Chap 5 : Energie cinétique

# Chap 5 : Energie cinétique ## Objectifs et prérequis **Objectifs** : - Comprendre la notion d’énergie cinétique et son expression mathématique. - Appliquer le théorème de l’énergie cinétique pour relier le travail des forces extérieures à la variation de l’énergie cinétique. - Résoudre des problèmes de mécanique en utilisant l’énergie cinétique comme outil d’analyse. - Interpréter physiquement les résultats obtenus (signes, unités, limites d’application). **Prérequis** : - Notions de vecteur (addition, produit scalaire, norme). - Deuxième loi de Newton : $\vec{F}_{\text{ext}} = m\vec{a}$. - Définition du travail d’une force : $W = \vec{F} \cdot \vec{d}$ (ou intégrale pour force variable). - Unités du Système international : joule (J) pour l’énergie et le travail, kilogramme (kg) pour la masse, mètre (m) pour la distance, seconde (s) pour le temps. - Mouvement rectiligne uniforme et uniformément accéléré (MRUA). --- ## I. Notion d’énergie cinétique ### Définition et expression > L’énergie cinétique d’un point matériel de masse $m$ se déplaçant à la vitesse $\vec{v}$ par rapport à un référentiel galiléen est définie par : > $$ > E_c = \frac{1}{2} m v^2 > $$ > où $v = \|\vec{v}\|$ est la norme du vecteur vitesse. Cette grandeur est scalaire, toujours positive ou nulle, et dépend du référentiel choisi : elle n’est pas invariante par changement de référentiel galiléen (contrairement à la masse ou à l’accélération). ### Propriétés 1. **Dimension** : $[E_c] = \text{M L}^2 \text{T}^{-2}$ → unité : joule (J) = kg·m²/s². 2. **Nulité** : $E_c = 0$ si et seulement si $v = 0$ (au repos dans le référentiel considéré). 3. **Dependance quadratique en $v$** : doubler la vitesse quadruple l’énergie cinétique. 4. **Additivité** : pour un système de points matériels, l’énergie cinétique totale est la somme des énergies cinétiques de chaque point : $$ E_{c,\text{tot}} = \sum_i \frac{1}{2} m_i v_i^2 $$ (valable uniquement si l’on néglige les mouvements internes de rotation ou de vibration — hypothèse du point matériel). 5. **Non-conservation en général** : $E_c$ varie lorsqu’un travail net est effectué sur le système. ### Exemple résolu 1 : Calcul d’énergie cinétique Un véhicule de masse $m = 1200\,\text{kg}$ roule à une vitesse de $v = 20\,\text{m/s}$ (soit $72\,\text{km/h}$). Quelle est son énergie cinétique ? **Solution** : $$ E_c = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} \times 1200 \times (20)^2 = 600 \times 400 = 240\,000\,\text{J} = 240\,\text{kJ} $$ > **À retenir** : L’énergie cinétique dépend du carré de la vitesse : une augmentation modeste de $v$ entraîne une forte hausse de $E_c$. ### Exemple résolu 2 : Variation d’énergie cinétique Un objet de masse $m = 5\,\text{kg}$ voit sa vitesse passer de $v_i = 3\,\text{m/s}$ à $v_f = 8\,\text{m/s}$. Calculer la variation de son énergie cinétique. **Solution** : $$ \Delta E_c = E_{c,f} - E_{c,i} = \frac{1}{2} m v_f^2 - \frac{1}{2} m v_i^2 = \frac{1}{2} \times 5 \times (8^2 - 3^2) = 2,5 \times (64 - 9) = 2,5 \times 55 = 137,5\,\text{J} $$ > **À retenir** : La variation d’énergie cinétique dépend de la différence des carrés des vitesses, pas du carré de la différence. ### Exercices d’application corrigés **Exercice 1** : Une balle de masse $m = 0,15\,\text{kg}$ est lancée verticalement vers le haut avec une vitesse initiale de $v_0 = 15\,\text{m/s}$. Quelle est son énergie cinétique au lancement ? À sa hauteur maximale ? **Correction** : - Au lancement : $v = v_0 = 15\,\text{m/s}$ $$ E_{c,0} = \frac{1}{2} \times 0,15 \times (15)^2 = 0,075 \times 225 = 16,875\,\text{J} $$ - À la hauteur maximale : $v = 0$ (instantané) $$ E_{c,\text{max}} = 0\,\text{J} $$ > **À retenir** : À la hauteur maximale d’un lancer vertical, l’énergie cinétique est nulle (toute l’énergie initiale a été convertie en énergie potentielle de pesanteur, si l’on considère uniquement la gravité). **Exercice 2** : Deux objets identiques de masse $m = 2\,\text{kg}$ se déplacent respectivement à $v_1 = 4\,\text{m/s}$ et $v_2 = 6\,\text{m/s}$. Quel est le rapport de leurs énergies cinétiques ? **Correction** : $$ \frac{E_{c,2}}{E_{c,1}} = \frac{\frac{1}{2} m v_2^2}{\frac{1}{2} m v_1^2} = \left( \frac{v_2}{v_1} \right)^2 = \left( \frac{6}{4} \right)^2 = (1,5)^2 = 2,25 $$ L’objet le plus rapide possède 2,25 fois plus d’énergie cinétique que l’autre. > **À retenir** : Le rapport des énergies cinétiques est égal au carré du rapport des vitesses. --- ## II. Théorème de l’énergie cinétique ### Énoncé et démonstration > Le théorème de l’énergie cinétique stipule que la variation de l’énergie cinétique d’un point matériel entre deux instants $t_i$ et $t_f$ est égale au travail total des forces extérieures agissant sur lui durant cet intervalle : > $$ > \Delta E_c = E_{c,f} - E_{c,i} = W_{\text{ext}}^{\text{tot}} > $$ > où $W_{\text{ext}}^{\text{tot}} = \int_{t_i}^{t_f} \vec{F}_{\text{ext}} \cdot \vec{v}\, dt$ est le travail des forces extérieures. **Démonstration (schématique)** : Partant de la deuxième loi de Newton : $\vec{F}_{\text{ext}} = m\vec{a}$. On multiplie scalairement par $\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt}$ : $$ \vec{F}_{\text{ext}} \cdot \vec{v} = m \vec{a} \cdot \vec{v} = m \frac{d\vec{v}}{dt} \cdot \vec{v} $$ Or, $\frac{d}{dt} \left( \frac{1}{2} v^2 \right) = \vec{v} \cdot \frac{d\vec{v}}{dt}$, donc : $$ \vec{F}_{\text{ext}} \cdot \vec{v} = \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{2} m v^2 \right) = \frac{dE_c}{dt} $$ On intègre entre $t_i$ et $t_f$ : $$ \int_{t_i}^{t_f} \vec{F}_{\text{ext}} \cdot \vec{v}\, dt = \int_{t_i}^{t_f} \frac{dE_c}{dt} dt = E_{c,f} - E_{c,i} $$ Q.E.D. ### Interprétation physique - Si $W_{\text{ext}}^{\text{tot}} > 0$ : les forces extérieures ont fourni de l’énergie au système → $E_c$ augmente. - Si $W_{\text{ext}}^{\text{tot}} < 0$ : le système a perdu de l’énergie cinétique (travail résistif) → $E_c$ diminue. - Si $W_{\text{ext}}^{\text{tot}} = 0$ : l’énergie cinétique est conservée (cas des forces conservatrices en boucle fermée, ou équilibre dynamique). > **À retenir** : Le théorème de l’énergie cinétique est un outil puissant pour résoudre des problèmes de dynamique sans passer par l’accélération ou les équations différentielles, lorsque l’on connaît les forces et leurs points d’application. ### Exemple résolu 1 : Freinage d’un véhicule Une voiture de masse $m = 1000\,\text{kg}$ roule à $v_i = 25\,\text{m/s}$ ($90\,\text{km/h}$). Elle freine jusqu’à l’arrêt sous l’action d’une force de frottement constante $F = -5000\,\text{N}$ (opposée au mouvement). Quelle distance de freinage $d$ est nécessaire ? **Solution** : - Travail de la force de frottement : $W = F \cdot d \cdot \cos 180^\circ = -F d$ (puisque $\vec{F}$ et $\vec{d}$ sont opposés). - Variation d’énergie cinétique : $\Delta E_c = 0 - \frac{1}{2} m v_i^2 = -\frac{1}{2} \times 1000 \times (25)^2 = -312\,500\,\text{J}$. - Par le théorème : $W_{\text{ext}}^{\text{tot}} = \Delta E_c$ $$ -F d = -312\,500 \Rightarrow 5000 \cdot d = 312\,500 \Rightarrow d = \frac{312\,500}{5000} = 62,5\,\text{m} $$ > **À retenir** : La distance de freinage est proportionnelle au carré de la vitesse initiale : doubler la vitesse quadruple la distance d’arrêt (pour une force de freinage constante). ### Exemple résolu 2 : Mouvement sur un plan incliné sans frottement Un bloc de masse $m = 4\,\text{kg}$ glisse du haut d’un plan incliné de hauteur $h = 3\,\text{m}$ et d’angle $\theta = 30^\circ$, parti du repos. Quelle est sa vitesse en bas du plan ? **Solution** : - Seule la poids travaille (la réaction du plan est perpendiculaire au déplacement → travail nul). - Travail du poids : $W_P = m g h$ (positif, car la composante de $\vec{P}$ le long du plan est dans le sens du déplacement). - $\Delta E_c = E_{c,f} - 0 = \frac{1}{2} m v_f^2$ - Théorème : $$ m g h = \frac{1}{2} m v_f^2 \Rightarrow v_f = \sqrt{2 g h} $$ En prenant $g = 9,8\,\text{m/s}^2$ : $$ v_f = \sqrt{2 \times 9,8 \times 3} = \sqrt{58,8} \approx 7,67\,\text{m/s} $$ > **À retenir** : Dans le cas d’une chute libre ou d’un glissement sans frottement sur un plan incliné, la vitesse finale dépend uniquement de la chute de hauteur $h$, pas de la pente ni de la masse (effet de Galilée). ### Exercices d’application corrigés **Exercice 1** : Un projectile de masse $m = 0,02\,\text{kg}$ est tiré horizontalement depuis une hauteur de $h = 5\,\text{m}$ avec une vitesse initiale $v_0 = 100\,\text{m/s}$. En négligeant la résistance de l’air, quelle est sa vitesse juste avant l’impact avec le sol ? **Correction** : - Le travail du poids est $W_P = m g h$ (seule force extérieure travaillant, car la vitesse horizontale est constante si on néglige la traînée). - Énergie cinétique initiale : $E_{c,i} = \frac{1}{2} m v_0^2$ - Énergie cinétique finale : $E_{c,f} = \frac{1}{2} m v_f^2$ - Théorème : $$ W_P = \Delta E_c \Rightarrow m g h = \frac{1}{2} m (v_f^2 - v_0^2) $$ On simplifie par $m$ : $$ g h = \frac{1}{2} (v_f^2 - v_0^2) \Rightarrow v_f^2 = v_0^2 + 2 g h $$ $$ v_f = \sqrt{(100)^2 + 2 \times 9,8 \times 5} = \sqrt{10\,000 + 98} = \sqrt{10\,098} \approx 100,49\,\text{m/s} $$ > **À retenir** : Dans un lancer horizontal sans traînée, la vitesse horizontale reste constante ; seule la composante verticale augmente sous l’effet de la pesanteur. La vitesse totale augmente légèrement du fait de l’ajout quadratique. **Exercice 2** : Un objet de masse $m = 3\,\text{kg}$ est lancé verticalement vers le haut depuis le sol avec une vitesse initiale $v_0 = 20\,\text{m/s}$. Quelle hauteur maximale atteint-il ? (Utiliser le théorème de l’énergie cinétique.) **Correction** : - À la hauteur maximale, $v = 0$ → $E_{c,f} = 0$ - $E_{c,i} = \frac{1}{2} m v_0^2$ - Seule la poids travaille : $W_P = -m g h$ (négatif, car le déplacement est opposé au poids) - Théorème : $$ W_P = \Delta E_c \Rightarrow -m g h = 0 - \frac{1}{2} m v_0^2 $$ On simplifie par $-m$ : $$ g h = \frac{1}{2} v_0^2 \Rightarrow h = \frac{v_0^2}{2 g} = \frac{(20)^2}{2 \times 9,8} = \frac{400}{19,6} \approx 20,41\,\text{m} $$ > **À retenir** : La hauteur maximale atteinte dans un lancer vertical dépend du carré de la vitesse initiale et est inversement proportionnelle à $g$. Sur la Lune ($g \approx 1,6\,\text{m/s}^2$), la même vitesse initiale donnerait une hauteur environ 6 fois plus grande. --- ## Synthèse du chapitre - L’énergie cinétique $E_c = \frac{1}{2} m v^2$ quantifie l’énergie associée au mouvement d’un point matériel. - Elle est scalaire, toujours positive, dépend du référentiel, et varie avec le carré de la vitesse. - Le théorème de l’énergie cinétique : $\Delta E_c = W_{\text{ext}}^{\text{tot}}$ relie la variation de $E_c$ au travail des forces extérieures. - Ce théorème permet de résoudre des problèmes de dynamique en évitant l’intégration directe de l’accélération, particulièrement utile lorsque les forces sont connues en fonction de la position ou lorsque le trajet est complexe. - Dans les cas conservatifs (poids, ressort idéal), on peut associer une énergie potentielle de sorte que $E_c + E_p$ soit constante (conservation de l’énergie mécanique). - Les forces non conservatrices (frottement, traînée) provoquent une diminution de l’énergie mécanique totale, égale au travail de ces forces. - L’application du théorème nécessite : 1. Identifier les forces extérieures travaillant. 2. Calculer leur travail (produit scalaire ou intégrale). 3. Égaler ce travail à la variation de l’énergie cinétique. 4. Résoudre pour l’inconnue (vitesse, distance, force, etc.). - Les résultats doivent être interprétés physiquement : signe du travail, plausibilité des valeurs, limites d’application (négligence de la traînée, rigidité, etc.). --- ## Glossaire - **Énergie cinétique** : Grandeur scalaire mesurant l’énergie associée au mouvement d’un corps, définie par $E_c = \frac{1}{2} m v^2$. - **Travail d’une force** : Produit scalaire de la force par le déplacement du point d’application : $W = \vec{F} \cdot \vec{d}$ (ou intégrale pour force variable). - **Théorème de l’énergie cinétique** : Égalité entre la variation de l’énergie cinétique d’un système et le travail total des forces extérieures agissant sur lui. - **Référentiel galiléen** : Référentiel inertiel dans lequel la première loi de Newton est valable (pas d’accélération ni de rotation). - **Force conservative** : Force dont le travail dépend uniquement des positions initiale et finale, pas du trajet (ex. : poids, force élastique idéale). - **Force non conservative** : Force dont le travail dépend du trajet (ex. : frottement, traînée de l’air). - **Énergie mécanique** : Somme de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle ($E_m = E_c + E_p$). - **Conservation de l’énergie mécanique** : Principe selon lequel $E_m$ reste constante si seules des forces conservatrices travaillent. - **Produit scalaire** : Opération entre deux vecteurs donnant un scalaire : $\vec{A} \cdot \vec{B} = AB\cos\theta$. - **Norme d’un vecteur** : Longueur ou intensité du vecteur, notée $\|\vec{v}\|$ ou $v$. - **Unité S.I. de l’énergie** : Joule (J), équivalent à $1\,\text{kg} \cdot \text{m}^2/\text{s}^2$. - **Variation d’une grandeur** : Différence entre la valeur finale et la valeur initiale : $\Delta Q = Q_f - Q_i$. --- *Fin du cours de référence pour le chapitre « Énergie cinétique » en physique de Première (système éducatif camerounais, francophone).*