Chap 3 : Travail d'une force

# Chap 3 : Travail d'une force ## Objectifs et prérequis **Objectifs** : À l’issue de ce chapitre, l’élève sera capable de : - Définir le travail d’une force constante et le calculer à l’aide de la formule scalaire ou vectorielle. - Déterminer le travail de la tension d’un ressort obéissant à la loi de Hooke. - Calculer le travail d’un couple de force à moment constant. - Définir la puissance d’une force constante et d’un couple de force, et les relier au travail et au temps. - Résoudre des problèmes concrets en appliquant ces notions à des situations physiques variées (mécanique du point, systèmes à ressort, rotation). **Prérequis** : Notions de vecteur (produit scalaire, projection), lois de Newton, énergie cinétique, loi de Hooke, moment d’un couple, unités du Système international (joule, watt, newton, mètre, seconde). --- ## Introduction Le travail d’une force quantifie l’effet d’une action mécanique sur le déplacement d’un point d’application. Il permet de relier les actions des forces aux variations d’énergie, notamment l’énergie cinétique (théorème du travail et de l’énergie). Ce chapitre introduit le travail pour différents types de forces : constante, variable (ressort linéaire), et couple. La puissance, quant à elle, mesure le taux auquel ce travail est effectué. Ces concepts sont fondamentaux en mécanique et servent de base à l’étude de l’énergie, des machines simples et des systèmes oscillants. --- ## I. Travail d’une force constante ### Définition et propriétés > Le travail d’une force constante $\vec{F}$ appliquée à un point se déplaçant de $A$ à $B$ est défini par le produit scalaire de $\vec{F}$ et du déplacement $\vec{AB}$ : > $$ > W_{A \to B}(\vec{F}) = \vec{F} \cdot \vec{AB} = F \cdot AB \cdot \cos\theta > $$ > où $\theta$ est l’angle entre $\vec{F}$ et $\vec{AB}$. **Propriétés** : - Le travail est une grandeur scalaire (en joules, J). - Il dépend du chemin seulement si la force n’est pas conservative (mais ici, force constante → travail indépendant du chemin entre deux points). - Si $\vec{F} \perp \vec{AB}$, alors $W = 0$. - Si $\vec{F}$ et $\vec{AB}$ ont la même direction, $W = F \cdot AB$ (travail positif). - Si ils sont opposés, $W = -F \cdot AB$ (travail négatif : la force freine le mouvement). ### Exemple résolu **Exemple 1** : Une force constante de $\vec{F} = (30\,\text{N})\,\hat{i} + (20\,\text{N})\,\hat{j}$ agit sur un objet qui se déplace du point $A(0,0)$ au point $B(4\,\text{m}, 3\,\text{m})$. Calculer le travail de $\vec{F}$. **Solution** : $$ \vec{AB} = (4\,\hat{i} + 3\,\hat{j})\,\text{m} $$ $$ W = \vec{F} \cdot \vec{AB} = (30)(4) + (20)(3) = 120 + 60 = 180\,\text{J} $$ > **À retenir** : Le travail d’une force constante se calcule facilement par produit scalaire lorsque les composantes sont connues. ### Exercices d’application corrigés **Exercice 1** : Un bloc de masse $5\,\text{kg}$ est tiré horizontalement sur un sol rugueux par une force constante de $40\,\text{N}$ faisant un angle de $30^\circ$ avec l’horizontale. Le déplacement est de $10\,\text{m}$. Calculer le travail de cette force. **Solution** : $$ W = F \cdot d \cdot \cos\theta = 40 \times 10 \times \cos 30^\circ = 400 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 200\sqrt{3} \approx 346,4\,\text{J} $$ **Exercice 2** : Une force de $\vec{F} = -50\,\hat{i}\,\text{N}$ agit sur un objet se déplaçant de $x = 2\,\text{m}$ à $x = 8\,\text{m}$ le long de l’axe $x$. Quel est le travail de $\vec{F}$ ? **Solution** : $$ \vec{AB} = (8-2)\,\hat{i} = 6\,\hat{i}\,\text{m} $$ $$ W = (-50)(6) = -300\,\text{J} $$ Le travail est négatif : la force s’oppose au déplacement. --- ## II. Travail de la tension d’un ressort à réponse linéaire ### Loi de Hooke et travail > Pour un ressort obéissant à la loi de Hooke, la force de tension exercée par le ressort est : > $$ > \vec{F}_{\text{ressort}} = -k \vec{x} > $$ > où $k > 0$ est la raideur du ressort (en N/m), $\vec{x}$ est l’allongement ou la compression par rapport à la position d’équilibre, dirigé depuis l’équilibre vers le point d’application. Le travail de cette force variable lors d’un déplacement de $x_i$ à $x_f$ est : $$ W_{x_i \to x_f}(\vec{F}_{\text{ressort}}) = \int_{x_i}^{x_f} \vec{F} \cdot d\vec{x} = \int_{x_i}^{x_f} (-kx) \, dx = -\frac{1}{2} k (x_f^2 - x_i^2) $$ **Propriétés** : - Le travail dépend seulement des positions initiale et finale (force conservative). - Si le ressort revient à sa position initiale ($x_f = x_i$), le travail net est nul. - Étirer ou compresser le ressort nécessite un travail positif fourni par l’extérieur ; le ressort fait un travail négatif (il emmagasine de l’énergie). ### Exemple résolu **Exemple 2** : Un ressort de raideur $k = 200\,\text{N/m}$ est étiré de $x_i = 0,10\,\text{m}$ à $x_f = 0,30\,\text{m}$ par rapport à son équilibre. Calculer le travail de la force de tension du ressort. **Solution** : $$ W = -\frac{1}{2} k (x_f^2 - x_i^2) = -\frac{1}{2} \times 200 \times \left( (0,30)^2 - (0,10)^2 \right) $$ $$ = -100 \times (0,09 - 0,01) = -100 \times 0,08 = -8,0\,\text{J} $$ > **À retenir** : Le travail de la force du ressort est négatif lorsqu’il est étiré ou compressé : il oppose une résistance au mouvement. ### Exercices d’application corrigés **Exercice 3** : Un ressort de raideur $k = 150\,\text{N/m}$ est comprimé de $5,0\,\text{cm}$ à partir de l’équilibre. Quel travail la force du ressort effectue-t-elle durant cette compression ? **Solution** : $$ x_i = 0,\quad x_f = -0,050\,\text{m} \quad (\text{compression : } x < 0) $$ $$ W = -\frac{1}{2} k (x_f^2 - x_i^2) = -\frac{1}{2} \times 150 \times \left( (-0,05)^2 - 0 \right) = -75 \times 0,0025 = -0,1875\,\text{J} $$ Le travail est négatif : le ressort résiste à la compression. **Exercice 4** : Le même ressort est ensuite relâché et revient à l’équilibre. Quel travail la force du ressort effectue-t-elle durant ce retour ? **Solution** : $$ x_i = -0,050\,\text{m},\quad x_f = 0 $$ $$ W = -\frac{1}{2} \times 150 \times \left( 0^2 - (-0,05)^2 \right) = -75 \times (-0,0025) = +0,1875\,\text{J} $$ Le travail est positif : le ressort accélère la masse lors du retour à l’équilibre. --- ## III. Travail d’un couple de force à moment constant ### Définition et propriétés > Un couple de force est constitué de deux forces égales en intensité, parallèles, de même direction mais de sens opposé, ne passant pas par le même point. Son moment (ou torque) $\vec{\tau}$ est donné par : > $$ > \vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} > $$ > où $\vec{r}$ est le vecteur allant d’une force à l’autre. Son intensité est $\tau = F \cdot d$, avec $d$ le bras de levier. > Le travail d’un couple de moment constant $\vec{\tau}$ appliqué à un corps tournant d’un angle $\Delta\theta$ (en radians) est : > $$ > W = \vec{\tau} \cdot \Delta\vec{\theta} = \tau \cdot \Delta\theta \quad \text{(si } \vec{\tau} \parallel \Delta\vec{\theta}\text{)} > $$ > En général : $W = \tau \, \Delta\theta \, \cos\phi$, mais pour un couple aligné avec l’axe de rotation, $\phi = 0$. **Propriétés** : - Le travail d’un couple dépend de l’angle de rotation, pas du chemin temporel. - Un couple constant produit un travail proportionnel à l’angle tourné. - Le travail est positif si le couple et la rotation ont le même sens. ### Exemple résolu **Exemple 3** : Un couple de moment constant $\tau = 25\,\text{N·m}$ fait tourner une roue d’un angle de $120^\circ$. Calculer le travail effectué. **Solution** : $$ \Delta\theta = 120^\circ \times \frac{\pi}{180} = \frac{2\pi}{3}\,\text{rad} $$ $$ W = \tau \cdot \Delta\theta = 25 \times \frac{2\pi}{3} = \frac{50\pi}{3} \approx 52,36\,\text{J} $$ > **À retenir** : Le travail d’un couple constant est le produit du moment par l’angle de rotation (en radians). ### Exercices d’application corrigés **Exercice 5** : Une clé à molette exerce un couple de $18\,\text{N·m}$ pour serrer un boulon. Si le boulon tourne de $3$ tours complets, quel travail est effectué ? **Solution** : $$ \Delta\theta = 3 \times 2\pi = 6\pi\,\text{rad} $$ $$ W = 18 \times 6\pi = 108\pi \approx 339,3\,\text{J} $$ **Exercice 6** : Un moteur fournit un couple constant de $40\,\text{N·m}$. Quel travail effectue-t-il en faisant tourner un arbre de $90^\circ$ ? **Solution** : $$ \Delta\theta = 90^\circ = \frac{\pi}{2}\,\text{rad} $$ $$ W = 40 \times \frac{\pi}{2} = 20\pi \approx 62,8\,\text{J} $$ --- ## IV. Puissance d’une force constante ### Définition et propriétés > La puissance instantanée $P$ d’un force $\vec{F}$ agissant sur un point se déplaçant à la vitesse $\vec{v}$ est définie par : > $$ > P = \vec{F} \cdot \vec{v} > $$ > Pour une force constante et un mouvement rectiligne uniforme, la puissance moyenne sur un intervalle $\Delta t$ est égale à la puissance instantanée : > $$ > P_{\text{moy}} = \frac{W}{\Delta t} = \frac{\vec{F} \cdot \vec{AB}}{\Delta t} > $$ > L’unité de puissance est le watt (W) : $1\,\text{W} = 1\,\text{J/s}$. **Propriétés** : - La puissance dépend de la vitesse du point d’application. - Si $\vec{F} \perp \vec{v}$, alors $P = 0$ (la force ne change pas l’énergie cinétique). - Puissance positive : la force ajoute de l’énergie au système. - Puissance négative : la force retire de l’énergie (freinage). ### Exemple résolu **Exemple 4** : Une force constante de $\vec{F} = (40\,\text{N})\,\hat{i}$ agit sur un objet se déplaçant à vitesse constante $\vec{v} = (5\,\text{m/s})\,\hat{i}$. Quelle est la puissance développée ? **Solution** : $$ P = \vec{F} \cdot \vec{v} = 40 \times 5 = 200\,\text{W} $$ > **À retenir** : La puissance d’une force constante est le produit scalaire de la force et de la vitesse du point d’application. ### Exercices d’application corrigés **Exercice 7** : Une personne pousse un chariot avec une force de $60\,\text{N}$ dirigée à $20^\circ$ au-dessus de l’horizontale. Le chariot se déplace à $1,5\,\text{m/s}$ horizontalement. Quelle est la puissance de la force appliquée ? **Solution** : Seule la composante horizontale de la force contribue à la puissance (puisque $\vec{v}$ est horizontal) : $$ F_x = 60 \cos 20^\circ \approx 60 \times 0,9397 = 56,38\,\text{N} $$ $$ P = F_x \cdot v = 56,38 \times 1,5 \approx 84,6\,\text{W} $$ **Exercice 8** : Une force de $\vec{F} = -30\,\hat{i}\,\text{N}$ agit sur un objet se déplaçant à $\vec{v} = 4\,\hat{i}\,\text{m/s}$. Quelle est la puissance ? **Solution** : $$ P = (-30)(4) = -120\,\text{W} $$ La puissance est négative : la force dissipe de l’énergie (comme un frein). --- ## V. Puissance d’un couple de force de moment constant ### Définition et propriétés > La puissance instantanée $P$ développée par un couple de moment $\vec{\tau}$ agissant sur un corps tournant avec une vitesse angulaire $\vec{\omega}$ est : > $$ > P = \vec{\tau} \cdot \vec{\omega} > $$ > Pour un couple constant et une rotation uniforme autour d’un axe fixe, si $\vec{\tau}$ et $\vec{\omega}$ sont parallèles : > $$ > P = \tau \cdot \omega > $$ > où $\omega$ est la vitesse angulaire en rad/s. **Propriétés** : - La puissance mécanique en rotation est le produit du couple par la vitesse angulaire. - Un couple constant produisant une accélération angulaire implique une puissance variable (puisque $\omega$ change). - Ici, on considère le cas de vitesse angulaire constante → puissance constante. - L’unité reste le watt (W). ### Exemple résolu **Exemple 5** : Un moteur fournit un couple constant de $\tau = 50\,\text{N·m}$ pour faire tourner un arbre à une vitesse angulaire de $\omega = 10\,\text{rad/s}$. Quelle est la puissance développée ? **Solution** : $$ P = \tau \cdot \omega = 50 \times 10 = 500\,\text{W} $$ > **À retenir** : La puissance d’un couple constant est le produit du moment par la vitesse angulaire (en rad/s). ### Exercices d’application corrigés **Exercice 9** : Une perceuse développe un couple de $8\,\text{N·m}$ lorsqu’elle tourne à $300\,\text{tr/min}$. Quelle est sa puissance en watts ? **Solution** : $$ \omega = 300 \times \frac{2\pi}{60} = 300 \times \frac{\pi}{30} = 10\pi\,\text{rad/s} $$ $$ P = 8 \times 10\pi = 80\pi \approx 251,3\,\text{W} $$ **Exercice 10** : Un système nécessite une puissance de $1\,\text{kW}$ pour maintenir une rotation à $25\,\text{rad/s}$. Quel couple doit fournir le moteur ? **Solution** : $$ P = \tau \cdot \omega \Rightarrow \tau = \frac{P}{\omega} = \frac{1000}{25} = 40\,\text{N·m} $$ --- ## Synthèse du chapitre - **Travail d’une force constante** : $W = \vec{F} \cdot \vec{AB} = F \, AB \, \cos\theta$ - **Travail d’un ressort linéaire** : $W = -\frac{1}{2} k (x_f^2 - x_i^2)$ - **Travail d’un couple constant** : $W = \tau \, \Delta\theta$ ($\Delta\theta$ en rad) - **Puissance d’une force constante** : $P = \vec{F} \cdot \vec{v}$ - **Puissance d’un couple constant** : $P = \tau \cdot \omega$ ($\omega$ en rad/s) > **À retenir** : Le travail mesure l’énergie transférée par une action mécanique ; la puissance mesure la rapidité de ce transfert. Ces notions sont centrales pour analyser les systèmes mécaniques sous l’angle de l’énergie. --- ## Glossaire - **Travail** : Énergie transférée par une force agissant sur un déplacement. Unité : joule (J). - **Force constante** : Force dont l’intensité, la direction et le sens ne varient pas. - **Ressort linéaire** : Ressort obéissant à la loi de Hooke ($F = -kx$). - **Raideur ($k$)** : Constante de proportionnalité dans la loi de Hooke (N/m). - **Couple de force** : Système de deux forces égales, parallèles, opposées, produisant une rotation. - **Moment d’un couple ($\tau$)** : Produit de l’intensité d’une force par le bras de levier (N·m). - **Puissance** : Taux auquel le travail est effectué. Unité : watt (W). - **Vitesse angulaire ($\omega$)** : Taux de variation de l’angle (rad/s). - **Produit scalaire** : Opération donnant un scalaire à partir de deux vecteurs ($\vec{A} \cdot \vec{B} = AB\cos\theta$). - **Angle en radians** : Unité naturelle d’angle en physique ($2\pi$ rad = 360°). - **Énergie cinétique** : Énergie liée au mouvement ($\frac{1}{2}mv^2$). - **Force conservative** : Force dont le travail ne dépend que des positions initiale et finale (ex. : ressort, poids).