Chap 3: Travail d'une force

# Chap 3: Travail d'une force ## Objectifs et prérequis Ce chapitre vise à permettre à l'élève de comprendre le concept de travail d'une force, de le calculer dans différents contextes (force constante, force variable linéaire comme celle d'un ressort, couple de force), et de l'appliquer à des situations physiques concrètes. Il doit savoir distinguer le travail scalaire du travail vectoriel, reconnaître quand le travail est nul, positif ou négatif, et utiliser le théorème de l'énergie cinétique comme outil de vérification. **Prérequis** : - Notions de force (vecteur, Newton, deuxième loi de Newton) - Notions de déplacement et de trajectoire - Produit scalaire de deux vecteurs : $\vec{A} \cdot \vec{B} = AB\cos\theta$ - Notions d'énergie cinétique : $E_c = \frac{1}{2}mv^2$ - Notion de ressort idéal et loi de Hooke (rappelée dans le cours) - Notion de couple de force : $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ --- ## I. Travail d’une force constante ### Définition et propriétés Le travail d’une force constante $\vec{F}$ appliquée à un point matériel subissant un déplacement $\vec{d}$ est défini comme le produit scalaire de la force par le déplacement : > **Définition** : Le travail $W$ d’une force constante $\vec{F}$ sur un déplacement $\vec{d}$ est donné par : > $$ > W = \vec{F} \cdot \vec{d} = Fd\cos\theta > $$ > où $\theta$ est l’angle entre $\vec{F}$ et $\vec{d}$, $F = \|\vec{F}\|$, $d = \|\vec{d}\|$. **Propriétés** : - Le travail est une grandeur scalaire (pas de direction). - Unité : le joule (J), où $1\,\text{J} = 1\,\text{N} \cdot \text{m}$. - Si $\theta = 0^\circ$ : $W = Fd > 0$ (travail positif, la force aide le mouvement). - Si $\theta = 90^\circ$ : $W = 0$ (travail nul, force perpendiculaire au déplacement). - Si $\theta = 180^\circ$ : $W = -Fd < 0$ (travail négatif, la force s’oppose au mouvement). - Le travail dépend uniquement de l’état initial et final (pour une force constante), pas de la trajectoire suivie. ### Exemple résolu : Travail de la pesanteur sur une chute verticale Un objet de masse $m = 2,0\,\text{kg}$ tombe verticalement d’une hauteur $h = 5,0\,\text{m}$ sous l’action de la pesanteur $\vec{P} = m\vec{g}$, avec $g = 9,8\,\text{m/s}^2$. Calculer le travail de la pesanteur. **Solution** : Le déplacement $\vec{d}$ est vertical vers le bas, de module $d = 5,0\,\text{m}$. La pesanteur $\vec{P}$ est aussi verticale vers le bas : $\vec{P} \parallel \vec{d}$, donc $\theta = 0^\circ$. $$ W_P = \vec{P} \cdot \vec{d} = P d \cos 0^\circ = (mg) d = (2,0 \times 9,8) \times 5,0 = 19,6 \times 5,0 = 98,0\,\text{J} $$ Le travail de la pesanteur est positif : $+98,0\,\text{J}$. > **À retenir** : Pour une force constante, le travail se calcule toujours par $W = \vec{F} \cdot \vec{d}$, indépendamment de la trajectoire, tant que la force est constante en module et en direction. ### Exercice d’application corrigé 1 Un bloc de masse $m = 3,0\,\text{kg}$ est tiré horizontalement sur un sol rugueux par une force constante $\vec{F} = 25,0\,\text{N}$ faisant un angle de $30^\circ$ avec l’horizontale. Le déplacement est de $d = 4,0\,\text{m}$ horizontalement. Calculer le travail de $\vec{F}$. **Solution** : $\theta = 30^\circ$ entre $\vec{F}$ et $\vec{d}$ (horizontal). $$ W_F = F d \cos\theta = 25,0 \times 4,0 \times \cos 30^\circ = 100,0 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 100,0 \times 0,866 = 86,6\,\text{J} $$ Réponse : $W_F = 86,6\,\text{J}$. ### Exercice d’application corrigé 2 Une force constante $\vec{F} = (4,0\,\hat{i} + 3,0\,\hat{j})\,\text{N}$ agit sur un objet qui se déplace de $\vec{d} = (2,0\,\hat{i} - 1,0\,\hat{j})\,\text{m}$. Calculer le travail de $\vec{F}$. **Solution** : Produit scalaire : $$ W = \vec{F} \cdot \vec{d} = (4,0)(2,0) + (3,0)(-1,0) = 8,0 - 3,0 = 5,0\,\text{J} $$ Réponse : $W_F = 5,0\,\text{J}$. --- ## II. Travail de la tension d’un ressort à réponse linéaire ### Rappel de la loi de Hooke Un ressort idéal obéit à la loi de Hooke : la force de rappel qu’il exerce est proportionnelle à son allongement ou son compression par rapport à sa longueur naturelle. > **Loi de Hooke** : La force de tension $\vec{F}$ exercée par un ressort est donnée par : > $$ > \vec{F} = -k \vec{x} > $$ > où : > - $k$ est la constante de raideur du ressort (en N/m), > - $\vec{x}$ est le vecteur déplacement du point d’attache par rapport à la position d’équilibre (allongement si $x>0$, compression si $x<0$), > - le signe moins indique que la force est toujours dirigée vers la position d’équilibre (force de rappel). ### Travail de la force du ressort Comme la force du ressort varie linéairement avec $x$, elle n’est pas constante. Le travail doit être calculé par intégration : > **Définition** : Le travail $W$ de la force du ressort lors d’un déplacement de $x_i$ à $x_f$ est : > $$ > W = \int_{x_i}^{x_f} \vec{F} \cdot d\vec{x} = \int_{x_i}^{x_f} (-k x) \, dx = -\frac{1}{2} k (x_f^2 - x_i^2) > $$ > On peut aussi l’écrire comme : > $$ > W = \frac{1}{2} k x_i^2 - \frac{1}{2} k x_f^2 > $$ > Ce travail est égal à l’opposé de la variation de l’énergie potentielle élastique stockée dans le ressort : > $$ > W = -\Delta U_e \quad \text{avec} \quad U_e = \frac{1}{2} k x^2 > $$ **Propriétés** : - Le travail dépend uniquement des positions initiale et finale (force conservative). - Si le ressort revient à sa position initiale ($x_f = x_i$), alors $W = 0$. - Si le ressort est étiré ou compressé à partir de l’équilibre ($x_i = 0$), alors : $$ W = -\frac{1}{2} k x_f^2 \quad \text{(travail négatif si le ressort s’allonge, car la force s’oppose au mouvement)} $$ - Si le ressort revient à l’équilibre depuis une déformation ($x_f = 0$), alors : $$ W = +\frac{1}{2} k x_i^2 \quad \text{(travail positif, la force du ressort aide le retour)} $$ ### Exemple résolu : Travail lors de l’étirement d’un ressort Un ressort de constante $k = 200\,\text{N/m}$ est étiré lentement de sa position d’équilibre jusqu’à un allongement de $x = 0,10\,\text{m}$. Calculer le travail de la force du ressort pendant cet étirement. **Solution** : Position initiale : $x_i = 0$ Position finale : $x_f = 0,10\,\text{m}$ $$ W = \frac{1}{2} k x_i^2 - \frac{1}{2} k x_f^2 = 0 - \frac{1}{2} \times 200 \times (0,10)^2 = -100 \times 0,01 = -1,00\,\text{J} $$ Le travail de la force du ressort est négatif : $-1,00\,\text{J}$. Cela signifie que la force du ressort s’oppose à l’étirement (comme attendu), et qu’il faut fournir un travail positif de $+1,00\,\text{J}$ pour l’étirer (ce travail est stocké sous forme d’énergie potentielle élastique). > **À retenir** : Le travail de la force du ressort est toujours opposé à la variation de son énergie potentielle élastique : $W = -\Delta U_e$. Si le ressort gagne de l’énergie potentielle, la force du ressort fait un travail négatif. ### Exercice d’application corrigé 1 Un ressort de constante $k = 150\,\text{N/m}$ est comprimé de $0,05\,\text{m}$ à partir de son équilibre. Quel est le travail de la force du ressort pendant cette compression ? **Solution** : Compression : on prend $x$ positif pour l’allongement, donc compression = $x < 0$. Mais dans la formule $W = \frac{1}{2}k x_i^2 - \frac{1}{2}k x_f^2$, on utilise les carrés, donc le signe de $x$ n’a pas d’importance. $x_i = 0$, $x_f = -0,05\,\text{m}$ → $x_f^2 = (0,05)^2 = 0,0025\,\text{m}^2$ $$ W = 0 - \frac{1}{2} \times 150 \times 0,0025 = -75 \times 0,0025 = -0,1875\,\text{J} \approx -0,188\,\text{J} $$ Réponse : $W = -0,188\,\text{J}$. ### Exercice d’application corrigé 2 Le même ressort ($k = 150\,\text{N/m}$) est relâché depuis une compression de $0,05\,\text{m}$ et revient à l’équilibre. Quel est le travail de la force du ressort pendant ce retour ? **Solution** : $x_i = -0,05\,\text{m}$, $x_f = 0$ $$ W = \frac{1}{2} \times 150 \times (-0,05)^2 - 0 = 75 \times 0,0025 = 0,1875\,\text{J} \approx 0,188\,\text{J} $$ Réponse : $W = +0,188\,\text{J}$. Le travail est positif : la force du ressort aide le mouvement vers l’équilibre. > **À retenir** : Le travail de la force du ressort est négatif lors de l’allongement ou de la compression (stockage d’énergie), et positif lors du retour à l’équilibre (restitution d’énergie). --- ## III. Travail d’un couple de force à moment constant ### Définition du couple de force Un couple de force est formé par deux forces égales en module, opposées en direction, et non alignées, produisant une rotation sans translation nette. > **Définition** : Le moment (ou couple) $\vec{M}$ d’un couple de force est donné par : > $$ > \vec{M} = \vec{r} \times \vec{F} > $$ > où $\vec{r}$ est le vecteur allant du point d’application d’une force au point d’application de l’autre, et $\vec{F}$ est l’une des deux forces (l’autre étant $-\vec{F}$). > Le module du moment est : $M = F d_\perp$, où $d_\perp$ est le bras de levier perpendiculaire entre les deux forces. Le travail d’un couple de force concerne la rotation qu’il produit. ### Travail d’un couple de force à moment constant Lorsque le moment $\vec{M}$ est constant en module et en direction (perpendiculaire au plan de rotation), et que le corps tourne d’un angle $\theta$ (en radians), le travail du couple est : > **Définition** : Le travail $W$ d’un couple de force de moment constant $\vec{M}$ lors d’une rotation d’angle $\theta$ (en radians) est : > $$ > W = \vec{M} \cdot \vec{\theta} = M \theta > $$ > où $\vec{\theta}$ est le vecteur angle de rotation (direction selon la règle de la main droite, module $\theta$ en rad). > Si le moment et la rotation sont dans la même direction : $W = M\theta > 0$. > Si opposés : $W = -M\theta < 0$. **Propriétés** : - Le travail dépend uniquement de l’angle de rotation (en radians), pas de la trajectoire angulaire. - Unité : le joule (J), car $M$ en N·m et $\theta$ en rad (adimensionnel) → N·m = J. - Le travail d’un couple est analogue au travail d’une force linéaire : $W = Fd$ devient $W = M\theta$. - Le théorème de l’énergie cinétique rotationnelle s’applique : $W = \Delta E_c^{\text{rot}} = \frac{1}{2} I \omega_f^2 - \frac{1}{2} I \omega_i^2$, où $I$ est le moment d’inertie et $\omega$ la vitesse angulaire. ### Exemple résolu : Travail d’un couple sur une poulie Une poulie de rayon $r = 0,10\,\text{m}$ est soumise à deux forces tangentielles égales et opposées de $F = 20,0\,\text{N}$ chacune, formant un couple. La poulie tourne de $5,0$ révolutions. Calculer le travail du couple. **Solution** : Le bras de levier perpendiculaire est le rayon $r$ (puisque les forces sont tangentielles). Moment du couple : $$ M = F \cdot d_\perp = F \cdot r = 20,0 \times 0,10 = 2,00\,\text{N} \cdot \text{m} $$ Angle de rotation : $5,0$ révolutions = $5,0 \times 2\pi = 10\pi\,\text{rad} \approx 31,4\,\text{rad}$ $$ W = M \theta = 2,00 \times 10\pi = 20\pi \approx 62,8\,\text{J} $$ Réponse : $W \approx 62,8\,\text{J}$ (travail positif, le couple accélère la rotation). > **À retenir** : Pour un couple constant, le travail se calcule par $W = M\theta$, avec $\theta$ en **radians**. Toujours convertir les révolutions en radians : $1\,\text{rev} = 2\pi\,\text{rad}$. ### Exercice d’application corrigé 1 Une clé à molette exerce un couple constant de $M = 15,0\,\text{N} \cdot \text{m}$ sur un boulon. Si le boulon tourne de $120^\circ$, quel est le travail du couple ? **Solution** : Convertir $120^\circ$ en radians : $$ \theta = 120^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{2\pi}{3}\,\text{rad} \approx 2,094\,\text{rad} $$ $$ W = M \theta = 15,0 \times \frac{2\pi}{3} = 10\pi \approx 31,4\,\text{J} $$ Réponse : $W \approx 31,4\,\text{J}$. ### Exercice d’application corrigé 2 Un volant d’inertie $I = 0,50\,\text{kg} \cdot \text{m}^2$ est au repos. Un couple constant de $M = 4,0\,\text{N} \cdot \text{m}$ lui est appliqué pendant qu’il tourne de $8,0\,\text{rad}$. Quelle est sa vitesse angulaire finale ? (Vérifier avec le théorème de l’énergie cinétique.) **Solution** : Travail du couple : $$ W = M \theta = 4,0 \times 8,0 = 32,0\,\text{J} $$ Théorème de l’énergie cinétique rotationnelle : $$ W = \Delta E_c^{\text{rot}} = \frac{1}{2} I \omega_f^2 - 0 \quad \text{(puisque }\omega_i = 0\text{)} $$ $$ 32,0 = \frac{1}{2} \times 0,50 \times \omega_f^2 = 0,25 \omega_f^2 $$ $$ \omega_f^2 = \frac{32,0}{0,25} = 128 \quad \Rightarrow \quad \omega_f = \sqrt{128} \approx 11,3\,\text{rad/s} $$ Réponse : $\omega_f \approx 11,3\,\text{rad/s}$. Vérification : $E_c^{\text{rot}} = \frac{1}{2} \times 0,50 \times (11,3)^2 \approx 0,25 \times 127,7 \approx 31,9\,\text{J} \approx 32,0\,\text{J}$ → cohérent. > **À retenir** : Le travail d’un couple constant permet de déterminer la variation d’énergie cinétique rotationnelle, tout comme le travail d’une force linéaire permet de déterminer la variation d’énergie cinétique translationnelle. --- ## Synthèse du chapitre - Le travail d’une force constante est $W = \vec{F} \cdot \vec{d} = Fd\cos\theta$, scalaire, dépend de l’angle entre force et déplacement. - Le travail de la force d’un ressort linéaire est $W = \frac{1}{2}k x_i^2 - \frac{1}{2}k x_f^2$, indépendant du chemin, lié à l’énergie potentielle élastique $U_e = \frac{1}{2}k x^2$. - Le travail d’un couple de force à moment constant est $W = M\theta$, avec $\theta$ en radians, analogue au travail linéaire en rotation. - Dans les trois cas, le travail peut être relié à la variation d’énergie cinétique via le théorème de l’énergie cinétique (translationnelle ou rotationnelle). - Le travail est nul si la force est perpendiculaire au déplacement (translation) ou si le moment est perpendiculaire à l’angle de rotation (rotation — mais en rotation plane, cela n’arrive pas si le moment est dans le plan de rotation). - Les forces conservatrices (pesanteur, ressort) ont un travail indépendant du trajet ; les forces non conservatrices (frottement) dépendent du trajet. - Le signe du travail indique si la force aide (+) ou s’oppose (–) au mouvement. --- ## Glossaire - **Travail d’une force** : Produit scalaire de la force par le déplacement du point d’application. - **Force constante** : Force dont le module et la direction ne varient pas pendant le déplacement. - **Loi de Hooke** : Relation linéaire entre la force de rappel d’un ressort et son allongement/compression. - **Constante de raideur ($k$)** : Mesure de la résistance d’un ressort à la déformation (en N/m). - **Énergie potentielle élastique** : Énergie stockée dans un ressort déformée, $U_e = \frac{1}{2}k x^2$. - **Couple de force** : Système de deux forces égales, opposées, non alignées, produisant une rotation pure. - **Moment d’un couple ($M$)** : Produit d’une force par le bras de levier perpendiculaire entre les deux forces. - **Angle de rotation ($\theta$)** : Mesure de la rotation en radians (1 révolution = $2\pi$ rad). - **Théorème de l’énergie cinétique** : Le travail net des forces externes égale la variation de l’énergie cinétique. - **Force conservative** : Force dont le travail dépend uniquement des positions initiale et finale (ex. : pesanteur, ressort). - **Travail nul** : Travail égal à zéro, se produit quand la force est perpendiculaire au déplacement ou qu’il n’y a pas de déplacement. - **Bras de levier perpendiculaire** : Distance la plus courte entre la ligne d’action d’une force et l’axe de rotation.