Chap 21 : Phénomènes d'induction

# Chap 21 : Phénomènes d'induction ## Objectifs et prérequis **Objectifs** : - Comprendre le principe de l'induction électromagnétique et ses lois fondamentales (loi de Faraday-Lenz). - Appliquer la loi de Faraday pour calculer la f.e.m. induite dans un circuit soumis à une variation de flux magnétique. - Expliquer le phénomène d'auto-induction et définir l'inductance propre d'un circuit. - Calculer l'énergie stockée dans un inducteur et la f.e.m. d'auto-induction. - Résoudre des problèmes concrets liés à l'induction électromagnétique et à l'auto-indusion. **Prérequis** : - Notions de champ magnétique et de flux magnétique ($\Phi_B = \int \vec{B} \cdot d\vec{S}$). - Loi d'Ampère et champ magnétique créé par un fil rectiligne ou une bobine. - Notions de circuit électrique (loi d'Ohm, loi des mailles, loi des nœuds). - Notions de dérivée et d'intégrale élémentaires (taux de variation). - Unité du Système International : tesla (T), weber (Wb), volt (V), ampère (A), henry (H). --- ## I. Induction électromagnétique ### 1. Flux magnétique à travers une surface Le flux magnétique $\Phi_B$ à travers une surface $S$ est défini par l'intégrale de surface du champ magnétique $\vec{B}$ : $$\Phi_B = \int_S \vec{B} \cdot d\vec{S}$$ où $d\vec{S}$ est l'élément de surface vectoriel, orienté selon la normale à la surface. > **À retenir** : Pour un champ magnétique uniforme et une surface plane de surface $S$ perpendiculaire à $\vec{B}$, $\Phi_B = B S$. Si l'angle entre $\vec{B}$ et la normale à $S$ est $\theta$, alors $\Phi_B = B S \cos\theta$. **Exemple résolu** : Une boucle carrée de côté $l = 0,2\ \text{m}$ est placée dans un champ magnétique uniforme $B = 0,5\ \text{T}$, perpendiculaire à son plan. Calculer le flux magnétique. Solution : $S = l^2 = (0,2)^2 = 0,04\ \text{m}^2$, $\Phi_B = B S = 0,5 \times 0,04 = 0,02\ \text{Wb}$. **Exercice d'application** : Une boucle circulaire de rayon $r = 0,1\ \text{m}$ est inclinée à $60^\circ$ par rapport à un champ magnétique uniforme $B = 0,8\ \text{T}$. Calculer le flux magnétique à travers la boucle. **Corrigé** : $S = \pi r^2 = \pi (0,1)^2 = 0,0314\ \text{m}^2$, $\Phi_B = B S \cos 60^\circ = 0,8 \times 0,0314 \times 0,5 = 0,01256\ \text{Wb}$. --- ### 2. Loi de Faraday-Lenz de l'induction électromagnétique La loi de Faraday-Lenz stipule que la f.e.m. $\mathcal{E}$ induite dans un circuit fermé est égale à l'opposé du taux de variation du flux magnétique traversant la surface délimitée par ce circuit : $$\mathcal{E} = -\frac{d\Phi_B}{dt}$$ Le signe moins traduit la loi de Lenz : le courant induit s'oppose à la variation du flux qui l'a produit. > **À retenir** : La f.e.m. induite est proportionnelle à la vitesse de variation du flux magnétique. Son sens est tel qu'il crée un champ magnétique opposé à la variation du flux initial. **Exemple résolu** : Une bobine de $N = 100$ spires, de surface $S = 0,01\ \text{m}^2$, est placée dans un champ magnétique uniforme perpendiculaire à son plan. Ce champ varie linéairement de $0$ à $0,4\ \text{T}$ en $2\ \text{s}$. Calculer la f.e.m. moyenne induite. Solution : Flux initial : $\Phi_{B,i} = 0$, Flux final : $\Phi_{B,f} = B_f S = 0,4 \times 0,01 = 0,004\ \text{Wb}$, Variation du flux : $\Delta \Phi_B = 0,004\ \text{Wb}$, Taux de variation moyen : $\frac{\Delta \Phi_B}{\Delta t} = \frac{0,004}{2} = 0,002\ \text{Wb/s}$, F.e.m. moyenne : $|\mathcal{E}| = N \left| \frac{\Delta \Phi_B}{\Delta t} \right| = 100 \times 0,002 = 0,2\ \text{V}$, Sens : opposé à l'augmentation du flux (loi de Lenz). **Exercice d'application** : Une bobine de $N = 50$ spires de surface $S = 0,02\ \text{m}^2$ subit une variation du champ magnétique de $0,3\ \text{T}$ à $-0,1\ \text{T}$ (sens opposé) en $0,5\ \text{s}$. Calculer la f.e.m. moyenne induite. **Corrigé** : $\Phi_{B,i} = 0,3 \times 0,02 = 0,006\ \text{Wb}$, $\Phi_{B,f} = (-0,1) \times 0,02 = -0,002\ \text{Wb}$, $\Delta \Phi_B = -0,002 - 0,006 = -0,008\ \text{Wb}$, $\left| \frac{\Delta \Phi_B}{\Delta t} \right| = \frac{0,008}{0,5} = 0,016\ \text{Wb/s}$, $|\mathcal{E}| = 50 \times 0,016 = 0,8\ \text{V}$. --- ### 3. Cas particuliers d'induction #### a) Mouvement d'un conducteur dans un champ magnétique uniforme Lorsque conducteur de longueur $l$ se déplace à vitesse $\vec{v}$ perpendiculairement à un champ magnétique uniforme $\vec{B}$, les charges libres subissent une force de Lorentz $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$, créant une séparation de charges et une f.e.m. : $$\mathcal{E} = B l v \quad \text{(si } \vec{v} \perp \vec{B} \text{ et } \vec{l} \perp \vec{v}, \vec{B}\text{)}$$ Cette f.e.m. peut être vue comme conséquence de la variation du flux magnétique à travers le circuit formé par le conducteur et les rails. > **À retenir** : Dans le cas d'un conducteur mobile sur des rails en présence d'un champ magnétique transverse, la f.e.m. induite est $\mathcal{E} = B l v$, et le courant induit est $I = \mathcal{E}/R$ si la résistance du circuit est $R$. **Exemple résolu** : Une barre métallique de longueur $l = 0,5\ \text{m}$ glisse sur des rails horizontaux dans un champ magnétique vertical $B = 0,2\ \text{T}$ à vitesse constante $v = 3\ \text{m/s}$. La résistance totale du circuit est $R = 2\ \Omega$. Calculer le courant induit et la force nécessaire pour maintenir le mouvement. Solution : $\mathcal{E} = B l v = 0,2 \times 0,5 \times 3 = 0,3\ \text{V}$, $I = \mathcal{E}/R = 0,3 / 2 = 0,15\ \text{A}$, Force magnétique sur la barre : $F = B I l = 0,2 \times 0,15 \times 0,5 = 0,015\ \text{N}$, Pour maintenir le mouvement uniforme, il faut appliquer une force extérieure égale et opposée : $F_{\text{ext}} = 0,015\ \text{N}$ dans le sens du mouvement. **Exercice d'application** : Une barre de $l = 0,4\ \text{m}$ se déplace à $v = 5\ \text{m/s}$ dans un champ $B = 0,3\ \text{T}$ perpendiculaire à son mouvement et à sa longueur. La résistance du circuit est $R = 1,5\ \Omega$. Calculer la puissance dissipée par effet Joule. **Corrigé** : $\mathcal{E} = 0,3 \times 0,4 \times 5 = 0,6\ \text{V}$, $I = 0,6 / 1,5 = 0,4\ \text{A}$, $P_J = I^2 R = (0,4)^2 \times 1,5 = 0,16 \times 1,5 = 0,24\ \text{W}$. #### b) Rotation d'une bobine dans un champ magnétique uniforme (alternateur simple) Une bobine de $N$ spires, de surface $S$, tournant à vitesse angulaire $\omega$ dans un champ magnétique uniforme $B$ perpendiculaire à l'axe de rotation, voit son flux varier selon : $$\Phi_B(t) = N B S \cos(\omega t)$$ La f.e.m. induite est alors : $$\mathcal{E}(t) = -\frac{d\Phi_B}{dt} = N B S \omega \sin(\omega t)$$ Ce qui produit une f.e.m. sinusoïdale, caractéristique d'un alternateur. > **À retenir** : Dans un alternateur simple, la f.e.m. induite varie sinusoïdalement avec le temps : $\mathcal{E}_{\text{max}} = N B S \omega$. **Exemple résolu** : Une bobine de $N = 200$ spires, de surface $S = 0,005\ \text{m}^2$, tourne à $f = 50\ \text{Hz}$ dans un champ $B = 0,1\ \text{T}$. Calculer la f.e.m. maximale induite. Solution : $\omega = 2\pi f = 2\pi \times 50 = 100\pi\ \text{rad/s}$, $\mathcal{E}_{\text{max}} = N B S \omega = 200 \times 0,1 \times 0,005 \times 100\pi = 200 \times 0,1 \times 0,005 \times 314,16 \approx 31,4\ \text{V}$. **Exercice d'application** : Une bobine alternatrice de $N = 100$ spires, $S = 0,01\ \text{m}^2$, produit une f.e.m. maximale de $10\ \text{V}$ dans un champ $B = 0,2\ \text{T}$. Déterminer sa fréquence de rotation. **Corrigé** : $\mathcal{E}_{\text{max}} = N B S \omega \Rightarrow \omega = \frac{\mathcal{E}_{\text{max}}}{N B S} = \frac{10}{100 \times 0,2 \times 0,01} = \frac{10}{0,2} = 50\ \text{rad/s}$, $f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{50}{2\pi} \approx 7,96\ \text{Hz}$. --- ## II. Phénomène d’auto-induction ### 1. Définition et principe de l'auto-induction Lorsque le courant dans un circuit varie, il produit un champ magnétique variable qui, à son tour, induit une f.e.m. dans le même circuit. Ce phénomène s'appelle l'**auto-induction**. La f.e.m. d'auto-induction s'oppose à la variation du courant qui l'a produite (loi de Lenz). > **À retenir** : L'auto-induction est la propriété d'un circuit de s'opposer à toute variation de son propre courant grâce à la f.e.m. qu'il s'induit à lui-même. ### 2. Inductance propre d'un circuit L'inductance propre $L$ d'un circuit est définie comme le rapport entre le flux magnétique total traversé par le circuit (due à son propre courant) et le courant qui le produit : $$L = \frac{N \Phi_B}{I}$$ où $N \Phi_B$ est le flux magnétique total (en Wb) lié au circuit, $I$ le courant (en A). L'unité de $L$ est le henry (H), où $1\ \text{H} = 1\ \text{Wb/A}$. > **À retenir** : L'inductance propre $L$ dépend uniquement de la géométrie du circuit (forme, nombre de spires, matériau du noyau) et non du courant instantané. **Exemple résolu** : Une bobine creuse de $N = 500$ spires, de longueur $l = 0,2\ \text{m}$ et de section $S = 2 \times 10^{-4}\ \text{m}^2$, est remplie d'air. Calculer son inductance propre. Solution : Champ magnétique à l'intérieur d'un solénoïde long : $B = \mu_0 \frac{N}{l} I$, Flux par spire : $\Phi_B = B S = \mu_0 \frac{N}{l} I S$, Flux total : $N \Phi_B = \mu_0 \frac{N^2}{l} S I$, Donc : $L = \mu_0 \frac{N^2 S}{l}$, Avec $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\ \text{H/m}$, $L = (4\pi \times 10^{-7}) \times \frac{(500)^2 \times 2 \times 10^{-4}}{0,2} = 4\pi \times 10^{-7} \times \frac{250000 \times 2 \times 10^{-4}}{0,2}$, $= 4\pi \times 10^{-7} \times \frac{50}{0,2} = 4\pi \times 10^{-7} \times 250 = \pi \times 10^{-4} \approx 3,14 \times 10^{-4}\ \text{H} = 0,314\ \text{mH}$. **Exercice d'application** : Un solénoïde d'air de $N = 1000$ spires, de longueur $l = 0,5\ \text{m}$ et de section $S = 5 \times 10^{-4}\ \text{m}^2$ a une inductance propre de $L$. Calculer $L$. **Corrigé** : $L = \mu_0 \frac{N^2 S}{l} = 4\pi \times 10^{-7} \times \frac{(1000)^2 \times 5 \times 10^{-4}}{0,5} = 4\pi \times 10^{-7} \times \frac{10^6 \times 5 \times 10^{-4}}{0,5} = 4\pi \times 10^{-7} \times \frac{500}{0,5} = 4\pi \times 10^{-7} \times 1000 = 4\pi \times 10^{-4} \approx 1,256 \times 10^{-3}\ \text{H} = 1,256\ \text{mH}$. --- ### 3. Loi de l'auto-induction : f.e.m. d'auto-induction La f.e.m. d'auto-induction $\mathcal{E}_L$ dans un circuit d'inductance propre $L$ est proportionnelle à l'opposé du taux de variation du courant : $$\mathcal{E}_L = -L \frac{dI}{dt}$$ Le signe moins indique que cette f.e.m. s'oppose à la variation du courant (loi de Lenz). > **À retenir** : La f.e.m. d'auto-induction freine l'augmentation du courant et favorise sa diminution ; elle est nulle si le courant est constant. **Exemple résolu** : Dans un circuit contenant une self de $L = 2\ \text{H}$, le courant varie de $0$ à $4\ \text{A}$ en $0,1\ \text{s}$ de façon linéaire. Calculer la f.e.m. moyenne d'auto-induction. Solution : $\frac{dI}{dt} \approx \frac{\Delta I}{\Delta t} = \frac{4 - 0}{0,1} = 40\ \text{A/s}$, $|\mathcal{E}_L| = L \left| \frac{dI}{dt} \right| = 2 \times 40 = 80\ \text{V}$, Sens : opposé à l'augmentation du courant. **Exercice d'application** : Le courant dans une self de $L = 0,5\ \text{H}$ diminue de $6\ \text{A}$ à $2\ \text{A}$ en $0,2\ \text{s}$. Calculer la f.e.m. moyenne d'auto-induction et indiquer son sens par rapport au courant. **Corrigé** : $\frac{dI}{dt} \approx \frac{2 - 6}{0,2} = \frac{-4}{0,2} = -20\ \text{A/s}$, $|\mathcal{E}_L| = 0,5 \times 20 = 10\ \text{V}$, Comme $\frac{dI}{dt} < 0$, le courant diminue ; la f.e.m. d'auto-induction s'oppose à cette diminution, donc elle est dans le même sens que le courant (elle tente de le maintenir). --- ### 4. Énergie stockée dans un inducteur Lorsqu'on établit un courant $I$ dans une inductance $L$, il faut fournir une énergie pour travailler contre la f.e.m. d'auto-induction. Cette énergie est stockée sous forme d'énergie magnétique dans le champ créé par le courant : $$W_L = \frac{1}{2} L I^2$$ Cette expression s'obtient en intégrant la puissance fournie : $P = \mathcal{E}_L I = -L I \frac{dI}{dt}$, puis $dW = -P dt = L I dI$, d'où $W = \int_0^I L I' dI' = \frac{1}{2} L I^2$. > **À retenir** : L'énergie stockée dans une inductance est proportionnelle au carré du courant et à l'inductance ; elle est restituée lorsque le courant diminue. **Exemple résolu** : Une self de $L = 4\ \text{H}$ porte un courant de $3\ \text{A}$. Calculer l'énergie magnétique stockée. Solution : $W_L = \frac{1}{2} \times 4 \times (3)^2 = 2 \times 9 = 18\ \text{J}$. **Exercice d'application** : Quelle énergie est stockée dans une bobine de $L = 10\ \text{mH}$ lorsque le courant qui la traverse est de $2\ \text{A}$ ? **Corrigé** : $L = 10 \times 10^{-3} = 0,01\ \text{H}$, $W_L = \frac{1}{2} \times 0,01 \times (2)^2 = 0,005 \times 4 = 0,02\ \text{J}$. --- ### 5. Circuit RL en régime transitoire Lorsqu'on ferme un circuit constitué d'une résistance $R$ et d'une inductance $L$ en série sous une tension continue $E$, le courant ne parvient pas instantanément à sa valeur finale $E/R$ ; il augmente progressivement selon : $$I(t) = \frac{E}{R} \left(1 - e^{-t/\tau}\right)$$ où $\tau = L/R$ est la constante de temps du circuit RL. À l'ouverture, le courant décroît selon : $$I(t) = I_0 e^{-t/\tau}$$ La f.e.m. d'auto-induction est maximale à l'instant de la commutation et décroît exponentiellement. > **À retenir** : La constante de temps $\tau = L/R$ caractérise la vitesse d'établissement ou d'extinction du courant dans un circuit RL ; après $t = \tau$, le courant atteint environ $63\%$ de sa valeur finale. **Exemple résolu** : Un circuit RL comporte $R = 10\ \Omega$, $L = 0,2\ \text{H}$, alimenté par une tension $E = 20\ \text{V}$. Calculer : a) La constante de temps $\tau$, b) Le courant après $t = 0,05\ \text{s}$, c) L'énergie stockée dans l'inducteur à $t \to \infty$. Solution : a) $\tau = L/R = 0,2 / 10 = 0,02\ \text{s}$, b) $I(0,05) = \frac{20}{10} (1 - e^{-0,05/0,02}) = 2 (1 - e^{-2,5}) \approx 2 (1 - 0,082) = 2 \times 0,918 = 1,836\ \text{A}$, c) $I_{\infty} = E/R = 2\ \text{A}$, $W_{L,\infty} = \frac{1}{2} L I_{\infty}^2 = 0,5 \times 0,2 \times 4 = 0,4\ \text{J}$. **Exercice d'application** : Un circuit RL a $L = 0,5\ \text{H}$ et $R = 25\ \Omega$. Une tension $E = 50\ \text{V}$ est appliquée à $t=0$. Après combien de temps le courant atteint-il $90\%$ de sa valeur finale ? **Corrigé** : $I_{\infty} = E/R = 50/25 = 2\ \text{A}$, On cherche $t$ tel que $I(t) = 0,9 \times 2 = 1,8\ \text{A}$, $1,8 = 2 (1 - e^{-t/\tau}) \Rightarrow 0,9 = 1 - e^{-t/\tau} \Rightarrow e^{-t/\tau} = 0,1 \Rightarrow -t/\tau = \ln(0,1) \Rightarrow t = -\tau \ln(0,1) = \tau \ln(10)$, $\tau = L/R = 0,5/25 = 0,02\ \text{s}$, $t = 0,02 \times \ln(10) \approx 0,02 \times 2,302 = 0,046\ \text{s}$. --- ## Synthèse du chapitre - L'induction électromagnétique résulte de la variation du flux magnétique à travers un circuit : $\mathcal{E} = -d\Phi_B/dt$ (loi de Faraday-Lenz). - Le sens du courant induit s'oppose à la variation du flux qui l'a produit (loi de Lenz). - La f.e.m. induite peut être créée par variation du champ, de la surface ou de l'orientation de la boucle. - Dans un conducteur mobile, $\mathcal{E} = B l v$ lorsque $\vec{v} \perp \vec{B}$ et $\vec{l} \perp \vec{v}, \vec{B}$. - L'auto-induction est la propriété d'un circuit de s'induire une f.e.m. opposée à la variation de son propre courant : $\mathcal{E}_L = -L dI/dt$. - L'inductance propre $L = N\Phi_B / I$ dépend de la géométrie du circuit ; pour un solénoïde d'air : $L = \mu_0 N^2 S / l$. - L'énergie stockée dans une inductance : $W_L = \frac{1}{2} L I^2$. - Dans un circuit RL, le courant varie selon une loi exponentielle de constante de temps $\tau = L/R$. - Les phénomènes d'induction sont à la base des transformateurs, alternateurs, moteurs, et des filtres en électronique. --- ## Glossaire - **Flux magnétique** : Mesure du champ magnétique traversant une surface, $\Phi_B = \int \vec{B} \cdot d\vec{S}$, exprimé en weber (Wb). - **Induction électromagnétique** : Production d'une f.e.m. dans un circuit par variation du flux magnétique qui le traverse. - **Loi de Faraday-Lenz** : $\mathcal{E} = -d\Phi_B/dt$, relie f.e.m. induite et taux de variation du flux magnétique. - **Loi de Lenz** : Le courant induit s'oppose à la variation du flux qui l'a produit. - **Auto-induction** : Phénomène où un circuit variable induit en lui-même une f.e.m. opposée à la variation de son courant. - **Inductance propre** ($L$) : Propriété d'un circuit quantifiant sa capacité à s'auto-induire, $L = N\Phi_B / I$, en henry (H). - **F.e.m. d'auto-induction** : $\mathcal{E}_L = -L dI/dt$, s'oppose à la variation du courant dans l'inductance. - **Énergie magnétique stockée** : $W_L = \frac{1}{2} L I^2$, énergie retenue dans le champ magnétique d'une inductance. - **Constante de temps** ($\tau$) : Dans un circuit RL, $\tau = L/R$, caractérise l'établissement ou l'extinction du courant. - **Solénoïde** : Bobine cylindrique longue produisant un champ magnétique uniforme à l'intérieur lorsqu'elle est traversée par un courant. - **Alternateur** : Dispositif produisant une f.e.m. sinusoïdale par rotation d'une bobine dans un champ magnétique uniforme. - **Circuit RL** : Association en série d'une résistance et d'une inductance, présentant un régime transitoire caractéristique.