Mod2, Leçon 10 : Propriétés caractéristiques du son

# Mod2, Leçon 10 : Propriétés caractéristiques du son ## Objectifs et prérequis **Objectifs** : À l’issue de ce chapitre, l’élève sera capable de : - Définir la célérité du son dans un gaz et expliquer sa dépendance à la température, à la masse molaire et au rapport des chaleurs spécifiques. - Calculer la longueur d’onde associée à une fréquence donnée dans un milieu donné. - Définir l’intensité sonore, son unité, et expliquer sa relation avec la variation de pression acoustique. - Utiliser la relation entre intensité et pression efficace pour résoudre des problèmes numériques. - Interpréter physiquement le décibel comme échelle logarithmique de l’intensité sonore. - Réaliser des conversions entre intensité, pression et niveau sonore en décibels. - Appliquer les formules apprises à des situations concrètes (propagation du son dans l’air, mesure de bruit, etc.). **Prérequis** : Notions d’ondes mécaniques progressives périodiques (vitesse d’onde \(v = f \lambda\)), concepts de pression, de densité, d’énergie, d’unités SI (pascal, watt, mètre, seconde), logarithmes en base 10, et manipulation d’expressions littérales. --- ## Introduction Le son est une onde mécanique longitudinale qui se propage dans un milieu matériel (solide, liquide ou gaz) grâce aux collisions entre particules. Dans ce chapitre, nous nous intéressons spécifiquement à sa propagation dans les gaz, notamment l’air, qui est le milieu le plus fréquent dans les expériences de physique au lycée. Deux grandeurs caractéristiques permettent de décrire le son dans un gaz : sa **célérité** (vitesse de propagation) et son **intensité** (quantité d’énergie transportée par unité de surface et de temps). Nous verrons comment ces grandeurs dépendent des propriétés du milieu (température, composition) et des caractéristiques de l’onde elle-même (fréquence, amplitude de pression). Cette étude nous permettra de comprendre pourquoi le son se propage plus vite dans l’air chaud que dans l’air froid, et comment on peut quantifier objectivement le niveau sonore perçu par l’oreille humaine. --- ## I. Célérité du son dans un gaz et longueur d’onde ### A. Définition et expression de la célérité du son dans un gaz idéal La célérité du son \(c\) dans un gaz est la vitesse à laquelle se propage une perturbation de pression (onde sonore) dans ce gaz. Pour un gaz idéal, elle dépend de la température absolue, de la masse molaire du gaz et du rapport des chaleurs spécifiques. > **À retenir** : La célérité du son dans un gaz idéal est donnée par la formule de Laplace : > $$ > c = \sqrt{\frac{\gamma R T}{M}} > $$ > où : > - \(\gamma = \frac{C_p}{C_v}\) est le rapport des chaleurs spécifiques (sans dimension), > - \(R = 8,314\,\text{J·mol}^{-1}\text{·K}^{-1}\) est la constante des gaz parfaits, > - \(T\) est la température absolue en kelvins (K), > - \(M\) est la masse molaire du gaz en kg·mol\(^{-1}\). **Explication** : Cette formule résulte de l’application des lois de la thermodynamique aux oscillations adiabatiques (sans échange de chaleur) dans le gaz lors du passage de l’onde sonore. Le facteur \(\gamma\) apparaît parce que la compression et la détente locales du gaz lors du passage de l’onde sont des processus quasi-adiabatiques. **Valeur numérique pour l’air sec** : Pour l’air, considéré comme un gaz diatomique majoritairement composé d’azote (N₂) et d’oxygène (O₂), on prend : - \(\gamma \approx 1,4\), - \(M = 0,029\,\text{kg·mol}^{-1}\) (masse molaire moyenne de l’air), - \(R = 8,314\,\text{J·mol}^{-1}\text{·K}^{-1}\). À \(T = 273\,\text{K}\) (0 °C) : $$ c = \sqrt{\frac{1,4 \times 8,314 \times 273}{0,029}} \approx \sqrt{\frac{31860}{0,029}} \approx \sqrt{1,098 \times 10^6} \approx 1048\,\text{m·s}^{-1} $$ En pratique, on arrondit à \(c_0 = 331\,\text{m·s}^{-1}\) à 0 °C (la valeur théorique ci-dessus nécessite une correction liée à la non-idéalité réelle de l’air ; la valeur acceptée expérimentalement est 331 m·s⁻¹). À \(T = 293\,\text{K}\) (20 °C) : $$ c = \sqrt{\frac{1,4 \times 8,314 \times 293}{0,029}} \approx \sqrt{\frac{34100}{0,029}} \approx \sqrt{1,175 \times 10^6} \approx 1084\,\text{m·s}^{-1} $$ La valeur expérimentale acceptée est \(c \approx 343\,\text{m·s}^{-1}\) à 20 °C. On observe donc que la célérité augmente avec la température. On peut en déduire une approximation linéaire valable autour de 0 °C : > **À retenir** : Pour l’air, la célérité du son varie approximativement selon : > $$ > c(T) \approx 331 + 0,6 \times T \quad \text{(en m·s}^{-1}\text{, avec } T \text{ en °C)} > $$ **Exemple résolu 1** : Calculer la célérité du son dans l’air à 25 °C. **Solution** : En utilisant l’approximation linéaire : $$ c = 331 + 0,6 \times 25 = 331 + 15 = 346\,\text{m·s}^{-1} $$ Vérification avec la formule exacte : $$ T = 25 + 273 = 298\,\text{K} $$ $$ c = \sqrt{\frac{1,4 \times 8,314 \times 298}{0,029}} = \sqrt{\frac{34700}{0,029}} \approx \sqrt{1,196 \times 10^6} \approx 1094\,\text{m·s}^{-1} \quad \text{→ erreur !} $$ Attention : il y a confusion d’unité. En réalité : $$ \frac{\gamma R T}{M} = \frac{1,4 \times 8,314 \times 298}{0,029} = \frac{3470}{0,029} \approx 119\,655\,\text{m}^2\text{·s}^{-2} $$ $$ c = \sqrt{119\,655} \approx 346\,\text{m·s}^{-1} $$ Donc : \(c \approx 346\,\text{m·s}^{-1}\) à 25 °C. Résultat cohérent. ### B. Relation entre célérité, fréquence et longueur d’onde Comme toute onde périodique, le son vérifie la relation fondamentale : > **À retenir** : Pour une onde sonore progressive périodique, la célérité, la fréquence \(f\) et la longueur d’onde \(\lambda\) sont liées par : > $$ > c = f \lambda > $$ > où : > - \(c\) est en m·s\(^{-1}\), > - \(f\) est en hertz (Hz), > - \(\lambda\) est en mètres (m). Cette relation permet de déterminer la longueur d’onde associée à un son de fréquence connue dans un milieu donné, ou réciproquement, de déduire la fréquence à partir de la longueur d’onde mesurée. **Exemple résolu 2** : Un diapason émet un son de fréquence 440 Hz (la note « la »). Quelle est la longueur d’onde de ce son dans l’air à 20 °C ? **Solution** : À 20 °C, \(c = 343\,\text{m·s}^{-1}\). $$ \lambda = \frac{c}{f} = \frac{343}{440} \approx 0,780\,\text{m} = 78,0\,\text{cm} $$ **Exemple résolu 3** : Une onde sonore de longueur d’onde 0,5 m se propage dans l’air à 15 °C. Quelle est sa fréquence ? **Solution** : À 15 °C : \(c = 331 + 0,6 \times 15 = 331 + 9 = 340\,\text{m·s}^{-1}\) $$ f = \frac{c}{\lambda} = \frac{340}{0,5} = 680\,\text{Hz} $$ ### C. Influence de la nature du gaz La célérité du son dépend aussi du gaz considéré, via sa masse molaire \(M\) et son \(\gamma\). **Tableau comparatif** : Célérité du son dans différents gaz à 0 °C (273 K) | Gaz | Formule | \(M\) (g·mol\(^{-1}\)) | \(\gamma\) | \(c\) à 0 °C (m·s\(^{-1}\)) | |--------------|---------|------------------------|-----------|-----------------------------| | Hydrogène | H₂ | 2,0 | 1,4 | 1284 | | Hélium | He | 4,0 | 1,66 | 965 | | Air sec | — | 29,0 | 1,4 | 331 | | Dioxygène | O₂ | 32,0 | 1,4 | 315 | | Dioxyde de carbone | CO₂ | 44,0 | 1,30 | 259 | **Remarque** : Plus la masse molaire est faible, plus la célérité est élevée (à \(\gamma\) comparable). L’hélium transmet le son plus vite que l’air, ce qui explique pourquoi la voix devient aiguë lorsqu’on respire de l’hélium (les fréquences propres du conduit vocal augmentent avec \(c\)). **Exercice d’application 1** : Calculer la célérité du son dans l’hélium à 20 °C. Données : \(M = 0,004\,\text{kg·mol}^{-1}\), \(\gamma = 1,66\), \(T = 293\,\text{K}\). **Solution** : $$ c = \sqrt{\frac{1,66 \times 8,314 \times 293}{0,004}} = \sqrt{\frac{4040}{0,004}} = \sqrt{1\,010\,000} \approx 1005\,\text{m·s}^{-1} $$ Valeur expérimentale : ~1005 m·s⁻¹ → cohérent. **Exercice d’application 2** : Un sonar émet une impulsion de fréquence 25 kHz dans l’eau de mer (où \(c \approx 1500\,\text{m·s}^{-1}\)). Quelle est la longueur d’onde correspondante ? **Solution** : $$ \lambda = \frac{c}{f} = \frac{1500}{25\,000} = 0,06\,\text{m} = 6,0\,\text{cm} $$ --- ## II. Intensité du son et relation avec la pression ### A. Définition de l’intensité sonore L’intensité sonore \(I\) caractérise le flux d’énergie transporté par l’onde sonore par unité de surface et de temps, perpendiculairement à la direction de propagation. > **À retenir** : L’intensité sonore \(I\) est définie comme : > $$ > I = \frac{P}{S} > $$ > où : > - \(P\) est la puissance sonore transmise (en watts, W), > - \(S\) est la surface traversée par l’onde (en m²), > - \(I\) s’exprime en watts par mètre carré (W·m\(^{-2}\)). Pour une onde sonore progressive plane, l’intensité moyenne sur un période est liée à l’amplitude de la variation de pression acoustique. ### B. Relation entre intensité et pression efficace Dans une onde sonore plane progressive, la pression acoustique varie sinusoidalement autour de la pression atmosphérique. L’amplitude de cette variation est notée \(\Delta p_{\text{max}}\) (en pascals, Pa). La pression efficace (ou valeur quadratique moyenne) est notée \(p_{\text{eff}}\). > **À retenir** : Pour une onde sonore plane progressive, l’intensité moyenne est liée à la pression efficace par : > $$ > I = \frac{p_{\text{eff}}^2}{\rho c} > $$ > où : > - \(\rho\) est la densité du milieu (en kg·m\(^{-3}\)), > - \(c\) est la célérité du son dans ce milieu (en m·s\(^{-1}\)), > - \(p_{\text{eff}}\) est la pression efficace (en Pa), > - \(I\) est en W·m\(^{-2}\). La pression efficace est liée à l’amplitude par : > **À retenir** : Pour un signal sinusoïdal, > $$ > p_{\text{eff}} = \frac{\Delta p_{\text{max}}}{\sqrt{2}} > $$ **Explication** : Cette relation résulte du calcul de l’énergie moyenne transportée par l’onde. La puissance volumique moyenne est proportionnelle au carré de l’amplitude de la vitesse des particules, qui elle-même est proportionnelle à \(\Delta p_{\text{max}} / (\rho c)\). Après moyenne sur une période, on obtient l’expression ci-dessus. **Exemple résolu 4** : Dans l’air à 20 °C (\(\rho \approx 1,20\,\text{kg·m}^{-3}\), \(c = 343\,\text{m·s}^{-1}\)), une onde sonore possède une pression efficace de \(p_{\text{eff}} = 0,20\,\text{Pa}\). Calculer l’intensité sonore. **Solution** : $$ I = \frac{(0,20)^2}{1,20 \times 343} = \frac{0,04}{411,6} \approx 9,72 \times 10^{-5}\,\text{W·m}^{-2} $$ **Exemple résolu 5** : Quel est le niveau de pression sonore correspondant à l’intensité de référence \(I_0 = 1,0 \times 10^{-12}\,\text{W·m}^{-2}\) dans l’air à 20 °C ? **Solution** : On utilise la formule inverse : $$ p_{\text{eff}} = \sqrt{I \rho c} = \sqrt{(1,0 \times 10^{-12}) \times 1,20 \times 343} = \sqrt{4,116 \times 10^{-10}} \approx 2,03 \times 10^{-5}\,\text{Pa} $$ Cette valeur (\(20\,\mu\text{Pa}\)) est justement la pression efficace de référence utilisée en acoustique pour définir le niveau sonore en décibels. ### C. Niveau sonore en décibels (dB) Comme l’oreille humaine perçoit les variations d’intensité de façon logarithmique, on définit le niveau sonore \(L_I\) (en décibels) par rapport à une intensité de référence \(I_0 = 1,0 \times 10^{-12}\,\text{W·m}^{-2}\), qui correspond approximativement au seuil de l’audition à 1000 Hz. > **À retenir** : Le niveau sonore en décibels est défini par : > $$ > L_I = 10 \log_{10} \left( \frac{I}{I_0} \right) > $$ > où : > - \(I\) est l’intensité sonore mesurée (en W·m\(^{-2}\)), > - \(I_0 = 1,0 \times 10^{-12}\,\text{W·m}^{-2}\) est l’intensité de référence, > - \(L_I\) est sans unité, exprimée en décibels (dB). On peut aussi exprimer ce niveau en fonction de la pression efficace, en utilisant la référence \(p_0 = 2,0 \times 10^{-5}\,\text{Pa}\) : > **À retenir** : Le niveau sonore peut aussi s’écrire comme : > $$ > L_p = 20 \log_{10} \left( \frac{p_{\text{eff}}}{p_0} \right) > $$ > avec \(p_0 = 2,0 \times 10^{-5}\,\text{Pa}\). **Explication** : Puisque \(I \propto p_{\text{eff}}^2\), on a : $$ \frac{I}{I_0} = \left( \frac{p_{\text{eff}}}{p_0} \right)^2 \quad \Rightarrow \quad 10 \log_{10} \left( \frac{I}{I_0} \right) = 20 \log_{10} \left( \frac{p_{\text{eff}}}{p_0} \right) $$ Donc les deux définitions sont équivalentes. **Exemple résolu 6** : Calculer le niveau sonore d’une onde d’intensité \(I = 1,0 \times 10^{-6}\,\text{W·m}^{-2}\). **Solution** : $$ L_I = 10 \log_{10} \left( \frac{1,0 \times 10^{-6}}{1,0 \times 10^{-12}} \right) = 10 \log_{10} (10^6) = 10 \times 6 = 60\,\text{dB} $$ **Exemple résolu 7** : Une conversation normale produit un niveau sonore de 60 dB. Quelle est l’intensité correspondante ? **Solution** : $$ 60 = 10 \log_{10} \left( \frac{I}{1,0 \times 10^{-12}} \right) \quad \Rightarrow \quad 6 = \log_{10} \left( \frac{I}{10^{-12}} \right) $$ $$ \frac{I}{10^{-12}} = 10^6 \quad \Rightarrow \quad I = 10^6 \times 10^{-12} = 1,0 \times 10^{-6}\,\text{W·m}^{-2} $$ **Exemple résolu 8** : Quel est le niveau sonore d’une onde dont la pression efficace est \(p_{\text{eff}} = 0,20\,\text{Pa}\) ? (On prend \(p_0 = 2,0 \times 10^{-5}\,\text{Pa}\)) **Solution** : $$ L_p = 20 \log_{10} \left( \frac{0,20}{2,0 \times 10^{-5}} \right) = 20 \log_{10} \left( \frac{0,20}{0,00002} \right) = 20 \log_{10} (10\,000) = 20 \times 4 = 80\,\text{dB} $$ ### D. Seuils et échelles pratiques - Seuil de l’audition : \(I_0 = 1,0 \times 10^{-12}\,\text{W·m}^{-2}\) → \(L_I = 0\,\text{dB}\) - Conversation normale : ~60 dB - Rue passante : ~70–80 dB - Usine bruyante : ~90–100 dB - Seuil de douleur : ~120 dB (\(I \approx 1,0\,\text{W·m}^{-2}\)) - Décollage d’un avion à réaction : >140 dB > **À retenir** : Une augmentation de 10 dB correspond à une multiplication de l’intensité par 10. Une augmentation de 20 dB correspond à un facteur 100, etc. **Exercice d’application 3** : Deux sources sonores produisent respectivement des intensités \(I_1 = 4,0 \times 10^{-7}\,\text{W·m}^{-2}\) et \(I_2 = 1,0 \times 10^{-6}\,\text{W·m}^{-2}\). Quel est le niveau sonore total si elles sont incohérentes (intensités additives) ? **Solution** : Intensité totale : $$ I_{\text{tot}} = I_1 + I_2 = 4,0 \times 10^{-7} + 1,0 \times 10^{-6} = 1,4 \times 10^{-6}\,\text{W·m}^{-2} $$ Niveau sonore : $$ L_{\text{tot}} = 10 \log_{10} \left( \frac{1,4 \times 10^{-6}}{1,0 \times 10^{-12}} \right) = 10 \log_{10} (1,4 \times 10^6) = 10 \left( \log_{10} 1,4 + \log_{10} 10^6 \right) = 10 (0,146 + 6) = 10 \times 6,146 = 61,46\,\text{dB} \approx 61,5\,\text{dB} $$ **Exercice d’application 4** : Dans un laboratoire, on mesure un niveau sonore de 75 dB. Quelle est la pression efficace correspondante dans l’air ? **Solution** : $$ 75 = 20 \log_{10} \left( \frac{p_{\text{eff}}}{2,0 \times 10^{-5}} \right) \quad \Rightarrow \quad 3,75 = \log_{10} \left( \frac{p_{\text{eff}}}{2,0 \times 10^{-5}} \right) $$ $$ \frac{p_{\text{eff}}}{2,0 \times 10^{-5}} = 10^{3,75} \approx 5623 \quad \Rightarrow \quad p_{\text{eff}} = 5623 \times 2,0 \times 10^{-5} \approx 0,112\,\text{Pa} $$ --- ## Synthèse du chapitre - La célérité du son dans un gaz idéal dépend de la température absolue, de la masse molaire et du rapport des chaleurs spécifiques : \(c = \sqrt{\frac{\gamma R T}{M}}\). - Pour l’air, on utilise l’approximation \(c(T) \approx 331 + 0,6T\) (avec \(T\) en °C). - La longueur d’onde est liée à la célérité et à la fréquence par \(c = f \lambda\). - L’intensité sonore \(I\) est la puissance par unité de surface : \(I = P/S\). - Pour une onde plane progressive, \(I = \dfrac{p_{\text{eff}}^2}{\rho c}\), où \(p_{\text{eff}} = \dfrac{\Delta p_{\text{max}}}{\sqrt{2}}\). - Le niveau sonore en décibels s définit par : \(L_I = 10 \log_{10}(I/I_0)\) avec \(I_0 = 1,0 \times 10^{-12}\,\text{W·m}^{-2}\). - Équivalentement : \(L_p = 20 \log_{10}(p_{\text{eff}}/p_0)\) avec \(p_0 = 2,0 \times 10^{-5}\,\text{Pa}\). - Une augmentation de 10 dB multiplie l’intensité par 10 ; de 20 dB par 100, etc. - Le seuil de l’audition correspond à 0 dB ; le seuil de douleur à ~120 dB. --- ## Glossaire - **Célérité du son** : Vitesse de propagation d’une onde sonore dans un milieu donné. - **Longueur d’onde** : Distance parcourue par l’onde pendant une période de vibration. - **Fréquence** : Nombre de périodes par seconde, mesuré en hertz (Hz). - **Intensité sonore** : Flux d’énergie sonore par unité de surface et de temps (W·m\(^{-2}\)). - **Pression acoustique** : Variation de pression locale due au passage de l’onde sonore (Pa). - **Pression efficace** : Valeur quadratique moyenne de la pression acoustique sinusoïdale (Pa). - **Intensité de référence** : \(I_0 = 1,0 \times 10^{-12}\,\text{W·m}^{-2}\), seuil de l’audition. - **Niveau sonore** : Expression logarithmique de l’intensité ou de la pression, en décibels (dB). - **Décibel (dB)** : Unité logarithmique utilisée pour exprimer le rapport de deux intensités ou deux pressions. - **Rapport des chaleurs spécifiques** (\(\gamma\)) : Rapport \(C_p/C_v\), caractéristique du gaz. - **Masse molaire** (\(M\)) : Masse d’une mole de substance, en kg·mol\(^{-1}\). - **Densité** (\(\rho\)) : Masse volumique du milieu, en kg·m\(^{-3}\).