Chap 17 : Générateurs électrique

# Chap 17 : Générateurs électrique ## Objectifs et prérequis **Objectifs :** À l’issue de ce chapitre, l’élève sera capable de : - Définir un générateur électrique et reconnaître son schéma normalisé. - Identifier et utiliser les caractéristiques des dipôles générateur (f.é.m., résistance interne). - Analyser les associations de générateurs en série et en parallèle, déterminer leurs caractéristiques équivalentes. - Résoudre des problèmes simples liés aux générateurs dans des circuits électriques. **Prérequis :** - Notions de dipôle, de tension, d’intensité, de loi d’Ohm. - Loi des nœuds et loi des mailles (notions de base). - Notion de résistance équivalente en série et en parallèle. - Notions de travail et de puissance électrique (rappel utile). --- ## Introduction Un générateur électrique est un dispositif capable de convertir une autre forme d’énergie (chimique, mécanique, thermique, etc.) en énergie électrique afin de maintenir une différence de potentiel entre ses bornes. Il constitue la source d’énergie dans un circuit électrique fermé. Contrairement à un récepteur qui consomme de l’énergie électrique, le générateur en fournit. Dans ce chapitre, nous étudierons le modèle idéalisé du générateur réel : le dipôle générateur caractérisé par sa force électromotrice (f.é.m.) et sa résistance interne. Nous verrons ensuite comment associer plusieurs tels dipôles et quelles sont les lois régissant leur comportement équivalent. --- ## I. Définition et schéma normalisé d’un générateur ### Définition Un générateur électrique est un dipôle actif capable de fournir de l’énergie électrique à un circuit extérieur en convertissant une autre forme d’énergie. Il maintient une différence de potentiel entre ses bornes même lorsqu’il délivre du courant. > **À retenir :** Un générateur est caractérisé par sa capacité à produire une f.é.m., notée $\mathcal{E}$, qui représente l’énergie fournie par unité de charge lorsqu’elle traverse le générateur de la borne négative à la borne positive. ### Schéma normalisé Le schéma normalisé d’un générateur réel est représenté par : - Un symbole de batterie : deux traits parallèles, le plus long représentant la borne positive (+), le plus court la borne négative (–). - En série avec ce symbole, une résistance $r$ représentant la résistance interne du générateur. - La f.é.m. $\mathcal{E}$ est associée au symbole du générateur, souvent indiquée par une flèche allant de – à + à l’intérieur du symbole, ou notée à côté.  *Schématique : générateur réel = f.é.m. $\mathcal{E}$ en série avec résistance interne $r$* Les bornes accessibles du générateur sont notées A et B. La tension entre ces bornes, appelée tension utile ou tension aux bornes, est notée $U_{AB}$. > **À retenir :** Dans le schéma normalisé d’un générateur réel, la f.é.m. $\mathcal{E}$ et la résistance interne $r$ sont en série. Le générateur idéal aurait $r = 0$. ### Relation entre f.é.m., tension utile et chute de tension interne Lorsqu’un courant $I$ sort du générateur par la borne positive (sens conventionnel du courant sortant du générateur), une chute de tension se produit à l’intérieur du générateur due à sa résistance interne : $U_r = r \cdot I$. En appliquant la loi des mailles dans le circuit interne du générateur (de A à B par l’intérieur) : $$ \mathcal{E} = U_{AB} + U_r $$ donc : $$ U_{AB} = \mathcal{E} - r I $$ > **À retenir :** La tension utile aux bornes d’un générateur réel délivrant un courant $I$ est donnée par : > $$ > U_{AB} = \mathcal{E} - r I > $$ ### Exemple résolu 1 Un générateur de f.é.m. $\mathcal{E} = 12,0\ \text{V}$ et de résistance interne $r = 0,5\ \Omega$ délivre un courant $I = 2,0\ \text{A}$. Calculer la tension utile $U_{AB}$ aux bornes du générateur. **Solution :** En utilisant la formule : $$ U_{AB} = \mathcal{E} - r I = 12,0 - (0,5 \times 2,0) = 12,0 - 1,0 = 11,0\ \text{V} $$ La tension utile est donc $U_{AB} = 11,0\ \text{V}$. > **À retenir :** Plus le courant délivré est élevé, plus la tension utile diminue à cause de la chute de tension interne $rI$. ### Exercice d’application 1 (corrigé) Un générateur a une f.é.m. de $9,0\ \text{V}$ et une résistance interne de $0,2\ \Omega$. a) Quelle est la tension utile lorsqu’il ne délivre aucun courant ? b) Quelle est la tension utile lorsqu’il délivre un courant de $3,0\ \text{A}$ ? c) Quel courant serait délivré si les bornes étaient court-circuitées ? **Solution :** a) À vide ($I = 0$) : $$ U_{AB} = \mathcal{E} - r \cdot 0 = 9,0\ \text{V} $$ b) Avec $I = 3,0\ \text{A}$ : $$ U_{AB} = 9,0 - (0,2 \times 3,0) = 9,0 - 0,6 = 8,4\ \text{V} $$ c) En court-circuit : $U_{AB} = 0$, donc : $$ 0 = \mathcal{E} - r I_{cc} \Rightarrow I_{cc} = \frac{\mathcal{E}}{r} = \frac{9,0}{0,2} = 45,0\ \text{A} $$ Le courant de court-circuit est $I_{cc} = 45,0\ \text{A}$. --- ## II. Caractéristiques des dipôles générateur Un dipôle générateur se caractérise par deux grandeurs essentielles : sa force électromotrice (f.é.m.) et sa résistance interne. Ces grandeurs permettent de modéliser son comportement dans un circuit. ### Force électromotrice (f.é.m.) La f.é.m. d’un générateur, notée $\mathcal{E}$ et exprimée en volts (V), est l’énergie électrique fournie par le générateur lorsqu’une unité de charge positive (1 C) traverse le générateur de sa borne négative à sa borne positive, à l’intérieur du générateur. > **À retenir :** La f.é.m. $\mathcal{E}$ est une propriété intrinsèque du générateur, indépendante du circuit extérieur. Elle représente la tension que le générateur serait capable de maintenir à ses bornes en l’absence de courant (à vide). ### Résistance interne La résistance interne $r$, exprimée en ohms ($\Omega$), modélise les pertes énergétiques à l’intérieur du générateur dues à la résistivité de ses composants (électrodes, électrolyte, etc.). Elle provoque une chute de tension proportionnelle au courant délivré : $U_r = r I$. > **À retenir :** La résistance interne $r$ est toujours positive. Elle réduit la tension utile disponible aux bornes lorsque le générateur délivre du courant. ### Courant de court-circuit Lorsque les bornes du générateur sont reliées directement par un fil négligeable (court-circuit), la tension utile $U_{AB}$ devient nulle. Le courant qui circule alors est appelé courant de court-circuit, noté $I_{cc}$. En posant $U_{AB} = 0$ dans la relation $U_{AB} = \mathcal{E} - r I$, on obtient : $$ 0 = \mathcal{E} - r I_{cc} \quad \Rightarrow \quad I_{cc} = \frac{\mathcal{E}}{r} $$ > **À retenir :** Le courant de court-circuit d’un générateur réel est donné par : > $$ > I_{cc} = \frac{\mathcal{E}}{r} $$ Il représente le courant maximal que le générateur peut délivrer. ### Puissance délivrée et puissance dissipée La puissance électrique délivrée par le générateur au circuit extérieur est : $$ P_{\text{utile}} = U_{AB} \cdot I $$ La puissance dissipée à l’intérieur du générateur (sous forme de chaleur) est : $$ P_{\text{perdue}} = r I^2 $$ La puissance totale fournie par la f.é.m. est : $$ P_{\mathcal{E}} = \mathcal{E} \cdot I $$ On vérifie la conservation de l’énergie : $$ \mathcal{E} I = U_{AB} I + r I^2 $$ > **À retenir :** L’efficacité du générateur est donnée par : > $$ > \eta = \frac{P_{\text{utile}}}{P_{\mathcal{E}}} = \frac{U_{AB}}{\mathcal{E}} = 1 - \frac{r I}{\mathcal{E}} $$ Elle est maximale lorsque le courant délivré est faible. ### Exemple résolu 2 Un générateur de f.é.m. $\mathcal{E} = 6,0\ \text{V}$ et de résistance interne $r = 0,3\ \Omega$ alimente une résistance extérieure $R = 2,0\ \Omega$. Déterminer : a) Le courant dans le circuit, b) La tension utile aux bornes du générateur, c) La puissance délivrée à la résistance extérieure, d) La puissance dissipée à l’intérieur du générateur. **Solution :** a) La résistance totale du circuit est $R_{\text{tot}} = R + r = 2,0 + 0,3 = 2,3\ \Omega$. Le courant est donné par la loi d’Ohm appliquée au circuit entier : $$ I = \frac{\mathcal{E}}{R + r} = \frac{6,0}{2,3} \approx 2,609\ \text{A} $$ b) La tension utile : $$ U_{AB} = \mathcal{E} - r I = 6,0 - (0,3 \times 2,609) = 6,0 - 0,7827 \approx 5,217\ \text{V} $$ On peut aussi vérifier : $U_{AB} = I \cdot R = 2,609 \times 2,0 \approx 5,218\ \text{V}$ (cohérence). c) Puissance délivrée à $R$ : $$ P_R = U_{AB} \cdot I = 5,217 \times 2,609 \approx 13,61\ \text{W} $$ ou directement : $P_R = I^2 R = (2,609)^2 \times 2,0 \approx 13,61\ \text{W}$ d) Puissance perdue dans $r$ : $$ P_r = I^2 r = (2,609)^2 \times 0,3 \approx 2,04\ \text{W} $$ Vérification : $P_{\mathcal{E}} = \mathcal{E} I = 6,0 \times 2,609 \approx 15,65\ \text{W}$, et $P_R + P_r \approx 13,61 + 2,04 = 15,65\ \text{W}$. > **À retenir :** Dans un circuit avec générateur réel et résistance extérieure, le courant est limité par la somme $R + r$. ### Exercice d’application 2 (corrigé) Un générateur de f.é.m. $\mathcal{E} = 10,0\ \text{V}$ fournit un courant de $2,5\ \text{A}$ lorsqu’il alimente une résistance inconnue $R$. Sa résistance interne est $r = 0,4\ \Omega$. Déterminer : a) La valeur de $R$, b) La tension utile aux bornes du générateur, c) Le courant de court-circuit du générateur. **Solution :** a) La tension utile est : $$ U_{AB} = \mathcal{E} - r I = 10,0 - (0,4 \times 2,5) = 10,0 - 1,0 = 9,0\ \text{V} $$ Comme $U_{AB} = I \cdot R$, on a : $$ R = \frac{U_{AB}}{I} = \frac{9,0}{2,5} = 3,6\ \Omega $$ b) La tension utile est donc $U_{AB} = 9,0\ \text{V}$ (déjà calculée). c) Le courant de court-circuit : $$ I_{cc} = \frac{\mathcal{E}}{r} = \frac{10,0}{0,4} = 25,0\ \text{A} $$ --- ## III. Association des générateurs Dans la pratique, il est souvent nécessaire d’augmenter la tension disponible ou le courant délivrable en associant plusieurs générateurs. On étudie deux types d’association fondamentale : en série et en parallèle. On supposera que les générateurs sont identiques ou que leurs caractéristiques sont connues. ### Association en série Deux générateurs sont associés en série lorsque la borne positive du premier est reliée à la borne négative du second, et ainsi de suite. Le courant qui les traverse est le même. #### Caractéristiques équivalentes Soient deux générateurs de f.é.m. $\mathcal{E}_1$, $\mathcal{E}_2$ et de résistances internes $r_1$, $r_2$, associés en série. En appliquant la loi des mailles dans le circuit contenant les deux générateurs et une résistance extérieure $R$ : $$ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 = U_{AB} + r_1 I + r_2 I $$ donc : $$ U_{AB} = (\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2) - (r_1 + r_2) I $$ Cette équation a la même forme que celle d’un générateur unique : $$ U_{AB} = \mathcal{E}_{\text{eq}} - r_{\text{eq}} I $$ avec : $$ \mathcal{E}_{\text{eq}} = \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 \quad \text{et} \quad r_{\text{eq}} = r_1 + r_2 $$ > **À retenir :** Pour des générateurs associés en série : > - La f.é.m. équivalente est la somme algébrique des f.é.m. individuelles (attention aux polarités). > - La résistance interne équivalente est la somme des résistances internes individuelles. > $$ > \mathcal{E}_{\text{eq}} = \sum \mathcal{E}_i \quad , \quad r_{\text{eq}} = \sum r_i > $$ #### Cas des générateurs identiques Si $n$ générateurs identiques de f.é.m. $\mathcal{E}$ et de résistance interne $r$ sont associés en série : $$ \mathcal{E}_{\text{eq}} = n \mathcal{E} \quad , \quad r_{\text{eq}} = n r $$ > **À retenir :** L’association en série augmente la tension disponible et augmente la résistance interne. #### Exemple résolu 3 Deux générateurs identiques de f.é.m. $\mathcal{E} = 6,0\ \text{V}$ et de résistance interne $r = 0,5\ \Omega$ sont associés en série. Ils alimentent une résistance extérieure $R = 4,0\ \Omega$. Déterminer le courant dans le circuit. **Solution :** f.é.m. équivalente : $\mathcal{E}_{\text{eq}} = 6,0 + 6,0 = 12,0\ \text{V}$ résistance interne équivalente : $r_{\text{eq}} = 0,5 + 0,5 = 1,0\ \Omega$ résistance totale : $R_{\text{tot}} = R + r_{\text{eq}} = 4,0 + 1,0 = 5,0\ \Omega$ courant : $$ I = \frac{\mathcal{E}_{\text{eq}}}{R + r_{\text{eq}}} = \frac{12,0}{5,0} = 2,4\ \text{A} $$ > **À retenir :** En série, les f.é.m. s’additionnent, ce qui permet d’obtenir une tension plus élevée utile pour alimenter des charges nécessitant une grande tension. ### Association en parallèle Deux générateurs sont associés en parallèle lorsque leurs bornes positives sont reliées entre elles, et leurs bornes négatives reliées entre elles. La tension aux bornes de l’association est la même pour chaque générateur. #### Conditions d’association en parallèle valide Pour que l’association en parallèle soit possible sans courants circulants importants à vide, les générateurs doivent avoir la même f.é.m. (ou des valeurs très proches). Sinon, un générateur avec f.é.m. plus élevée tenterait de charger l’autre, pouvant provoquer des courants dangereux. On supposera donc dans ce qui suivre que les générateurs associés en parallèle ont la même f.é.m. $\mathcal{E}$. #### Caractéristiques équivalentes Soient deux générateurs identiques de f.é.m. $\mathcal{E}$ et de résistance interne $r$, associés en parallèle. Comme la tension aux bornes $U_{AB}$ est la même pour les deux, et que le courant total $I$ est la somme des courants dans chaque branche : $I = I_1 + I_2$. Pour chaque générateur : $U_{AB} = \mathcal{E} - r I_1$ et $U_{AB} = \mathcal{E} - r I_2$, donc $I_1 = I_2 = \dfrac{\mathcal{E} - U_{AB}}{r}$. Le courant total est : $$ I = I_1 + I_2 = 2 \cdot \frac{\mathcal{E} - U_{AB}}{r} $$ En résolvant pour $U_{AB}$ : $$ I = \frac{2}{r} (\mathcal{E} - U_{AB}) \quad \Rightarrow \quad \mathcal{E} - U_{AB} = \frac{r I}{2} \quad \Rightarrow \quad U_{AB} = \mathcal{E} - \left(\frac{r}{2}\right) I $$ Cette équation correspond à celle d’un générateur équivalent de f.é.m. $\mathcal{E}$ et de résistance interne $r_{\text{eq}} = \dfrac{r}{2}$. > **À retenir :** Pour $n$ générateurs identiques de f.é.m. $\mathcal{E}$ et de résistance interne $r$ associés en parallèle (avec mêmes f.é.m.) : > - La f.é.m. équivalente est égale à celle d’un seul générateur : $\mathcal{E}_{\text{eq}} = \mathcal{E}$ > - La résistance interne équivalente est divisée par $n$ : $r_{\text{eq}} = \dfrac{r}{n}$ > $$ > \mathcal{E}_{\text{eq}} = \mathcal{E} \quad , \quad r_{\text{eq}} = \frac{r}{n} > $$ #### Cas des générateurs non identiques (approximation) Si les f.é.m. sont légèrement différentes, une analyse exacte est complexe. Cependant, si la différence est petite par rapport à $\mathcal{E}$, on peut approximer que la f.é.m. équivalente est une moyenne pondérée, mais cette situation est à éviter en pratique pour prévenir les courants de circulation. > **À retenir :** L’association en parallèle de générateurs identiques permet d’augmenter le courant délivrable tout en maintenant la même tension utile. Elle réduit la résistance interne équivalente. #### Exemple résolu 4 Trois générateurs identiques de f.é.m. $\mathcal{E} = 4,5\ \text{V}$ et de résistance interne $r = 0,3\ \Omega$ sont associés en parallèle. Ils alimentent une résistance extérieure $R = 1,5\ \Omega$. Déterminer le courant total délivré par l’association. **Solution :** f.é.m. équivalente : $\mathcal{E}_{\text{eq}} = 4,5\ \text{V}$ (inchangée) résistance interne équivalente : $r_{\text{eq}} = \dfrac{r}{3} = \dfrac{0,3}{3} = 0,1\ \Omega$ résistance totale : $R_{\text{tot}} = R + r_{\text{eq}} = 1,5 + 0,1 = 1,6\ \Omega$ courant total : $$ I = \frac{\mathcal{E}_{\text{eq}}}{R + r_{\text{eq}}} = \frac{4,5}{1,6} = 2,8125\ \text{A} \approx 2,81\ \text{A} $$ Le courant dans chaque branche est $I/3 \approx 0,94\ \text{A}$. > **À retenir :** En parallèle, la résistance interne équivalente diminue, ce qui permet de délivrer un courant plus élevé pour une même tension utile. #### Exercice d’application 3 (corrigé) Deux générateurs de f.é.m. $\mathcal{E} = 9,0\ \text{V}$ et de résistances internes $r_1 = 0,2\ \Omega$, $r_2 = 0,3\ \Omega$ sont associés en parallèle. On suppose que leurs f.é.m. sont suffisamment proches pour autoriser l’association. Déterminer la résistance interne équivalente de l’association. **Solution :** Pour des générateurs en parallèle, même non identiques, la résistance interne équivalente se calcule comme pour des résistances en parallèle : $$ \frac{1}{r_{\text{eq}}} = \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} = \frac{1}{0,2} + \frac{1}{0,3} = 5,0 + 3,\overline{3} = 8,\overline{3}\ \text{S} $$ donc : $$ r_{\text{eq}} = \frac{1}{8,\overline{3}} \approx 0,12\ \Omega $$ Plus précisément : $$ \frac{1}{r_{\text{eq}}} = \frac{1}{0,2} + \frac{1}{0,3} = \frac{5}{1} + \frac{10}{3} = \frac{15}{3} + \frac{10}{3} = \frac{25}{3} \quad \Rightarrow \quad r_{\text{eq}} = \frac{3}{25} = 0,12\ \Omega $$ La résistance interne équivalente est donc $r_{\text{eq}} = 0,12\ \Omega$. > **À retenir :** Pour une association en parallèle de générateurs (même avec différentes $r$, mais mêmes $\mathcal{E}$ approximativement), la résistance interne équivalente se calcule comme l’inverse de la somme des inverses des résistances internes : > $$ > r_{\text{eq}} = \left( \sum \frac{1}{r_i} \right)^{-1} > $$ --- ## Synthèse du chapitre - Un générateur réel se modélise par une f.é.m. $\mathcal{E}$ en série avec une résistance interne $r$. - La tension utile aux bornes est $U_{AB} = \mathcal{E} - r I$, où $I$ est le courant sortant du générateur. - À vide ($I=0$), $U_{AB} = \mathcal{E}$ ; en court-circuit, $U_{AB}=0$ et $I_{cc} = \dfrac{\mathcal{E}}{r}$. - La puissance délivrée au circuit extérieur est $P = U_{AB} I$ ; la puissance perdue intérieurement est $P_r = r I^2$. - En association **en série** : - $\mathcal{E}_{\text{eq}} = \sum \mathcal{E}_i$ (somme algébrique, respecter les polarités) - $r_{\text{eq}} = \sum r_i$ - En association **en parallèle** (générateurs de mêmes f.é.m. ou très proches) : - $\mathcal{E}_{\text{eq}} = \mathcal{E}$ (valeur commune) - $r_{\text{eq}} = \left( \sum \dfrac{1}{r_i} \right)^{-1}$ - Pour $n$ générateurs identiques : $r_{\text{eq}} = \dfrac{r}{n}$ - L’association en série augmente la tension disponible ; l’association en parallèle augmente le courant délivrable. - Toujours vérifier la compatibilité des f.é.m. avant d’associer en parallèle pour éviter les courants de circulation dangereux. --- ## Glossaire - **Générateur électrique** : Dipôle actif qui convertit une autre forme d’énergie en énergie électrique pour maintenir une différence de potentiel entre ses bornes. - **Force électromotrice (f.é.m.)** : Énergie fournie par le générateur par unité de charge traversant le générateur de – à + à l’intérieur, notée $\mathcal{E}$, en volts (V). - **Résistance interne** : Résistance $r$ modélisant les pertes à l’intérieur du générateur, en ohms ($\Omega$), provoquant une chute de tension $rI$. - **Tension utile** : Tension $U_{AB}$ mesurée entre les bornes accessibles du générateur, égale à $\mathcal{E} - rI$. - **Courant de court-circuit** : Courant $I_{cc} = \dfrac{\mathcal{E}}{r}$ qui circule lorsque les bornes du générateur sont reliées directement. - **Association en série** : Montage où la borne + d’un générateur est reliée à la borne – du suivant ; les f.é.m. s’additionnent, les résistances internes s’additionnent. - **Association en parallèle** : Montage où toutes les bornes + sont reliées ensemble et toutes les bornes – ensemble ; la f.é.m. équivalente reste celle d’un générateur (si égales), la résistance interne équivalente diminue. - **Courant de branche** : Courant traversant chaque générateur dans une association en parallèle. - **Puissance utile** : Puissance $P = U_{AB} I$ délivrée par le générateur au circuit extérieur. - **Puissance perdue** : Puissance $P_r = r I^2$ dissipée sous forme de chaleur à l’intérieur du générateur. - **Équivalence** : Principe permettant de remplacer une association de générateurs par un générateur unique de même comportement extérieur (même $\mathcal{E}_{\text{eq}}$ et $r_{\text{eq}}$). - **Courant de circulation** : Courant qui peut apparaître à vide dans une association en parallèle de générateurs de f.é.m. différentes, à éviter. --- *Fin du cours de référence pour le chapitre « Générateurs électrique » – Physique, Première – Système éducatif camerounais francophone.*