Chap 17: Générateur électrique

# Chap 17: Générateur électrique ## Objectifs et prérequis **Objectifs** : À l’issue de ce chapitre, l’élève sera capable de : - Définir un générateur électrique et reconnaître son schéma normalisé. - Identifier et utiliser les caractéristiques des dipôles générateur (f.é.m., résistance interne). - Analyser les associations de générateurs (en série, en parallèle, mixte) et déterminer leurs caractéristiques équivalentes. - Résoudre des problèmes concrets liés à l’alimentation de circuits électriques par des générateurs réels. **Prérequis** : - Notions de dipôle, de tension, d’intensité, de loi d’Ohm pour un conducteur ohmique. - Loi des nœuds et loi des mailles (principes de Kirchhoff). - Notion de résistance équivalente en série et en parallèle. - Concept de travail et de puissance électrique. --- ## I. Définition et schéma normalisé d’un générateur Un **générateur électrique** est un dipôle actif capable de convertir une autre forme d’énergie (chimique, mécanique, thermique, lumineuse, etc.) en énergie électrique, afin de maintenir une différence de potentiel entre ses bornes et de faire circuler un courant dans un circuit extérieur. Contrairement à un récepteur (qui consomme de l’énergie électrique), le générateur la fournit. ### Schéma normalisé d’un générateur réel Un générateur réel est modélisé par l’association idéalisée suivante : - Une **source de tension idéale** (ou **f.é.m. idéale**) notée $\mathcal{E}$, représentée par un symbole comportant deux traits parallèles de longueur inégale (le plus long représentant la borne positive). - Une **résistance interne** $r$, placée en série avec la source idéale, représentant les pertes énergétiques dues à la constitution matérielle du générateur (électrolytes, électrodes, enroulements, etc.). Le schéma normalisé est donc : $$ \boxed{\mathcal{E} \text{ ---[} r \text{ ]---}} $$ où le courant sortant du générateur est considéré comme positif lorsqu’il sort de la borne positive du générateur. > **À retenir** : Un générateur réel se modélise par une f.é.m. idéale $\mathcal{E}$ en série avec une résistance interne $r$. ### Tension aux bornes d’un générateur réel Lorsque le générateur délivre un courant $I$ dans un circuit extérieur, une chute de tension se produit à l’intérieur du générateur, égale à $U_r = I \cdot r$. La tension aux bornes du générateur, notée $U_{AB}$ (entre la borne A positive et la borne B négative), est alors : $$ U_{AB} = \mathcal{E} - I \cdot r $$ Cette relation est fondamentale : elle montre que la tension utile délivrée diminue lorsque le courant augmente, à cause de la chute interne. > **À retenir** : Pour un générateur réel, $U_{AB} = \mathcal{E} - I r$. ### Cas particuliers - **Circuit ouvert** ($I = 0$) : Aucune chute interne, donc $U_{AB} = \mathcal{E}$. La f.é.m. $\mathcal{E}$ est égale à la tension aux bornes en l’absence de courant. > **À retenir** : En circuit ouvert, la tension aux bornes d’un générateur réel vaut sa f.é.m. : $U_{AB} = \mathcal{E}$. - **Court-circuit** ($U_{AB} = 0$) : Alors $0 = \mathcal{E} - I_{cc} \cdot r$, d’où : $$ I_{cc} = \frac{\mathcal{E}}{r} $$ Ce courant de court-circuit est limité uniquement par la résistance interne. > **À retenir** : Le courant de court-circuit d’un générateur réel est $I_{cc} = \dfrac{\mathcal{E}}{r}$. ### Exemple résolu 1 Une pile fournit une f.é.m. de $\mathcal{E} = 9,0\,\text{V}$ et possède une résistance interne de $r = 0,5\,\Omega$. Déterminer : a) La tension aux bornes lorsqu’un courant de $I = 2,0\,\text{A}$ est délivré. b) Le courant de court-circuit. c) La tension aux bornes en circuit ouvert. **Solution** : a) $U_{AB} = \mathcal{E} - I r = 9,0 - (2,0)(0,5) = 9,0 - 1,0 = 8,0\,\text{V}$ b) $I_{cc} = \dfrac{\mathcal{E}}{r} = \dfrac{9,0}{0,5} = 18,0\,\text{A}$ c) En circuit ouvert : $U_{AB} = \mathcal{E} = 9,0\,\text{V}$ > **À retenir** : La résistance interne limite à la fois la tension utile délivrée et le courant de court-circuit. ### Exercice d’application 1 (corrigé) Une batterie de voiture a une f.é.m. de $\mathcal{E} = 12,6\,\text{V}$ et une résistance interne de $r = 0,02\,\Omega$. Calculer : 1) La tension aux bornes lorsque le démarreur absorbe un courant de $I = 200\,\text{A}$. 2) Le courant de court-circuit. 3) Quelle est la tension aux bornes si aucune charge n’est connectée ? **Corrigé** : 1) $U_{AB} = 12,6 - (200)(0,02) = 12,6 - 4,0 = 8,6\,\text{V}$ 2) $I_{cc} = \dfrac{12,6}{0,02} = 630\,\text{A}$ 3) En circuit ouvert : $U_{AB} = \mathcal{E} = 12,6\,\text{V}$ --- ## II. Caractéristiques des dipôles générateur Un **dipôle générateur** est caractérisé par deux grandeurs essentielles : - Sa **force électromotrice (f.é.m.)** $\mathcal{E}$, exprimée en volts (V). - Sa **résistance interne** $r$, exprimée en ohms ($\Omega$). Ces deux paramètres permettent de prédire son comportement dans tout circuit extérieur grâce à la relation $U_{AB} = \mathcal{E} - I r$. ### Représentation par la caractéristique $U_{AB} = f(I)$ La relation $U_{AB} = \mathcal{E} - I r$ est une fonction affine décroissante de $I$. Son représentation graphique dans le repère $(I, U_{AB})$ est une droite : - Ordonnée à l’origine : $U_{AB}(I=0) = \mathcal{E}$ (point A). - Abscisse à l’origine : $U_{AB}=0 \Rightarrow I = \dfrac{\mathcal{E}}{r} = I_{cc}$ (point B). - Pente : $-r$ (négative, égale à l’opposé de la résistance interne). > **À retenir** : La caractéristique $U_{AB} = f(I)$ d’un générateur réel est une droite de pente $-r$ et d’ordonnée à l’origine $\mathcal{E}$. ### Détermination expérimentale de $\mathcal{E}$ et $r$ En mesurant plusieurs couples $(I, U_{AB})$ pour différentes charges connectées au générateur, on trace la caractéristique expérimentale. On effectue alors un ajustement linéaire (moindres carrés ou règle des deux points) pour obtenir : - $\mathcal{E}$ = ordonnée à l’origine. - $r$ = $- \text{pente}$ de la droite. ### Exemple résolu 2 On mesure les valeurs suivantes pour une pile : | $I$ (A) | $U_{AB}$ (V) | |---------|--------------| | 0,0 | 1,50 | | 0,2 | 1,40 | | 0,5 | 1,25 | | 1,0 | 1,00 | Déterminer $\mathcal{E}$ et $r$. **Solution** : Le point à $I=0$ donne directement $\mathcal{E} = 1,50\,\text{V}$. La pente peut être calculée entre deux points : Entre $I=0,2\,\text{A}$ ($U=1,40\,\text{V}$) et $I=1,0\,\text{A}$ ($U=1,00\,\text{V}$) : $$ \text{pente} = \dfrac{1,00 - 1,40}{1,00 - 0,20} = \dfrac{-0,40}{0,80} = -0,50\,\text{V/A} $$ Donc $r = -(\text{pente}) = 0,50\,\Omega$. Vérification avec un autre point : Entre $I=0$ et $I=0,5\,\text{A}$ : $$ \text{pente} = \dfrac{1,25 - 1,50}{0,50 - 0} = \dfrac{-0,25}{0,50} = -0,50\,\text{V/A} \Rightarrow r = 0,50\,\Omega $$ Résultat cohérent : $\mathcal{E} = 1,50\,\text{V}$, $r = 0,50\,\Omega$. > **À retenir** : La f.é.m. $\mathcal{E}$ se lit à $I=0$ ; la résistance interne $r$ vaut l’opposé de la pente de la caractéristique $U_{AB}=f(I)$. ### Exercice d’application 2 (corrigé) Un générateur est testé avec diverses résistances externes. On obtient : | $I$ (A) | $U_{AB}$ (V) | |---------|--------------| | 0,0 | 6,0 | | 0,5 | 5,0 | | 1,0 | 4,0 | | 1,5 | 3,0 | Déterminer la f.é.m. et la résistance interne du générateur. **Corrigé** : À $I=0$ : $\mathcal{E} = 6,0\,\text{V}$. Pente entre $I=0$ et $I=1,0\,\text{A}$ : $$ \dfrac{4,0 - 6,0}{1,0 - 0} = \dfrac{-2,0}{1,0} = -2,0\,\text{V/A} \Rightarrow r = 2,0\,\Omega $$ Vérification avec $I=0,5\,\text{A}$ : $U_{AB} = 6,0 - (0,5)(2,0) = 6,0 - 1,0 = 5,0\,\text{V}$ ✅ Réponse : $\mathcal{E} = 6,0\,\text{V}$, $r = 2,0\,\Omega$. --- ## III. Association des générateurs Dans la pratique, plusieurs générateurs peuvent être associés pour augmenter la tension disponible, le courant délivrable, ou la capacité énergétique. On étudie les associations **en série**, **en parallèle** et **mixtes**, en supposant que les générateurs sont identiques (même $\mathcal{E}$, même $r$) sauf indication contraire. ### Association en série Deux générateurs identiques ($\mathcal{E}$, $r$) sont connectés en série : la borne négative du premier est reliée à la borne positive du second. La f.é.m. équivalente est la somme algébrique des f.é.m. individuelles (si elles sont dans le même sens). La résistance interne équivalente est la somme des résistances internes. $$ \mathcal{E}_{\text{eq}} = \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 = 2\mathcal{E} $$ $$ r_{\text{eq}} = r_1 + r_2 = 2r $$ Le schéma équivalent est donc un générateur de f.é.m. $2\mathcal{E}$ et de résistance interne $2r$. > **À retenir** : En série, les f.é.m. s’additionnent et les résistances internes s’additionnent : $\mathcal{E}_{\text{eq}} = \sum \mathcal{E}_i$, $r_{\text{eq}} = \sum r_i$. #### Cas des générateurs opposés en série Si un générateur est connecté à l’envers (f.é.m. opposée), alors : $$ \mathcal{E}_{\text{eq}} = \mathcal{E}_1 - \mathcal{E}_2 $$ Si $\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}_2$, alors $\mathcal{E}_{\text{eq}} = 0$ : pas de f.é.m. nette. ### Association en parallèle Deux générateurs identiques ($\mathcal{E}$, $r$) sont connectés en parallèle : leurs bornes positives sont reliées entre elles, et leurs bornes négatives également. On suppose qu’ils sont parfaitement synchronisés (même f.é.m., même polarité). La f.é.m. équivalente reste égale à celle d’un seul générateur (puisque la tension aux bornes commune ne peut pas avoir deux valeurs différentes). La résistance interne équivalente est celle de deux résistances $r$ en parallèle : $$ \dfrac{1}{r_{\text{eq}}} = \dfrac{1}{r} + \dfrac{1}{r} = \dfrac{2}{r} \Rightarrow r_{\text{eq}} = \dfrac{r}{2} $$ > **À retenir** : En parallèle idéal (générateurs identiques et mêmes f.é.m.), $\mathcal{E}_{\text{eq}} = \mathcal{E}$ et $r_{\text{eq}} = \dfrac{r}{2}$. #### Attention : risque de courants circulants Si les f.é.m. ne sont pas exactement égales, un courant peut circuler entre les générateurs même en circuit ouvert extérieur. Par exemple, si $\mathcal{E}_1 > \mathcal{E}_2$, alors le générateur 1 tentera de charger le générateur 2, ce qui peut entraîner des échauffements ou des dommages. > **À retenir** : En parallèle, les générateurs doivent avoir des f.é.m. très proches pour éviter les courants circulants préjudiciables. ### Association mixte (série-parallèle) On peut combiner les deux types d’association pour optimiser à la fois la tension et le courant disponible. Exemple : quatre générateurs identiques ($\mathcal{E}$, $r$) associés en deux branches parallèles, chacune contenant deux générateurs en série. - Dans chaque branche série : $\mathcal{E}_{\text{branche}} = 2\mathcal{E}$, $r_{\text{branche}} = 2r$ - Les deux branches en parallèle : $$ \mathcal{E}_{\text{eq}} = \mathcal{E}_{\text{branche}} = 2\mathcal{E} $$ $$ \dfrac{1}{r_{\text{eq}}} = \dfrac{1}{2r} + \dfrac{1}{2r} = \dfrac{2}{2r} = \dfrac{1}{r} \Rightarrow r_{\text{eq}} = r $$ Ainsi, avec quatre générateurs, on obtient une f.é.m. doublée et une résistance interne identique à celle d’un seul générateur. > **À retenir** : En association mixte, on peut augmenter la tension (par les séries dans chaque branche) tout en réduisant la résistance interne équivalente (par le parallèle des branches). ### Exemple résolu 3 Trois piles identiques, chacune de f.é.m. $\mathcal{E} = 1,5\,\text{V}$ et de résistance interne $r = 0,3\,\Omega$, sont associées : a) En série. b) En parallèle. c) Deux en série, puis cette branche en parallèle avec la troisième (configuration mixte). Déterminer dans chaque cas la f.é.m. équivalente et la résistance interne équivalente. **Solution** : a) Série : $$ \mathcal{E}_{\text{eq}} = 1,5 + 1,5 + 1,5 = 4,5\,\text{V} $$ $$ r_{\text{eq}} = 0,3 + 0,3 + 0,3 = 0,9\,\Omega $$ b) Parallèle : $$ \mathcal{E}_{\text{eq}} = 1,5\,\text{V} $$ $$ \dfrac{1}{r_{\text{eq}}} = \dfrac{1}{0,3} + \dfrac{1}{0,3} + \dfrac{1}{0,3} = \dfrac{3}{0,3} = 10 \Rightarrow r_{\text{eq}} = 0,1\,\Omega $$ c) Mélangée : - Deux en série : $\mathcal{E}_{12} = 3,0\,\text{V}$, $r_{12} = 0,6\,\Omega$ - Cette branche en parallèle avec la troisième pile ($\mathcal{E}_3 = 1,5\,\text{V}$, $r_3 = 0,3\,\Omega$) Mais attention : les f.é.m. ne sont pas égales ($3,0\,\text{V}$ vs $1,5\,\text{V}$) → cette association en parallèle est **inadéquate** si les branches ont des f.é.m. différentes. On suppose ici que l’on veut une association utile : donc on ne mélange pas des branches de f.é.m. différentes en parallèle sans précaution. Pour une association mixte valide, on doit avoir des branches équivalentes en f.é.m. Exemple valide : deux branches parallèles, chacune contenant deux piles en série → mais on n’a que trois piles. Alternative : deux en parallèle, puis cette combinaison en série avec la troisième. - Deux en parallèle : $\mathcal{E}_{12} = 1,5\,\text{V}$, $r_{12} = \dfrac{0,3}{2} = 0,15\,\Omega$ - Puis en série avec la troisième : $$ \mathcal{E}_{\text{eq}} = 1,5 + 1,5 = 3,0\,\text{V} $$ $$ r_{\text{eq}} = 0,15 + 0,3 = 0,45\,\Omega $$ Cette configuration (deux en parallèle, puis en série avec la troisième) est équilibrée et utile. > **À retenir** : Pour une association mixte efficace, les branches en parallèle doivent avoir la même f.é.m. équivalente. ### Exercice d’application 3 (corrigé) On dispose de quatre accus identiques, chacun de f.é.m. $\mathcal{E} = 2,0\,\text{V}$ et de résistance interne $r = 0,4\,\Omega$. On souhaite obtenir une batterie délivrant une f.é.m. de $4,0\,\text{V}$ avec la plus faible résistance interne possible. Proposer une association et calculer ses caractéristiques équivalentes. **Corrigé** : Pour obtenir $4,0\,\text{V}$, on doit mettre des générateurs en série : $4,0 / 2,0 = 2$ → deux en série donnent $2,0 + 2,0 = 4,0\,\text{V}$. On a quatre accus : on peut faire deux branches parallèles, chacune contenant deux accus en série. - Chaque branche série : $\mathcal{E}_{\text{branche}} = 4,0\,\text{V}$, $r_{\text{branche}} = 0,4 + 0,4 = 0,8\,\Omega$ - Deux branches en parallèle : $$ \mathcal{E}_{\text{eq}} = 4,0\,\text{V} $$ $$ \dfrac{1}{r_{\text{eq}}} = \dfrac{1}{0,8} + \dfrac{1}{0,8} = \dfrac{2}{0,8} = 2,5 \Rightarrow r_{\text{eq}} = \dfrac{1}{2,5} = 0,4\,\Omega $$ Résultat : $4,0\,\text{V}$ et $r_{\text{eq}} = 0,4\,\Omega$ (même résistance interne qu’un seul accus, mais f.é.m. doublée et capacité énergétique quadruplée). Alternative : tous en série → $\mathcal{E}=8,0\,\text{V}$ (trop élevé), $r=1,6\,\Omega$. Tous en parallèle → $\mathcal{E}=2,0\,\text{V}$ (trop faible). Donc l’association proposée est optimale pour l’objectif. --- ## Synthèse du chapitre - Un générateur réel se modélise par une f.é.m. idéale $\mathcal{E}$ en série avec une résistance interne $r$. - La tension aux bornes varie selon la loi : $U_{AB} = \mathcal{E} - I r$. - En circuit ouvert : $U_{AB} = \mathcal{E}$ ; en court-circuit : $I_{cc} = \dfrac{\mathcal{E}}{r}$. - La caractéristique $U_{AB}=f(I)$ est une droite de pente $-r$ et d’ordonnée à l’origine $\mathcal{E}$. - $\mathcal{E}$ se détermine à $I=0$ ; $r$ vaut l’opposé de la pente de cette caractéristique. - En série : $\mathcal{E}_{\text{eq}} = \sum \mathcal{E}_i$, $r_{\text{eq}} = \sum r_i$. - En parallèle (générateurs identiques) : $\mathcal{E}_{\text{eq}} = \mathcal{E}$, $r_{\text{eq}} = \dfrac{r}{n}$ pour $n$ générateurs. - En parallèle, les f.é.m. doivent être très proches pour éviter les courants circulants dangereux. - En association mixte, on équilibre les branches en parallèle pour avoir la même f.é.m. équivalente, afin d’augmenter la tension (par séries dans les branches) tout en réduisant la résistance interne (par parallèle des branches). - L’objectif d’une association est souvent d’augmenter la tension disponible, le courant délivrable, ou l’autonomie, tout en minimisant les pertes internes. --- ## Glossaire - **Générateur électrique** : Dipôle actif qui convertit une autre forme d’énergie en énergie électrique pour maintenir une différence de potentiel et faire circuler un courant. - **Force électromotrice (f.é.m.)** : Grandeur $\mathcal{E}$, exprimée en volts, représentant la tension fournie par un générateur idéal en circuit ouvert. - **Résistance interne** : Résistance $r$ modélisant les pertes énergétiques internes d’un générateur réel, en série avec la source idéale. - **Tension aux bornes** : Différence de potentiel $U_{AB}$ entre les bornes d’un générateur lorsqu’il délivre un courant dans un circuit extérieur. - **Circuit ouvert** : État où aucun courant ne circule ($I=0$) ; la tension aux bornes vaut alors la f.é.m. - **Court-circuit** : État où les bornes sont reliées directement ($U_{AB}=0$) ; le courant atteint alors sa valeur maximale $I_{cc} = \mathcal{E}/r$. - **Caractéristique $U_{AB}=f(I)$** : Représentation graphique de la tension aux bornes en fonction du courant délivré ; droite de pente $-r$ et d’ordonnée à l’origine $\mathcal{E}$. - **Association en série** : Connexion où la borne négative d’un générateur est reliée à la borne positive du suivant ; les f.é.m. et résistances internes s’additionnent. - **Association en parallèle** : Connexion où toutes les bornes positives sont reliées entre elles, et toutes les négatives également ; pour des générateurs identiques, la f.é.m. reste inchangée et la résistance interne se divise par le nombre de générateurs. - **Courant de court-circuit** : Courant maximal que peut délivrer un générateur lorsque ses bornes sont court-circuité : $I_{cc} = \mathcal{E}/r$. - **Association mixte** : Combinaison d’associations en série et en parallèle pour optimiser tension et courant disponibles tout en maîtrisant la résistance interne équivalente. - **Courants circulants** : Courants qui circulent entre des générateurs en parallèle lorsque leurs f.é.m. ne sont pas exactement égales, pouvant entraîner des échauffements ou des dommages.