Chap 14: Caractéristiques d'un instrument optique

# Chap 14: Caractéristiques d'un instrument optique ## Objectifs et prérequis **Objectifs** : À l’issue de ce chapitre, l’élève sera capable de : - Définir la puissance d’un instrument optique et la calculer à partir de la distance focale. - Expliquer le concept de grossissement angulaire et le distinguer du grossissement linéaire. - Calculer le grossissement d’un instrument optique simple (loupe, microscope, lunette astronomique) en utilisant les formules appropriées. - Interpréter les caractéristiques d’un instrument optique à partir de sa puissance et de son grossissement. - Résoudre des problèmes applicatifs liés à l’utilisation de lentilles convergentes dans des instruments d’observation. **Prérequis** : - Lois de la réfraction et comportement des lentilles minces convergentes. - Formule de conjugaison : $\frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i}$. - Notion d’image réelle et virtuelle, de foyer principal, de distance focale. - Concept d’angle sous-tendu par un objet. - Manipulation de grandeurs physiques et d’unités (mètre, dioptrie, radian). --- ## I. Puissance d’un instrument optique ### Définition et propriétés La puissance d’un instrument optique, plus précisément d’une lentille mince, quantifie sa capacité à converger ou diverger les rayons lumineux. Elle est définie comme l’inverse de la distance focale exprimée en mètres. > **Puissance d’une lentille mince** : > $$P = \frac{1}{f}$$ > où $P$ s’exprime en dioptries (D) et $f$ en mètres (m). Une lentille convergente a une puissance positive ($f > 0$), une lentille divergente une puissance négative ($f < 0$). Cette grandeur est additive : lorsqu’on combine plusieurs lentilles minces en contact, la puissance totale est la somme algébrique des puissances individuelles. > **Puissance totale de lentilles en contact** : > $$P_{\text{total}} = P_1 + P_2 + \dots + P_n$$ ### Exemple résolu : Calcul de la puissance **Exemple 1** : Une lentille convergente a une distance focale de $f = 0,25$ m. Quelle est sa puissance ? **Solution** : $$P = \frac{1}{f} = \frac{1}{0,25} = 4,00 \ \text{D}$$ La lentille a une puissance de $+4,00$ D (convergente). **Exemple 2** : Deux lentilles sont placées en contact : la première a $f_1 = 0,10$ m (convergente), la seconde $f_2 = -0,20$ m (divergente). Quelle est la puissance totale ? **Solution** : $$P_1 = \frac{1}{0,10} = +10,00 \ \text{D}$$ $$P_2 = \frac{1}{-0,20} = -5,00 \ \text{D}$$ $$P_{\text{total}} = 10,00 + (-5,00) = +5,00 \ \text{D}$$ Le système équivaut à une lentille convergente de puissance $+5,00$ D. ### Exercices d’application corrigés **Exercice 1** : Une lentille a une puissance de $-6,25$ D. Quelle est sa distance focale ? Quel type de lentille est-ce ? **Solution** : $$f = \frac{1}{P} = \frac{1}{-6,25} = -0,16 \ \text{m} = -16,0 \ \text{cm}$$ Comme $f < 0$, c’est une lentille divergente. **Exercice 2** : On veut obtenir une lentille équivalente de puissance $+8,00$ D en associant une lentille de $+12,00$ D à une seconde lentille inconnue. Quelle doit être la puissance de la seconde lentille ? **Solution** : $$P_{\text{total}} = P_1 + P_2$$ $$8,00 = 12,00 + P_2 \Rightarrow P_2 = 8,00 - 12,00 = -4,00 \ \text{D}$$ La seconde lentille doit être divergente de puissance $-4,00$ D. **Exercice 3** : Une lentille de puissance $+5,00$ D forme une image nette d’un objet placé à $0,50$ m. Où se situe l’image ? **Solution** : On utilise la formule de conjugaison : $$\frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i}$$ Comme $P = \frac{1}{f} = 5,00$ D, alors $\frac{1}{f} = 5,00$ m$^{-1}$. $$\frac{1}{d_i} = \frac{1}{f} - \frac{1}{d_o} = 5,00 - \frac{1}{0,50} = 5,00 - 2,00 = 3,00 \ \text{m}^{-1}$$ $$d_i = \frac{1}{3,00} \approx 0,333 \ \text{m} = 33,3 \ \text{cm}$$ Comme $d_i > 0$, l’image est réelle et située à $33,3$ cm du côté opposé à l’objet. --- ## II. Grossissement d’un instrument optique ### Définition et distinction des types de grossissement Le grossissement quantifie l’augmentation de la taille apparente d’un objet observée à travers un instrument par rapport à sa taille nue à l’œil nu. On distingue deux types principaux : - **Grossissement linéaire (ou transverse)** : rapport de la taille de l’image à celle de l’objet. Utile pour les systèmes formant une image réelle (ex. : projecteur, appareil photo). - **Grossissement angulaire** : rapport de l’angle sous-tendu par l’image vue à travers l’instrument à l’angle sous-tendu par l’objet vu à l’œil nu à la distance de vision distincte la plus courte (DVPC, généralement prise comme $25$ cm). C’est le grossissement pertinent pour les instruments d’observation directe (loupe, microscope, lunette). > **Grossissement angulaire** : > $$G = \frac{\theta'}{\theta}$$ > où $\theta'$ est l’angle sous-tendu par l’image vue à travers l’instrument, et $\theta$ l’angle sous-tendu par l’objet à l’œil nu à la DVPC ($d_0 = 0,25$ m). Pour un objet placé à la distance de vision distincte, on a approximativement : $$\theta \approx \frac{h}{d_0}$$ où $h$ est la taille de l’objet. ### Grossissement d’une loupe (lentille simple utilisée comme loupe) Une loupe est une lentille convergente utilisée pour produire une image virtuelle, agrandie et droite de l’objet placé entre le foyer et la lentille. Deux cas d’usage sont considérés : 1. **Image à l’infini** (œil détendu) : l’objet est placé au foyer principal de la lentille. 2. **Image à la DVPC** (œil accommodé au maximum) : l’image virtuelle se forme à $d_0 = 0,25$ m. > **Grossissement angulaire d’une loupe (image à l’infini)** : > $$G = \frac{d_0}{f}$$ > où $d_0 = 0,25$ m est la distance de vision distincte, et $f$ la distance focale de la lentille (en m). > **Grossissement angulaire d’une loupe (image à la DVPC)** : > $$G = \frac{d_0}{f} + 1$$ ### Exemple résolu : Grossissement d’une loupe **Exemple 1** : Une loupe a une distance focale de $f = 5,0$ cm. Quel est son grossissement angulaire lorsque l’image est formée à l’infini ? **Solution** : Convertir $f$ en mètres : $f = 0,050$ m. $$G = \frac{d_0}{f} = \frac{0,25}{0,050} = 5,0$$ Le grossissement est de $5,0$ fois. **Exemple 2** : Même loupe ($f = 5,0$ cm), mais l’image est formée à la DVPC. Quel est le grossissement ? **Solution** : $$G = \frac{d_0}{f} + 1 = \frac{0,25}{0,050} + 1 = 5,0 + 1 = 6,0$$ Le grossissement est de $6,0$ fois. ### Grossissement d’un microscope composé Un microscope composé utilise deux lentilles : un objectif (forte puissance, courte focale) qui forme une image réelle, intermédiaire et agrandie de l’objet, et un oculaire (loupe) qui observe cette image intermédiaire comme un objet. Le grossissement total est le produit du grossissement linéaire de l’objectif et du grossissement angulaire de l’oculaire. > **Grossissement total d’un microscope composé** : > $$G_{\text{total}} = G_{\text{obj}} \times G_{\text{oc}}$$ > où : > - $G_{\text{obj}} = -\frac{L}{f_{\text{obj}}}$ (approximation pour l’image formée au foyer de l’oculaire, $L$ étant la longueur optique du tube, distance entre le foyer secondaire de l’objectif et le foyer principal de l’oculaire) > - $G_{\text{oc}} = \frac{d_0}{f_{\text{oc}}}$ (image à l’infini) ou $\frac{d_0}{f_{\text{oc}}} + 1$ (image à la DVPC) Le signe moins dans $G_{\text{obj}}$ indique que l’image intermédiaire est renversée. ### Exemple résolu : Grossissement d’un microscope **Exemple** : Un microscope a un objectif de $f_{\text{obj}} = 0,50$ cm et un oculaire de $f_{\text{oc}} = 2,5$ cm. La longueur optique du tube est $L = 16,0$ cm. L’image finale est formée à l’infini. Calculer le grossissement total. **Solution** : Convertir tout en mètres ou garder en cm tant que les unités sont cohérentes dans les rapports. On garde en cm pour la commodité (puisque $d_0 = 25$ cm). - Grossissement de l’objectif : $$G_{\text{obj}} = -\frac{L}{f_{\text{obj}}} = -\frac{16,0}{0,50} = -32,0$$ (l’image intermédiaire est 32 fois plus grande et renversée) - Grossissement de l’oculaire (image à l’infini) : $$G_{\text{oc}} = \frac{d_0}{f_{\text{oc}}} = \frac{25}{2,5} = 10,0$$ - Grossissement total : $$G_{\text{total}} = G_{\text{obj}} \times G_{\text{oc}} = (-32,0) \times 10,0 = -320$$ Le grossissement angulaire est de $320$ fois (le signe moins indique que l’image finale est renversée par rapport à l’objet). > **À retenir** : En microscopie, on parle souvent de la valeur absolue du grossissement, car l’orientation n’est pas toujours pertinente pour l’observation. ### Grossissement d’une lunette astronomique Une lunette astronomique (ou télescope réfracteur) est formée de deux lentilles : un objectif (grande ouverture, longue focale) qui forme une image réelle de l’objet lointain à son foyer secondaire, et un oculaire (loupe) qui observe cette image. Comme l’objet est à l’infini, l’image formée par l’objectif se trouve dans son foyer secondaire. L’oculaire est placé de façon à ce que cette image se trouve dans son foyer principal, de sorte que l’image finale soit aussi à l’infini (œil détendu). > **Grossissement angulaire d’une lunette astronomique (image à l’infini)** : > $$G = -\frac{f_{\text{obj}}}{f_{\text{oc}}}$$ > Le signe moins indique que l’image finale est renversée (ce qui n’est pas gênant en astronomie). Si l’on veut une image droite, on ajoute un système d’érection (prismes ou lentilles supplémentaires), mais cela réduit la luminosité et augmente la complexité. ### Exemple résolu : Grossissement d’une lunette astronomique **Exemple** : Une lunette astronomique a un objectif de $f_{\text{obj}} = 1,20$ m et un oculaire de $f_{\text{oc}} = 10,0$ mm. Quel est son grossissement ? **Solution** : Convertir en mêmes unités : $f_{\text{obj}} = 1,20$ m, $f_{\text{oc}} = 0,010$ m. $$G = -\frac{f_{\text{obj}}}{f_{\text{oc}}} = -\frac{1,20}{0,010} = -120$$ Le grossissement est de $120$ fois (image renversée). Si l’on veut utiliser l’oculaire avec l’image à la DVPC, on aurait : $$G = -\frac{f_{\text{obj}}}{f_{\text{oc}}} \left(1 + \frac{f_{\text{oc}}}{d_0}\right)$$ mais cette forme est moins courante ; on préfère généralement travailler à l’infini pour le confort. ### Exercices d’application corrigés **Exercice 1** : Une loupe de distance focale $8,0$ cm est utilisée avec l’image formée à la DVPC. Quel est son grossissement angulaire ? **Solution** : $f = 8,0$ cm = $0,080$ m, $d_0 = 25$ cm. $$G = \frac{d_0}{f} + 1 = \frac{25}{8,0} + 1 = 3,125 + 1 = 4,125 \approx 4,1$$ Le grossissement est d’environ $4,1$ fois. **Exercice 2** : Un microscope a un objectif de $f_{\text{obj}} = 4,0$ mm et un oculaire de $f_{\text{oc}} = 25$ mm. La longueur optique du tube est $L = 16,0$ cm. L’image finale est à l’infini. Calculer le grossissement total. **Solution** : Convertir en cm : $f_{\text{obj}} = 0,40$ cm, $f_{\text{oc}} = 2,5$ cm, $L = 16,0$ cm, $d_0 = 25$ cm. - $G_{\text{obj}} = -\frac{L}{f_{\text{obj}}} = -\frac{16,0}{0,40} = -40,0$ - $G_{\text{oc}} = \frac{d_0}{f_{\text{oc}}} = \frac{25}{2,5} = 10,0$ - $G_{\text{total}} = (-40,0) \times 10,0 = -400$ Le grossissement angulaire est de $400$ fois (image renversée). **Exercice 3** : Une lunette astronomique a un grossissement de $150$ fois. Si l’oculaire a une distance focale de $12,0$ mm, quelle est la distance focale de l’objectif ? **Solution** : $$G = -\frac{f_{\text{obj}}}{f_{\text{oc}}} \Rightarrow |G| = \frac{f_{\text{obj}}}{f_{\text{oc}}}$$ $$150 = \frac{f_{\text{obj}}}{0,012} \Rightarrow f_{\text{obj}} = 150 \times 0,012 = 1,80 \ \text{m}$$ La distance focale de l’objectif est de $1,80$ m. --- ## Synthèse du chapitre - La **puissance** $P$ d’une lentille mince est l’inverse de sa distance focale $f$ (en mètres) : $P = 1/f$, exprimée en dioptries (D). - Les puissances de lentilles minces en contact s’ajoutent algébriquement : $P_{\text{total}} = \sum P_i$. - Une lentille convergente a $P > 0$, divergente $P < 0$. - Le **grossissement angulaire** $G$ compare l’angle sous-tendu par l’image vue à travers l’instrument à celui de l’objet vu à l’œil nu à la distance de vision distincte ($d_0 = 0,25$ m). - Pour une **loupe** : - Image à l’infini : $G = d_0 / f$ - Image à la DVPC : $G = d_0 / f + 1$ - Pour un **microscope composé** : $G_{\text{total}} = G_{\text{obj}} \times G_{\text{oc}}$, avec $G_{\text{obj}} \approx -L / f_{\text{obj}}$ et $G_{\text{oc}} = d_0 / f_{\text{oc}}$ (ou $+1$). - Pour une **lunette astronomique** (image à l’infini) : $G = -f_{\text{obj}} / f_{\text{oc}}$. - Le signe du grossissement indique l’orientation de l’image (négatif = renversé). - En pratique, on utilise souvent la valeur absolue du grossissement pour les instruments d’observation. --- ## Glossaire - **Distance de vision distincte (DVPC)** : Distance la plus courte à laquelle l’œil humain peut voir un objet net, généralement prise comme $25$ cm. - **Dioptrie (D)** : Unité de puissance d’une lentille, égale à l’inverse de la distance focale en mètres ($1 \ \text{D} = 1 \ \text{m}^{-1}$). - **Distance focale** : Distance entre le centre optique d’une lentille mince et son foyer principal, où les rayons parallèles convergent (ou semblent diverger). - **Grossissement angulaire** : Rapport de l’angle sous-tendu par l’image vue à travers l’instrument à l’angle sous-tendu par l’objet à l’œil nu à la DVPC. - **Grossissement linéaire** : Rapport de la taille de l’image à celle de l’objet (utilisé pour les images réelles). - **Loupe** : Lentille convergente utilisée pour produire une image virtuelle, agrandie et droite d’un objet placé entre le foyer et la lentille. - **Microscope composé** : Instrument optique formé d’un objectif et d’un oculaire, utilisé pour observer des objets très petits en produisant une image virtuelle agrandie. - **Lunette astronomique** : Télescope réfracteur composé d’un objectif et d’un oculaire, utilisé pour observer des objets lointains (étoiles, planètes). - **Longueur optique du tube** : Dans un microscope, distance entre le foyer secondaire de l’objectif et le foyer principal de l’oculaire. - **Image virtuelle** : Image formée par la prolongation arrière des rayons divergents ; ne peut être projetée sur un écran, mais visible directement. - **Image réelle** : Image formée par la convergence réelle des rayons lumineux ; peut être projetée sur un écran. - **Œil détendu** : État de l’œil où le cristallin est au repos, mise au point sur l’infini ; confortable pour l’observation prolongée. - **Œil accommodé** : État où le cristallin est contracté pour mettre au point sur un objet proche ; effort nécessaire pour voir net à courte distance. --- *Fin de la fiche de cours.*