Chap 7 : Energie mécanique

# Chap 7 : Energie mécanique ## Objectifs et prérequis **Objectifs** : - Définir l’énergie potentielle gravitationnelle et élastique, et savoir l’exprimer mathématiquement. - Définir l’énergie mécanique d’un système et identifier ses composantes. - Énoncer le principe de conservation de l’énergie mécanique dans le cas des forces conservatrices. - Appliquer ce principe à la résolution de problèmes de mécanique (chute libre, plan incliné, ressort, pendule simple). - Distinguer les cas où l’énergie mécanique est conservée de ceux où elle ne l’est pas (travail des forces non conservatrices). **Prérequis** : - Notions de travail et d’énergie cinétique (Chapitre 6). - Lois de Newton, particulièrement la deuxième loi et la notion de force conservative. - Notion de système isolé et de forces externes. - Maîtrise du système international d’unités (SI) et des grandeurs dérivées (joule, newton, mètre). - Capacité à résoudre des équations du second degré et à manipuler des expressions algébriques. --- ## Introduction L’énergie mécanique regroupe les formes d’énergie associées au mouvement et à la position d’un corps dans un champ de forces. Elle joue un rôle central en mécanique classique, notamment grâce au principe de conservation qui permet de résoudre de nombreux problèmes sans avoir à détailler les trajectoires ou les forces instantanées. Dans ce chapitre, nous définissons successivement l’énergie potentielle (gravitationnelle et élastique), puis l’énergie mécanique totale, enfin nous établissons les conditions de sa conservation. Cette approche énergétique offre une méthode puissante et élégante pour analyser les systèmes mécaniques, particulièrement lorsqu’on traite des mouvements sous l’action de forces conservatrices comme la pesanteur ou la force élastique d’un ressort. --- ## I. Notion d’énergie potentielle ### Définition et forme générale L’énergie potentielle d’un système est l’énergie associée à la position relative de ses constituants dans un champ de forces conservative. Elle dépend uniquement de la configuration du système, pas de son historique. Lorsqu’une force conservative \(\vec{F}\) agit sur un corps, le travail qu’elle réalise lors d’un déplacement dépend seulement des positions initiale et finale, et on peut définir une fonction d’énergie potentielle \(U\) telle que : \[ W_{\vec{F}} = -\Delta U = U_A - U_B \] où \(W_{\vec{F}}\) est le travail de la force \(\vec{F}\) entre les points \(A\) et \(B\). Le signe moins reflète que lorsque la force conservative effectue un travail positif, l’énergie potentielle diminue. > **À retenir** : L’énergie potentielle \(U\) est définie à une constante additive près ; seul le changement \(\Delta U\) a une signification physique. On choisit souvent la valeur nulle par convention pour simplifier les calculs. ### Énergie potentielle gravitationnelle Près de la surface de la Terre, la pesanteur est approximativement uniforme : \(\vec{F}_g = -mg\,\hat{j}\) (avec \(\hat{j}\) dirigé vers le haut). Le travail de la pesanteur lors d’un déplacement vertical de \(y_A\) à \(y_B\) est : \[ W_g = -mg(y_B - y_A) \] En comparant avec \(W_g = -\Delta U_g\), on obtient : \[ \Delta U_g = mg\,\Delta y \quad \Rightarrow \quad U_g = mgy + C \] On choisit généralement \(U_g = 0\) pour \(y = 0\) (sol ou référence), donc : \[ \boxed{U_g = mgy} \] où \(y\) est l’altitude au-dessus de la référence choisie. **Propriétés** : - Proportionnelle à la masse \(m\), à l’accélération de pesanteur \(g\) et à la hauteur \(y\). - Augmente avec la hauteur. - Nulle par convention à la référence. **Exemple résolu** : Un objet de masse \(2,0\,\text{kg}\) est soulevé verticalement de \(1,5\,\text{m}\) au-dessus du sol. Quelle est l’augmentation de son énergie potentielle gravitationnelle ? \[ \Delta U_g = mg\,\Delta y = (2,0)(9,81)(1,5) = 29,43\,\text{J} \approx 29\,\text{J} \] > **À retenir** : \(U_g = mgy\) ; l’énergie potentielle gravitationnelle augmente linéairement avec la hauteur. ### Énergie potentielle élastique Considérons un ressort idéal obéissant à la loi de Hooke : la force de rappel exercée par le ressort lorsqu’il est étiré ou comprit d’une longueur \(x\) par rapport à sa longueur naturelle est : \[ F_{\text{el}} = -kx \] où \(k > 0\) est la raideur du ressort (en N/m) et \(x\) l’allongement (positif si étiré, négatif si comprit). Le travail de cette force lors d’un déplacement de \(x_A\) à \(x_B\) est : \[ W_{\text{el}} = \int_{x_A}^{x_B} (-kx)\,dx = -\frac{1}{2}k(x_B^2 - x_A^2) \] En identifiant à \(W_{\text{el}} = -\Delta U_{\text{el}}\), on obtient : \[ \Delta U_{\text{el}} = \frac{1}{2}k(x_B^2 - x_A^2) \quad \Rightarrow \quad U_{\text{el}} = \frac{1}{2}kx^2 + C \] On pose \(U_{\text{el}} = 0\) quand \(x = 0\) (ressort au repos), donc : \[ \boxed{U_{\text{el}} = \frac{1}{2}kx^2} \] **Propriétés** : - Toujours positive ou nulle (puisque dépend de \(x^2\)). - Nulle lorsque le ressort est à sa longueur naturelle. - Symétrique : même énergie pour un allongement ou une compression de même valeur absolue. **Exemple résolu** : Un ressort de raideur \(k = 200\,\text{N/m}\) est comprimé de \(0,10\,\text{m}\). Quelle est son énergie potentielle élastique ? \[ U_{\text{el}} = \frac{1}{2}(200)(0,10)^2 = \frac{1}{2}(200)(0,01) = 1,0\,\text{J} \] > **À retenir** : \(U_{\text{el}} = \frac{1}{2}kx^2\) ; l’énergie potentielle élastique est proportionnelle au carré de la déformation. ### Exercices d’application corrigés **Exercice 1** : Une balle de masse \(0,15\,\text{kg}\) est lancée verticalement vers le haut depuis le sol avec une vitesse initiale de \(12,0\,\text{m/s}\). a) Quelle est son énergie potentielle gravitationnelle à sa hauteur maximale ? b) Quelle est cette hauteur maximale ? **Correction** : a) À la hauteur maximale, la vitesse est nulle, donc toute l’énergie cinétique initiale s’est convertie en énergie potentielle gravitationnelle (en négligeant les frottements). \[ E_{c,i} = \frac{1}{2}mv_i^2 = \frac{1}{2}(0,15)(12,0)^2 = 0,075 \times 144 = 10,8\,\text{J} \] Donc \(U_{g,\text{max}} = 10,8\,\text{J}\). b) En utilisant \(U_g = mgy\) : \[ y_{\text{max}} = \frac{U_{g,\text{max}}}{mg} = \frac{10,8}{(0,15)(9,81)} = \frac{10,8}{1,4715} \approx 7,34\,\text{m} \] **Exercice 2** : Un bloc de masse \(0,50\,\text{kg}\) est rattaché à un ressort horizontal de raideur \(k = 150\,\text{N/m}\). Le bloc est tiré jusqu’à allonger le ressort de \(0,20\,\text{m}\) puis relâché depuis le repos. Quelle est la vitesse du bloc lorsqu’il repasse par la position d’équilibre (ressort non déformé) ? **Correction** : En l’absence de frottements, l’énergie mécanique est conservée. Au point de relâchement (allongement \(x = 0,20\,\text{m}\), vitesse nulle) : \[ E_m = U_{\text{el}} + U_g + E_c = \frac{1}{2}kx^2 + 0 + 0 = \frac{1}{2}(150)(0,20)^2 = 3,0\,\text{J} \] À l’équilibre (\(x = 0\)), toute cette énergie est devenue cinétique : \[ E_c = \frac{1}{2}mv^2 = 3,0 \quad \Rightarrow \quad v^2 = \frac{2 \times 3,0}{0,50} = 12,0 \quad \Rightarrow \quad v = \sqrt{12,0} \approx 3,46\,\text{m/s} \] --- ## II. Notion d’énergie mécanique ### Définition L’énergie mécanique \(E_m\) d’un système est la somme de son énergie cinétique \(E_c\) et de son énergie potentielle totale \(U\) (qui peut comprendre plusieurs contributions : gravitationnelle, élastique, etc.) : \[ \boxed{E_m = E_c + U} \] où : - \(E_c = \frac{1}{2}mv^2\) (énergie cinétique translationnelle d’un point matériel ou d’un système rigide en translation pure), - \(U = \sum U_i\) (somme des énergies potentielles de toutes les forces conservatrices agissant sur le système). **Propriétés** : - Scalaire, exprimée en joules (J). - Dépend de l’état du système (vitesse et positions), pas de son historique. - Peut varier si des forces non conservatrices (frottements, résistance de l’air, etc.) travaillent sur le système. > **À retenir** : \(E_m = E_c + U\) ; l’énergie mécanique représente la capacité du système à produire du travail grâce à son mouvement et à sa position. ### Exemples de systèmes et de leur énergie mécanique 1. **Objet en chute libre près de la Terre** : \(U = U_g = mgy\), \(E_c = \frac{1}{2}mv^2\) → \(E_m = \frac{1}{2}mv^2 + mgy\) 2. **Masse oscillant sur un ressort horizontal** : \(U = U_{\text{el}} = \frac{1}{2}kx^2\), \(E_c = \frac{1}{2}mv^2\) → \(E_m = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}kx^2\) 3. **Pendule simple** (masse \(m\) au bout d’un fil inextensible de longueur \(L\)) : En prenant l’origine du potentiel au point le plus bas : \(U_g = mgy = mgL(1 - \cos\theta)\), \(E_c = \frac{1}{2}mv^2\) → \(E_m = \frac{1}{2}mv^2 + mgL(1 - \cos\theta)\) > **À retenir** : Pour un pendule simple, \(U_g = mgL(1 - \cos\theta)\) où \(\theta\) est l’angle par rapport à la verticale. ### Exercices d’application corrigés **Exercice 3** : Un skieur de masse \(70,0\,\text{kg}\) part du repos au sommet d’une pente neigeuse inclinée à \(20^\circ\) par rapport à l’horizontale. La dénivelée verticale entre le sommet et le bas de la pente est \(50,0\,\text{m}\). On néglige les frottements et la résistance de l’air. a) Quelle est son énergie mécanique au sommet ? b) Quelle est sa vitesse à l’arrivée en bas de la pente ? **Correction** : a) Au sommet : vitesse nulle → \(E_c = 0\). On choisit \(U_g = 0\) en bas de la pente. Donc au sommet, \(y = 50,0\,\text{m}\) → \(U_g = mgy = (70,0)(9,81)(50,0) = 34\,335\,\text{J} \approx 3,43 \times 10^4\,\text{J}\). Comme \(E_c = 0\), \(E_m = U_g = 3,43 \times 10^4\,\text{J}\). b) En bas de la pente : \(U_g = 0\) (par référence), toute l’énergie mécanique initiale est devenue cinétique : \[ E_c = \frac{1}{2}mv^2 = E_m = 3,43 \times 10^4\,\text{J} \] \[ v^2 = \frac{2 \times 3,43 \times 10^4}{70,0} = \frac{6,86 \times 10^4}{70,0} \approx 980 \quad \Rightarrow \quad v = \sqrt{980} \approx 31,3\,\text{m/s} \] **Exercice 4** : Un bloc de masse \(0,30\,\text{kg}\) glisse sans frottement sur un plan horizontal et heurte un ressort de raideur \(k = 400\,\text{N/m}\) fixé à un mur. Le bloc arrive en contact avec le ressort avec une vitesse de \(2,5\,\text{m/s}\) et le comprit. Quelle est la compression maximale du ressort ? **Correction** : Au premier contact : ressort non déformé (\(x = 0\)), donc \(U_{\text{el}} = 0\). Énergie mécanique initiale : \[ E_m = E_c + U_{\text{el}} = \frac{1}{2}(0,30)(2,5)^2 + 0 = 0,15 \times 6,25 = 0,9375\,\text{J} \] À la compression maximale \(x_{\text{max}}\), le bloc est momentanément au repos → \(E_c = 0\). Toute l’énergie mécanique est alors élastique : \[ U_{\text{el}} = \frac{1}{2}kx_{\text{max}}^2 = E_m \] \[ \frac{1}{2}(400)x_{\text{max}}^2 = 0,9375 \quad \Rightarrow \quad 200\,x_{\text{max}}^2 = 0,9375 \quad \Rightarrow \quad x_{\text{max}}^2 = \frac{0,9375}{200} = 0,0046875 \] \[ x_{\text{max}} = \sqrt{0,0046875} \approx 0,0685\,\text{m} = 6,85\,\text{cm} \] > **À retenir** : Dans un système isolé soumis uniquement à des forces conservatrices, l’énergie mécanique reste constante. --- ## III. Conservation de l’énergie mécanique ### Principe Le travail-total théorème stipule que la variation de l’énergie cinétique d’un système est égale au travail total des forces extérieures : \[ \Delta E_c = W_{\text{total}} = W_{\text{cons}} + W_{\text{non-cons}} \] où \(W_{\text{cons}}\) est le travail des forces conservatrices et \(W_{\text{non-cons}}\) celui des forces non conservatrices (frottements, traînée, etc.). Pour une force conservative \(\vec{F}_{\text{cons}}\), on a \(W_{\text{cons}} = -\Delta U\). En substituant : \[ \Delta E_c = -\Delta U + W_{\text{non-cons}} \] En réarrangeant : \[ \Delta E_c + \Delta U = W_{\text{non-cons}} \quad \Rightarrow \quad \Delta (E_c + U) = W_{\text{non-cons}} \] Donc : \[ \boxed{\Delta E_m = W_{\text{non-cons}}} \] **Conséquence** : Si les seules forces extérieures agissant sur le système sont conservatrices (\(W_{\text{non-cons}} = 0\)), alors : \[ \Delta E_m = 0 \quad \Rightarrow \quad E_m = \text{constante} \] C’est le **principe de conservation de l’énergie mécanique**. > **À retenir** : \(\Delta E_m = W_{\text{non-cons}}\) ; l’énergie mécanique est conservée si et seulement si le travail des forces non conservatrices est nul. ### Cas d’application 1. **Chute libre dans le vide** : seule la pesanteur agit (conservative) → \(E_m\) constante. 2. **Mouvement sur un plan incliné lisse** : pesanteur et réaction normale (ce dernier travail nul car perpendiculaire au déplacement) → \(E_m\) constante. 3. **Oscillations d’un masse-ressort sur surface lisse** : seule la force du ressort travaille (conservative) → \(E_m\) constante. 4. **Pendule simple dans l’air** : pesanteur (conservative) et tension du fil (travail nul, perpendiculaire à la vitesse) → \(E_m\) constante si on néglige la résistance de l’air. Lorsque des forces non conservatrices sont présentes : - **Frottement glissant** : travail toujours négatif → \(E_m\) diminue. - **Résistance de l’air** : travail négatif → \(E_m\) diminue. - **Poussée d’un moteur** : travail peut être positif ou négatif selon le cas. > **À retenir** : En présence de frottements, l’énergie mécanique se transforme en énergie interne (chaleur) ; elle n’est pas détruite mais se dissipe. ### Exercices d’application corrigés **Exercice 5** : Une boule de masse \(0,20\,\text{kg}\) est lâchée depuis le repos à une hauteur de \(3,0\,\text{m}\) au-dessus du sol. On mesure sa vitesse juste avant l’impact : elle vaut \(7,0\,\text{m/s}\). a) Quelle est l’énergie mécanique initiale ? b) Quelle est l’énergie mécanique juste avant l’impact ? c) Quel travail ont réalisé les forces de frottement de l’air durant la chute ? **Correction** : On prend \(U_g = 0\) au sol. a) Initialement : \(y_i = 3,0\,\text{m}\), \(v_i = 0\) → \[ E_{m,i} = E_{c,i} + U_{g,i} = 0 + mgy_i = (0,20)(9,81)(3,0) = 5,886\,\text{J} \approx 5,89\,\text{J} \] b) Juste avant l’impact : \(y_f = 0\), \(v_f = 7,0\,\text{m/s}\) → \[ E_{m,f} = \frac{1}{2}mv_f^2 + 0 = \frac{1}{2}(0,20)(7,0)^2 = 0,10 \times 49 = 4,90\,\text{J} \] c) D’après \(\Delta E_m = W_{\text{non-cons}}\) : \[ W_{\text{air}} = E_{m,f} - E_{m,i} = 4,90 - 5,89 = -0,99\,\text{J} \approx -1,0\,\text{J} \] Le travail de l’air est négatif : il a dissipé de l’énergie mécanique. > **À retenir** : Un travail négatif des forces non conservatrices correspond à une perte d’énergie mécanique. **Exercice 6** : Un bloc de masse \(0,40\,\text{kg}\) glisse le long d’un plan incliné rugueux de longueur \(2,0\,\text{m}\) et d’angle \(30^\circ\). Il part du repos en haut et arrive en bas avec une vitesse de \(2,0\,\text{m/s}\). Déterminer le travail de la force de frottement. **Correction** : On choisit \(U_g = 0\) en bas du plan. La hauteur verticale de départ : \(h = L\sin\theta = 2,0 \times \sin 30^\circ = 2,0 \times 0,5 = 1,0\,\text{m}\). Énergie mécanique initiale : \[ E_{m,i} = 0 + mgh = (0,40)(9,81)(1,0) = 3,924\,\text{J} \] Énergie mécanique finale : \[ E_{m,f} = \frac{1}{2}mv^2 + 0 = \frac{1}{2}(0,40)(2,0)^2 = 0,20 \times 4,0 = 0,80\,\text{J} \] Travail des forces non conservatrices (ici, uniquement le frottement, car la réaction normale travaille nullement) : \[ W_{\text{frott}} = \Delta E_m = E_{m,f} - E_{m,i} = 0,80 - 3,924 = -3,124\,\text{J} \approx -3,1\,\text{J} \] Le travail du frottement est négatif : il oppose au mouvement. > **À retenir** : Le travail de la force de frottement se calcule aisément via la variation de l’énergie mécanique lorsque les autres forces sont conservatrices ou travaillent nullement. --- ## Synthèse du chapitre - L’énergie potentielle gravitationnelle près de la Terre s’exprime comme \(U_g = mgy\), où \(y\) est l’altitude au-dessus d’une référence choisie. - L’énergie potentielle élastique d’un ressort idéal obéissant à la loi de Hooke est \(U_{\text{el}} = \frac{1}{2}kx^2\), avec \(x\) l’allongement ou la compression par rapport à la longueur naturelle. - L’énergie mécanique d’un système est la somme de son énergie cinétique et de son énergie potentielle totale : \(E_m = E_c + U\). - Le principe de conservation de l’énergie mécanique stipule que \(\Delta E_m = W_{\text{non-cons}}\) ; donc, si seules des forces conservatrices travaillent sur le système, \(E_m\) reste constante. - En présence de forces non conservatrices (frottements, résistance de l’air), l’énergie mécanique diminue, se transformant en énergie interne (chaleur). - Ce principe permet de résoudre efficacement des problèmes de mécanique en égalant l’énergie mécanique initiale et finale, sans avoir à intégrer les forces le long de la trajectoire. - Les formes d’énergie potentielle rencontrées sont gravitationnelle (\(U_g = mgy\)) et élastique (\(U_{\text{el}} = \frac{1}{2}kx^2\)), avec des adaptations selon la géométrie (ex. pendule : \(U_g = mgL(1-\cos\theta)\)). - Le travail d’une force conservative est opposé à la variation de l’énergie potentielle associée : \(W_{\text{cons}} = -\Delta U\). - L’énergie mécanique est une grandeur d’état : sa valeur dépend uniquement de l’état instantané du système (vitesse et positions), pas du chemin suivi. - Dans les systèmes oscillants masse-ressort ou pendule simple (sans frottement), l’énergie mécanique se transforme périodiquement entre cinétique et potentielle, tout en restant constante. --- ## Glossaire - **Énergie cinétique** : Énergie associée au mouvement d’un corps, donnée par \(E_c = \frac{1}{2}mv^2\). - **Énergie potentielle gravitationnelle** : Énergie liée à la position d’un corps dans le champ de pesanteur terrestre, \(U_g = mgy\). - **Énergie potentielle élastique** : Énergie stockée dans un ressort déformé, \(U_{\text{el}} = \frac{1}{2}kx^2\). - **Énergie mécanique** : Somme de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle totale d’un système. - **Force conservative** : Force dont le travail dépend uniquement des positions initiale et finale, pas de la trajectoire (ex. pesanteur, force élastique). - **Force non conservative** : Force dont le travail dépend de la trajectoire (ex. frottement, résistance de l’air). - **Travail d’une force** : Produit scalaire de la force par le déplacement du point d’application, mesuré en joules. - **Principe de conservation de l’énergie mécanique** : Dans un système soumis uniquement à des forces conservatrices, l’énergie mécanique reste constante. - **Allongement d’un ressort** : Déformation \(x\) par rapport à sa longueur naturelle, positive si étiré, négative si comprit. - **Référence du potentiel** : Niveau choisi où l’énergie potentielle est nulle (choix arbitraire, seule la différence compte). - **Système isolé** : Système sur lequel aucune force extérieure n’agit, ou dont les forces extérieures sont conservatrices et/ou travaillent nullement. - **Énergie interne** : Forme d’énergie associée au désordre microscopique (agitation thermique), souvent produite par les frottements. ---