Chap 4: Puissance d'une force

# Chap 4: Puissance d'une force ## Objectifs et prérequis **Objectifs** : À l’issue de ce chapitre, l’élève sera capable de : - Définir la puissance d’une force constante et d’un couple de force de moment constant. - Calculer la puissance instantanée et moyenne d’une force constante agissant sur un solide en translation. - Calculer la puissance développée par un couple de force de moment constant agissant sur un solide en rotation. - Exprimer la puissance en watts (W) et utiliser les sous-unités et multiples appropriés. - Relier la puissance au travail effectué par une force ou un couple sur un intervalle de temps. - Résoudre des problèmes concrets liés à la puissance mécanique dans des systèmes simples (voiture, poulie, roue, moteur). - Interpréter graphiquement la puissance en fonction du temps ou de la vitesse. **Prérequis** : - Notion de travail d’une force : $W = \vec{F} \cdot \vec{d}$. - Notion de moment d’un couple : $\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}$, et pour un couple de forces égales et opposées : $M = F \cdot d$ (bras de levier). - Notion de vitesse instantanée et de vitesse angulaire : $\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt}$, $\omega = \frac{d\theta}{dt}$. - Notion de dérivée et de taux de variation (notion de limite intuitive). - Unités du Système International : mètre (m), kilogramme (kg), seconde (s), newton (N), joule (J). - Conversion d’unités de base (km/h → m/s, tours/min → rad/s). --- ## I. Puissance d’une force constante ### Définition et propriétés > **La puissance instantanée $P$ d’une force constante $\vec{F}$ agissant sur un point matériel est définie comme le taux auquel cette force effectue du travail :** > $$ > P = \frac{dW}{dt} > $$ > où $W$ est le travail élémentaire effectué par la force sur un déplacement élémentaire $d\vec{r}$. Comme le travail élémentaire d’une force est $dW = \vec{F} \cdot d\vec{r}$, on obtient : $$ P = \vec{F} \cdot \frac{d\vec{r}}{dt} = \vec{F} \cdot \vec{v} $$ où $\vec{v}$ est la vitesse instantanée du point d’application de la force. **Propriétés** : - La puissance est une grandeur scalaire (peut être positive, nulle ou négative). - $P > 0$ : la force effectue un travail positif (transfère de l’énergie au système). - $P = 0$ : la force est perpendiculaire à la vitesse ($\vec{F} \perp \vec{v}$) ou nulle. - $P < 0$ : la force effectue un travail négatif (le système effectue un travail contre la force, ex. : frottement). - Si $\vec{F}$ et $\vec{v}$ sont constants et alignés, alors $P = F v$ est constante. - L’unité de puissance dans le Système International est le watt (W) : $1\,\text{W} = 1\,\text{J/s} = 1\,\text{N·m/s}$. ### Exemple résolu 1 : Voiture en accélération uniforme Une voiture de masse $m = 1200\,\text{kg}$ part du repos et atteint une vitesse $v = 20\,\text{m/s}$ en $t = 10\,\text{s}$ sur une route horizontale. On néglige les frottements. Déterminer la puissance moyenne développée par la force motrice. **Solution** : Le travail effectué par la force motrice égale la variation de l’énergie cinétique : $$ W = \Delta E_c = \frac{1}{2} m v^2 - 0 = \frac{1}{2} \times 1200 \times (20)^2 = 240\,000\,\text{J} $$ La puissance moyenne est : $$ P_{\text{moy}} = \frac{W}{t} = \frac{240\,000}{10} = 24\,000\,\text{W} = 24\,\text{kW} $$ Pour vérifier, on peut aussi calculer la puissance instantanée à $t = 10\,\text{s}$ : L’accélération est $a = \frac{v}{t} = \frac{20}{10} = 2\,\text{m/s}^2$ La force motrice : $F = m a = 1200 \times 2 = 2400\,\text{N}$ La vitesse à $t = 10\,\text{s}$ : $v = 20\,\text{m/s}$ Puissance instantanée : $P = F v = 2400 \times 20 = 48\,000\,\text{W} = 48\,\text{kW}$ Comme la force et l’accélération sont constantes, la vitesse varie linéairement, donc la puissance varie linéairement de $0$ à $48\,\text{kW}$. La puissance moyenne est donc bien $\frac{0 + 48}{2} = 24\,\text{kW}$. > **À retenir** : Pour une force constante et une accélération uniforme, la puissance développée varie linéairement avec le temps si la force est alignée avec la vitesse. ### Exemple résolu 2 : Poulie soulevant une charge Une poulie fixe permet de soulever une charge de masse $m = 50\,\text{kg}$ à une vitesse constante $v = 0.5\,\text{m/s}$. Déterminer la puissance développée par la force exercée sur la corde. **Solution** : Comme la vitesse est constante, l’accélération est nulle : la force exercée sur la corde équilibre le poids : $$ F = m g = 50 \times 9.8 = 490\,\text{N} $$ La force et la vitesse sont alignées (vers le haut), donc : $$ P = F v = 490 \times 0.5 = 245\,\text{W} $$ Cette puissance est constante dans le temps. > **À retenir** : Lorsqu’un objet se déplace à vitesse constante contre une force résistante constante (poids, frottement), la puissance développée est constante et égale à $P = F v$. ### Exercices d’application corrigés **Exercice 1** : Un cycliste développe une force constante de $150\,\text{N}$ sur les pédales, ce qui entraîne une vitesse constante de $8\,\text{m/s}$. Quelle est la puissance développée par le cycliste ? **Correction** : $P = F v = 150 \times 8 = 1200\,\text{W} = 1.2\,\text{kW}$ **Exercice 2** : Une force de $300\,\text{N}$ tire un bloc de masse $20\,\text{kg}$ sur un sol horizontal sans frottement. Le bloc part du repos. Quelle est la puissance développée par la force après $5\,\text{s}$ ? **Correction** : Accélération : $a = F/m = 300/20 = 15\,\text{m/s}^2$ Vitesse à $t = 5\,\text{s}$ : $v = a t = 15 \times 5 = 75\,\text{m/s}$ Puissance : $P = F v = 300 \times 75 = 22\,500\,\text{W} = 22.5\,\text{kW}$ **Exercice 3** : Un moteur développe une puissance constante de $5\,\text{kW}$ pour soulever une charge à l’aide d’un treuil. Quelle est la vitesse maximale de montée si la charge pèse $200\,\text{N}$ ? **Correction** : $P = F v \Rightarrow v = P / F = 5000 / 200 = 25\,\text{m/s}$ --- ## II. Puissance d’un couple de force de moment constant ### Définition et propriétés > **La puissance instantanée $P$ développée par un couple de force de moment constant $\vec{M}$ agissant sur un solide en rotation autour d’un axe fixe est définie comme le taux auquel ce couple effectue du travail :** > $$ > P = \frac{dW}{dt} > $$ > où $dW$ est le travail élémentaire du couple sur un déplacement angulaire élémentaire $d\theta$. Le travail élémentaire d’un couple est $dW = \vec{M} \cdot d\vec{\theta}$ (produit scalaire). Pour une rotation autour d’un axe fixe, si le moment $\vec{M}$ est aligné avec l’axe de rotation, on écrit : $$ dW = M\, d\theta $$ où $M$ est la norme du moment et $d\theta$ l’élément d’angle en radians. On obtient donc : $$ P = \frac{dW}{dt} = M \frac{d\theta}{dt} = M \omega $$ où $\omega = \frac{d\theta}{dt}$ est la vitesse angulaire instantanée (en rad/s). **Propriétés** : - La puissance est scalaire : $P > 0$ si le couple et la vitesse angulaire ont le même sens (accélération), $P < 0$ s’ils sont opposés (freinage), $P = 0$ si $\omega = 0$ ou $M = 0$. - Si $\vec{M}$ est constant et $\omega$ constant, alors $P = M \omega$ est constante. - L’unité reste le watt (W) : $1\,\text{W} = 1\,\text{N·m/s}$. Puisque $M$ est en N·m et $\omega$ en rad/s, et que le radian est adimensionnel, la vérification dimensionnelle est cohérente : $[\text{N·m}] \cdot [\text{rad/s}] = \text{N·m/s} = \text{J/s} = \text{W}$. - Le travail effectué par un couple constant sur un angle $\Delta\theta$ est $W = M \Delta\theta$, donc la puissance moyenne sur un intervalle de temps $\Delta t$ est $P_{\text{moy}} = \frac{M \Delta\theta}{\Delta t} = M \omega_{\text{moy}}$ si $\omega$ varie linéairement. ### Exemple résolu 1 : Clé à molette serrant un boulon Une clé à molette exerce un couple constant de $M = 25\,\text{N·m}$ sur un boulon. La vitesse de rotation de la clé est $\omega = 10\,\text{rad/s}$. Quelle est la puissance développée ? **Solution** : $$ P = M \omega = 25 \times 10 = 250\,\text{W} $$ Cette puissance est constante tant que $M$ et $\omega$ restent constants. > **À retenir** : Pour un couple constant et une vitesse angulaire constante, la puissance développée est constante et égale au produit du moment par la vitesse angulaire. ### Exemple résolu 2 : Moteur électrique faisant tourner une roue Un moteur électrique développe un couple constant de $M = 50\,\text{N·m}$ pour faire tourner une roue. La vitesse de rotation passe de $0$ à $120\,\text{tr/min}$ en $4\,\text{s}$. Déterminer la puissance moyenne développée par le moteur pendant cet intervalle. **Solution** : Conversion de la vitesse angulaire finale : $$ \omega_f = 120\,\text{tr/min} = 120 \times \frac{2\pi}{60} = 120 \times \frac{\pi}{30} = 4\pi\,\text{rad/s} \approx 12.57\,\text{rad/s} $$ Comme le couple est constant et que la vitesse angulaire varie linéairement (accélération angulaire constante), la vitesse angulaire moyenne est : $$ \omega_{\text{moy}} = \frac{\omega_i + \omega_f}{2} = \frac{0 + 4\pi}{2} = 2\pi\,\text{rad/s} $$ Puissance moyenne : $$ P_{\text{moy}} = M \cdot \omega_{\text{moy}} = 50 \times 2\pi = 100\pi\,\text{W} \approx 314\,\text{W} $$ On peut aussi vérifier par le travail : L’accélération angulaire : $\alpha = \frac{\omega_f - \omega_i}{t} = \frac{4\pi}{4} = \pi\,\text{rad/s}^2$ L’angle tourné : $\theta = \frac{1}{2} \alpha t^2 = \frac{1}{2} \pi \times (4)^2 = 8\pi\,\text{rad}$ Travail effectué : $W = M \theta = 50 \times 8\pi = 400\pi\,\text{J}$ Puissance moyenne : $P_{\text{moy}} = W / t = 400\pi / 4 = 100\pi\,\text{W}$ → même résultat. > **À retenir** : Lorsque le couple est constant et que la vitesse angulaire varie linéairement, la puissance moyenne est égale au produit du couple par la vitesse angulaire moyenne. ### Exemple résolu 3 : Freinage d’une roue Une roue tournant à $\omega_0 = 20\,\text{rad/s}$ est soumise à un couple de freinage constant de $M = -10\,\text{N·m}$ (le signe moins indique opposition au mouvement). Quelle est la puissance développée par le couple de freinage à $t = 0$ et après $2\,\text{s}$ si l’accélération angulaire est constante ? **Solution** : L’accélération angulaire : $\alpha = \tau / I$, mais on n’a pas $I$. On utilise plutôt : Comme le couple est constant, l’accélération angulaire est constante : $\alpha = \frac{d\omega}{dt} = \text{constante}$. Mais on ne connaît pas $I$, donc on ne peut pas trouver $\alpha$ directement. Cependant, on sait que la puissance instantanée est $P = M \omega$. À $t = 0$ : $\omega = 20\,\text{rad/s}$, donc $P = (-10) \times 20 = -200\,\text{W}$ Après $2\,\text{s}$ : on ne connaît pas $\omega$ sans $I$. Mais si on suppose que le couple de freinage est la seule action, alors $\tau = I \alpha$, donc $\alpha = \tau / I$. On ne peut pas déterminer $\omega(t)$ sans $I$. Donc, on ne peut donner que la puissance à $t=0$ : $-200\,\text{W}$. On peut toutefois dire que la puissance devient moins négative (en valeur absolue) si $\omega$ diminue, car $P = M \omega$ et $M<0$, $\omega>0$ → $P<0$, et si $\omega$ diminue, $|P|$ diminue. > **À retenir** : La puissance d’un couple peut être négative (freinage). Elle dépend du produit instantané du moment et de la vitesse angulaire. Sans connaître l’inertie, on ne peut pas déterminer l’évolution de $\omega(t)$, mais on peut toujours calculer $P(t)$ si $\omega(t)$ est connu. ### Exercices d’application corrigés **Exercice 1** : Une perceuse développe un couple constant de $0.8\,\text{N·m}$ lorsqu’elle tourne à $500\,\text{tr/min}$. Quelle est la puissance développée ? **Correction** : $\omega = 500 \times \frac{2\pi}{60} = \frac{500 \pi}{30} = \frac{50\pi}{3} \approx 52.36\,\text{rad/s}$ $P = M \omega = 0.8 \times \frac{50\pi}{3} = \frac{40\pi}{3} \approx 41.9\,\text{W}$ **Exercice 2** : Un moteur fournit une puissance constante de $2\,\text{kW}$ pour faire tourner un arbre à $1500\,\text{tr/min}$. Quel est le couple développé par le moteur ? **Correction** : $\omega = 1500 \times \frac{2\pi}{60} = 1500 \times \frac{\pi}{30} = 50\pi\,\text{rad/s}$ $P = M \omega \Rightarrow M = P / \omega = 2000 / (50\pi) = 40/\pi \approx 12.73\,\text{N·m}$ **Exercice 3** : Une poulie de rayon $r = 0.1\,\text{m}$ est soumise à une force tangentielle constante de $F = 20\,\text{N}$. Elle tourne à $\omega = 10\,\text{rad/s}$. Quelle est la puissance développée par la force ? **Correction** : Le moment du couple : $M = F \cdot r = 20 \times 0.1 = 2\,\text{N·m}$ Puissance : $P = M \omega = 2 \times 10 = 20\,\text{W}$ On peut aussi vérifier par la vitesse linéaire : $v = r \omega = 0.1 \times 10 = 1\,\text{m/s}$, puis $P = F v = 20 \times 1 = 20\,\text{W}$ → cohérent. --- ## Synthèse du chapitre - La puissance d’une force constante est donnée par $P = \vec{F} \cdot \vec{v}$ ; si $\vec{F}$ et $\vec{v}$ sont alignés et constants, $P = F v$. - La puissance d’un couple de moment constant est donnée by $P = M \omega$, où $M$ est le moment du couple et $\omega$ la vitesse angulaire. - La puissance est le taux de variation du travail : $P = dW/dt$. - L’unité de puissance est le watt (W) : $1\,\text{W} = 1\,\text{J/s}$. - La puissance peut être positive (moteur), négative (frein) ou nulle (force perpendiculaire au mouvement). - Pour une variation linéaire de la vitesse (translation) ou de la vitesse angulaire (rotation), la puissance moyenne est égale au produit de la force (ou du couple) par la vitesse moyenne. - Les formules $P = F v$ et $P = M \omega$ sont valables instantanément, même si les grandeurs varient dans le temps. - Le travail effectué par une force constante sur un déplacement $\vec{d}$ est $W = \vec{F} \cdot \vec{d}$ ; par un couple constant sur un angle $\Delta\theta$ est $W = M \Delta\theta$. - La puissance moyenne sur un intervalle de temps $\Delta t$ est $P_{\text{moy}} = W / \Delta t$. - En translation uniforme contre une force résistante constante, $P = F v$ est constante. - En rotation avec couple constant et accélération angulaire constante, $P_{\text{moy}} = M \cdot \frac{\omega_i + \omega_f}{2}$. --- ## Glossaire - **Puissance instantanée** : Taux auquel une force ou un couple effectue du travail à un instant donné, mesurée en watts (W). - **Travail élémentaire** : Quantité infinitésimale de travail effectué par une force ou un couple sur un déplacement ou un déplacement angulaire infinitésimal. - **Vitesse angulaire** : Taux de variation de l’angle parcouru par un solide en rotation, notée $\omega$, mesurée en rad/s. - **Couple de force** : Produit du module d’une force par le bras de levier perpendiculaire à son action, noté $M$, mesuré en N·m. - **Puissance moyenne** : Rapport du travail total effectué sur un intervalle de temps à la durée de cet intervalle. - **Alignement** : Situation où deux vecteurs (force et vitesse, ou moment et vitesse angulaire) sont parallèles ou antiparallèles. - **Freinage** : Situation où la puissance développée par un couple ou une force est négative, indiquant une dissipation d’énergie. - **Énergie cinétique de rotation** : Énergie associée à la rotation d’un solide, donnée par $\frac{1}{2} I \omega^2$, où $I$ est le moment d’inertie. - **Bras de levier** : Distance perpendiculaire entre l’axe de rotation et la ligne d’action d’une force. - **Unité dérivée** : Unité du Système International obtenue par combinaison des unités de base (ex. : watt = joule/seconde). - **Mouvement uniforme** : Mouvement où la vitesse (linéaire ou angulaire) est constante. - **Accélération angulaire constante** : Situation où la vitesse angulaire varie linéairement avec le temps, notée $\alpha = d\omega/dt$.