Chap 3 :Travail d'une force

# Chap 3 :Travail d'une force ## Objectifs et prérequis Ce chapitre vise à maîtriser le concept de travail d'une force, notion fondamentale en mécanique permettant de relier l'action d'une force à la variation d'énergie d'un système. À l'issue de ce chapitre, l'élève sera capable de : - Définir le travail d'une force constante et le calculer à l'aide de la formule scalaire ou vectorielle. - Appliquer la définition du travail à la force élastique d'un ressort obéissant à la loi de Hooke. - Définir le travail d'un couple de forces à moment constant et le relier à la rotation d'un solide. - Résoudre des problèmes concrets en combinant ces notions avec les principes de l'énergie cinétique et du théorème de l'énergie cinétique. - Interpréter physiquement le signe du travail (positif, nul, négatif) en fonction de l'orientation de la force par rapport au déplacement. **Prérequis** : - Notions de vecteur (addition, produit scalaire, projection). - Lois de Newton, notamment la deuxième loi. - Concept de déplacement et de trajectoire. - Notion de force élastique et loi de Hooke (rappelée si nécessaire). - Notion de moment d'un couple de forces. --- ## I. Travail d’une force constante ### Définition et propriétés Le travail d’une force constante $\vec{F}$ appliquée à un point matériel subissant un déplacement $\vec{AB}$ est défini comme le produit scalaire de la force par le déplacement : > $$ W_{A \to B}(\vec{F}) = \vec{F} \cdot \vec{AB} = F \cdot AB \cdot \cos\alpha $$ > où $\alpha$ est l'angle entre $\vec{F}$ et $\vec{AB}$. Cette définition s'étend à tout déplacement le long d'une trajectoire : pour une force constante, le travail ne dépend que des points initial et final, pas du chemin suivi. **Propriétés essentielles** : - Le travail est une grandeur scalaire (en joules, J). - Il est positif si la force a une composante dans le sens du déplacement ($\alpha < 90^\circ$), nul si elle est perpendiculaire ($\alpha = 90^\circ$), négatif si elle s'oppose au déplacement ($\alpha > 90^\circ$). - Le travail de la résultante de plusieurs forces constantes est égal à la somme des travaux de chaque force : $$ W_{A \to B}(\vec{F}_{\text{res}}) = \sum W_{A \to B}(\vec{F}_i) $$ - Le travail d’une force constante est nul si le déplacement est nul ou si la force est perpendiculaire au déplacement à chaque instant. ### Exemple résolu : Travail de la pesanteur Un corps de masse $m = 2,0\,\text{kg}$ tombe verticalement d’une hauteur $h = 5,0\,\text{m}$ sous l’action de la pesanteur $\vec{P} = m\vec{g}$, avec $g = 9,8\,\text{m/s}^2$. Calculer le travail de la pesanteur entre le point A (départ) et B (sol). **Solution** : Le déplacement $\vec{AB}$ est vertical vers le bas, de module $AB = h = 5,0\,\text{m}$. La force de pesanteur $\vec{P}$ est également verticale vers le bas, donc $\alpha = 0^\circ$. $$ W_{A \to B}(\vec{P}) = \vec{P} \cdot \vec{AB} = P \cdot AB \cdot \cos 0^\circ = (mg) \cdot h \cdot 1 $$ $$ W = (2,0 \times 9,8) \times 5,0 = 19,6 \times 5,0 = 98,0\,\text{J} $$ Le travail est positif : la pesanteur agit dans le sens du déplacement. > **À retenir** : Le travail de la pesanteur lors d’un déplacement vertical de hauteur $h$ est $W_P = mgh$, positif si la chute est vers le bas, négatif si la montée est vers le haut. ### Exercice d’application corrigé 1 Un bloc de masse $m = 3,0\,\text{kg}$ est tiré horizontalement sur une surface sans frottement par une force constante $\vec{F} = 20,0\,\text{N}$ faisant un angle de $30^\circ$ avec l’horizontale. Le bloc se déplace sur une distance $d = 4,0\,\text{m}$. Calculer le travail de $\vec{F}$. **Solution** : Le déplacement est horizontal, donc $\vec{AB}$ est horizontal. L’angle entre $\vec{F}$ et $\vec{AB}$ est $\alpha = 30^\circ$. $$ W = F \cdot d \cdot \cos\alpha = 20,0 \times 4,0 \times \cos 30^\circ $$ $$ \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,866 $$ $$ W = 80,0 \times 0,866 = 69,28\,\text{J} \approx 69,3\,\text{J} $$ Le travail est positif car la force a une composante dans le sens du déplacement. **Réponse** : $W = 69,3\,\text{J}$ --- ## II. Travail de la tension d’un ressort à réponse linéaire ### Rappel de la loi de Hooke Un ressort idéal obéissant à la loi de Hooke exerce une force de rappel proportionnelle à son allongement ou son compression par rapport à sa longueur naturelle $l_0$ : $$ \vec{F}_{\text{ressort}} = -k \cdot \Delta l \cdot \hat{u} $$ où $k > 0$ est la constante de raideur (en N/m), $\Delta l = l - l_0$ est l’allongement (positif si étiré, négatif si compressé), et $\hat{u}$ est le vecteur unité dirigé du point d’attache vers l’extrémité libre. La force varie linéairement avec l’allongement : elle n’est **pas constante**. Le travail doit donc être calculé par intégration, ou en utilisant la variation de l’énergie potentielle élastique. ### Définition du travail de la force élastique Le travail de la force élastique du ressort entre deux positions caractérisées par leurs allongements $\Delta l_A$ et $\Delta l_B$ est : > $$ W_{A \to B}(\vec{F}_{\text{ressort}}) = -\frac{1}{2} k \left( (\Delta l_B)^2 - (\Delta l_A)^2 \right) $$ Cette formule résulte de l’intégration de $F = -k \Delta l$ le long du trajet : $$ W = \int_{\Delta l_A}^{\Delta l_B} (-k \cdot x) \, dx = -k \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{\Delta l_A}^{\Delta l_B} = -\frac{1}{2} k \left( (\Delta l_B)^2 - (\Delta l_A)^2 \right) $$ **Propriétés** : - Le travail de la force élastique dépend uniquement de l’état initial et final (grandeur d’état), pas du chemin. - Il est négatif si le ressort est étiré davantage ($\Delta l_B > \Delta l_A > 0$) : la force s’oppose à l’allongement. - Il est positif si le ressort se détend ($\Delta l_B < \Delta l_A$) : la force agit dans le sens du mouvement. - Le travail est nul si le ressort revient à son allongement initial. ### Exemple résolu : Travail lors de l’étirement d’un ressort Un ressort de constante $k = 200\,\text{N/m}$ est initialement à sa longueur naturelle ($\Delta l_A = 0$). On l’étire jusqu’à un allongement de $\Delta l_B = 0,10\,\text{m}$. Calculer le travail de la force élastique du ressort pendant cet étirement. **Solution** : $$ W_{A \to B}(\vec{F}_{\text{ressort}}) = -\frac{1}{2} k \left( (\Delta l_B)^2 - (\Delta l_A)^2 \right) $$ $$ W = -\frac{1}{2} \times 200 \times \left( (0,10)^2 - 0^2 \right) = -100 \times (0,01 - 0) = -100 \times 0,01 = -1,00\,\text{J} $$ Le travail est négatif : la force du ressort s’oppose à l’étirement, donc elle absorbe de l’énergie. > **À retenir** : Le travail de la force élastique d’un ressort est égal à l’opposé de la variation de son énergie potentielle élastique : $W_{\text{ressort}} = -\Delta E_p^{\text{él}} = -\frac{1}{2}k(\Delta l_B^2 - \Delta l_A^2)$. ### Exercice d’application corrigé 2 Un ressort de constante $k = 150\,\text{N/m}$ est comprimé de $0,08\,\text{m}$ par rapport à sa longueur naturelle. On le laisse ensuite revenir à sa longueur naturelle. Calculer le travail de la force élastique du ressort pendant ce retour à l’équilibre. **Solution** : État initial : compression, donc $\Delta l_A = -0,08\,\text{m}$ (négatif car compression). État final : longueur naturelle, $\Delta l_B = 0$. $$ W_{A \to B} = -\frac{1}{2} k \left( (\Delta l_B)^2 - (\Delta l_A)^2 \right) = -\frac{1}{2} \times 150 \times \left( 0^2 - (-0,08)^2 \right) $$ $$ = -75 \times \left( 0 - 0,0064 \right) = -75 \times (-0,0064) = +0,48\,\text{J} $$ Le travail est positif : la force du ressort agit dans le sens du mouvement (de la compression vers l’équilibre), donc elle fournit de l’énergie. **Réponse** : $W = +0,48\,\text{J}$ --- ## III. Travail d’un couple de force à moment constant ### Définition du moment d’un couple Un couple de forces est constitué de deux forces égales en module, parallèles, de même direction mais de sens opposé, ne passant pas par le même point. Son moment $\vec{M}$ est un vecteur perpendiculaire au plan contenant les deux forces, de module : $$ M = F \cdot d $$ où $F$ est le module de chaque force, et $d$ est le bras de levier (distance perpendiculaire entre les droites d’action des deux forces). Le moment d’un couple est indépendant du point de référence : c’est un vecteur libre. ### Travail d’un couple Lorsque un solide rigide subit une rotation infinitésimale $d\theta$ autour d’un axe perpendiculaire au plan du couple, le travail élémentaire du couple est : $$ \delta W = \vec{M} \cdot d\vec{\theta} = M \, d\theta \quad \text{(si } \vec{M} \text{ et } d\vec{\theta} \text{ sont alignés)} $$ Pour un moment constant $\vec{M}$ (en module et en direction), et une rotation finie de l’angle $\theta_A$ à $\theta_B$ autour d’un axe fixe, le travail total est : > $$ W_{A \to B}(\vec{M}) = M \cdot (\theta_B - \theta_A) $$ où les angles sont exprimés en **radians**. Cette formule est analogue à celle du travail d’une force constante : ici, le moment joue le rôle de la force, et l’angle celui du déplacement. **Propriétés** : - Le travail d’un couple dépend uniquement de l’angle de rotation, pas du chemin angulaire suivi. - Il est positif si le moment et la rotation ont le même sens (par exemple, les deux dans le sens trigonométrique positif). - Il est nul si la rotation est nulle ($\theta_B = \theta_A$). - Il est négatif si le moment s’oppose à la rotation. ### Exemple résolu : Travail d’un couple sur une roue Une clé exerce un couple de moment constant $M = 25,0\,\text{N·m}$ sur un écrou. L’écrou tourne de $90^\circ$ dans le sens du serrage. Calculer le travail du couple. **Solution** : Convertir l’angle en radians : $$ \theta = 90^\circ = \frac{\pi}{2}\,\text{rad} \approx 1,571\,\text{rad} $$ Puisque le couple est dans le sens de la rotation, le travail est positif : $$ W = M \cdot \Delta\theta = 25,0 \times \frac{\pi}{2} = 25,0 \times 1,571 \approx 39,275\,\text{J} $$ $$ W \approx 39,3\,\text{J} $$ > **À retenir** : Le travail d’un couple de moment constant $M$ produisant une rotation de $\Delta\theta$ radians est $W = M \cdot \Delta\theta$, avec $\Delta\theta$ en radians. ### Exercice d’application corrigé 3 Un moteur fournit un couple constant de $M = 12,0\,\text{N·m}$ pour faire tourner une poulie. La poulie effectue $5,0$ tours complets. Calculer le travail du moteur sur la poulie. **Solution** : Un tour complet = $2\pi$ radians. $$ \Delta\theta = 5,0 \times 2\pi = 10\pi\,\text{rad} $$ $$ W = M \cdot \Delta\theta = 12,0 \times 10\pi = 120\pi\,\text{J} $$ $$ W \approx 120 \times 3,1416 = 376,99\,\text{J} \approx 377\,\text{J} $$ Le travail est positif : le moteur fournit de l’énergie pour faire tourner la poulie. **Réponse** : $W = 377\,\text{J}$ --- ## Synthèse du chapitre - Le travail d’une force constante $\vec{F}$ sur un déplacement $\vec{AB}$ est $W = \vec{F} \cdot \vec{AB} = F \cdot AB \cdot \cos\alpha$. - Le travail de la pesanteur sur un déplacement vertical de hauteur $h$ est $W_P = mgh$. - Le travail de la force élastique d’un ressort de constante $k$ entre deux allongements $\Delta l_A$ et $\Delta l_B$ est $W = -\frac{1}{2}k \left( (\Delta l_B)^2 - (\Delta l_A)^2 \right)$. - Le travail d’un couple de moment constant $M$ produisant une rotation de $\Delta\theta$ radians est $W = M \cdot \Delta\theta$. - Dans tous les cas, le travail est une grandeur scalaire, dépendant uniquement de l’état initial et final lorsque la force (ou le moment) est conservative ou que le trajet n’influence pas le résultat (force constante, force élastique, couple constant). - Le signe du travail indique le transfert d’énergie : positif si le système reçoit de l’énergie, négatif s’il en perd, nul si aucun transfert net n’a lieu. --- ## Glossaire - **Travail d’une force** : Produit scalaire de la force par le déplacement du point d’application. - **Force constante** : Force dont le module, la direction et le sens ne varient pas au cours du mouvement. - **Allongement d’un ressort** : Différence entre la longueur actuelle et la longueur naturelle du ressort ($\Delta l = l - l_0$). - **Constante de raideur ($k$)** : Coefficient de proportionnalité dans la loi de Hooke, mesuré en N/m. - **Couple de forces** : Système de deux forces égales, parallèles, de sens opposé, ne ayant pas la même droite d’action. - **Moment d’un couple** : Produit du module d’une des forces par la distance perpendiculaire entre leurs droites d’action. - **Radian** : Unité d’angle du système international ; un tour complet vaut $2\pi$ radians. - **Énergie potentielle élastique** : Énergie stockée dans un ressort déformé, donnée par $E_p^{\text{él}} = \frac{1}{2}k(\Delta l)^2$. - **Travail négatif** : Travail réalisé lorsque la force a une composante opposée au déplacement ; le système perd de l’énergie mécanique. - **Travail nul** : Travail nul lorsque la force est perpendiculaire au déplacement ou que le déplacement est nul. - **Force conservative** : Force dont le travail ne dépend que des états initial et final (ex. : pesanteur, force élastique). - **Bras de levier** : Distance perpendiculaire entre la droite d’action d’une force et un point ou un axe de rotation.