Chap 12: Le microscope

# Chap 12: Le microscope ## Objectifs et prérequis **Objectifs** : À l’issue de ce chapitre, l’élève sera capable de : - Décrire le principe de fonctionnement d’une loupe et d’un microscope optique simple. - Expliquer la formation de l’image agrandie par une loupe utilisée comme instrument d’observation. - Calculer le grossissement angulaire d’une loupe et d’un microscope composé. - Différencier grossissement linéaire et grossissement angulaire. - Appliquer les formules du grossissement dans des exercices numériques concrets. - Identifier les éléments constitutifs d’un microscope et leur rôle dans la formation de l’image. **Prérequis** : - Lois de la réfraction et formule de conjugaison des lentilles minces : $\frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i}$ - Notion d’image réelle et virtuelle, d’objet et d’image situés respectivement à gauche et à droite de la lentille (convention de signe : distances réelles positives si mesurées dans le sens de propagation de la lumière). - Concept d’angle sous-tendu par un objet : $\theta \approx \frac{h}{D}$ pour un objet de hauteur $h$ placé à distance $D$ de l’œil (petit angle). - Vision normale de l’œil humain : point lointain à l’infini, point proche (distance de vision distincte conventionnelle) $D = 25$ cm. --- ## Introduction La loupe et le microscope sont des instruments d’optique permettant d’observer des objets trop petits pour être discernés à l’œil nu. Ils exploitent la propriété des lentilles convergentes de produire des images virtuelles agrandies lorsqu’on place l’objet entre le foyer et la lentille. Bien que simples en principe, leur utilisation optimale repose sur une compréhension fine du grossissement angulaire, qui quantifie l’amélioration de la perception détaillée grâce à l’instrument. Ce chapitre traite successivement de la loupe (instrument à une lentille) puis du microscope composé (deux lentilles : objectif et oculaire), en insistant sur les conditions d’observation confortable (image à l’infini ou à la distance de vision distincte) et sur les formules de grossissement associées. Chaque notion est illustrée par des exemples résolus et des exercices d’application corrigés. --- ## I. La loupe ### A. Description Une loupe est un instrument d’optique constitué d’une seule lentille convergente de courte distance focale $f$. Elle est utilisée pour observer un objet placé près de celle-ci, en produisant une image virtuelle, droite et agrandie, visible par l’œil placé de l’autre côté de la lentille. L’objet doit être situé entre le foyer principal objet $F_o$ et la lentille, afin que l’image formée soit virtuelle, située du même côté que l’objet, et donc observable directement. > **À retenir** : Une loupe est une lentille convergente utilisée pour produire une image virtuelle, droite et agrandie d’un objet placé entre son foyer et elle-même. ### B. Principe de fonctionnement Lorsque l’objet de hauteur $h$ est placé à une distance $d_o$ (mesurée depuis la lentille, positive si réel du côté objet) telle que $d_o < f$, la formule de conjugaison donne : $$ \frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i} $$ Comme $d_o < f$, on obtient $d_i < 0$ (image virtuelle, du même côté que l’objet). La hauteur de l’image $h_i$ est liée à celle de l’objet par le facteur de magnification linéaire : $$ m = \frac{h_i}{h} = -\frac{d_i}{d_o} $$ Puisque $d_i$ est négatif et $d_o$ positif, $m$ est positif : l’image est droite. Cependant, pour caractériser l’efficacité d’une loupe, on ne utilise pas le grossissement linéaire $m$, mais le **grossissement angulaire** $G$, défini comme le rapport de l’angle sous-tendu par l’image vue à travers la loupe à l’angle sous-tendu par l’objet observé à l’œil nu à la distance de vision distincte $D$ (conventionnellement $D = 25$ cm) : $$ G = \frac{\theta'}{\theta} $$ où $\theta$ est l’angle sous-tendu par l’objet à l’œil nu placé à la distance $D$ : $\theta \approx \frac{h}{D}$ (pour petit angle), et $\theta'$ est l’angle sous-tendu par l’image virtuelle vue à travers la loupe. Deux cas d’utilisation sont considérés selon la position de l’image finale : #### 1. Image à l’infini (œil détendu) L’objet est placé exactement au foyer de la loupe : $d_o = f$. Alors, les rayons émergents sont parallèles : l’image est formée à l’infini. L’œil peut observer sans effort d’accommodation. L’angle sous-tendu par l’image est alors : $\theta' \approx \frac{h}{f}$ (puisque les rayons provenant de l’objet de hauteur $h$ au foyer émergent avec un angle $\frac{h}{f}$). L’angle à l’œil nu est : $\theta \approx \frac{h}{D}$. Donc : $$ G_{\infty} = \frac{\theta'}{\theta} = \frac{h/f}{h/D} = \frac{D}{f} $$ #### 2. Image à la distance de vision distincte $D$ (œil accommodé au maximum) L’image virtuelle est formée à la distance $D$ du côté de l’œil (donc $d_i = -D$, car virtuelle du même côté que l’objet). On cherche $d_o$ à partir de la formule de conjugaison : $$ \frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{-D} \Rightarrow \frac{1}{d_o} = \frac{1}{f} + \frac{1}{D} $$ L’angle sous-tendu par l’image vue à travers la loupe est approximativement $\theta' \approx \frac{h_i}{D}$, où $h_i$ est la hauteur de l’image. Mais $h_i = m h = \left(-\frac{d_i}{d_o}\right) h = \left(-\frac{-D}{d_o}\right) h = \frac{D}{d_o} h$. Donc : $$ \theta' \approx \frac{h_i}{D} = \frac{(D/d_o) h}{D} = \frac{h}{d_o} $$ L’angle à l’œil nu reste $\theta \approx \frac{h}{D}$. Ainsi : $$ G_{D} = \frac{\theta'}{\theta} = \frac{h/d_o}{h/D} = \frac{D}{d_o} $$ En utilisant $\frac{1}{d_o} = \frac{1}{f} + \frac{1}{D}$, on obtient : $$ G_{D} = D \left( \frac{1}{f} + \frac{1}{D} \right) = \frac{D}{f} + 1 $$ > **À retenir** : Le grossissement angulaire d’une loupe vaut $G = \frac{D}{f}$ lorsque l’image est formée à l’infini (œil détendu), et $G = \frac{D}{f} + 1$ lorsque l’image est formée à la distance de vision distincte $D$ (œil accommodé au maximum), avec $D = 25$ cm conventionnellement. ### C. Exemples résolus **Exemple 1** : Une loupe a une distance focale $f = 5$ cm. Calculer son grossissement angulaire lorsque l’image est formée à l’infini et lorsque l’image est formée à la distance de vision distincte ($D = 25$ cm). *Solution* : - À l’infini : $$ G_{\infty} = \frac{D}{f} = \frac{25}{5} = 5 $$ - À la distance $D$ : $$ G_{D} = \frac{D}{f} + 1 = \frac{25}{5} + 1 = 5 + 1 = 6 $$ **Exemple 2** : On observe un objet de hauteur $h = 0,2$ mm avec une loupe de $f = 4$ cm. L’image est formée à l’infini. Quelle est la hauteur apparente de l’image telle qu’elle serait perçue si elle était placée à $D = 25$ cm de l’œil nu ? *Solution* : Le grossissement angulaire est $G = \frac{D}{f} = \frac{25}{4} = 6,25$. Cet agrandissement angulaire signifie que l’objet apparaît sous le même angle qu’un objet de hauteur $h' = G \cdot h$ placé à $D$ de l’œil nu. Donc : $$ h' = G \cdot h = 6,25 \times 0,2\ \text{mm} = 1,25\ \text{mm} $$ À retenir : bien que l’image virtuelle soit située à l’infini, son effet est équivalent à celui d’un objet réel de hauteur $1,25$ mm placé à $25$ cm. --- ### D. Exercices d’application corrigés **Exercice 1** : Une loupe de focale $f = 2$ cm est utilisée avec l’image formée à la distance de vision distincte. Calculer son grossissement angulaire. *Correction* : $$ G = \frac{D}{f} + 1 = \frac{25}{2} + 1 = 12,5 + 1 = 13,5 $$ **Exercice 2** : On veut observer un détail de taille $0,05$ mm avec une loupe. Quel doit être au minimum le grossissement angulaire pour que ce détail apparaisse sous un angle d’au moins $0,01$ rad (seuil de résolution approximatif de l’œil nu) ? *Correction* : L’angle sous-tendu par le détail à l’œil nu à distance $D$ est $\theta = \frac{h}{D} = \frac{0,05 \times 10^{-3}}{0,25} = 2 \times 10^{-4}$ rad. Pour qu’il apparaisse sous $\theta' \geq 0,01$ rad, il faut : $$ G \geq \frac{\theta'}{\theta} = \frac{0,01}{2 \times 10^{-4}} = 50 $$ Donc $G \geq 50$. Si l’on utilise la loupe en mode image à l’infini : $G = \frac{D}{f} \Rightarrow f \leq \frac{D}{G} = \frac{25}{50} = 0,5$ cm. La focale doit être $\leq 0,5$ cm. **Exercice 3** : Une loupe permet un grossissement angulaire de $4$ lorsque l’image est formée à l’infini. Quelle est sa distance focale ? *Correction* : $$ G_{\infty} = \frac{D}{f} \Rightarrow f = \frac{D}{G} = \frac{25}{4} = 6,25\ \text{cm} $$ --- ## II. Le microscope composé ### A. Description Un microscope composé est un instrument d’optique constitué de deux lentilles convergentes : - L’**objectif**, de courte distance focale $f_o$, placé près de l’objet à observer. - L’**oculaire** (ou eyepiece), de distance focale $f_e$, placé près de l’œil. L’objet est placé juste au-delà du foyer de l’objectif ($d_o > f_o$ mais proche de $f_o$), de sorte que l’objectif forme une image réelle, renversée et agrandie ($h_i'$), située entre l’objectif et l’oculaire. Cette image intermédiaire sert alors d’objet pour l’oculaire, qui l’observe comme une loupe : l’oculaire produit une image virtuelle, droite par rapport à l’image intermédiaire (donc renversée par rapport à l’objet initial), agrandie, et située soit à l’infini, soit à la distance de vision distincte $D$, selon le réglage. > **À retenir** : Un microscope composé utilise un objectif pour produire une image réelle intermédiaire agrandie, puis un oculaire pour observer cette image comme une loupe, produisant une image virtuelle finale observée par l’œil. ### B. Principe de fonctionnement Le grossissement total du microscope est le produit du grossissement linéaire de l’objectif et du grossissement angulaire de l’oculaire. On définit le **grossissement angulaire total** $G$ comme le rapport de l’angle sous-tendu par l’image finale vue à travers le microscope à l’angle sous-tendu par l’objet observé à l’œil nu à la distance $D$. #### Étapes : 1. **Objectif** : L’objet de hauteur $h$ est placé à une distance $d_o$ de l’objectif. L’image intermédiaire de hauteur $h_1$ est formée à une distance $d_i$ de l’objectif, avec : $$ m_o = \frac{h_1}{h} = -\frac{d_i}{d_o} $$ Dans un microscope réglé pour une observation confortable, on place l’objet de telle sorte que l’image intermédiaire soit formée au foyer de l’oculaire du côté objet (pour image finale à l’infini) ou à une distance permettant à l’oculaire de former l’image finale à $D$. On introduit la **distance optique tube** $\Delta$, définie comme la distance entre le foyer secondaire de l’objectif et le foyer primaire de l’oculaire. Dans de nombreux microscopes standards, $\Delta$ est fixé (ex. 16 cm). Lorsque l’objet est placé très près du foyer de l’objectif ($d_o \approx f_o$), et que l’image intermédiaire est formée à une distance $d_i \approx f_o + \Delta$ du sommet de l’objectif, alors : $$ m_o \approx -\frac{\Delta}{f_o} $$ (Le signe moins indique l’inversion, mais on travaille souvent avec les valeurs absolues pour le grossissement magnitude.) 2. **Oculaire** : L’image intermédiaire de hauteur $h_1$ sert d’objet pour l’oculaire. - Si l’image finale est formée à l’infini : on place l’image intermédiaire exactement au foyer de l’oculaire ($d_{o,e} = f_e$). Alors le grossissement angulaire de l’oculaire est $G_e = \frac{D}{f_e}$. - Si l’image finale est formée à la distance $D$ : on place l’objet de l’oculaire de telle sorte que son image virtuelle soit à $D$ ($d_{i,e} = -D$), ce qui donne un grossissement angulaire $G_e = \frac{D}{f_e} + 1$. #### Grossissement angulaire total : - **Image finale à l’infini** (œil détendu) : $$ G_{\infty} = |m_o| \cdot G_e = \left( \frac{\Delta}{f_o} \right) \cdot \left( \frac{D}{f_e} \right) $$ - **Image finale à la distance $D$** (œil accommodé au maximum) : $$ G_{D} = |m_o| \cdot G_e = \left( \frac{\Delta}{f_o} \right) \cdot \left( \frac{D}{f_e} + 1 \right) $$ > **À retenir** : Dans un microscope composé réglé pour une image finale à l’infini, le grossissement angulaire total vaut $G = \dfrac{\Delta}{f_o} \cdot \dfrac{D}{f_e}$, où $\Delta$ est la distance optique tube (distance entre le foyer secondaire de l’objectif et le foyer primaire de l’oculaire), $D = 25$ cm la distance de vision distincte, $f_o$ et $f_e$ les distances focales de l’objectif et de l’oculaire. Pour une image finale à $D$, on multiplie le terme de l’oculaire par $\left( \dfrac{D}{f_e} + 1 \right)$. ### C. Exemples résolus **Exemple 1** : Un microscope a un objectif de $f_o = 0,5$ cm, un oculaire de $f_e = 2,5$ cm, et une distance optique tube $\Delta = 16$ cm. Calculer le grossissement angulaire lorsque l’image finale est formée à l’infini et lorsque l’image finale est formée à la distance de vision distincte ($D = 25$ cm). *Solution* : - À l’infini : $$ G_{\infty} = \frac{\Delta}{f_o} \cdot \frac{D}{f_e} = \frac{16}{0,5} \cdot \frac{25}{2,5} = 32 \cdot 10 = 320 $$ - À la distance $D$ : $$ G_{D} = \frac{\Delta}{f_o} \cdot \left( \frac{D}{f_e} + 1 \right) = 32 \cdot \left( \frac{25}{2,5} + 1 \right) = 32 \cdot (10 + 1) = 32 \cdot 11 = 352 $$ **Exemple 2** : On observe une lame portant un objet de hauteur $h = 0,01$ mm avec le microscope de l’exemple précédent (image finale à l’infini). Quelle est la hauteur apparente de l’objet telle qu’elle serait perçue si elle était placée à $D = 25$ cm de l’œil nu ? *Solution* : Le grossissement angulaire est $G = 320$. La hauteur apparente équivalente à $D$ est : $$ h' = G \cdot h = 320 \times 0,01\ \text{mm} = 3,2\ \text{mm} $$ À retenir : un objet de $0,01$ mm apparaît comme s’il faisait $3,2$ mm placé à $25$ cm. --- ### D. Exercices d’application corrigés **Exercice 1** : Un microscope a un objectif de $f_o = 1$ cm, un oculaire de $f_e = 5$ cm, et $\Delta = 20$ cm. Calculer $G_{\infty}$ et $G_{D}$. *Correction* : - $G_{\infty} = \frac{20}{1} \cdot \frac{25}{5} = 20 \cdot 5 = 100$ - $G_{D} = 20 \cdot \left( \frac{25}{5} + 1 \right) = 20 \cdot (5 + 1) = 20 \cdot 6 = 120$ **Exercice 2** : On veut atteindre un grossissement angulaire d’au moins $500$ avec un microscope dont l’oculaire a $f_e = 2$ cm et $\Delta = 15$ cm. Quelle doit être la focale maximale de l’objectif ? *Correction* : On utilise le mode image à l’infini (le plus exigeant sur $f_o$ pour un $G$ donné, puisque $G_{D} > G_{\infty}$) : $$ G_{\infty} = \frac{\Delta}{f_o} \cdot \frac{D}{f_e} \geq 500 \Rightarrow \frac{15}{f_o} \cdot \frac{25}{2} \geq 500 \Rightarrow \frac{15}{f_o} \cdot 12,5 \geq 500 \Rightarrow \frac{187,5}{f_o} \geq 500 \Rightarrow f_o \leq \frac{187,5}{500} = 0,375\ \text{cm} = 3,75\ \text{mm} $$ **Exercice 3** : Un microscope réglé pour image finale à l’infini donne $G = 180$. Si $f_o = 0,6$ cm et $f_e = 3$ cm, quelle est la distance optique tube $\Delta$ ? *Correction* : $$ G = \frac{\Delta}{f_o} \cdot \frac{D}{f_e} \Rightarrow 180 = \frac{\Delta}{0,6} \cdot \frac{25}{3} \Rightarrow 180 = \frac{\Delta}{0,6} \cdot \frac{25}{3} \Rightarrow 180 = \Delta \cdot \frac{25}{3 \cdot 0,6} = \Delta \cdot \frac{25}{1,8} \Rightarrow \Delta = 180 \cdot \frac{1,8}{25} = \frac{324}{25} = 12,96\ \text{cm} \approx 13,0\ \text{cm} $$ --- ## Synthèse du chapitre - La loupe est une lentille convergente produisant une image virtuelle, droite et agrandie lorsque l’objet est placé entre son foyer et elle. - Son grossissement angulaire vaut $G = \dfrac{D}{f}$ (image à l’infini) ou $G = \dfrac{D}{f} + 1$ (image à la distance de vision distincte $D = 25$ cm). - Le microscope composé associe un objectif (produisant une image réelle intermédiaire) et un oculaire (agissant comme une loupe sur cette image). - Son grossissement angulaire total est : - $G_{\infty} = \dfrac{\Delta}{f_o} \cdot \dfrac{D}{f_e}$ (image finale à l’infini), - $G_{D} = \dfrac{\Delta}{f_o} \cdot \left( \dfrac{D}{f_e} + 1 \right)$ (image finale à $D$), où $\Delta$ est la distance optique tube, $D = 25$ cm, $f_o$ et $f_e$ les distances focales de l’objectif et de l’oculaire. - Le grossissement angulaire quantifie l’amélioration de la résolution perçue : il compare l’angle sous-tendu par l’image instrumentée à celui de l’objet à l’œil nu à distance $D$. - Dans les deux instruments, l’observation confortable privilégie souvent le réglage image à l’infini (œil détendu), tandis que le grossissement maximal est atteint avec l’image à $D$ (œil accommodé). --- ## Glossaire - **Loupe** : Instrument d’optique constitué d’une seule lentille convergente utilisée pour produire une image virtuelle, droite et agrandie d’un objet placé entre son foyer et elle. - **Distance de vision distincte ($D$)** : Distance conventionnelle à laquelle l’œil humain peut distinguer les détails sans effort, fixée à $25$ cm en optique instrumentale. - **Grossissement angulaire ($G$)** : Rapport de l’angle sous-tendu par l’image vue à travers l’instrument à l’angle sous-tendu par l’objet observé à l’œil nu à la distance $D$. - **Objectif** : Lentille convergente de courte focale dans un microscope, chargée de former une image réelle intermédiaire agrandie de l’objet. - **Oculaire** : Lentille convergente (ou système de lentilles) dans un microscope, utilisée pour observer l’image intermédiaire formée par l’objectif, agissant comme une loupe. - **Distance optique tube ($\Delta$)** : Distance entre le foyer secondaire de l’objectif et le foyer primaire de l’oculaire dans un microscope composé, paramètre caractéristique de l’instrument. - **Image intermédiaire** : Image réelle, renversée et agrandie formée par l’objectif d’un microscope, servant d’objet pour l’oculaire. - **Image finale** : Image virtuelle produite par l’oculaire d’un microscope, observée par l’œil, située soit à l’infini, soit à la distance de vision distincte $D$. - **Œil détendu** : État d’accommodation de l’œil lorsque l’image observée est formée à l’infini, nécessitant aucun effort de mise au point. - **Œil accommodé** : État où l’œil ajuste sa courbure cristallinienne pour former une image nette sur la rétine, ici utilisé pour observer une image virtuelle à la distance $D$. - **Distance focale ($f$)** : Distance entre le sommet d’une lentille mince et son foyer principal, caractérisant sa puissance de convergence ou de divergence. - **Magnification linéaire ($m$)** : Rapport de la hauteur de l’image à celle de l’objet, $m = h_i/h = -d_i/d_o$ pour une lentille mince. ---