Chap 10 : Les lentilles

# Chap 10 : Les lentilles ## Objectifs et prérequis **Objectifs** : À l’issue de ce chapitre, l’élève sera capable de : - Définir une lentille mince et en identifier les caractéristiques géométriques. - Construire l’image d’un objet placé devant une lentille mince convergente ou divergente à l’aide des rayons caractéristiques. - Énoncer et appliquer la relation de conjugaison pour déterminer la position et la taille de l’image. - Définir la distance focale et la vergence d’une lentille mince, et les relier. - Résoudre des problèmes numériques liés à la formation d’images par lentilles minces. - Interpréter le signe des grandeurs (distances, hauteurs, vergence) selon la convention de signe adoptée. **Prérequis** : Notions de géométrie optique (rayon lumineux, réflexion, loi de Snell-Descartes), concept d’image réelle et virtuelle, grandeur algébrique, système de coordonnées optique (axe principal, origine au centre de la lentille), manipulation d’équations du premier degré, utilisation de la règle des signes en optique géométrique. --- ## Introduction Les lentilles sont des dispositifs optiques transparents, généralement en verre ou en plastique, dont les surfaces sont sphériques ou planes, permettant de converger ou de diverger un faisceau lumineux. Elles sont présentes dans de nombreux instruments : lunettes, appareils photo, microscopes, télescopes, projecteurs. Ce chapitre se concentre sur les **lentilles minces**, idéalisation où l’épaisseur de la lentille est négligeable devant les distances d’objet et d’image. Cette approximation permet d’établir des lois simples et précises pour la formation d’images. Nous étudierons successivement la construction géométrique de l’image, la relation de conjugaison, les caractéristiques des lentilles minces, puis la distance focale et la vergence. --- ## I. Construction de l’image de l’objet à travers les lentilles minces ### Définition et principe Une lentille mince est une lame transparente dont les deux surfaces sont sphériques (ou une plane et une sphérique) et dont l’épaisseur au centre est très petite comparée aux rayons de courbure des surfaces et aux distances objet et image. On considère que la déviation des rayons se produit essentiellement au niveau du plan principal, situé au centre de la lentille. Pour construire l’image d’un objet ponctuel ou étendu placé devant une lentille mince, on utilise la propriété selon laquelle tout rayon incident parallèle à l’axe principal passe par le foyer image après réfraction (pour une lentille convergente) ou semble venir du foyer objet (pour une lentille divergente). Deux rayons caractéristiques suffisent pour déterminer l’image d’un point de l’objet. ### Rayons caractéristiques pour une lentille mince convergente 1. **Rayon parallèle à l’axe principal** : incident parallèle à l’axe, il est réfracté de manière à passer par le foyer image $F'$. 2. **Rayon passant par le foyer objet** : incident en visant le foyer objet $F$, il est réfracté parallèlement à l’axe principal. 3. **Rayon passant par le centre optique** : incident en visant le centre optique $O$, il poursuit sa trajectoire sans déviation (approximation valable pour une lentille mince). > **À retenir** : Pour une lentille mince convergente, l’image d’un objet réel placé au-delà de $2F$ est réelle, inversée et réduite ; placée entre $F$ et $2F$, elle est réelle, inversée et agrandie ; placée entre $O$ et $F$, elle est virtuelle, droite et agrandie. ### Rayons caractéristiques pour une lentille mince divergente 1. **Rayon parallèle à l’axe principal** : incident parallèle à l’axe, il est réfracté de manière à sembler venir du foyer image $F'$ (situé du côté objet). 2. **Rayon visant le foyer image** : incident en visant le foyer image $F'$ (du côté image), il est réfracté parallèlement à l’axe principal. 3. **Rayon passant par le centre optique** : identique au cas convergent, il n’est pas dévié. > **À retenir** : Pour une lentille mince divergente, l’image d’un objet réel est toujours virtuelle, droite et réduite, située du même côté que l’objet. ### Exemple résolu : Construction d’image pour une lentille convergente Un objet de hauteur $h = 2,0\,\text{cm}$ est placé à une distance $d_o = 30,0\,\text{cm}$ devant une lentille mince convergente de distance focale $f = 10,0\,\text{cm}$. Construire l’image et déterminer ses caractéristiques. **Étapes** : 1. Tracer l’axe principal horizontal, placer le centre optique $O$ à l’origine. 2. Placer les foyers : $F$ à $10,0\,\text{cm}$ à gauche de $O$ (côté objet), $F'$ à $10,0\,\text{cm}$ à droite de $O$ (côté image). 3. Placer l’objet : extrémité supérieure en $A$ à $30,0\,\text{cm}$ à gauche de $O$, hauteur $h = 2,0\,\text{cm}$ vers le haut. 4. Tracer le rayon 1 : de $A$, parallèle à l’axe, réfracté pour passer par $F'$. 5. Tracer le rayon 2 : de $A$, passant par $F$, réfracté pour devenir parallèle à l’axe. 6. L’intersection de ces deux rayons réfractés donne le point $A'$ : sommet de l’image. 7. Baisser une perpendiculaire de $A'$ sur l’axe pour obtenir la base de l’image $B'$ (coïncidant avec l’image de la base de l’objet si placée sur l’axe). 8. Mesurer : $d_i \approx 15,0\,\text{cm}$ à droite de $O$, $h' \approx -1,0\,\text{cm}$ (négatif car inversée). **Résultat** : Image réelle, inversée, réduite, située à $15,0\,\text{cm}$ de la lentille du côté opposé à l’objet. > **À retenir** : La construction géométrique permet de vérifier la plausibilité des résultats obtenus par calcul, mais ne remplace pas la relation de conjugaison pour une détermination précise. ### Exercices d’application corrigés **Exercice 1** : Un objet de hauteur $3,0\,\text{cm}$ est placé à $20,0\,\text{cm}$ devant une lentille mince convergente de focale $15,0\,\text{cm}$. Où se forme l’image ? Quelle est sa nature et sa taille ? **Solution** : On utilisera la relation de conjugaison (voir partie II), mais pour la construction : - $F$ et $F'$ à $15,0\,\text{cm}$ de $O$. - Objet en $A$ à $20,0\,\text{cm}$ à gauche, hauteur $3,0\,\text{cm}$. - Rayon 1 : de $A$, parallèle à l’axe → réfracté vers $F'$. - Rayon 2 : de $A$, passant par $F$ → réfracté parallèle à l’axe. - Intersection : $A'$ à environ $60,0\,\text{cm}$ à droite de $O$, hauteur $h' \approx -9,0\,\text{cm}$. Vérification par calcul : $\frac{1}{d_i} = \frac{1}{f} - \frac{1}{d_o} = \frac{1}{15} - \frac{1}{20} = \frac{4-3}{60} = \frac{1}{60}$ → $d_i = 60,0\,\text{cm}$. $\frac{h'}{h} = -\frac{d_i}{d_o} = -\frac{60}{20} = -3$ → $h' = -9,0\,\text{cm}$. **Réponse** : Image réelle, inversée, agrandie, située à $60,0\,\text{cm}$ du côté opposé à l’objet, hauteur $9,0\,\text{cm}$. **Exercice 2** : Un objet de hauteur $4,0\,\text{cm}$ est placé à $10,0\,\text{cm}$ devant une lentille mince divergente de focale $-10,0\,\text{cm}$ (convention : $f$ négatif pour divergente). Où se forme l’image ? **Solution** : - Pour divergente, $F'$ est du côté objet, à $10,0\,\text{cm}$ à gauche de $O$. - Objet en $A$ à $10,0\,\text{cm}$ à gauche, hauteur $4,0\,\text{cm}$ vers le haut. - Rayon 1 : de $A$, parallèle à l’axe → réfracté comme venant de $F'$ (on trace la ligne réfractée en prolongeant vers la gauche depuis le point d’incidence, en visant $F'$). - Rayon 2 : de $A$, visant $F'$ (à gauche) → réfracté parallèle à l’axe. - Ces deux rayons réfractés semblent provenir d’un point $A'$ situé entre $O$ et $F'$, à environ $5,0\,\text{cm}$ à gauche de $O$, hauteur $h' \approx +2,0\,\text{cm}$ (droite, réduite). Vérification par calcul : $\frac{1}{d_i} = \frac{1}{f} - \frac{1}{d_o} = \frac{1}{-10} - \frac{1}{10} = -0,1 - 0,1 = -0,2$ → $d_i = -5,0\,\text{cm}$ (négatif = même côté que l’objet). $\frac{h'}{h} = -\frac{d_i}{d_o} = -\frac{-5,0}{10,0} = +0,5$ → $h' = +2,0\,\text{cm}$. **Réponse** : Image virtuelle, droite, réduite, située à $5,0\,\text{cm}$ du même côté que l’objet, hauteur $2,0\,\text{cm}$. --- ## II. Relation de conjugaison ### Énoncé et démonstration (principe) Pour une lentille mince dans l’air, les distances objet $d_o$ (mesurée du centre optique $O$ à l’objet, positive si l’objet est réel, du côté incident de la lumière) et image $d_i$ (mesurée de $O$ à l’image, positive si l’image est réelle, du côté opposé à l’objet) sont liées à la distance focale $f$ par la **relation de conjugaison** : $$ \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i} = \frac{1}{f} $$ Cette relation découle de l’application de la loi de Snell-Descartes à chaque surface sphérique et de l’approximation de lentille mince (épaisseur négligeable). Elle est valable pour les lentilles convergentes ($f > 0$) et divergentes ($f < 0$), sous la convention de signe suivante : - Les distances sont mesurées depuis le centre optique $O$. - Une distance est positive si elle est mesurée dans le sens de propagation de la lumière incidente (de l’objet vers la lentille, puis vers l’image). - Pour l’objet : placé du côté où vient la lumière (habituellement gauche), $d_o > 0$ si réel. - Pour l’image : placée du côté opposé à l’objet par rapport à la lentille (habituellement droite pour image réelle), $d_i > 0$ si réelle ; $d_i < 0$ si virtuelle (même côté que l’objet). - La hauteur de l’objet $h_o$ est positive si dirigée vers le haut (vers le haut du schéma). - La hauteur de l’image $h_i$ suit la même convention : positive si droite, négative si inversée. - Le grossissement transverse $G$ est défini par : $G = \frac{h_i}{h_o} = -\frac{d_i}{d_o}$. > **À retenir** : La relation de conjugaison $\frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i} = \frac{1}{f}$ est universelle pour les lentilles minces dans l’air, sous réserve de respecter la convention de signe. ### Propriétés et interprétations - Si $d_o \to \infty$ (objet à l’infini), alors $\frac{1}{d_o} \to 0$, donc $d_i = f$ : l’image se forme au foyer image. - Si $d_o = f$, alors $\frac{1}{d_i} = 0$ → $d_i \to \infty$ : les rayons sortants sont parallèles (image à l’infini). - Si $d_o < f$ pour une lentille convergente, alors $\frac{1}{d_i} = \frac{1}{f} - \frac{1}{d_o} < 0$ → $d_i < 0$ : image virtuelle, du même côté que l’objet. - Pour une lentille divergente ($f < 0$), $\frac{1}{d_i} = \frac{1}{f} - \frac{1}{d_o} < 0$ toujours (puisque $\frac{1}{f} < 0$ et $-\frac{1}{d_o} < 0$) → $d_i < 0$ : image toujours virtuelle. > **À retenir** : Le signe de $d_i$ indique la nature de l’image : positif = réelle (côté opposé à l’objet), négatif = virtuelle (même côté que l’objet). Le signe de $h_i$ (ou $G$) indique l’orientation : positif = droite, négatif = inversée. ### Exemple résolu : Utilisation de la relation de conjugaison Une lentille mince convergente de focale $f = 12,0\,\text{cm}$ forme une image réelle d’un objet placé à $24,0\,\text{cm}$ devant elle. Déterminer la position de l’image et le grossissement. **Solution** : Données : $f = +12,0\,\text{cm}$ (convergente), $d_o = +24,0\,\text{cm}$ (objet réel, côté incident). Relation de conjugaison : $$ \frac{1}{d_i} = \frac{1}{f} - \frac{1}{d_o} = \frac{1}{12,0} - \frac{1}{24,0} = \frac{2}{24,0} - \frac{1}{24,0} = \frac{1}{24,0} $$ $$ \Rightarrow d_i = +24,0\,\text{cm} $$ L’image est réelle, située à $24,0\,\text{cm}$ du côté opposé à l’objet. Grossissement : $$ G = -\frac{d_i}{d_o} = -\frac{24,0}{24,0} = -1,0 $$ $$ \Rightarrow h_i = G \cdot h_o = -1,0 \cdot h_o $$ L’image est inversée et de même taille que l’objet. **Réponse** : Image réelle, inversée, de même taille, située à $24,0\,\text{cm}$ de la lentille. > **À retenir** : Le grossissement $G = -\frac{d_i}{d_o}$ lie les hauteurs et les distances ; son signe indique l’orientation de l’image par rapport à l’objet. ### Exercices d’application corrigés **Exercice 1** : Un objet de hauteur $5,0\,\text{cm}$ est placé à $18,0\,\text{cm}$ devant une lentille mince convergente. L’image formée est réelle et située à $36,0\,\text{cm}$ de la lentille. Calculer la distance focale et le grossissement. **Solution** : $d_o = +18,0\,\text{cm}$, $d_i = +36,0\,\text{cm}$ (image réelle → même signe que $d_o$ opposé, donc positif). $$ \frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i} = \frac{1}{18,0} + \frac{1}{36,0} = \frac{2}{36,0} + \frac{1}{36,0} = \frac{3}{36,0} = \frac{1}{12,0} $$ $$ \Rightarrow f = +12,0\,\text{cm} $$ $$ G = -\frac{d_i}{d_o} = -\frac{36,0}{18,0} = -2,0 $$ $$ \Rightarrow h_i = G \cdot h_o = -2,0 \times 5,0 = -10,0\,\text{cm} $$ **Réponse** : $f = 12,0\,\text{cm}$ (lentille convergente), grossissement $-2,0$ → image réelle, inversée, agrandie (deux fois la taille de l’objet), hauteur $10,0\,\text{cm}$. **Exercice 2** : Une lentille mince divergente forme une image virtuelle d’un objet placé à $25,0\,\text{cm}$ devant elle. L’image est située à $10,0\,\text{cm}$ du même côté que l’objet. Déterminer la distance focale et la nature de l’image. **Solution** : Objet réel : $d_o = +25,0\,\text{cm}$. Image virtuelle, même côté que l’objet : $d_i = -10,0\,\text{cm}$ (négatif par convention). $$ \frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i} = \frac{1}{25,0} + \frac{1}{-10,0} = 0,0400 - 0,1000 = -0,0600\,\text{cm}^{-1} $$ $$ \Rightarrow f = \frac{1}{-0,0600} = -16,7\,\text{cm} \quad (\text{arrondi à } -16,7\,\text{cm}) $$ $$ G = -\frac{d_i}{d_o} = -\frac{-10,0}{25,0} = +0,400 $$ $$ \Rightarrow h_i = 0,400 \cdot h_o \quad \text{(droite, réduite)} $$ **Réponse** : $f = -16,7\,\text{cm}$ (lentille divergente), image virtuelle, droite, réduite, grossissement $+0,400$. > **À retenir** : Une distance focale négative caractérise une lentille divergente ; une distance d’image négative caractérise une image virtuelle. --- ## III. Notion de lentille mince ### Définition Une **lentille mince** est une lentille dont l’épaisseur maximale $e$ (mesurée le long de l’axe principal) est très petite comparée aux rayons de courbure $R_1$ et $R_2$ de ses deux surfaces, et comparée aux distances d’objet $d_o$ et d’image $d_i$. On note cette condition : $e \ll \vert R_1 \vert, \vert R_2 \vert, d_o, d_i$. > **À retenir** : L’approximation de lentille mince permet de considérer que la déviation des rayons lumineux se produit essentiellement dans un seul plan, appelé plan principal, situé au centre de la lentille. ### Conséquences de l’approximation - Le centre optique $O$ (point où un rayon incident passe sans déviation) est confondu avec le centre géométrique de la lentille. - Les plans principaux objet et image coïncident avec le plan central de la lentille. - La distance focale mesurée depuis $O$ est la même que celle qui serait mesurée depuis les plans principaux dans le cas d’une lentille épaisse. - La relation de conjugaison et les formules de grossissement restent valables telles quelles. ### Limites de l’approximation L’approximation cesse d’être valable lorsque : - L’épaisseur de la lentille n’est plus négligeable (ex. : lentilles fortes en optique ophtalmique). - On travaille avec des ouvertures angulaires très grandes (aberrations sphériques significatives). - La précision requise dépasse quelques pourcents (dans ce cas, on utilise la théorie des lentilles épaisses ou des matrices de transfert). > **À retenir** : Pour la plupart des applications en physique de lycée (lunettes, projecteurs, loupes), l’approximation de lentille mince est excellente et suffisante. ### Exemple illustratif Une lentille biconvexe en verre a un rayon de courbure de $20,0\,\text{cm}$ pour chaque surface et une épaisseur centrale de $3,0\,\text{cm}$. Puisque $3,0\,\text{cm} \ll 20,0\,\text{cm}$, on peut l’approximer comme mince pour des distances objet et image supérieures à $10,0\,\text{cm}$. **Exercice d’application** : Une lentille plano-convexe a un rayon de courbure de $15,0\,\text{cm}$ sur la surface convexe et une épaisseur de $2,0\,\text{cm}$. Peut-on la considérer comme mince pour un objet placé à $25,0\,\text{cm}$ ? **Solution** : $e = 2,0\,\text{cm}$, $\vert R \vert = 15,0\,\text{cm}$, $d_o = 25,0\,\text{cm}$. Puisque $2,0 < 15,0$ et $2,0 < 25,0$, mais pas nettement inférieur (seulement un facteur de 5 à 7), l’approximation est raisonnable mais pas excellente. Pour une précision meilleure que 5%, on devrait corriger. En physique de lycée, on l’accepte généralement comme mince. > **À retenir** : En l’absence de précision extrême, si $e < 0,1 \times \min(\vert R_1 \vert, \vert R_2 \vert, d_o, d_i)$, l’approximation de lentille mince est très bonne. ---