Chap4 : Puissance d'une force

# Chap4 : Puissance d'une force ## Objectifs et prérequis **Objectifs** : À l’issue de ce chapitre, l’élève sera capable de : - Définir la puissance d’une force et d’un couple de forces. - Exprimer la puissance d’une force constante en fonction du travail et du temps, puis en fonction du scalaire produit de la force et de la vitesse du point d’application. - Exprimer la puissance d’un couple de force de moment constant en fonction du travail et du temps, puis en fonction du scalaire produit du moment du couple et de la vitesse angulaire. - Appliquer ces définitions à des situations physiques simples (mouvement rectiligne uniforme, rotation uniforme autour d’un axe fixe). - Résoudre des exercices d’application en utilisant les formules appropriées et en vérifiant l’homogénéité des grandeurs. - Interpréter physiquement le signe de la puissance (apport ou retrait d’énergie mécanique). **Prérequis** : - Notion de travail d’une force : $W = \vec{F} \cdot \vec{d}$ pour une force constante, ou $W = \int \vec{F} \cdot d\vec{r}$ en général. - Notion de travail d’un couple : $W = \tau \Delta\theta$ pour un moment constant, où $\tau$ est le module du moment du couple et $\Delta\theta$ l’angle de rotation. - Notion de vitesse : $\vec{v} = d\vec{r}/dt$, et de vitesse angulaire : $\omega = d\theta/dt$. - Notion de produit scalaire : $\vec{A} \cdot \vec{B} = AB\cos\theta$. - Notion de moment d’un couple : $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$, avec $\tau = rF\sin\theta$ pour un couple formé par deux forces égales et opposées. - Unités du Système International : joule (J) pour le travail, watt (W) pour la puissance, newton (N) pour la force, mètre (m) pour la distance, radian (rad) pour l’angle, seconde (s) pour le temps. --- ## I. Puissance d’une force constante ### Définition et expression générale > La puissance instantanée $P$ d’une force $\vec{F}$ agissant sur un point matériel dont la vitesse est $\vec{v}$ est définie comme le produit scalaire de la force et de la vitesse du point d’application : > $$P = \vec{F} \cdot \vec{v}$$ > Elle représente le taux auquel la force effectue du travail sur le point matériel : $P = dW/dt$. **Propriétés** : - La puissance est une grandeur scalaire, pouvant être positive, nulle ou négative. - $P > 0$ : la force apporte de l’énergie mécanique au système (travail positif). - $P = 0$ : la force est perpendiculaire à la vitesse ou nulle (pas de travail instantané). - $P < 0$ : la force retire de l’énergie mécanique au système (travail négatif, comme une force de frottement). - Pour une force constante, la puissance moyenne sur un intervalle de temps $\Delta t$ est égale à la puissance instantanée si $\vec{v}$ est constante : $P_m = W / \Delta t = \vec{F} \cdot \vec{v}$. - Si la vitesse varie, la puissance instantanée varie même si la force est constante. **Unité** : watt (W), où $1\,\text{W} = 1\,\text{J/s} = 1\,\text{N·m/s}$. ### Exemple résolu 1 : Puissance d’une force constante tirant un bloc sur une surface horizontale sans frottement Un bloc de masse $m = 5,0\,\text{kg}$ est tiré horizontalement par une force constante $\vec{F} = 20,0\,\text{N}$ dirigée à l’est. À un instant donné, sa vitesse est $\vec{v} = 3,0\,\text{m/s}$ vers l’est. Calculer la puissance instantanée de la force $\vec{F}$ à cet instant. **Solution** : Comme $\vec{F}$ et $\vec{v}$ sont parallèles et dans la même direction, l’angle entre eux est $0^\circ$. $$P = \vec{F} \cdot \vec{v} = F v \cos 0^\circ = (20,0\,\text{N})(3,0\,\text{m/s})(1) = 60,0\,\text{W}$$ La puissance est positive : la force apporte de l’énergie cinétique au bloc. ### Exemple résolu 2 : Puissance d’une force de poids lors d’une chute libre verticale Un objet de masse $m = 2,0\,\text{kg}$ tombe verticalement sous l’action de son poids $\vec{P} = m\vec{g}$ (avec $g = 9,8\,\text{m/s}^2$ vers le bas). À un instant où sa vitesse est $\vec{v} = 4,0\,\text{m/s}$ vers le bas, calculer la puissance instantanée du poids. **Solution** : $\vec{P}$ et $\vec{v}$ sont tous deux dirigés vers le bas, donc parallèles et dans la même direction. $$P = \vec{P} \cdot \vec{v} = (mg) v \cos 0^\circ = (2,0 \times 9,8)(4,0)(1) = 78,4\,\text{W}$$ La puissance est positive : le poids augmente l’énergie cinétique de l’objet. ### Exemple résolu 3 : Puissance d’une force de frottement lors d’un glissement uniforme Un bloc glisse à vitesse constante $\vec{v} = 2,0\,\text{m/s}$ vers l’est sur une surface horizontale. Une force de frottement $\vec{f}$ de module $f = 5,0\,\text{N}$ s’oppose au mouvement (direction ouest). Calculer la puissance instantanée de la force de frottement. **Solution** : $\vec{f}$ est dirigé vers l’ouest, $\vec{v}$ vers l’est : ils sont antiparallèles, angle $180^\circ$. $$P = \vec{f} \cdot \vec{v} = f v \cos 180^\circ = (5,0)(2,0)(-1) = -10,0\,\text{W}$$ La puissance est négative : la force de frottement retire de l’énergie mécanique du bloc (dissipée en chaleur). ### Exercices d’application corrigés **Exercice 1** : Une voiture de masse $1200\,\text{kg}$ avance à vitesse constante $v = 25,0\,\text{m/s}$ sur une route horizontale. La force de traction du moteur est égale en module à la force de résistance de l’air $F_{\text{air}} = 400\,\text{N}$, dirigée opposé au mouvement. a) Quelle est la puissance instantanée développée par le moteur ? b) Quelle est la puissance instantanée de la force de résistance de l’air ? **Solution** : a) Le moteur exerce une force $\vec{F}_{\text{mot}}$ dirigée dans le sens du mouvement (est), de module $400\,\text{N}$ pour compenser l’air. $\vec{v}$ est aussi vers l’est. $$P_{\text{mot}} = \vec{F}_{\text{mot}} \cdot \vec{v} = (400)(25,0)\cos 0^\circ = 10\,000\,\text{W} = 10,0\,\text{kW}$$ b) La force de l’air $\vec{F}_{\text{air}}$ est dirigée ouest, opposée à $\vec{v}$ (est) : $$P_{\text{air}} = \vec{F}_{\text{air}} \cdot \vec{v} = (400)(25,0)\cos 180^\circ = -10\,000\,\text{W} = -10,0\,\text{kW}$$ > À retenir : En régime permanent (vitesse constante), la puissance utile du moteur compense exactement la puissance dissipée par les forces résistantes : $P_{\text{mot}} + P_{\text{air}} = 0$. **Exercice 2** : Un objet est lancé verticalement vers le haut avec une vitesse initiale $v_0 = 15,0\,\text{m/s}$. À l’instant $t = 1,0\,\text{s}$ après le lancement, quelle est la puissance instantanée de son poids ? ($g = 9,8\,\text{m/s}^2$) **Solution** : La vitesse à $t = 1,0\,\text{s}$ : $$v = v_0 - gt = 15,0 - 9,8 \times 1,0 = 5,2\,\text{m/s}$$ (encore vers le haut, donc positive si on prend le haut comme direction positive). Le poids $\vec{P} = m\vec{g}$ est dirigé vers le bas. On prend le haut comme direction positive : $\vec{v} = +5,2\,\text{m/s}$, $\vec{g} = -9,8\,\text{m/s}^2$, donc $\vec{P} \cdot \vec{v} = m g v \cos 180^\circ$ (puisque $\vec{P}$ et $\vec{v}$ sont opposés). Mais plus directement : $$P = \vec{P} \cdot \vec{v} = (m\vec{g}) \cdot \vec{v} = m g v \cos 180^\circ = - m g v$$ On ne connaît pas $m$, mais on peut exprimer la puissance en fonction de $m$ : $$P = - m (9,8)(5,2) = -50,96 m\,\text{W}$$ Si l’on veut une valeur numérique, on doit connaître $m$. Supposons qu’on demande l’expression ou qu’on oublie la masse ? En fait, l’énoncé ne donne pas la masse. On ne peut donc pas donner une valeur numérique sans elle. On peut toutefois dire : > La puissance instantanée du poids est $P = - m g v$, où $v$ est la vitesse verticale à l’instant considéré. À $t = 1,0\,\text{s}$, $v = 5,2\,\text{m/s}$ vers le haut, donc $P = - m \times 9,8 \times 5,2 = -50,96 m\,\text{W}$. Si l’on supposait $m = 1,0\,\text{kg}$ (cas fréquent en exercice si non précisé), alors $P = -51,0\,\text{W}$. Mais comme la masse n’est pas donnée, on s’arrête à l’expression. Cependant, dans le contexte du programme, on attend souvent une valeur numérique. Vérifions : peut-être l’objectif est de réaliser que la puissance dépend de la masse. Mais pour respecter la consigne de ne pas inventer, on ne donne pas de valeur numérique sans masse. On reformule l’exercice pour qu’il soit soluble : *Exercice 2 corrigé* : Un objet de masse $m = 2,0\,\text{kg}$ est lancé verticalement vers le haut avec une vitesse initiale $v_0 = 15,0\,\text{m/s}$. À l’instant $t = 1,0\,\text{s}$ après le lancement, quelle est la puissance instantanée de son poids ? **Solution** : $v = v_0 - gt = 15,0 - 9,8 \times 1,0 = 5,2\,\text{m/s}$ vers le haut. $\vec{P}$ vers le bas, $\vec{v}$ vers le haut : angle $180^\circ$. $$P = \vec{P} \cdot \vec{v} = (mg) v \cos 180^\circ = - m g v = - (2,0)(9,8)(5,2) = -101,92\,\text{W} \approx -102\,\text{W}$$ > À retenir : Lors d’un lancement vertical vers le haut, la puissance du poids est négative tant que la vitesse vers le haut est non nulle : le poids diminue l’énergie mécanique du système. --- ## II. Puissance d’un couple de force de moment constant ### Définition et expression générale > La puissance instantanée $P$ d’un couple de forces dont le moment est $\vec{\tau}$ agissant sur un corps tournant autour d’un axe fixe avec une vitesse angulaire $\vec{\omega}$ est définie comme le produit scalaire du moment du couple et de la vitesse angulaire : > $$P = \vec{\tau} \cdot \vec{\omega}$$ > Elle représente le taux auquel le couple effectue du travail sur le corps en rotation : $P = dW/dt$. **Propriétés** : - La puissance est une grandeur scalaire, pouvant être positive, nulle ou négative. - $P > 0$ : le couple apporte de l’énergie mécanique au système en rotation (travail positif, augmentation de l’énergie cinétique de rotation). - $P = 0$ : le moment du couple est perpendiculaire à la vitesse angulaire (impossible pour une rotation autour d’un axe fixe, sauf si $\tau = 0$ ou $\omega = 0$) ou l’un est nul. Pour une rotation autour d’un axe fixe, $\vec{\tau}$ et $\vec{\omega}$ sont toujours parallèles ou antiparallèles (ils sont axiaux). - $P < 0$ : le couple retire de l’énergie mécanique du système (travail négatif, comme un couple de freinage). - Pour un moment constant $\tau$, la puissance moyenne sur un intervalle de temps $\Delta t$ est égale à la puissance instantanée si $\omega$ est constante : $P_m = W / \Delta t = \tau \omega$. - Si la vitesse angulaire varie, la puissance instantanée varie même si le moment du couple est constant. **Unité** : watt (W), où $1\,\text{W} = 1\,\text{J/s} = 1\,\text{N·m/s}$. Note : le produit $\tau \omega$ a pour unité $(\text{N·m}) \times (\text{rad/s}) = \text{N·m/s} = \text{J/s} = \text{W}$, car le radian est adimensionnel. ### Exemple résolu 1 : Puissance d’un couple constant faisant tourner une roue à vitesse angulaire constante Une roue est soumise à un couple constant de moment $\tau = 15,0\,\text{N·m}$ qui lui fait maintenir une vitesse angulaire constante $\omega = 8,0\,\text{rad/s}$. Calculer la puissance instantanée du couple. **Solution** : Comme le couple maintient une vitesse angulaire constante, il doit compenser un couple résistif (frottement). Mais pour le couple appliqué, $\vec{\tau}$ et $\vec{\omega}$ sont dans la même direction (pour maintenir la rotation). $$P = \vec{\tau} \cdot \vec{\omega} = \tau \omega \cos 0^\circ = (15,0)(8,0)(1) = 120\,\text{W}$$ La puissance est positive : le couple appliqué apporte de l’énergie mécanique à la roue (pour compenser les pertes). ### Exemple résolu 2 : Puissance d’un couple de freinage sur un disque en rotation Un disque tournant initialement à $\omega_0 = 20,0\,\text{rad/s}$ est soumis à un couple de freinage constant de moment $\tau = 10,0\,\text{N·m}$ opposé au sens de rotation. Calculer la puissance instantanée de ce couple de freinage à l’instant où la vitesse angulaire est encore $\omega = 15,0\,\text{rad/s}$. **Solution** : Le couple de freinage s’oppose à la rotation : si on prend le sens de rotation comme positif, $\vec{\omega}$ est positif, $\vec{\tau}$ est négatif (ou dirigé dans le sens opposé). Le module du produit scalaire : $P = \tau \omega \cos 180^\circ = - \tau \omega$. $$P = - (10,0)(15,0) = -150\,\text{W}$$ La puissance est négative : le couple de freinage retire de l’énergie mécanique du disque (dissipée en chaleur par les freins). ### Exemple résolu 3 : Puissance du couple poids d’une porte battant autour de ses gonds Une porte de masse $m = 10,0\,\text{kg}$ et de largeur $L = 0,80\,\text{m}$ tourne autour de ses gonds (axe vertical). Son centre de masse est à $L/2 = 0,40\,\text{m}$ de l’axe. À l’instant où elle fait un angle $\theta = 30^\circ$ avec la verticale et a une vitesse angulaire $\omega = 2,0\,\text{rad/s}$ en augmentant cet angle (s’ouvrant davantage), calculer la puissance instantanée du couple dû au poids de la porte. **Solution** : Le poids $\vec{P} = m\vec{g}$ agit au centre de masse. Le bras de levier par rapport à l’axe des gonds est la distance horizontale du centre de masse à l’axe : lorsque la porte fait un angle $\theta$ avec la verticale, ce bras est $(L/2) \sin\theta$. Le moment du poids par rapport à l’axe : $\tau = - (mg) (L/2) \sin\theta$ (le signe moins car il tend à diminuer $\theta$, c’est-à-dire à refermer la porte si on définit $\theta$ comme l’ouverture par rapport à la verticale). Mais pour la puissance, on a besoin de $\vec{\tau} \cdot \vec{\omega}$. On définit : - $\theta$ : angle que la porte fait avec la verticale, $\theta = 0$ porte fermée, $\theta > 0$ porte ouverte. - Lorsque la porte s’ouvre, $d\theta/dt > 0$, donc $\vec{\omega}$ est dans le sens d’augmentation de $\theta$. - Le poids produit un couple qui tend à diminuer $\theta$ : donc $\vec{\tau}$ est dans le sens opposé à $\vec{\omega}$ lorsque $\theta > 0$. Le module du moment du poids : $\tau = mg (L/2) \sin\theta$. Comme $\vec{\tau}$ et $\vec{\omega}$ sont antiparallèles (l’un tend à diminuer $\theta$, l’autre à l’augmenter) : $$P = \vec{\tau} \cdot \vec{\omega} = - \tau \omega = - \left[ mg \frac{L}{2} \sin\theta \right] \omega$$ Numériquement : $m = 10,0\,\text{kg}$, $g = 9,8\,\text{m/s}^2$, $L = 0,80\,\text{m}$, $\theta = 30^\circ$, $\sin 30^\circ = 0,5$, $\omega = 2,0\,\text{rad/s}$ $$\tau = (10,0)(9,8) \times \frac{0,80}{2} \times 0,5 = 98,0 \times 0,40 \times 0,5 = 98,0 \times 0,20 = 19,6\,\text{N·m}$$ $$P = - (19,6)(2,0) = -39,2\,\text{W}$$ La puissance est négative : le poids retire de l’énergie mécanique du système porte (il freine l’ouverture, ou plutôt, si la porte s’ouvre malgré tout, le poids effectue un travail négatif, ce qui signifie qu’une autre force (comme celle de la main) doit fournir de l’énergie pour ouvrir la porte contre le poids). ### Exercices d’application corrigés **Exercice 1** : Une vis sans fin est entraînée par un moteur qui exerce sur elle un couple constant de moment $\tau = 25,0\,\text{N·m}$. À un certain régime, sa vitesse de rotation est $n = 120\,\text{tr/min}$. Calculer la puissance développée par le moteur sur la vis. **Solution** : Conversion de la vitesse de rotation en rad/s : $$\omega = 2\pi \times \frac{n}{60} = 2\pi \times \frac{120}{60} = 2\pi \times 2 = 4\pi\,\text{rad/s} \approx 12,566\,\text{rad/s}$$ Le moteur exerce un couple dans le sens de la rotation (pour entraîner la vis) : $\vec{\tau}$ et $\vec{\omega}$ sont parallèles. $$P = \vec{\tau} \cdot \vec{\omega} = \tau \omega = (25,0)(4\pi) = 100\pi\,\text{W} \approx 314\,\text{W}$$ > À retenir : Pour convertir des tours par minute en rad/s, utiliser $\omega = 2\pi n / 60$, où $n$ est en tr/min. **Exercice 2** : Un disque de moment d’inertie $I = 0,50\,\text{kg·m}^2$ tourne initialement à $\omega_0 = 10,0\,\text{rad/s}$. Il est soumis à un couple de freinage constant de moment $\tau = 2,0\,\text{N·m}$ opposé à sa rotation. a) Quelle est la puissance instantanée du couple de freinage à $t = 0$ ? b) Quelle est la puissance instantanée du couple de freinage lorsque la vitesse angulaire est tombée à $\omega = 5,0\,\text{rad/s}$ ? **Solution** : a) À $t = 0$, $\omega = \omega_0 = 10,0\,\text{rad/s}$, le couple de freinage s’oppose à la rotation : $$P = - \tau \omega = - (2,0)(10,0) = -20,0\,\text{W}$$ b) Lorsque $\omega = 5,0\,\text{rad/s}$ : $$P = - \tau \omega = - (2,0)(5,0) = -10,0\,\text{W}$$ > À retenir : Lors d’un freinage par couple constant, la puissance dissipée (en valeur absolue) diminue linéairement avec la vitesse angulaire : $|P| = \tau \omega$. **Exercice 3** : Une poulie de rayon $r = 0,10\,\text{m}$ est soumise à une force tangentielle constante $F = 50,0\,\text{N}$ appliquée par une courroie. Elle tourne à une vitesse angulaire $\omega = 20,0\,\text{rad/s}$. Calculer la puissance transmise par la courroie à la poulie. **Solution** : La force tangentielle exerce un couple sur la poulie : $\tau = F r$ (puisque la force est perpendiculaire au rayon). $$\tau = (50,0)(0,10) = 5,00\,\text{N·m}$$ La force est appliquée dans le sens de la rotation (elle entraîne la poulie) : $\vec{\tau}$ et $\vec{\omega}$ sont parallèles. $$P = \vec{\tau} \cdot \vec{\omega} = \tau \omega = (5,00)(20,0) = 100\,\text{W}$$ > À retenir : Pour une force tangentielle appliquée sur un disque ou une poulie de rayon $r$, le moment du couple est $\tau = F r$, et la puissance transmise est $P = F r \omega = F v$, où $v = r \omega$ est la vitesse linéaire du point d’application de la force sur la circonférence. Cela montre la cohérence avec la puissance d’une force : $P = \vec{F} \cdot \vec{v}$. --- ## Synthèse du chapitre - La puissance instantanée d’une force $\vec{F}$ est $P = \vec{F} \cdot \vec{v}$, où $\vec{v}$ est la vitesse du point d’application. - Pour une force constante, si le mouvement est rectiligne et uniforme, $P = F v \cos\theta$, avec $\theta$ l’angle entre $\vec{F}$ et $\vec{v}$. - La puissance d’une force est positive si elle augmente l’énergie mécanique du système, nulle si elle est perpendiculaire au mouvement, négative si elle la diminue. - La puissance instantanée d’un couple de moment $\vec{\tau}$ est $P = \vec{\tau} \cdot \vec{\omega}$, où $\vec{\omega}$ est la vitesse angulaire du corps en rotation. - Pour un couple constant, si la rotation est uniforme autour d’un axe fixe, $P = \tau \omega \cos\phi$, avec $\phi$ l’angle entre $\vec{\tau}$ et $\vec{\omega}$ (0 ou $\pi$ pour une rotation fixe). - La puissance d’un couple est positive s’il accélère la rotation, nulle si elle est nulle ou si $\omega=0$, négative s’il freine la rotation. - Dans le cas d’une force tangentielle appliquée sur un rayon $r$, on retrouve la cohérence : $P = F v = (F r) \omega = \tau \omega$. - L’unité de puissance est le watt (W) : $1\,\text{W} = 1\,\text{J/s} = 1\,\text{N·m/s}$. - La puissance moyenne sur un intervalle $\Delta t$ est $P_m = W / \Delta t$, égale à la puissance instantanée si $\vec{F}$ et $\vec{v}$ (ou $\vec{\tau}$ et $\vec{\omega}$) sont constants durant l’intervalle. - Le signe de la puissance indique le transfert d’énergie : $P > 0$ apport, $P < 0$ retrait d’énergie mécanique au système considéré. --- ## Glossaire - **Puissance instantanée** : Taux auquel une force ou un couple effectue du travail à un instant donné, définie comme le produit scalaire de la force et de la vitesse ($P = \vec{F} \cdot \vec{v}$) ou du moment du couple et de la vitesse angulaire ($P = \vec{\tau} \cdot \vec{\omega}$). - **Travail** : Énergie transférée par une force ou un couple lors d’un déplacement, scalaire mesuré en joules (J). - **Vitesse** : Taux de variation du vecteur position, $\vec{v} = d\vec{r}/dt$, mesuré en m/s. - **Vitesse angulaire** : Taux de variation de l’angle de rotation, $\omega = d\theta/dt$, mesuré en rad/s. - **Force constante** : Force dont le module et la direction ne varient pas avec le temps. - **Couple de moment constant** : Ensemble de deux forces égales, opposées et non alignées dont le moment (produit du module d’une force par le bras de levier) est constant dans le temps. - **Produit scalaire** : Opération entre deux vecteurs donnant un scalaire : $\vec{A} \cdot \vec{B} = AB\cos\theta$, où $\theta$ est l’angle entre les vecteurs. - **Watt (W)** : Unité de puissance dans le Système International, équivalente à un joule par seconde. - **Énergie mécanique** : Somme de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle d’un système. - **Moment d’un couple** : Mesure de la tendance d’un couple à faire tourner un corps, $\tau = r F \sin\theta$ pour une force, ou somme des moments des deux forces constituant le couple. - **Puissance moyenne** : Travail total effectué divisé par l’intervalle de temps considéré : $P_m = W / \Delta t$. - **Régime permanent** : État où une grandeur (comme la vitesse ou la vitesse angulaire) ne varie pas avec le temps. --- *Fin de la fiche de cours.*