Mod2, Leçon 11 : Les lentilles sphériques minces : Présentation

# Mod2, Leçon 11 : Les lentilles sphériques minces : Présentation ## Objectifs et prérequis **Objectifs** : À l’issue de cette leçon, l’élève sera capable de : - Définir une lentille sphérique mince et identifier ses éléments caractéristiques (centre optique, foyers principaux, foyers secondaires, axes principaux, plans principaux). - Distinguer les lentilles convergentes des lentilles divergentes selon leur forme et leur comportement optique. - Déterminer expérimentalement ou théoriquement la position et la nature des foyers principaux et secondaires. - Utiliser les conventions de signe (système cartésien étendu) pour les grandeurs liées aux lentilles minces. - Appliquer la formule de conjugaison pour déterminer la position de l’image donnée celle de l’objet (et inversement). - Interpréter le grossissement transverse et déterminer si l’image est réelle ou virtuelle, droite ou renversée, agrandie ou réduite. - Résoudre des problèmes simples liés à la formation d’image par une lentille mince (ex. : loupe, appareil photographique schématisé, correction de la vision). **Prérequis** : - Notions de géométrie euclidienne (droites, plans, symétrie, angles). - Propagations rectilignes de la lumière dans un milieu homogène et isotrope. - Lois de la réflexion et de la réfraction (loi de Snell-Descartes). - Notion de faisceau parallèle et de faisceau convergent/divergent. - Concept d’image réelle et virtuelle (déjà introduit en optique géométrique avec les miroirs). - Manipulation des grandeurs algébriques avec signe (distances mesurées depuis un pôle ou un sommet selon une convention). - Utilisation du système international d’unités (SI) : mètre (m), dioptrie (dpt = m⁻¹). --- ## Introduction Les lentilles sphériques minces sont des dispositifs optiques fondamentaux utilisés dans de nombreux instruments : lunettes, microscopes, télescopes, appareils photographiques, projecteurs, etc. Leur principe de fonctionnement repose sur la réfraction de la lumière lorsqu’elle traverse une interface entre deux milieux transparents de différents indices de réfraction (généralement verre et air). Une lentille mince est caractérisée par une épaisseur négligeable devant les rayons de courbure de ses surfaces, ce qui permet de simplifier son étude en considérant que la déviation des rayons se produit essentiellement dans un seul plan, appelé plan principal. Dans cette leçon, nous nous intéressons exclusivement aux lentilles sphériques minces, c’est-à-dire celles dont les deux surfaces sont des parties de sphères (ou une surface plane et une sphérique). Nous définirons précisément ce qu’est une telle lentille, identifierons ses éléments caractéristiques, établirons les conventions de signe à adopter, et introduirons la formule de conjugaison qui relie les positions de l’objet et de l’image. Cette leçon constitue la base pour les suivantes, où nous étudierons la formation d’images, les grossissements, et les applications pratiques. --- ## I. Définition et éléments caractéristiques d’une lentille sphérique mince ### Définition d’une lentille sphérique mince > Une lentille sphérique mince est un dispositif optique transparent, généralement en verre, formé par la réunion de deux surfaces sphériques (ou une sphérique et une plane), dont l’épaisseur maximale est négligeable devant les rayons de courbure de ces surfaces. Cette hypothèse de minceur permet de considérer que la déviation d’un rayon lumineux se produit essentiellement lorsqu’il traverse le plan contenant le centre des deux surfaces sphériques, appelé **plan principal** de la lentille. Dans ce plan, on peut représenter la lentille par une ligne fine (symbole optique : un segment vertical avec des flèches vers l’extérieur ou l’intérieur selon le type). ### Éléments caractéristiques Dans le plan principal d’une lentille sphérique mince, on définit plusieurs points et droites essentiels à son étude : #### 1. Centre optique (noté **O**) > Le centre optique **O** d’une lentille mince est le point situé sur le plan principal tel que tout rayon lumineux passant par **O** émergera sans déviation (ou avec une déviation négligeable dans l’approximation de minceur). - Propriété : Un rayon incident dirigé vers **O** est émergent parallèle à lui-même (dans l’approximation de minceur). - Position : Il se trouve à l’intersection du plan principal avec l’axe principal (voir ci-dessous), et est généralement situé au milieu de la lentille pour une lentille symétrique. - Remarque : Pour une lentille mince, on confond souvent le centre optique avec le point où l’axe principal coupe le plan principal. #### 2. Axe principal (noté **Δ**) > L’axe principal d’une lentille sphérique mince est la droite passant par les centres de courbure de ses deux surfaces et par le centre optique **O**. - Propriété : C’est l’axe de symétrie de la lentille (si les deux surfaces sont identiques et centrées). - Il est orienté horizontalement dans les schémas standards (de gauche à droite, dans le sens de propagation de la lumière incidente). - Sur cet axe, on définit un sens positif : généralement, de l’objet vers la lentille (ou de gauche à droite, dans le sens de la lumière incidente). #### 3. Foyers principaux (notés **F** et **F'**) > Le foyer principal objet **F** est le point situé sur l’axe principal tel que tout rayon incident parallèle à l’axe principal émerge en passant par **F'** après réfraction. > Le foyer principal image **F'** est le point situé sur l’axe principal tel que tout rayon incident passant par **F** émerge parallèle à l’axe principal après réfraction. - Propriétés : - Pour une lentille convergente : **F** est réel (du côté objet), **F'** est réel (du côté image). - Pour une lentille divergente : **F** est virtuel (du côté image), **F'** est virtuel (du côté objet). - Les foyers principaux sont symétriques par rapport au centre optique **O** uniquement si la lentille est symétrique et entourée du même milieu (ex. : air-verre-air). Dans le cas général, les distances **OF** et **OF'** ne sont pas égales si les milieux environnants diffèrent, mais pour une lentille dans l’air (milieu identique des deux côtés), on a : $$ OF = OF' = f $$ où $ f $ est la longueur focale principale (en mètres). - La longueur focale $ f $ est liée au pouvoir convergant ou divergeant de la lentille : $$ P = \frac{1}{f} $$ où $ P $ est le pouvoir exprimé en dioptries (dpt), et $ f $ en mètres. - $ P > 0 $ : lentille convergente - $ P < 0 $ : lentille divergente #### 4. Foyers secondaires (notés **F₁** et **F₂**) > Le foyer secondaire objet **F₁** est le point situé sur l’axe principal tel que tout rayon incident passant par **F₁** émerge parallèle à l’axe principal après réfraction. > Le foyer secondaire image **F₂** est le point situé sur l’axe principal tel que tout rayon incident parallèle à l’axe principal émerge en passant par **F₂** après réfraction. - Remarque : Dans la littérature francophone, notamment dans les programmes officiels camerounais, on utilise parfois la notation : - **F₁** : foyer secondaire objet (équivalent au foyer principal image dans certains systèmes) - **F₂** : foyer secondaire image (équivalent au foyer principal objet) Cependant, pour éviter toute confusion, nous adopterons ici la nomenclature suivante, conforme à l’usage courant en physique moderne et aux références internationales : - **F** : foyer principal objet - **F'** : foyer principal image - Les foyers secondaires ne sont pas systématiquement utilisés dans les formules de base, mais ils apparaissent dans certaines définitions : - Un rayon passant par **F₁** (foyer secondaire objet) émerge parallèle à l’axe → donc **F₁** est conjugé de l’infini du côté image. - Un rayon parallèle à l’axe émerge en passant par **F₂** (foyer secondaire image) → donc **F₂** est conjugé de l’infini du côté objet. Dans le cas d’une lentille mince entourée du même milieu (air), on a : $$ OF_1 = OF_2 = f $$ et les foyers principaux et secondaires coïncident par paire : - **F** ≡ **F₂** (foyer principal objet = foyer secondaire image) - **F'** ≡ **F₁** (foyer principal image = foyer secondaire objet) Cette équivalence justifie que dans de nombreux cours, on ne distingue plus que deux foyers : **F** et **F'**, situés à égale distance $ f $ du centre optique **O** de chaque côté. #### 5. Plans principaux > Les plans principaux d’une lentille mince sont deux plans perpendiculaires à l’axe principal, situés respectivement au niveau du centre optique **O** (plan principal objet et plan principal image, confondus dans l’approximation de minceur). - Dans l’approximation de minceur, on considère qu’il n’y a qu’un seul plan principal : le plan contenant **O** et perpendiculaire à l’axe principal. - C’est dans ce plan que l’on trace les hauteurs des objets et des images, et où s’applique la formule de conjugaison. ### Tableau récapitulatif des éléments caractéristiques | Élément | Symbole | Définition | Propriété clé | |--------|--------|-----------|---------------| | Centre optique | **O** | Point où un rayon incident n’est pas dévié | Rayon vers **O** émergent parallèle à lui-même | | Axe principal | **Δ** | Droite passant par les centres de courbure et **O** | Axe de symétrie, sens de propagation de la lumière | | Foyer principal objet | **F** | Point où un rayon parallèle à l’axe converge (ou semble diverger) après réfraction | Rayon ∥ au Δ → passe par **F'** après réfraction | | Foyer principal image | **F'** | Point tel qu’un rayon passant par **F** émerge parallèle à l’axe | Rayon passant par **F** → émergent ∥ au Δ | | Foyer secondaire objet | **F₁** | Point tel qu’un rayon passant par **F₁** émerge parallèle à l’axe | Équivalent à **F'** dans milieu homogène | | Foyer secondaire image | **F₂** | Point tel qu’un rayon ∥ au Δ émerge en passant par **F₂** | Équivalent à **F** dans milieu homogène | | Longueur focale | $ f $ | Distance **OF** ou **OF'** (en valeur absolue) | $ f > 0 $ : convergente ; $ f < 0 $ : divergente (système cartésien) | | Pouvoir | $ P $ | $ P = \dfrac{1}{f} $ | $ P $ en dpt ; $ P > 0 $ : convergente | --- ## II. Conventions de signe et formule de conjugaison ### Système de signe adopté (système cartésien étendu) Pour traiter uniformément les lentilles convergentes et divergentes, ainsi que les objets et images réels ou virtuels, on adopte le **système de signe cartésien étendu**, conforme aux usages internationaux et adapté aux programmes francophones : - **Origine** : Le centre optique **O** de la lentille. - **Axe des abscisses** : L’axe principal **Δ**, orienté de gauche à droite, dans le sens de propagation de la lumière incidente (de l’objet vers la lentille). - **Sens positif** : De gauche à droite (sens de la lumière incidente). - **Grandeurs mesurées** : - Distance objet $ \overline{OA} $ : positive si l’objet est situé à gauche de **O** (côté incident), négative si à droite (cas rare, objet virtuel). - Distance image $ \overline{OA'} $ : positive si l’image est située à droite de **O** (côté émergent, image réelle), négative si à gauche (côté incident, image virtuelle). - Longueur focale $ f $ : - Positive pour une lentille convergente (puisque **F'** est à droite de **O**, réel). - Négative pour une lentille divergente (puisque **F'** est à gauche de **O**, virtuel). - Hauteur objet $ h $ : positive si l’objet est situé au-dessus de l’axe (sens trigonométrique usuel). - Hauteur image $ h' $ : positive si l’image est droite par rapport à l’objet, négative si renversée. > Cette convention permet d’utiliser une seule formule de conjugaison valable pour tous les cas. ### Formule de conjugaison pour une lentille mince > Pour une lentille sphérique mince entourée du même milieu (ex. : air), la relation entre la distance objet $ \overline{OA} $, la distance image $ \overline{OA'} $ et la longueur focale $ f $ est donnée par : > $$ > \frac{1}{\overline{OA'}} + \frac{1}{\overline{OA}} = \frac{1}{f} > $$ > où toutes les distances sont prises avec leur signe selon le système cartésien étendu. #### Dérivation heuristique (rappel) Cette formule résulte de l’application de la loi de la réfraction aux rayons paraxes, en considérant que la lentille mince agit comme un dispositif qui ajoute une convergence ou divergence angulaire proportionnelle à la hauteur du rayon et inversement proportionnelle à la longueur focale. Elle est valable sous l’approximation de Parax (petits angles) et de minceur. #### Interprétation - Si $ \overline{OA} \to \infty $ (objet à l’infini, faisceau incident parallèle à l’axe), alors $ \frac{1}{\overline{OA}} \to 0 $, et on obtient : $$ \frac{1}{\overline{OA'}} = \frac{1}{f} \quad \Rightarrow \quad \overline{OA'} = f $$ L’image se forme au foyer principal image **F'** : cohérent avec la définition. - Si $ \overline{OA} = f $ (objet au foyer principal objet **F**), alors : $$ \frac{1}{\overline{OA'}} + \frac{1}{f} = \frac{1}{f} \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{\overline{OA'}} = 0 \quad \Rightarrow \quad \overline{OA'} \to \infty $$ L’image se forme à l’infini : le faisceau émergent est parallèle à l’axe. - Si $ \overline{OA} < f $ pour une lentille convergente, alors $ \overline{OA'} $ devient négatif : image virtuelle, du côté objet. ### Grossissement transverse > Le grossissement transverse $ \gamma $ d’une lentille mince est défini comme le rapport de la hauteur de l’image $ h' $ à la hauteur de l’objet $ h $ : > $$ > \gamma = \frac{h'}{h} > $$ > Sous l’approximation de paraxialité, il est également égal au rapport opposé des distances image et objet : > $$ > \gamma = -\frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}} > $$ > Le signe moins provient de la convention de signe : une image réelle ( $ \overline{OA'} > 0 $ ) formée par une lentille convergente avec un objet réel ( $ \overline{OA} < 0 $ dans certains systèmes, mais ici $ \overline{OA} > 0 $ côté objet ) donne un $ \gamma $ négatif → image renversée. #### Interprétation du signe et de la valeur de $ \gamma $ : - $ |\gamma| > 1 $ : image agrandie - $ |\gamma| < 1 $ : image réduite - $ |\gamma| = 1 $ : image de même taille - $ \gamma > 0 $ : image droite (même sens que l’objet) - $ \gamma < 0 $ : image renversée (sens inverse) > Cette relation permet de déterminer rapidement la nature de l’image sans tracer de schéma complet. --- ## Exercices d’application corrigés ### Exercice 1 : Détermination de la longueur focale Une lentille mince placée dans l’air forme une image nette d’un objet situé à 30 cm à sa gauche sur un écran placé à 60 cm à sa droite. Déterminer la longueur focale de la lentille et son pouvoir. La lentille est-elle convergente ou divergente ? **Solution** : - On prend l’origine en **O**, axe principal orienté de gauche à droite (sens de la lumière incidente). - Objet réel, situé à gauche de **O** : $ \overline{OA} = +30 \, \text{cm} = +0,30 \, \text{m} $ - Image réelle, formée à droite de **O** : $ \overline{OA'} = +60 \, \text{cm} = +0,60 \, \text{m} $ - Application de la formule de conjugaison : $$ \frac{1}{\overline{OA'}} + \frac{1}{\overline{OA}} = \frac{1}{f} $$ $$ \frac{1}{0,60} + \frac{1}{0,30} = \frac{1}{f} $$ $$ 1,666\ldots + 3,333\ldots = 5,0 = \frac{1}{f} $$ $$ \Rightarrow f = \frac{1}{5,0} = 0,20 \, \text{m} = 20 \, \text{cm} $$ - Puisque $ f > 0 $, la lentille est **convergente**. - Pouvoir : $$ P = \frac{1}{f} = \frac{1}{0,20} = 5,0 \, \text{dpt} $$ **Réponse** : La longueur focale est de $ 20 \, \text{cm} $, le pouvoir est de $ 5,0 \, \text{dpt} $, et la lentille est convergente. > > **À retenir** : Dans le système cartésien étendu, les distances objet et image sont positives lorsqu’elles sont situées respectivement du côté incident et du côté émergent de la lentille pour un objet et une image réels. ### Exercice 2 : Image formée par une lentille divergente Une lentille divergente de longueur focale $ f = -10 \, \text{cm} $ est placée dans l’air. Un objet de hauteur $ h = 2,0 \, \text{cm} $ est placé à 15 cm à sa gauche. Déterminer la position, la nature et la taille de l’image formée. **Solution** : - $ f = -10 \, \text{cm} = -0,10 \, \text{m} $ (divergente → $ f < 0 $) - $ \overline{OA} = +15 \, \text{cm} = +0,15 \, \text{m} $ (objet réel, côté incident) - Formule de conjugaison : $$ \frac{1}{\overline{OA'}} + \frac{1}{\overline{OA}} = \frac{1}{f} $$ $$ \frac{1}{\overline{OA'}} + \frac{1}{0,15} = \frac{1}{-0,10} $$ $$ \frac{1}{\overline{OA'}} + 6,666\ldots = -10 $$ $$ \frac{1}{\overline{OA'}} = -10 - 6,666\ldots = -16,666\ldots $$ $$ \Rightarrow \overline{OA'} = \frac{1}{-16,666\ldots} \approx -0,060 \, \text{m} = -6,0 \, \text{cm} $$ - Le signe négatif de $ \overline{OA'} $ indique que l’image est située du côté incident (gauche de **O**) : donc **image virtuelle**. - Grossissement transverse : $$ \gamma = -\frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}} = -\frac{-0,060}{0,15} = +\frac{0,060}{0,15} = +0,40 $$ - Puisque $ \gamma > 0 $ : image **droite**. - Puisque $ |\gamma| = 0,40 < 1 $ : image **réduite**. - Hauteur de l’image : $$ h' = \gamma \cdot h = 0,40 \times 2,0 \, \text{cm} = 0,80 \, \text{cm} $$ **Réponse** : L’image est virtuelle, située à 6,0 cm à gauche de la lentille, droite et réduite (hauteur : 0,80 cm). > > **À retenir** : Pour une lentille divergente dans l’air, l’image d’un objet réel est toujours virtuelle, droite et réduite, située entre le centre optique et le foyer secondaire objet. ### Exercice 3 : Cas particulier – objet au foyer Une lentille convergente de longueur focale $ f = 12,0 \, \text{cm} $ reçoit un objet placé exactement à son foyer principal objet. Où se forme l’image ? Quel est son grossissement ? **Solution** : - $ f = +12,0 \, \text{cm} = +0,120 \, \text{m} $ - Objet au foyer principal objet : $ \overline{OA} = f = +0,120 \, \text{m} $ - Formule de conjugaison : $$ \frac{1}{\overline{OA'}} + \frac{1}{0,120} = \frac{1}{0,120} $$ $$ \Rightarrow \frac{1}{\overline{OA'}} = 0 $$ $$ \Rightarrow \overline{OA'} \to \infty $$ - L’image se forme à l’infini : le faisceau lumineux émergent est **parallèle à l’axe principal**. - Grossissement : $$ \gamma = -\frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}} \to -\frac{\infty}{0,120} \to \text{indéterminé, mais physiquement, le faisceau est parallèle → pas de formation d’image localisée} $$ En pratique, on dit que l’image est **à l’infini**, de taille **indéfinie**, mais on peut considérer que les rayons émergents sont parallèles → aucune convergence ni divergence → pas d’image réelle ou virtuelle localisée. Cependant, si l’on considère la limite : lorsque $ \overline{OA} \to f^+ $, alors $ \overline{OA'} \to +\infty $, et $ \gamma \to -\infty $ : l’image serait infiniment grande et renversée — mais cela correspond à un faisceau parallèle, donc pas d’image formée sur un écran. **Réponse** : L’image se forme à l’infini. Le faisceau émergent est parallèle à l’axe principal. Aucune image nette ne peut être formée sur un écran placé à une distance finie. > > **À retenir** : Lorsque l’objet est placé au foyer principal objet d’une lentille convergente, le faisceau émergent est parallèle à l’axe principal : on obtient une image à l’infini. --- ## Synthèse du chapitre - Une lentille sphérique mince est caractérisée par son centre optique **O**, son axe principal **Δ**, et ses foyers principaux **F** (objet) et **F'** (image). - Dans l’approximation de minceur et entourée du même milieu (air), les distances **OF** et **OF'** sont égales en valeur absolue à la longueur focale $ f $. - Le système de signe cartésien étendu permet de traiter uniformément les cas réels et virtuels : - Distances mesurées depuis **O**, positif dans le sens de la lumière incidente (gauche → droite). - $ \overline{OA} > 0 $ : objet réel (côté incident) ; $ \overline{OA'} > 0 $ : image réelle (côté émergent). - $ f > 0 $ : lentille convergente ; $ f < 0 $ : lentille divergente. - La formule de conjugaison : $$ \frac{1}{\overline{OA'}} + \frac{1}{\overline{OA}} = \frac{1}{f} $$ relie les positions de l’objet et de l’image à la longueur focale. - Le grossissement transverse est donné par : $$ \gamma = \frac{h'}{h} = -\frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}} $$ Son signe indique l’orientation (droite ou renversée), sa valeur absolue indique l’agrandissement ou la réduction. - Les lentilles convergentes peuvent produire des images réelles ou virtuelles selon la position de l’objet par rapport au foyer. - Les lentilles divergentes produisent toujours des images virtuelles, droites et réduites pour un objet réel. - Ces notions sont essentielles pour comprendre le fonctionnement des instruments optiques (loupe, appareil photo, œil humain, etc.). --- ## Glossaire - **Centre optique** : Point de la lentille où un rayon incident n’est pas dévié (dans l’approximation de minceur). - **Axe principal** : Droite passant par les centres de courbure des surfaces et par le centre optique ; axe de symétrie et de propagation de la lumière. - **Foyer principal objet (F)** : Point sur l’axe tel que les rayons incidents parallèles à l’axe convergent (ou semblent diverger) après réfraction vers ce point. - **Foyer principal image (F')** : Point sur l’axe tel que les rayons incidents passant par ce point émergent parallèles à l’axe après réfraction. - **Longueur focale (f)** : Distance entre le centre optique et un foyer principal (en valeur absolue) ; signe positif pour convergente, négative pour divergente. - **Pouvoir (P)** : Capacité de convergence ou de divergence d’une lentille ; $ P = 1/f $, exprimé en dioptries (dpt). - **Image réelle** : Image formée par l’intersection réelle des rayons lumineux émergents ; peut être projetée sur un écran. - **Image virtuelle** : Image formée par l’intersection apparente (en prolongement arrière) des rayons émergents ; ne peut pas être projetée sur un écran. - **Grossissement transverse (γ)** : Rapport de la hauteur de l’image à celle de l’objet ; signe indiquant l’orientation, valeur absolue indiquant l’agrandissement/réduction. - **Objet réel** : Objet situé du côté d’où provient la lumière incidente ; émet ou réfléchit réellement de la lumière vers la lentille. - **Objet virtuel** : Objet situé du côté opposé à l’incidence ; les rayons incidents semblent provenir de ce point (rare en première, mais utile en systèmes composés). - **ParaX** : Approximation considérant que les rayons font de petits angles avec l’axe principal ; valable pour les formules de conjugaison et de grossissement. --- *Fin de la fiche de cours. Cette présentation couvre explicitement la séance 11 : Définition- Éléments caractéristiques, conformément au programme officiel du niveau Première en physique dans le système éducatif camerounais francophone.*