{ressort}}) = -\frac{1}{2}k \left( 0^2 - x^2 \right) = +\frac{1}{2}k x^2 > 0 $$ La force élastique fait un travail positif lors du retour à l’équilibre (elle aide le mouvement). ### Exemple résolu 1 : Étirement d’un ressort Un ressort de raideur $k = 200\,\text{N/m}$ est étiré de sa longueur naturelle jusqu’à un allongement de $x = 0,1\,\text{m}$. Calculer le travail de la force élastique pendant cet étirement. **Solution** : $$ W = -\frac{1}{2} k x^2 = -\frac{1}{2} \times 200 \times (0,1)^2 = -100 \times 0,01 = -1\,\text{J} $$ > **À retenir** : La force élastique fait toujours un travail négatif lors de l’étirement ou de la compression du ressort (elle emmagasine de l’énergie potentielle). ### Exemple résolu 2 : Retour à l’équilibre Le même ressort, étiré à $x = 0,1\,\text{m}$, est relâché et revient à sa longueur naturelle. Calculer le travail de la force élastique pendant ce retour. **Solution** : $$ W = -\frac{1}{2} k (0^2 - x^2) = -\frac{1}{2} \times 200 \times (0 - 0,01) = -100 \times (-0,01) = +1\,\text{J} $$ > **À retenir** : Lors du retour à l’équilibre, la force élastique fait un travail positif, restituant l’énergie emmagasinée. ### Exemple résolu 3 : Travail net sur un cycle Un ressort est étiré de $0$ à $x = 0,2\,\text{m}$, puis ramené à $0$. Quel est le travail net de la force élastique sur ce cycle fermé ? **Solution** : Aller : $W_1 = -\frac{1}{2} k (0,2)^2 = -\frac{1}{2} \times 200 \times 0,04 = -4\,\text{J}$ Retour : $W_2 = +\frac{1}{2} k (0,2)^2 = +4\,\text{J}$ Net : $W_{\text{net}} = W_1 + W_2 = -4 + 4 = 0\,\text{J}$ > **À retenir** : Le travail net d’une force conservative sur un cycle fermé est nul. ### Exercices d’application corrigés **Exercice 1** : Un ressort de raideur $k = 150\,\text{N/m}$ est comprit de $2\,\text{cm}$ à partir de sa longueur naturelle. Calculer le travail de la force élastique. **Solution** : $x = -0,02\,\text{m}$ (compression), mais on utilise $x^2$ : $$ W = -\frac{1}{2} \times 150 \times (0,02)^2 = -75 \times 0,0004 = -0,03\,\text{J} $$ **Exercice 2** : Un ressort de $k = 100\,\text{N/m}$ passe d’un allongement de $5\,\text{cm}$ à $15\,\text{cm}$. Quel est le travail de la force élastique ? **Solution** : $x_i = 0,05\,\text{m}$, $x_f = 0,15\,\text{m}$ $$ W = -\frac{1}{2} \times 100 \times \left( (0,15)^2 - (0,05)^2 \right) = -50 \times (0,0225 - 0,0025) = -50 \times 0,02 = -1\,\text{J} $$ **Exercice 3** : Le travail de la force élastique lors de l’étirement d’un ressort de $k = 80\,\text{N/m}$ est de $-0,32\,\text{J}$. Trouver l’allongement. **Solution** : $$ -\frac{1}{2} k x^2 = -0,32 \Rightarrow \frac{1}{2} \times 80 \times x^2 = 0,32 \Rightarrow 40 x^2 = 0,32 \Rightarrow x^2 = 0,008 \Rightarrow x = \sqrt{0,008} \approx 0,089\,\text{m} = 8,9\,\text{cm} $$ --- ## III. Travail d’un couple de force à moment constant ### Définition du couple de force > Un couple de force est formé par deux forces égales en module, parallèles, de même direction mais de sens opposé, ne passant pas par le même point. Son effet est de produire une rotation sans translation nette. > Le moment (ou torque) du couple est défini comme : > $$ > \tau = F \cdot d > $$ > où $F$ est le module de chaque force, et $d$ est la distance perpendiculaire entre leurs droites d’action (bras de levier). > Le moment est un vecteur perpendiculaire au plan contenant les deux forces, suivant la règle de la main droite. Son unité est le newton-mètre ($\text{N} \cdot \text{m}$), identique à celle du travail, mais représentant une grandeur différente (moment vs énergie). ### Travail d’un couple de force > Lorsque un corps rigide subit une rotation d’un angle $\Delta\theta$ (en radians) sous l’action d’un couple de moment constant $\tau$, le travail effectué par ce couple est : > $$ > W = \tau \cdot \Delta\theta > $$ > Cette formule est analogue à $W = F \cdot d$ pour une force linéaire, avec le couple jouant le rôle de la force et l’angle celui du déplacement. ### Dérivation (rappel conceptuel) Considérons une force $\vec{F}$ appliquée en un point à distance $r$ de l’axe de rotation, perpendiculairement au rayon. Le travail élémentaire lors d’un déplacement angulaire $d\theta$ est : $$ dW = \vec{F} \cdot d\vec{s} = F \cdot (r\, d\theta) = (F r) d\theta = \tau \, d\theta $$ En intégrant de $\theta_i$ à $\theta_f$ : $$ W = \int_{\theta_i}^{\theta_f} \tau \, d\theta = \tau \int_{\theta_i}^{\theta_f} d\theta = \tau (\theta_f - \theta_i) = \tau \cdot \Delta\theta $$ > **À retenir** : Le travail d’un couple constant est le produit du moment du couple par l’angle de rotation (en radians). ### Propriétés - Le travail est positif si le couple et la rotation ont le même sens (ex : couple moteur accélérant une roue). - Le travail est négatif si le couple s’oppose à la rotation (ex : couple de frein). - Le travail dépend uniquement de l’angle de rotation net, pas de la trajectoire angulaire suivie (pour un couple constant). - L’unité $\text{N} \cdot \text{m}$ est ici celle du travail (joule), même si elle est partagée avec le moment. Le contexte permet de les distinguer. ### Exemple résolu 1 : Rotation d’une poulie Une poulie est soumise à un couple constant de $\tau = 10\,\text{N} \cdot \text{m}$. Elle tourne de $2$ tours complets. Calculer le travail du couple. **Solution** : Un tour complet = $2\pi$ radians. $$ \Delta\theta = 2 \times 2\pi = 4\pi\,\text{rad} $$ $$ W = \tau \cdot \Delta\theta = 10 \times 4\pi = 40\pi \approx 125,66\,\text{J} $$ > **À retenir** : Toujours convertir les angles en radians avant d’appliquer la formule $W = \tau \Delta\theta$. ### Exemple résolu 2 : Freinage d’un volant Un volant d’inertie subit un couple de frein constant de $\tau = -25\,\text{N} \cdot \text{m}$ (le signe moins indique opposition au mouvement). Il ralentit sur un angle de $\Delta\theta = 6\,\text{rad}$. Calculer le travail du couple de frein. **Solution** : $$ W = \tau \cdot \Delta\theta = (-25) \times 6 = -150\,\text{J} $$ > **À retenir** : Le signe du travail indique si le couple transmet de l’énergie au système ($>0$) ou en retire ($<0$). ### Exemple résolu 3 : Travail net sur un cycle de rotation Un moteur applique un couple de $\tau = 50\,\text{N} \cdot \text{m}$ pendant une rotation de $3\,\text{rad}$, puis un couple de frein de $\tau = -30\,\text{N} \cdot \text{m}$ agit pendant une rotation supplémentaire de $2\,\text{rad}$. Quel est le travail net ? **Solution** : Première phase : $W_1 = 50 \times 3 = 150\,\text{J}$ Deuxième phase : $W_2 = (-30) \times 2 = -60\,\text{J}$ Net : $W_{\text{net}} = 150 - 60 = 90\,\text{J}$ ### Exercices d’application corrigés **Exercice 1** : Un couple de moment $\tau = 8\,\text{N} \cdot \text{m}$ fait tourner une roue de $5$ tours. Quel est le travail effectué ? **Solution** : $\Delta\theta = 5 \times 2\pi = 10\pi\,\text{rad}$ $$ W = 8 \times 10\pi = 80\pi \approx 251,33\,\text{J} $$ **Exercice 2** : Un couple de frein de $\tau = -12\,\text{N} \cdot \text{m}$ agit sur un système qui tourne de $4\,\text{rad}$ dans le sens opposé au couple. Quel est le travail ? **Solution** : Comme le mouvement est opposé au couple, mais la formule utilise l’angle algébrique : si on définit le sens de rotation comme positif, et le couple comme négatif, alors : $$ W = (-12) \times 4 = -48\,\text{J} $$ > **À retenir** : On prend toujours l’angle de rotation avec son signe (selon un sens choisi comme positif), et le couple avec son signe (positif s’il aide la rotation dans ce sens). **Exercice 3** : Le travail d’un couple constant est de $-180\,\text{J}$ après une rotation de $6\,\text{rad}$. Quel est le moment du couple ? **Solution** : $$ W = \tau \cdot \Delta\theta \Rightarrow -180 = \tau \times 6 \Rightarrow \tau = \frac{-180}{6} = -30\,\text{N} \cdot \text{m} $$ --- ## Synthèse du chapitre - Le travail d’une force constante est $W = \vec{F} \cdot \vec{AB} = F AB \cos\theta$, scalaire, en joules. - Le travail de la force élastique d’un ressort linéaire est $W = -\frac{1}{2}k(x_f^2 - x_i^2)$, dépend uniquement des états initial et final. - Le travail d’un couple de moment constant est $W = \tau \cdot \Delta\theta$, avec $\Delta\theta$ en radians. - Dans les trois cas, le travail peut être positif, nul ou négatif selon l’alignement de l’action (force, moment) avec le déplacement (linéaire ou angulaire). - Les forces élastiques et les couples constants (dans leur domaine d’application) sont associés à des forces conservatives : travail indépendant du chemin, travail nul sur un cycle fermé. - Le signe du travail indique un transfert d’énergie : positif si le système gagne de l’énergie, négatif s’il en perd. - Les unités sont cohérentes : $\text{N} \cdot \text{m} = \text{J}$ pour le travail, même si le $\text{N} \cdot \text{m}$ apparaît aussi pour le moment (contexte permettant la distinction). --- ## Glossaire - **Travail d’une force** : Produit scalaire de la force par le déplacement du point d’application. - **Force constante** : Force dont le module et la direction ne varient pas durant le déplacement. - **Produit scalaire** : Opération donnant $AB\cos\theta$ pour deux vecteurs de modules $A$, $B$ et angle $\theta$ entre eux. - **Loi de Hooke** : Relation linéaire entre la force de rappel d’un ressort et son allongement : $F = -kx$. - **Raideur ($k$)** : Constante de proportionnalité dans la loi de Hooke, mesurée en $\text{N/m}$. - **Allongement ($x$)** : Déformation d’un ressort par rapport à sa longueur naturelle (positif si étiré, négatif si comprit). - **Couple de force** : Système de deux forces égales, parallèles, de sens opposé, produisant une rotation pure. - **Moment d’un couple ($\tau$)** : Produit du module d’une force par la distance perpendiculaire entre leurs droites d’action. - **Angle en radians** : Unité d’angle où un tour complet vaut $2\pi$ rad (utilisée essentiellement dans les formules de travail angulaire). - **Force conservative** : Force dont le travail dépend uniquement des états initial et final, nul sur un cycle fermé. - **Énergie potentielle élastique** : Énergie stockée dans un ressort déformée, égale à $\frac{1}{2}kx^2$. - **Travail net** : Somme des travaux effectués par toutes les forces agissant sur un système au cours d’un processus.