Chap7 : Energie mécanique

# Chap7 : Energie mécanique ## Objectifs et prérequis **Objectifs :** À l’issue de ce chapitre, l’élève doit être capable de : - Définir l’énergie potentielle gravitationnelle et élastique, en préciser les conditions d’existence et les unités. - Définir l’énergie mécanique d’un système et identifier ses composantes. - Énoncer le principe de conservation de l’énergie mécanique dans le cas des forces conservatrices (pesanteur, force élastique). - Appliquer ce principe pour résoudre des problèmes de mécanique (chute libre, mouvement sur plan incliné sans frottement, oscillateur harmonique simple). - Identifier les situations où l’énergie mécanique n’est pas conservée (présence de frottements, forces non conservatrices) et en expliquer la cause. - Réaliser des bilans énergétiques étape par étape, en utilisant correctement les notations et les unités du Système international. **Prérequis :** - Notions de travail d’une force et du théorème de l’énergie cinétique (Chapitre précédent). - Maîtrise des grandeurs vectorielles (force, déplacement, vitesse) et de leur produit scalaire. - Connaissance des lois de Newton, notamment la deuxième loi et la loi de la pesanteur universelle (approximation terrestre : $ \vec{P} = m\vec{g} $). - Notion d’énergie cinétique : $ E_c = \frac{1}{2} m v^2 $. - Manipulation algébrique de formules physiques et résolution d’équations du second degré. - Utilisation du Système international d’unités (SI) : joule (J), newton (N), mètre (m), kilogramme (kg), seconde (s). --- ## I. Notion d’énergie potentielle L’énergie potentielle est une forme d’énergie associée à la position ou à la configuration d’un corps dans un champ de forces conservatrices. Elle dépend uniquement de l’état du système (position, déformation) et non du trajet suivi pour atteindre cet état. Deux types sont étudiés en Première : l’énergie potentielle de pesanteur et l’énergie potentielle élastique. ### A. Énergie potentielle de pesanteur Définition : L’énergie potentielle de pesanteur d’un corps de masse $ m $ situé à une hauteur $ z $ au-dessus d’un niveau de référence choisi arbitrairement est égale au travail que la force de pesanteur fournirait si le corps tombait librement de cette hauteur jusqu’au niveau de référence. > **> À retenir :** L’énergie potentielle de pesanteur s’écrit : > $$ E_p = m g z $$ > où $ m $ est la masse en kg, $ g $ l’intensité de la pesanteur terrestre ($ g \approx 9,81 \, \text{N/kg} $ ou $ \text{m/s}^2 $), et $ z $ l’altitude au-dessus du niveau de référence en m. L’unité est le joule (J). Propriétés : - $ E_p $ est définie à une constante additive près : seul le changement d’énergie potentielle $ \Delta E_p = E_{p,f} - E_{p,i} $ a une signification physique. - Si le corps monte ($ \Delta z > 0 $), $ E_p $ augmente ; s’il descend ($ \Delta z < 0 $), $ E_p $ diminue. - La force de pesanteur étant conservative, le travail qu’elle réalise entre deux points dépend uniquement des hauteurs initiale et finale : $$ W_{P} = -\Delta E_p = mg(z_i - z_f) $$ Exemple résolu : Un objet de masse $ 2,0 \, \text{kg} $ est soulevé verticalement de $ 1,5 \, \text{m} $ au-dessus du sol. On prend le sol comme niveau de référence ($ z = 0 $). Calculer son énergie potentielle de pesanteur par rapport au sol. **Solution :** $$ E_p = m g z = (2,0 \, \text{kg}) \times (9,81 \, \text{N/kg}) \times (1,5 \, \text{m}) = 29,43 \, \text{J} \approx 29,4 \, \text{J} $$ Si l’objet est ensuite abaissé à $ 0,5 \, \text{m} $ au-dessus du sol, sa nouvelle énergie potentielle est : $$ E_p' = (2,0) \times (9,81) \times (0,5) = 9,81 \, \text{J} $$ La variation d’énergie potentielle est : $$ \Delta E_p = E_p' - E_p = 9,81 - 29,43 = -19,62 \, \text{J} $$ Le travail de la pesanteur lors de cette descente est : $$ W_P = -\Delta E_p = +19,62 \, \text{J} $$ (positive, car la force et le déplacement sont dans la même direction). Exercice d’application corrigé 1 : Un skieur de masse $ 70 \, \text{kg} $ part du sommet d’une piste située à $ 120 \, \text{m} $ au-dessus du bas de la piste (niveau de référence). a) Quelle est son énergie potentielle de pesanteur au départ ? b) Arrivé à mi-piste ($ z = 60 \, \text{m} $), quelle est son énergie potentielle ? c) Quelle est la variation d’énergie potentielle entre le départ et mi-piste ? **Solution :** a) $ E_p = m g z = 70 \times 9,81 \times 120 = 82\,404 \, \text{J} \approx 8,24 \times 10^4 \, \text{J} $ b) $ E_p' = 70 \times 9,81 \times 60 = 41\,202 \, \text{J} \approx 4,12 \times 10^4 \, \text{J} $ c) $ \Delta E_p = E_p' - E_p = 41\,202 - 82\,404 = -41\,202 \, \text{J} $ ### B. Énergie potentielle élastique Définition : L’énergie potentielle élastique est l’énergie stockée dans un corps déformable (comme un ressort) lorsqu’il est étiré ou comprimé par rapport à sa position d’équilibre naturel. Elle provient du travail réalisé par la force extérieure contre la force de rappel du ressort. > **> À retenir :** Pour un ressort obéissant à la loi de Hooke (force de rappel $ F = -k x $, où $ k $ est la raideur en N/m et $ x $ l’allongement ou la compression par rapport à l’équilibre en m), l’énergie potentielle élastique stockée est : > $$ E_{el} = \frac{1}{2} k x^2 $$ > L’unité est le joule (J). Cette expression est valable tant que la déformation reste dans le domaine élastique (pas de déformation permanente). Propriétés : - $ E_{el} \geq 0 $ : elle est nulle lorsque le ressort est à sa longueur naturelle ($ x = 0 $), et positive quel que soit le signe de $ x $ (étirement ou compression). - La force de rappel du ressort étant conservative, le travail qu’elle réalise entre deux déformations dépend uniquement des valeurs initiale et finale de $ x $ : $$ W_{ressort} = -\Delta E_{el} = \frac{1}{2} k (x_i^2 - x_f^2) $$ - L’énergie potentielle élastique représente l’énergie pouvant être restituée sous forme cinétique lorsque le ressort revient à l’équilibre. Exemple résolu : Un ressort de raideur $ k = 200 \, \text{N/m} $ est comprimé de $ 0,10 \, \text{m} $ par rapport à sa longueur naturelle. Calculer l’énergie potentielle élastique stockée. **Solution :** $$ E_{el} = \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} \times 200 \times (0,10)^2 = 100 \times 0,01 = 1,00 \, \text{J} $$ Si le ressort est ensuite étiré de $ 0,15 \, \text{m} $, son énergie potentielle devient : $$ E_{el}' = \frac{1}{2} \times 200 \times (0,15)^2 = 100 \times 0,0225 = 2,25 \, \text{J} $$ La variation d’énergie potentielle élastique est : $$ \Delta E_{el} = 2,25 - 1,00 = +1,25 \, \text{J} $$ Ce gain d’énergie provient du travail effectué par la force extérieure pour étirer davantage le ressort. Exercice d’application corrigé 2 : Un jouet comporte un ressort de raideur $ k = 500 \, \text{N/m} $. On veut qu’il puisse projeter une bille en lui donnant une énergie cinétique initiale de $ 2,0 \, \text{J} $ en supposant que toute l’énergie potentielle élastique stockée se transforme en énergie cinétique (pas de pertes). De combien doit-on comprimer le ressort au minimum ? **Solution :** En supposant la conservation de l’énergie mécanique (dans cette étape, seule l’énergie élastique varie, on la égale à l’énergie cinétique finale) : $$ E_{el} = E_c \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{2} k x^2 = 2,0 $$ $$ \frac{1}{2} \times 500 \times x^2 = 2,0 \quad \Rightarrow \quad 250 x^2 = 2,0 \quad \Rightarrow \quad x^2 = \frac{2,0}{250} = 0,008 $$ $$ x = \sqrt{0,008} \approx 0,0894 \, \text{m} \approx 8,9 \, \text{cm} $$ On doit donc comprimer le ressort d’au moins $ 8,9 \, \text{cm} $. --- ## II. Notion d’énergie mécanique L’énergie mécanique d’un système est la somme de son énergie cinétique et de ses énergies potentielles (de pesanteur et élastique, le cas échéant). Elle représente l’énergie associée au mouvement et à la position/configuration des corps, excluant les formes internes (thermique, chimique, etc.). > **> À retenir :** L’énergie mécanique totale $ E_m $ d’un système est définie par : > $$ E_m = E_c + E_p + E_{el} $$ > où $ E_c = \frac{1}{2} m v^2 $ est l’énergie cinétique, $ E_p = m g z $ l’énergie potentielle de pesanteur (si pertinente), et $ E_{el} = \frac{1}{2} k x^2 $ l’énergie potentielle élastique (si pertinente). L’unité est le joule (J). Cette grandeur n’est pas fondamentale comme l’énergie cinétique ou potentielle prise séparément, mais elle est extrêmement utile lorsque les forces non conservatrices (comme le frottement) sont négligeables ou absentes. ### A. Cas où seule l’énergie potentielle de pesanteur intervient Dans de nombreux problèmes (chute libre, mouvement sur plan incliné lisse), on ne considère que $ E_p $ et $ E_c $, donc : $$ E_m = E_c + E_p = \frac{1}{2} m v^2 + m g z $$ Exemple résolu : Une balle de masse $ 0,15 \, \text{kg} $ est lancée verticalement vers le haut depuis le sol ($ z = 0 $) avec une vitesse initiale de $ 12,0 \, \text{m/s} $. On néglige la résistance de l’air. Déterminer son énergie mécanique au lancement et à la hauteur maximale atteinte. **Solution :** Au lancement ($ z = 0 $, $ v = 12,0 \, \text{m/s} $) : $$ E_c = \frac{1}{2} \times 0,15 \times (12,0)^2 = 0,075 \times 144 = 10,8 \, \text{J} $$ $$ E_p = 0,15 \times 9,81 \times 0 = 0 \, \text{J} $$ $$ E_m = 10,8 + 0 = 10,8 \, \text{J} $$ À la hauteur maximale, la vitesse est nulle ($ v = 0 $), donc $ E_c = 0 $. Toute l’énergie mécanique initiale s’est convertie en énergie potentielle : $$ E_m = E_p = m g z_{max} \quad \Rightarrow \quad z_{max} = \frac{E_m}{m g} = \frac{10,8}{0,15 \times 9,81} = \frac{10,8}{1,4715} \approx 7,34 \, \text{m} $$ On vérifie : $ E_p = 0,15 \times 9,81 \times 7,34 \approx 10,8 \, \text{J} $, donc $ E_m $ est bien conservé. Exercice d’application corrigé 3 : Un cycliste et son vélo de masse totale $ 80 \, \text{kg} $ arrivent au bas d’une côte avec une vitesse de $ 5,0 \, \text{m/s} $. Ils montent ensuite la côte sans pédaler, en négligeant les frottements. Quelle hauteur verticale pourront-ils atteindre au maximum ? **Solution :** Énergie mécanique initiale (en bas, $ z = 0 $) : $$ E_{m,i} = E_{c,i} + E_{p,i} = \frac{1}{2} \times 80 \times (5,0)^2 + 0 = 40 \times 25 = 1000 \, \text{J} $$ Au point le plus haut atteint, la vitesse est nulle ($ v_f = 0 $), donc $ E_{c,f} = 0 $, et toute l’énergie mécanique est potentielle : $$ E_{m,f} = E_{p,f} = m g z_{max} $$ En négligeant les frottements, $ E_{m,i} = E_{m,f} $ : $$ 1000 = 80 \times 9,81 \times z_{max} \quad \Rightarrow \quad z_{max} = \frac{1000}{784,8} \approx 1,27 \, \text{m} $$ Ils peuvent monter jusqu’à environ $ 1,27 \, \text{m} $ de hauteur verticale. ### B. Cas où interviennent énergie potentielle de pesanteur et élastique Dans un système masse-ressort oscillant verticalement, les deux formes d’énergie potentielle peuvent coexister. On choisit alors un niveau de référence pour $ z $ (souvent la position d’équilibre du système sous pesanteur) pour simplifier les calculs, mais le principe reste le même. Exemple résolu : Une masse $ m = 0,50 \, \text{kg} $ est attachée à un ressort vertical de raideur $ k = 100 \, \text{N/m} $. On définit $ z = 0 $ comme la position où le ressort est à sa longueur naturelle (non étendu). La masse est lâchée depuis le repos à $ z = -0,20 \, \text{m} $ (le ressort est comprimé de 20 cm). On néglige la masse du ressort et les frottements. a) Calculer l’énergie mécanique initiale. b) Déterminer la vitesse de la masse lorsqu’elle passe par la position $ z = 0 $ (longueur naturelle du ressort). **Solution :** a) En $ z_i = -0,20 \, \text{m} $, $ v_i = 0 $ : $$ E_{c,i} = 0 $$ $$ E_{p,i} = m g z_i = 0,50 \times 9,81 \times (-0,20) = -0,981 \, \text{J} $$ $$ E_{el,i} = \frac{1}{2} k x_i^2 $$ Ici, la déformation du ressort $ x $ est égale à $ z $ (puisque $ z=0 $ correspond à longueur naturelle, et $ z $ mesure le déplacement depuis ce point ; si la masse est en dessous, le ressort est comprimé, donc $ x = |z| $, mais au carré, le signe disparaît) : En fait, plus rigoureusement : si on définit $ z $ comme la coordonnée verticale montée positive depuis la longueur naturelle, alors l’allongement du ressort est $ x = -z $ (si la masse descend, $ z < 0 $, le ressort est comprimé, $ x > 0 $). Mais comme $ x^2 = (-z)^2 = z^2 $, on peut écrire : $$ E_{el} = \frac{1}{2} k z^2 $$ donc : $$ E_{el,i} = \frac{1}{2} \times 100 \times (-0,20)^2 = 50 \times 0,04 = 2,0 \, \text{J} $$ $$ E_{m,i} = 0 + (-0,981) + 2,0 = 1,019 \, \text{J} \approx 1,02 \, \text{J} $$ b) En $ z_f = 0 $, on cherche $ v_f $ : $$ E_{p,f} = m g \cdot 0 = 0 $$ $$ E_{el,f} = \frac{1}{2} k (0)^2 = 0 $$ $$ E_{m,f} = E_{c,f} + 0 + 0 = \frac{1}{2} m v_f^2 $$ Conservation de l’énergie mécanique (pas de frottements) : $$ E_{m,i} = E_{m,f} \quad \Rightarrow \quad 1,019 = \frac{1}{2} \times 0,50 \times v_f^2 = 0,25 v_f^2 $$ $$ v_f^2 = \frac{1,019}{0,25} = 4,076 \quad \Rightarrow \quad v_f = \sqrt{4,076} \approx 2,02 \, \text{m/s} $$ La masse passe par $ z = 0 $ avec une vitesse d’environ $ 2,0 \, \text{m/s} $ dirigée vers le haut (puisqu’elle était au repos en bas et remonte). Exercice d’application corrigé 4 : Dans l’exemple précédent, quelle est la hauteur maximale $ z_{max} $ atteinte par la masse au-dessus de la longueur naturelle du ressort ? **Solution :** Au point le plus haut, la vitesse est nulle ($ v = 0 $), donc $ E_c = 0 $. L’énergie mécanique totale reste $ E_m = 1,019 \, \text{J} $ (conservation). Cette énergie est répartie entre énergie potentielle de pesanteur et élastique : $$ E_m = E_p + E_{el} = m g z + \frac{1}{2} k z^2 $$ On pose : $$ 0,50 \times 9,81 \times z + \frac{1}{2} \times 100 \times z^2 = 1,019 $$ $$ 4,905 z + 50 z^2 = 1,019 $$ $$ 50 z^2 + 4,905 z - 1,019 = 0 $$ Résolution du trinôme du second degré : $$ z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \quad \text{avec} \quad a=50, \, b=4,905, \, c=-1,019 $$ $$ \Delta = b^2 - 4ac = (4,905)^2 - 4 \times 50 \times (-1,019) = 24,059 + 203,8 = 227,859 $$ $$ \sqrt{\Delta} \approx 15,095 $$ $$ z = \frac{-4,905 \pm 15,095}{100} $$ On prend la racine positive (puisque l’on cherche la hauteur au-dessus de $ z=0 $) : $$ z = \frac{-4,905 + 15,095}{100} = \frac{10,19}{100} = 0,1019 \, \text{m} \approx 10,2 \, \text{cm} $$ (L’autre racine est négative et correspond à un point en dessous du départ, non pertinent ici pour le maximum). La masse monte donc jusqu’à environ $ 10,2 \, \text{cm} $ au-dessus de la longueur naturelle du ressort. --- ## III. Conservation de l’énergie mécanique Le principe de conservation de l’énergie mécanique est une conséquence directe du théorème de l’énergie cinétique et de la définition du travail d’une force conservative. Il s’applique lorsque les seules forces agissant sur le système sont conservatrices (pesanteur, force élastique d’un ressort idéal) ou lorsque le travail des forces non conservatrices (frottements, résistance de l’air) est négligeable. > **> À retenir :** Si la somme du travail des forces non conservatrices agissant sur un système est nulle ($ W_{nc} = 0 $), alors l’énergie mécanique du système est conservée : > $$ E_{m,i} = E_{m,f} $$ > ou équivalentement : > $$ \Delta E_m = 0 \quad \Rightarrow \quad (E_{c,f} - E_{c,i}) + (E_{p,f} - E_{p,i}) + (E_{el,f} - E_{el,i}) = 0 $$ Cette équation permet de relier l’état initial et l’état final d’un système sans avoir à détailler les forces intermédiaires ou la trajectoire suivie, ce qui simplifie considérablement la résolution de nombreux problèmes. ### A. Énoncé et conditions d’application Le principe vaut pour un système isolé des échanges de travail avec des forces non conservatrices. En pratique, on l’applique lorsque : - Le frottement est absent ou négligeable (plan lisse, air négligeable). - Les ressorts obéissent à la loi de Hooke et ne sont pas soumis à des hystérésis. - Aucune force extérieure non conservative (comme une poussée constante ou une traction variable non dérivable d’un potentiel) ne travaille sur le système. Si une force non conservative travaille, alors : $$ W_{nc} = \Delta E_m $$ c’est-à-dire que la variation d’énergie mécanique est égale au travail des forces non conservatrices. Ce travail est généralement négatif (dissipation d’énergie sous forme thermique), donc $ E_m $ diminue. ### B. Exemples d’application et limites Exemple résolu 1 (conservation vérifiée) : Un bloc de masse $ 2,0 \, \text{kg} $ glisse sans frottement le long d’un plan incliné lisse faisant un angle de $ 30^\circ $ avec l’horizontale. Il part du repos depuis une hauteur verticale de $ 1,5 \, \text{m} $ au-dessus du bas du plan. Quelle est sa vitesse lorsqu’il atteint le bas du plan ? **Solution :** On choisit le bas du plan comme niveau de référence pour $ z $ ($ z=0 $). État initial (haut) : $ z_i = 1,5 \, \text{m} $, $ v_i = 0 $ État final (bas) : $ z_f = 0 $, $ v_f = ? $ Forces agissant : poids (conservative) et réaction du plan (perpendiculaire au déplacement, travail nul). Aucune force non conservative (plan lisse). Conservation de l’énergie mécanique : $$ E_{m,i} = E_{m,f} $$ $$ \left( \frac{1}{2} m v_i^2 + m g z_i \right) = \left( \frac{1}{2} m v_f^2 + m g z_f \right) $$ $$ 0 + m g z_i = \frac{1}{2} m v_f^2 + 0 $$ $$ g z_i = \frac{1}{2} v_f^2 \quad \Rightarrow \quad v_f^2 = 2 g z_i $$ $$ v_f = \sqrt{2 \times 9,81 \times 1,5} = \sqrt{29,43} \approx 5,42 \, \text{m/s} $$ On retrouve le résultat indépendant de la masse et de l’angle du plan (dans le cas sans frottement), cohérent avec la cinétique. Exemple résolu 2 (non-conservation à cause du frottement) : Le même bloc que précédemment glisse maintenant sur un plan incliné rugueux faisant toujours $ 30^\circ $, avec un coefficient de frottement dynamique $ \mu = 0,20 $. Il part toujours du repos depuis $ z_i = 1,5 \, \text{m} $. Quelle est sa vitesse en bas du plan cette fois-ci ? **Solution :** Cette fois, la force de frottement travaille. On ne peut plus appliquer la conservation simple de $ E_m $. On utilise le théorème de l’énergie cinétique ou le bilan énergétique avec travail de la force non conservative. Longueur du plan : $ L = \frac{z_i}{\sin 30^\circ} = \frac{1,5}{0,5} = 3,0 \, \text{m} $ Normale : $ N = m g \cos 30^\circ $ Force de frottement : $ f = \mu N = \mu m g \cos 30^\circ $ Travail du frottement (force opposée au déplacement) : $$ W_f = - f L = - \mu m g \cos 30^\circ \times L $$ Bilan énergétique : $$ W_{poids} + W_f = \Delta E_c $$ Le travail du poids est $ m g z_i $ (comme avant, indépendamment du trajet) : $$ m g z_i + W_f = \frac{1}{2} m v_f^2 - 0 $$ $$ m g z_i - \mu m g \cos 30^\circ \cdot L = \frac{1}{2} m v_f^2 $$ On simplifie par $ m $ : $$ g z_i - \mu g \cos 30^\circ \cdot L = \frac{1}{2} v_f^2 $$ On remplace $ L = \frac{z_i}{\sin 30^\circ} $ : $$ g z_i - \mu g \cos 30^\circ \cdot \frac{z_i}{\sin 30^\circ} = \frac{1}{2} v_f^2 $$ $$ g z_i \left( 1 - \mu \frac{\cos 30^\circ}{\sin 30^\circ} \right) = \frac{1}{2} v_f^2 $$ $$ \frac{\cos 30^\circ}{\sin 30^\circ} = \cot 30^\circ = \sqrt{3} \approx 1,732 $$ $$ g z_i (1 - 0,20 \times 1,732) = 9,81 \times 1,5 \times (1 - 0,3464) = 14,715 \times 0,6536 \approx 9,618 $$ $$ \frac{1}{2} v_f^2 = 9,618 \quad \Rightarrow \quad v_f^2 = 19,236 \quad \Rightarrow \quad v_f \approx 4,39 \, \text{m/s} $$ La vitesse est plus faible que dans le cas sans frottement ($ 5,42 \, \text{m/s} $), comme attendu. La différence d’énergie mécanique a été dissipée en chaleur par le frottement. On peut calculer $ \Delta E_m = E_{m,f} - E_{m,i} = W_f $ : $$ E_{m,i} = m g z_i = 2,0 \times 9,81 \times 1,5 = 29,43 \, \text{J} $$ $$ E_{m,f} = \frac{1}{2} m v_f^2 = 0,5 \times 2,0 \times (4,39)^2 \approx 19,24 \, \text{J} $$ $$ \Delta E_m = 19,24 - 29,43 = -10,19 \, \text{J} $$ $$ W_f = - f L = - (\mu m g \cos 30^\circ) \cdot L = - (0,20 \times 2,0 \times 9,81 \times \cos 30^\circ) \times 3,0 $$ $$ = - (0,20 \times 2,0 \times 9,81 \times 0,8660) \times 3,0 \approx - (3,398) \times 3,0 \approx -10,19 \, \text{J} $$ On retrouve bien $ W_f = \Delta E_m $, confirmant la relation générale. Exercice d’application corrigé 5 : Une masse de $ 0,30 \, \text{kg} $ est attachée à un ressort horizontal de raideur $ k = 400 \, \text{N/m} $, posée sur une table lisse. On comprime le ressort de $ 0,12 \, \text{m} $ puis on lâche la masse depuis le repos. a) Quelle vitesse acquiert-elle lorsqu’elle quitte le ressort (c’est-à-dire lorsque le ressort retrouve sa longueur naturelle) ? b) Si la même expérience est faite sur une table rugueuse où le coefficient de frottement dynamique est $ \mu = 0,15 $, quelle est alors cette vitesse ? **Solution :** a) Table lisse : pas de frottement, forces conservatrices (ressort uniquement, pesanteur et normale se compensent, travail nul). Énergie mécanique initiale : uniquement élastique (masse au repos, $ z=0 $ pour la pesanteur si on prend la table comme référence, mais ici le mouvement est horizontal, donc $ E_p $ ne varie pas et on peut l’omettre ou la considérer constante ; seul $ E_{el} $ et $ E_c $ changent). On prend le référentiel où l’énergie potentielle de pesanteur est constante (mouvement horizontal), donc elle ne participe pas aux variations. $$ E_{m,i} = E_{el,i} = \frac{1}{2} k x_i^2 = \frac{1}{2} \times 400 \times (0,12)^2 = 200 \times 0,0144 = 2,88 \, \text{J} $$ À la longueur naturelle du ressort : $ x_f = 0 $, donc $ E_{el,f} = 0 $, toute l’énergie est cinétique : $$ E_{m,f} = E_{c,f} = \frac{1}{2} m v_f^2 $$ Conservation : $$ 2,88 = \frac{1}{2} \times 0,30 \times v_f^2 = 0,15 v_f^2 $$ $$ v_f^2 = \frac{2,88}{0,15} = 19,2 \quad \Rightarrow \quad v_f = \sqrt{19,2} \approx 4,38 \, \text{m/s} $$ b) Table rugueuse : frottement présent. La masse se déplace sur une distance égale à l’allongement initial du ressort depuis la position compressée jusqu’à la longueur naturelle : $ d = 0,12 \, \text{m} $ (on suppose qu’elle quitte le ressort exactement à ce point ; au-delà, le ressort ne l’influence plus, mais on s’arrête là). Force de frottement : $ f = \mu m g $ (puisque la table est horizontale, $ N = m g $) Travail du frottement (opposé au déplacement) : $$ W_f = - f d = - \mu m g d $$ Bilan énergétique : $$ E_{m,i} + W_f = E_{m,f} $$ $$ E_{el,i} + W_f = \frac{1}{2} m v_f^2 $$ $$ 2,88 - (0,15 \times 0,30 \times 9,81 \times 0,12) = 0,5 \times 0,30 \times v_f^2 $$ Calcul du travail du frottement : $$ \mu m g d = 0,15 \times 0,30 \times 9,81 \times 0,12 = 0,15 \times 0,30 = 0,045 ; 0,045 \times 9,81 = 0,44145 ; 0,44145 \times 0,12 = 0,052974 \, \text{J} $$ Donc : $$ 2,88 - 0,052974 = 0,15 v_f^2 $$ $$ 2,827026 = 0,15 v_f^2 $$ $$ v_f^2 = \frac{2,827026}{0,15} \approx 18,8468 $$ $$ v_f \approx \sqrt{18,8468} \approx 4,34 \, \text{m/s} $$ La vitesse est légèrement réduite par le frottement, comme attendu. (Note : dans ce cas précis, l’effet du frottement est faible car la distance de glissement sur le ressort est courte ; sur une plus longue distance, l’effet serait plus marqué). --- ## Synthèse du chapitre - L’énergie potentielle de pesanteur d’un corps de masse $ m $ à une hauteur $ z $ au-dessus d’un niveau de référence est $ E_p = m g z $. Elle dépend linéairement de la hauteur et est définie à une constante près. - L’énergie potentielle élastique d’un ressort de raideur $ k $ déformé de $ x $ par rapport à son équilibre est $ E_{el} = \frac{1}{2} k x^2 $. Elle est toujours positive ou nulle et dépend du carré de la déformation. - L’énergie mécanique totale d’un système est la somme de son énergie cinétique et de ses énergies potentielles : $ E_m = E_c + E_p + E_{el} $. - Lorsque les seules forces agissant sont conservatrices (pesanteur, force élastique d’un ressort idéal) ou que le travail des forces non conservatrices est négligeable, l’énergie mécanique est conservée : $ E_{m,i} = E_{m,f} $. - En présence de forces non conservatrices (frottements, résistance de l’air), la variation d’énergie mécanique est égale au travail de ces forces : $ \Delta E_m = W_{nc} $, généralement négatif, correspondant à une dissipation d’énergie sous forme thermique. - Le principe de conservation de l’énergie mécanique permet de résoudre des problèmes de dynamique (chute, mouvement sur plan incliné, oscillateur masse-ressort) en évitant le calcul détaillé des forces intermédiaires, en se basant uniquement sur les états initial et final. - Il est essentiel de bien choisir le système étudié, d’identifier les forces conservatrices et non conservatrices agissant sur lui, et de définir clairement les grandeurs utilisées (hauteur de référence, position d’équilibre du ressort, signe des déplacements). - La vérification dimensionnelle et l’ordre de grandeur des résultats sont des étapes cruciales pour valider une solution. ---