Chap 1: Mesures des grandeurs physiques et chimiques

# Chap 1: Mesures des grandeurs physiques et chimiques ## Objectifs et prérequis Ce chapitre vise à maîtriser les principes fondamentaux de la mesure en physique et en chimie, en mettant l’accent sur la précision, l’exactitude et la quantification de l’incertitude. À l’issue de ce cours, l’élève sera capable de : - Identifier les grandeurs physiques et chimiques mesurables et leurs unités du Système International (SI). - Choisir l’instrument de mesure adapté selon la grandeur et l’ordre de grandeur attendu. - Lire correctement une mesure sur un instrument analogique ou numérique. - Définir et calculer l’incertitude absolue, relative et en pourcentage associée à une mesure. - Propager les incertitudes dans les opérations arithmétiques simples (addition, soustraction, multiplication, division). - Exprimer un résultat de mesure avec son incertitude selon les règles de la notation scientifique et des chiffres significatifs. - Interpréter la signification physique de l’incertitude dans un contexte expérimental. **Prérequis** : Maîtrise des opérations de base (addition, soustraction, multiplication, division), notion de grandeur physique, connaissance des unités de base du SI (mètre, kilogramme, seconde, ampère, kelvin, mole, candela), et familiarité avec la notation scientifique. --- ## I. Mesures des grandeurs physiques et chimiques ### A. Grandeurs physiques et chimiques mesurables Une **grandeur physique** est une propriété d’un système physique qui peut être quantifiée par une mesure et exprimée par un nombre accompagné d’une unité. Une **grandeur chimique** est une grandeur physique liée à la composition ou à l’état d’un système chimique (ex. : concentration, quantité de matière, pH). > **À retenir** : Une grandeur physique ou chimique se caractérise par sa nature (ce qu’elle mesure), son unité de mesure (dans le SI), et son ordre de grandeur typique. **Exemples de grandeurs physiques** : - Longueur : mètre (m) - Masse : kilogramme (kg) - Temps : seconde (s) - Température : kelvin (K) - Intensité de courant électrique : ampère (A) - Quantité de matière : mole (mol) - Luminosité : candela (cd) **Exemples de grandeurs chimiques** : - Concentration molaire : mol·L⁻¹ (ou mol/m³) - Masse volumique : kg·m⁻³ - pH : adimensionnel (mais lié à l’activité des ions H⁺) - Pression de vapeur : pascal (Pa) ### B. Instruments de mesure et choix de l’instrument Le choix de l’instrument dépend de : - La nature de la grandeur à mesurer. - L’ordre de grandeur attendu (ex. : mesurer une longueur de 0,1 mm nécessite un pied à coulisse, pas un ruban métrique). - La précision requise (résolution de l’instrument). - Les conditions expérimentales (température, pression, accès). | Grandeur | Instrument adapté | Précision typique | Unité de lecture | |---------|-------------------|-------------------|------------------| | Longueur (cm à m) | Règle graduée | ±1 mm | mm | | Longueur (mm à cm) | Pied à coulisse | ±0,02 mm | 0,01 mm | | Masse (g à kg) | Balance électronique | ±0,01 g | 0,01 g | | Temps (s) | Chronomètre numérique | ±0,01 s | 0,01 s | | Température (°C) | Thermomètre à alcool | ±0,5 °C | 0,1 °C | | Tension électrique (V) | Voltmètre numérique | ±0,01 V | 0,01 V | | Courant électrique (A) | Ampèremètre numérique | ±0,01 A | 0,01 A | | Volume liquide (mL) | Pipette jaugée | ±0,02 mL | 0,01 mL | | Volume liquide (mL) | Burette | ±0,05 mL | 0,01 mL | > **À retenir** : La précision d’un instrument est limitée par sa **résolution** (plus petite division lisible). On ne peut jamais estimer une mesure avec une précision meilleure que la moitié de la résolution. ### C. Lecture d’une mesure sur un instrument #### Instruments analogiques (échelle graduée) - On estime la lecture au **dixième de la division la plus petite**. - Exemple : sur une règle graduée au millimètre (1 mm), on estime au 0,1 mm. - Si l’aiguille est entre 4,2 mm et 4,3 mm, et qu’elle semble à 6/10 du chemin, on lit **4,26 mm**. #### Instruments numériques - La lecture est directe : le nombre affiché est la mesure. - Cependant, le dernier chiffre affiché est souvent incertain (arrondi par l’instrument). - Exemple : une balance affiche 23,45 g → la mesure est 23,45 g, avec une incertitude liée à la résolution (souvent ±0,01 g). > **À retenir** : Sur un instrument numérique, l’incertitude de lecture est généralement prise égale à la résolution (dernier chiffre affiché), sauf indication contraire du fabricant. ### D. Exercices d’application corrigés **Exercice 1** : On mesure la longueur d’un objet avec une règle graduée au millimètre. La lecture estimée est 12,4 mm. Quelle est la mesure exprimée avec son incertitude de lecture ? **Solution** : La résolution de la règle est 1 mm. On estime au dixième de mm → incertitude de lecture = ±0,1 mm. Donc : $ L = (12,4 \pm 0,1) \text{ mm} $ **Exercice 2** : Une balance électronique affiche 5,67 g. Quelle est l’incertitude de lecture associée ? **Solution** : La balance affiche deux décimales → résolution = 0,01 g. On prend l’incertitude de lecture = ±0,01 g. Donc : $ m = (5,67 \pm 0,01) \text{ g} $ **Exercice 3** : On mesure la durée d’une chute libre avec un chronomètre numérique affichant 0,82 s. Quelle est la mesure avec incertitude ? **Solution** : Résolution = 0,01 s → incertitude de lecture = ±0,01 s. Donc : $ t = (0,82 \pm 0,01) \text{ s} $ --- ## II. Notion d’incertitude sur la mesure ### A. Définition et types d’incertitude Toute mesure est entachée d’une **incertitude**, qui caractérise la dispersion raisonnable des valeurs que l’on pourrait attribuer à la grandeur mesurée, compte tenu des limites de l’instrument, de l’observateur, et des conditions expérimentales. > **À retenir** : L’incertitude n’est pas une erreur de calcul, mais une quantification du doute lié à la mesure elle-même. On distingue : - **Incertitude absolue** ($ \Delta x $) : exprimée dans la même unité que la grandeur mesurée. - **Incertitude relative** ($ \frac{\Delta x}{x} $) : rapport de l’incertitude absolue à la valeur mesurée (souvent exprimée en pourcentage). - **Incertaine en pourcentage** : $ \frac{\Delta x}{x} \times 100\% $. ### B. Sources d’incertitude Les principales sources d’incertitude sont : 1. **Incertitude de lecture** : liée à la résolution de l’instrument et à l’estimation de l’observateur (voir partie I.C). 2. **Incertitude d’instrument** : fournie par le fabricant (ex. : ±0,5 % de la plage + 1 chiffre). 3. **Incertitude de répétabilité** : due aux variations aléatoires lors de mesures répétées (écart-type). 4. **Incertitude de calibration** : si l’instrument n’est pas étalonné récemment. 5. **Incertitude d’influence** : effets de la température, de l’humidité, du champ magnétique, etc. Dans ce cours, nous nous concentrons sur l’incertitude de lecture et l’incertitude d’instrument (lorsqu’elle est donnée), et nous négligeons les autres sauf indication contraire. ### C. Calcul de l’incertitude absolue #### Cas 1 : Incertitude de lecture seule Si seule la lecture est incertaine (instrument parfait, conditions idéales) : $$ \Delta x = \text{résolution de l’instrument} \quad \text{(ou moitié de la résolution si estimation au dixième)} $$ Mais en pratique, pour les instruments analogiques où l’on estime au dixième de la division : $$ \Delta x = \frac{1}{2} \times \text{résolution} $$ Pour les instruments numériques, on prend souvent : $$ \Delta x = \text{résolution} \quad \text{(dernier chiffre affiché)} $$ > **À retenir** : Pour un instrument analogique avec résolution $ \delta $, si l’on estime au dixième de $ \delta $, alors $ \Delta x = \delta / 2 $. > Pour un instrument numérique affichant $ n $ décimales, $ \Delta x = 10^{-n} $. #### Cas 2 : Incertitude d’instrument donnée Si le fabricant donne une incertitude (ex. : ±0,5 % de la valeur + 1 chiffre), on l’utilise directement. > **À retenir** : Lorsqu’une incertitude d’instrument est fournie, elle s’ajoute (en quadratique ou linéairement selon le contexte) à l’incertitude de lecture. En première, on utilise souvent l’addition linéaire pour simplifier : $ \Delta x_{\text{total}} = \Delta x_{\text{lecture}} + \Delta x_{\text{instrument}} $. ### D. Propagation des incertitudes Lorsqu’on calcule une grandeur $ f $ à partir de plusieurs mesures $ x, y, z $, l’incertitude sur $ f $ dépend de l’opération effectuée. #### 1. Addition ou soustraction : $ f = x \pm y $ $$ \Delta f = \Delta x + \Delta y $$ > **À retenir** : Pour une addition ou une soustraction, l’incertitude absolue totale est la somme des incertitudes absolues. #### 2. Multiplication ou division : $ f = x \times y $ ou $ f = \dfrac{x}{y} $ $$ \frac{\Delta f}{f} = \frac{\Delta x}{x} + \frac{\Delta y}{y} $$ > **À retenir** : Pour une multiplication ou une division, l’incertitude relative totale est la somme des incertitudes relatives. #### 3. Puissance : $ f = x^n $ $$ \frac{\Delta f}{f} = |n| \cdot \frac{\Delta x}{x} $$ > **À retenir** : Pour une puissance, l’incertitude relative est multipliée par la valeur absolue de l’exposant. #### 4. Fonction générale (approximation du premier ordre) : $ f = f(x, y) $ $$ \Delta f \approx \left| \frac{\partial f}{\partial x} \right| \Delta x + \left| \frac{\partial f}{\partial y} \right| \Delta y $$ En première, on se limite aux cas ci-dessus. ### E. Expression du résultat avec incertitude Le résultat d’une mesure doit être exprimé sous la forme : $$ x = (x_{\text{mes}} \pm \Delta x) \text{ unité} $$ où : - $ x_{\text{mes}} $ est la valeur mesurée (moyenne si plusieurs mesures), - $ \Delta x $ est l’incertitude absolue totale, - Le nombre de chiffres significatifs de $ x_{\text{mes}} $ doit correspondre à la précision de $ \Delta x $. > **À retenir** : L’incertitude absolue $ \Delta x $ doit être arrondie à **un seul chiffre significatif** (exception : si ce chiffre est 1 ou 2, on peut en garder deux pour éviter une perte de précision excessive). > La valeur mesurée $ x_{\text{mes}} $ doit alors être arrondie au même ordre de grandeur que $ \Delta x $ (même nombre de décimales après la virgule). #### Exemple d’arrondi Si on obtient $ x = 12,345 \text{ g} $ et $ \Delta x = 0,047 \text{ g} $ : - On arrondit $ \Delta x $ à 1 chiffre significatif : $ 0,05 \text{ g} $ (puisque 0,047 → 0,05). - On arrondit $ x $ au même rang que $ \Delta x $ : au centième de gramme → $ 12,35 \text{ g} $. - Résultat : $ m = (12,35 \pm 0,05) \text{ g} $ > **À retenir** : Ne jamais donner plus de décimales dans la valeur mesurée que ce que permet l’incertitude. ### F. Exercices d’application corrigés **Exercice 1** : On mesure la longueur d’un objet avec deux règles différentes : - Règle A : lecture = 12,4 mm (résolution 1 mm → incertitude de lecture = ±0,1 mm) - Règle B : lecture = 12,42 mm (résolution 0,1 mm → incertitude de lecture = ±0,01 mm) Quelle mesure choisir et pourquoi ? **Solution** : La règle B a une meilleure résolution (0,1 mm contre 1 mm), donc une incertitude de lecture plus faible (±0,01 mm contre ±0,1 mm). Elle est donc plus précise. On choisit : $ L = (12,42 \pm 0,01) \text{ mm} $ **Exercice 2** : On mesure la masse d’un objet avec une balance électronique qui affiche 23,45 g. Le fabricant précise une incertitude de ±0,02 g (valeur fixe). Quelle est l’incertitude totale ? **Solution** : Incertitude de lecture : résolution = 0,01 g → $ \Delta x_{\text{lecture}} = 0,01 \text{ g} $ Incertitude d’instrument : $ \Delta x_{\text{inst}} = 0,02 \text{ g} $ On additionne linéairement (niveau première) : $ \Delta x_{\text{total}} = 0,01 + 0,02 = 0,03 \text{ g} $ La valeur mesurée est 23,45 g. On arrondit l’incertitude à 1 chiffre significatif : 0,03 g → déjà 1 chiffre significatif (3). On arrondit la valeur au même rang : au centième de gramme → 23,45 g reste (puisque l’incertitude est au centième). Résultat : $ m = (23,45 \pm 0,03) \text{ g} $ **Exercice 3** : On mesure la longueur $ L = (10,2 \pm 0,2) \text{ cm} $ et la largeur $ l = (5,0 \pm 0,1) \text{ cm} $ d’un rectangle. On veut calculer son aire $ S = L \times l $. **Solution** : Valeur de l’aire : $ S = 10,2 \times 5,0 = 51,0 \text{ cm}^2 $ Incertitude relative sur $ L $ : $ \dfrac{0,2}{10,2} \approx 0,0196 $ Incertitude relative sur $ l $ : $ \dfrac{0,1}{5,0} = 0,02 $ Incertitude relative sur $ S $ : $ 0,0196 + 0,02 = 0,0396 $ Incertitude absolue sur $ S $ : $ \Delta S = 51,0 \times 0,0396 \approx 2,0196 \text{ cm}^2 $ On arrondit $ \Delta S $ à 1 chiffre significatif : 2,0 → on garde 2 chiffres car le premier est 2 ? Règle : si le premier chiffre de l’incertitude est 1 ou 2, on peut en garder deux pour éviter une perte de précision. Ici, 2,0 → on garde 2 chiffres significatifs → $ \Delta S = 2,0 \text{ cm}^2 $ On arrondit $ S $ au même rang que $ \Delta S $ : au dixième de cm² → 51,0 cm² reste (puisque l’incertitude est au unité). Attention : $ \Delta S = 2,0 \text{ cm}^2 $ → incertitude à l’unité près. Donc on arrondit $ S $ à l’unité près : 51,0 → 51 cm². Mais 51,0 a trois chiffres, et l’incertitude est à l’unité → on doit avoir le même nombre de décimales. 2,0 a une décimale → donc S doit avoir une décimale. 51,0 a une décimale → correct. Donc : $ S = (51,0 \pm 2,0) \text{ cm}^2 $ Vérification : - Incertitude relative : $ 2,0 / 51,0 \approx 0,039 $ → somme des relatives : 0,0196 + 0,02 = 0,0396 → cohérent. **Exercice 4** : On mesure la période $ T $ d’un pendule en chronométrant 20 oscillations : temps total $ t = (40,0 \pm 0,2) \text{ s} $. On calcule $ T = t / 20 $. **Solution** : Valeur de $ T $ : $ T = 40,0 / 20 = 2,000 \text{ s} $ Comme on divise par un nombre exact (20, comptage sans incertitude), l’incertitude relative se transmet telle quelle : Incertitude relative sur $ t $ : $ \dfrac{0,2}{40,0} = 0,005 $ Incertitude relative sur $ T $ : même valeur = 0,005 Incertitude absolue sur $ T $ : $ \Delta T = 2,000 \times 0,005 = 0,010 \text{ s} $ On arrondit $ \Delta T $ à 1 chiffre significatif : 0,010 → le premier chiffre non nul est 1 (au centième de seconde). On peut garder deux chiffres car le premier est 1 → on garde 0,010 s (deux chiffres significatifs : 1 et 0). On arrondit $ T $ au même rang que $ \Delta T $ : au millième de seconde → 2,000 s a trois décimales, l’incertitude est à la deuxième décimale → on doit arrondir à la deuxième décimale. $ \Delta T = 0,010 $ → incertitude à la deuxième décimale (0,01). Donc on arrondit $ T $ à la deuxième décimale : 2,000 → 2,00 s. Résultat : $ T = (2,00 \pm 0,01) \text{ s} $ Vérification : incertitude relative = 0,01 / 2,00 = 0,005 → cohérent. --- ## Synthèse du chapitre - Les grandeurs physiques et chimiques sont mesurées à l’aide d’instruments adaptés, dont le choix dépend de la nature de la grandeur, de l’ordre de grandeur attendu et de la précision requise. - La lecture d’une mesure sur un instrument analogique implique une estimation au dixième de la plus petite division ; sur un instrument numérique, le dernier chiffre affiché est incertain. - L’incertitude absolue quantifie la dispersion raisonnable autour de la valeur mesurée ; l’incertitude relative et en pourcentage permettent de comparer la précision entre différentes mesures. - Les sources d’incertitude principales sont l’incertitude de lecture et l’incertitude d’instrument ; en première, on les combine souvent par addition linéaire. - Lors d’opérations arithmétiques, les incertitudes se propagent selon des règles spécifiques : addition/soustraction → somme des incertitudes absolues ; multiplication/division → somme des incertitudes relatives ; puissance → multiplication de l’incertitude relative par l’exposant. - Le résultat d’une mesure doit être exprimé avec son incertitude, en arrondissant l’incertitude à un seul chiffre significatif (ou deux si ce chiffre est 1 ou 2), et en ajustant la valeur mesurée au même ordre de grandeur. - L’expression finale suit la forme : $ x = (x_{\text{mes}} \pm \Delta x) \text{ unité} $, avec une cohérence entre le nombre de décimales de $ x_{\text{mes}} $ et celui de $ \Delta x $. --- ## Glossaire - **Grandeur physique** : propriété d’un système pouvant être quantifiée par un nombre et une unité. - **Grandeur chimique** : grandeur physique liée à la composition ou à l’état d’un système chimique (ex. : concentration, quantité de matière). - **Système International (SI)** : système d’unités utilisé en sciences, composé de sept unités de base (m, kg, s, A, K, mol, cd). - **Résolution** : plus petite différence qu’un instrument peut distinguer entre deux valeurs proches. - **Incertitude de lecture** : incertitude liée à la lecture de l’indice sur l’instrument, due à sa résolution et à l’estimation de l’observateur. - **Incertitude d’instrument** : incertitude fournie par le fabricant, liée à la précision intrinsèque de l’appareil. - **Incertitude absolue** ($ \Delta x $) : mesure de l’incertitude dans la même unité que la grandeur mesurée. - **Incertitude relative** : rapport de l’incertitude absolue à la valeur mesurée ($ \Delta x / x $). - **Incertaine en pourcentage** : incertitude relative multipliée par 100. - **Propagation des incertitudes** : méthode pour déterminer l’incertitude sur une grandeur calculée à partir de plusieurs mesures. - **Chiffres significatifs** : chiffres d’un nombre qui portent une signification contribuant à sa précision. - **Arrondi de l’incertitude** : règle selon laquelle l’incertitude absolue doit être exprimée avec un seul chiffre significatif (ou deux si ce chiffre est 1 ou 2).