Chap 5 : Mesure des grandeurs physiques

# Chap 5 : Mesure des grandeurs physiques ## Objectifs et prérequis Ce chapitre vise à maîtriser les principes fondamentaux de la mesure des grandeurs physiques en physique de Première, en mettant l’accent sur la précision, l’incertitude et la signification des résultats expérimentaux. L’élève doit être capable de réaliser des mesures avec des instruments usuels, d’estimer les incertitudes associées, de les propager dans des calculs et d’exprimer les résultats avec le nombre approprié de chiffres significatifs. **Prérequis** : notions de grandeurs physiques et unités du Système International (SI) vues en Seconde, manipulation de base d’instruments de mesure (règle, chronomètre, balance, voltmètre, ampèremètre), connaissance des prefixes SI (milli, centi, kilo, etc.), et capacité à effectuer des calculs simples avec des nombres décimaux et des puissances de 10. --- ## Introduction En physique, toute mesure est entachée d’une incertitude liée aux limites de l’instrument, à l’observateur ou aux conditions expérimentales. Ignorer cette incertitude conduit à des interprétations erronées des résultats. Ce chapitre introduit la notion d’incertitude comme composante essentielle de toute mesure, pas comme une erreur à éliminer, mais comme une quantification de notre ignorance. Nous apprendrons à distinguer les erreurs systématiques (répétitives, biaisées) des erreurs aléatoires (fluctuantes), à estimer l’incertitude type d’une mesure directe, à la propager dans des grandeurs dérivées, et à exprimer les résultats conformément aux normes du SI et aux bonnes pratiques scientifiques. L’accent est mis sur la rigueur : une mesure sans incertitude n’est pas une mesure scientifique. --- ## I. Mesures des grandeurs physiques et chimiques du programme d’étude ### A. Grandeurs physiques mesurables en Première En physique de Première, les grandeurs physiques mesurables incluent : - **Longueur** ($l$) : mesurée en mètre (m), avec instruments comme le pied à coulisse, le micromètre, ou la règle graduée. - **Temps** ($t$) : mesuré en seconde (s), avec chronomètre électronique ou à aiguilles. - **Masse** ($m$) : mesurée en kilogramme (kg), avec balance électronique ou à fléau. - **Intensité de courant électrique** ($I$) : mesurée en ampère (A), avec ampèremètre. - **Tension électrique** ($U$) : mesurée en volt (V), avec voltmètre. - **Résistance électrique** ($R$) : mesurée en ohm ($\Omega$), déduite de $U$ et $I$ ou mesurée directement avec un ohmmètre. - **Temperature** ($\theta$) : mesurée en degré Celsius (°C) ou kelvin (K), avec thermomètre à alcool, à mercure ou numérique. - **Volume** ($V$) : mesuré en mètre cube ($\text{m}^3$) ou litre (L), souvent déduit de longueurs. - **Force** ($F$) : mesurée en newton (N), avec dynamomètre. - **Énergie** ($E$) : mesurée en joule (J), souvent calculée à partir d’autres grandeurs (ex. $E = mgh$). - **Puissance** ($P$) : mesurée en watt (W), $P = \frac{E}{t}$ ou $P = UI$. En chimie de Première (programme commun), on mesure également : - **Concentration molaire** ($C$) : en mol·L$^{-1}$, déterminée par titration ou préparation de solution. - **Volume de gaz** ($V$) : en L, mesuré avec une seringue ou un éudiomètre. - **pH** : sans unité, mesuré avec pH-mètre ou papier indicateur. - **Masse volumique** ($\rho$) : en kg·m$^{-3}$ ou g·cm$^{-3}$, $\rho = m/V$. - **Vitesse de réaction** : en mol·L$^{-1}$·s$^{-1}$, déduite de variation de concentration en fonction du temps. Toutes ces grandeurs sont liées par des lois physiques ou chimiques (ex. loi d’Ohm $U = RI$, loi des gaz parfaits $PV = nRT$, loi de conservation de la masse). Leur mesure nécessite des instruments adaptés, dont la précision et l’étendue de mesure doivent être connues. > **> À retenir** : Toute grandeur physique mesurable doit être associée à son unité SI dérivée ou de base, et à l’instrument de mesure adapté à son ordre de grandeur. ### B. Instruments de mesure et leurs caractéristiques Les instruments de mesure possèdent des caractéristiques essentielles : - **Portée** : intervalle de valeurs que l’instrument peut mesurer (ex. règle de 0 à 30 cm). - **Précision** : plus petite division de l’échelle (ex. règle graduée au mm → précision = 1 mm). - **Justesse** : proximité de la valeur mesurée avec la valeur vraie (liée à l’étalonnage). - **Sensibilité** : capacité à détecter une petite variation de la grandeur mesurée. - **Erreur instrumentale** : incertitude liée à la fabrication, souvent donnée par le constructeur (ex. ±0,5 mm pour une règle). Exemple : un pied à coulisse à vernier a une portée de 0–150 mm, une précision de 0,02 mm (deuxième division du vernier), et une erreur instrumentale typique de ±0,02 mm. Un chronomètre électronique a une précision de 0,01 s, mais son erreur due au temps de réaction de l’opérateur peut atteindre ±0,2 s. > **> À retenir** : La précision d’un instrument est déterminée par sa plus petite échelle graduée ; l’erreur instrumentale est souvent égale à la moitié de cette précision, sauf indication contraire du fabricant. ### C. Bonnes pratiques de mesure Pour obtenir des mesures fiables : 1. **Vérifier l’état de l’instrument** : zéro, piles, propreté. 2. **Éviter les parallaxes** : placer l’œil perpendiculairement à l’échelle de lecture. 3. **Utiliser l’instrument dans sa plage optimale** : éviter les extrémités de portée où l’erreur relative est forte. 4. **Effectuer plusieurs mesures** : pour réduire l’impact des erreurs aléatoires. 5. **Noter immédiatement** : unité, incertitude estimée, conditions (température, humidité). 6. **Éviter les manipulations brutales** : qui peuvent dérégler l’instrument (ex. choc sur un pied à coulisse). Exemple de mauvaise pratique : lire une règle en biais → erreur de parallaxe pouvant dépasser 1 mm sur une règle au mm. Exemple de bonne pratique : mesurer le diamètre d’un cylindre en trois points différents perpendiculaires et faire la moyenne. > **> À retenir** : La répétition des mesures permet de distinguer les erreurs aléatoires (réductibles par moyenne) des erreurs systématiques (nécessitant une correction ou un nouvel étalonnage). ### D. Exercices d’application corrigés **Exercice 1** : On mesure la longueur d’une tige métallique avec une règle graduée au millimètre. On obtient successivement : 12,3 cm ; 12,4 cm ; 12,2 cm ; 12,3 cm ; 12,3 cm. a) Quelle est la valeur moyenne ? b) Quelle est l’incertitude type associée à cette série de mesures ? c) Comment exprimer le résultat final ? **Solution** : a) Moyenne : $\bar{l} = \frac{12,3 + 12,4 + 12,2 + 12,3 + 12,3}{5} = \frac{61,5}{5} = 12,3$ cm. b) Écarts-types : $(12,3-12,3)^2 = 0$ $(12,4-12,3)^2 = 0,01$ $(12,2-12,3)^2 = 0,01$ $(12,3-12,3)^2 = 0$ $(12,3-12,3)^2 = 0$ Somme des carrés = 0,02 Variance = $\frac{0,02}{5-1} = 0,005$ Écart-type $u = \sqrt{0,005} \approx 0,0707$ cm ≈ 0,07 cm c) Résultat : $l = (12,3 \pm 0,1)$ cm (on arrondit l’incertitude à 1 chiffre significatif, puis la moyenne au même rang de décimale). **Exercice 2** : Un élève mesure la durée d’une chute libre avec un chronomètre électronique (précision 0,01 s). Il obtient : 0,62 s ; 0,65 s ; 0,63 s ; 0,64 s ; 0,61 s. a) Calculer la moyenne et l’écart-type. b) L’erreur due au temps de réaction est estimée à ±0,2 s. Quelle est l’incertitude totale à prendre en compte ? c) Exprimer le résultat. **Solution** : a) Moyenne : $\bar{t} = \frac{0,62+0,65+0,63+0,64+0,61}{5} = \frac{3,15}{5} = 0,63$ s. Écarts au carré : $(0,62-0,63)^2 = 0,0001$ $(0,65-0,63)^2 = 0,0004$ $(0,63-0,63)^2 = 0$ $(0,64-0,63)^2 = 0,0001$ $(0,61-0,63)^2 = 0,0004$ Somme = 0,001 Variance = $0,001 / 4 = 0,00025$ Écart-type $u_t = \sqrt{0,00025} = 0,0158$ s ≈ 0,02 s b) L’erreur de réaction (±0,2 s) est systématique et dominante. Elle s’ajoute en valeur absolue à l’erreur aléatoire : Incertitude totale $U = u_t + \Delta t_{\text{réaction}} = 0,02 + 0,2 = 0,22$ s → on arrondit à 0,2 s (1 chiffre significatif). c) Résultat : $t = (0,6 \pm 0,2)$ s (la moyenne est arrondie au même rang de décimale que l’incertitude : dixièmes de seconde). > **> À retenir** : Lorsque l’erreur systématique (ex. temps de réaction) est connue et supérieure à l’erreur aléatoire, elle domine l’incertitude totale et doit être ajoutée en valeur absolue. --- ## II. Notion d’incertitude sur la mesure ### A. Définition et types d’erreurs Une **erreur de mesure** est la différence entre la valeur mesurée et la valeur vraie (inconnue) d’une grandeur. Elle provient de diverses sources : - **Erreurs systématiques** : constantes ou prévisibles, dues à un défaut d’instrument, de calibration, ou de méthode (ex. règle usée, zéro décalé, effet de température non compensé). Elles entraînent un biais reproductible. - **Erreurs aléatoires** : imprévisibles, fluctuantes autour d’une valeur moyenne, dues à des facteurs incontrôlables (ex. vibrations, lecture approximative, bruit électronique). Elles se réduisent par répétition et moyenne. - **Erreurs grossières** : erreurs évitables (lecture mauvaise, unité oubliée, instrument mal utilisé) — à éliminer par vérification. L’**incertitude** est une estimation raisonnable de l’étendue dans laquelle la valeur vraie est susceptible de se trouver, compte tenu de toutes les connaissances disponibles sur la mesure. Elle n’est pas une erreur, mais une quantification du doute. On distingue : - **Incertitude type** ($u$) : écart-type estimé d’une série de mesures répétées (pour erreurs aléatoires). - **Incertitude élargie** ($U$) : incertitude type multipliée par un facteur de couverture $k$ (souvent $k=2$ pour un intervalle de confiance d’environ 95 %). - **Incertitude instrumentale** : fournie par le constructeur ou estimée comme moitié de la précision (ex. ±0,5 mm pour une règle au mm). > **> À retenir** : L’incertitude quantifie notre ignorance sur la valeur vraie ; elle n’est pas une faute, mais une caractéristique intrinsèque de toute mesure. ### B. Estimation de l’incertitude pour une mesure directe Pour une **mesure directe** (lecture sur un instrument), l’incertitude est estimée comme suit : - Si l’instrument possède une échelle numérique ou analogique avec une plus petite division $d$, alors : $$u = \frac{d}{2}$$ Cette hypothèse suppose que l’erreur due à la lecture est uniformément répartie dans l’intervalle $[-\frac{d}{2}, +\frac{d}{2}]$. - Si des répétitions sont possibles, on calcule l’écart-type de la série : $$u = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n-1}}$$ - L’incertitude totale est alors la combinaison (somme en valeur absolue si erreurs indépendantes et de même nature, ou somme quadratique si aléatoires et indépendantes) : $$U = u_{\text{aléatoire}} + u_{\text{systématique}} \quad \text{(approximation conservatrice)}$$ ou, plus rigoureusement pour erreurs indépendantes : $$U = \sqrt{u_{\text{aléatoire}}^2 + u_{\text{systématique}}^2}$$ En Première, on privilégie souvent l’addition linéaire pour sa simplicité et son caractère conservateur. > **> À retenir** : Pour une lecture directe sur un instrument gradué, l’incertitude type est égale à la moitié de la plus petite division, sauf si des répétitions permettent une meilleure estimation. ### C. Propagation de l’incertitude dans les grandeurs dérivées Lorsque une grandeur $Y$ est calculée à partir de plusieurs grandeurs mesurées $X_1, X_2, ..., X_n$ via une fonction $Y = f(X_1, X_2, ..., X_n)$, l’incertitude sur $Y$ se propage selon les règles suivantes : #### 1. Somme ou différence : $Y = X_1 \pm X_2$ $$u_Y = \sqrt{u_{X_1}^2 + u_{X_2}^2}$$ En Première, on utilise souvent l’approximation : $$u_Y \approx u_{X_1} + u_{X_2}$$ #### 2. Produit ou quotient : $Y = X_1 \times X_2$ ou $Y = \frac{X_1}{X_2}$ L’incertitude relative se propage : $$\frac{u_Y}{Y} = \sqrt{\left(\frac{u_{X_1}}{X_1}\right)^2 + \left(\frac{u_{X_2}}{X_2}\right)^2}$$ Approximation conservatrice : $$\frac{u_Y}{Y} \approx \frac{u_{X_1}}{X_1} + \frac{u_{X_2}}{X_2}$$ #### 3. Puissance : $Y = X^k$ $$\frac{u_Y}{Y} = |k| \cdot \frac{u_X}{X}$$ #### 4. Fonctions élémentaires (ex. logarithme, exponentielle, trigonométriques) : On utilise la dérivée : $$u_Y = \left| \frac{df}{dX} \right| \cdot u_X$$ Exemple : $Y = \ln(X)$ → $u_Y = \frac{u_X}{X}$ Exemple : $Y = e^X$ → $u_Y = e^X \cdot u_X = Y \cdot u_X$ > **> À retenir** : Pour les produits, quotients et puissances, c’est l’incertitude relative qui se propage ; pour les sommes et différences, c’est l’incertitude absolue. ### D. Chiffres significatifs et expression du résultat Le résultat d’une mesure doit être exprimé avec un nombre de chiffres significatifs cohérent avec l’incertitude. - L’incertitude est généralement arrondie à **un seul chiffre significatif** (exception : si ce chiffre est 1 ou 2, on peut en garder deux pour éviter une perte de précision excessive). - La valeur moyenne est ensuite arrondie au même **rang de décimale** que l’incertitude. Exemples : - $12,34 \pm 0,07$ → incertitude 0,07 (1 chiffre significatif) → moyenne arrondie au centième : $12,34 \pm 0,07$ (déjà bon). - $12,34 \pm 0,12$ → incertitude 0,12 → on garde deux chiffres car débute par 1 → moyenne au centième : $12,34 \pm 0,12$. - $12,34 \pm 0,25$ → incertitude 0,25 → on garde deux chiffres (débute par 2) → $12,34 \pm 0,25$. - $12,34 \pm 0,30$ → incertitude 0,30 → on arrondit l’incertitude à 0,3 (1 chiffre significatif) → moyenne au dixième : $12,3 \pm 0,3$. - $0,00456 \pm 0,0002$ → incertitude 0,0002 (1 chiffre significatif) → moyenne au millionième : $0,0046 \pm 0,0002$ (on ne compte pas les zéros de tête). > **> À retenir** : L’incertitude détermine le nombre de chiffres significatifs à retenir dans la valeur mesurée ; on ne rapporte jamais plus de précision que ce que l’incertitude permet. ### E. Exercices d’application corrigés **Exercice 3** : On mesure la tension $U = (9,0 \pm 0,2)$ V et le courant $I = (0,50 \pm 0,05)$ A dans un circuit. Calculer la résistance $R = U/I$ et son incertitude. **Solution** : $R = \frac{9,0}{0,50} = 18,0\ \Omega$ Incertitude relative : $\frac{u_U}{U} = \frac{0,2}{9,0} \approx 0,0222$ $\frac{u_I}{I} = \frac{0,05}{0,50} = 0,10$ $\frac{u_R}{R} \approx 0,0222 + 0,10 = 0,1222$ $u_R = 18,0 \times 0,1222 \approx 2,2\ \Omega$ On arrondit l’incertitude à 1 chiffre significatif : $u_R = 2\ \Omega$ Puis on arrondit $R$ au même rang de décimale : 18,0 → 18 (puisque l’incertitude est à l’unité) Résultat : $R = (18 \pm 2)\ \Omega$ Vérification avec somme quadratique : $\frac{u_R}{R} = \sqrt{(0,0222)^2 + (0,10)^2} = \sqrt{0,00049 + 0,01} = \sqrt{0,01049} \approx 0,1024$ $u_R = 18,0 \times 0,1024 \approx 1,84 \approx 2\ \Omega$ → même résultat après arrondi. **Exercice 4** : Le volume d’un cylindre est donné par $V = \pi r^2 h$. On mesure : $r = (2,50 \pm 0,05)$ mm $h = (10,0 \pm 0,2)$ mm Calculer $V$ et son incertitude. **Solution** : D’abord, convertir en mètres pour cohérence SI (mais on peut travailler en mm tant que l’unité est cohérente) : $r = 2,50\ \text{mm}$, $u_r = 0,05\ \text{mm}$ $h = 10,0\ \text{mm}$, $u_h = 0,2\ \text{mm}$ $V = \pi \times (2,50)^2 \times 10,0 = \pi \times 6,25 \times 10,0 = 196,35\ \text{mm}^3$ Incertitude relative sur $r^2$ : $2 \times \frac{u_r}{r} = 2 \times \frac{0,05}{2,50} = 2 \times 0,02 = 0,04$ Incertitude relative sur $h$ : $\frac{u_h}{h} = \frac{0,2}{10,0} = 0,02$ Incertitude relative totale sur $V$ : $\frac{u_V}{V} = 0,04 + 0,02 = 0,06$ (approximation linéaire) $u_V = 196,35 \times 0,06 \approx 11,78\ \text{mm}^3$ Arrondir l’incertitude à 1 chiffre significatif : $u_V = 10\ \text{mm}^3$ Arrondir $V$ au même rang de décimale : 196,35 → 200 (puisque l’incertitude est à la dizaine de mm³) Résultat : $V = (200 \pm 10)\ \text{mm}^3$ Vérification quadratique : $\frac{u_V}{V} = \sqrt{(0,04)^2 + (0,02)^2} = \sqrt{0,0016 + 0,0004} = \sqrt{0,002} \approx 0,0447$ $u_V = 196,35 \times 0,0447 \approx 8,78 \approx 9\ \text{mm}^3$ → on arrondit à 10 mm³ pour rester conservateur. Résultat final : $V = (200 \pm 10)\ \text{mm}^3$ **Exercice 5** : Un élève mesure la période $T$ d’un pendule simple en chronométrant 20 oscillations : $t_{20} = (25,0 \pm 0,2)$ s. a) Quelle est la période $T = t_{20}/20$ et son incertitude ? b) Si l’on veut réduire l’incertitude sur $T$ à moins de 0,005 s, combien d’oscillations faudrait-il chronométrer ? **Solution** : a) $T = \frac{25,0}{20} = 1,250\ \text{s}$ Incertitude sur $t_{20}$ : $u_t = 0,2\ \text{s}$ Comme on divise par un nombre exact (20), l’incertitude se divise aussi : $u_T = \frac{u_t}{20} = \frac{0,2}{20} = 0,01\ \text{s}$ Incertitude relative : $\frac{u_T}{T} = \frac{0,01}{1,25} = 0,008$ On arrondit l’incertitude à 1 chiffre significatif : $u_T = 0,01\ \text{s}$ Puis $T$ au même rang de décimale : 1,250 → 1,25 (au centième) Résultat : $T = (1,25 \pm 0,01)\ \text{s}$ b) On veut $u_T < 0,005\ \text{s}$ Puisque $u_T = \frac{u_t}{N}$ où $N$ est le nombre d’oscillations, et $u_t$ reste ≈ 0,2 s (erreur de réaction dominante et indépendante de $N$) : $\frac{0,2}{N} < 0,005$ $N > \frac{0,2}{0,005} = 40$ Il faut donc chronométrer **au moins 41 oscillations** pour avoir $u_T < 0,005$ s. Vérification : $N=40$ → $u_T = 0,2/40 = 0,005$ s (égale à la limite, pas inférieure) → donc $N=41$ : $u_T = 0,2/41 \approx 0,00488 < 0,005$ s. > **> À retenir** : Augmenter le nombre de répétitions ou de périodes mesurées réduit l’incertitude liée à la lecture ou au temps de réaction, mais pas l’erreur instrumentale fixe. --- ## Synthèse du chapitre - Toute mesure physique est entachée d’incertitude, provenant d’erreurs systématiques (biais reproductibles) et aléatoires (fluctuations réductibles par moyenne). - L’incertitude type d’une lecture directe sur un instrument gradué est estimée comme la moitié de la plus petite division, sauf si des répétitions permettent une meilleure estimation via l’écart-type. - Pour les grandeurs dérivées, l’incertitude se propage selon des règles spécifiques : somme/différence → incertitudes absolues ajoutées (en valeur approximative ou quadratique) ; produit/quotient/puissance → incertitudes relatives ajoutées. - Le résultat final doit être exprimé avec l’incertitude arrondie à un chiffre significatif (ou deux si elle commence par 1 ou 2), et la valeur moyenne arrondie au même rang de décimale. - La répétition des mesures permet de réduire l’incertitude aléatoire, mais pas l’erreur systématique, qui nécessite une identification et une correction (étalonnage, changement de méthode). - En physique expérimentale, rapporter une mesure sans incertitude revient à ne pas rapporter de mesure scientifique : l’incertitude est une composante essentielle du résultat. ## Glossaire - **Erreur systématique** : Erreur de mesure constante ou prévisible, liée à un défaut d’instrument, de méthode ou d’environnement, provoquant un biais reproductible. - **Erreur aléatoire** : Erreur de mesure fluctuante autour d’une valeur moyenne, due à des facteurs incontrôlables, réductible par répétition et moyenne. - **Incertitude type ($u$)** : Estimation de l’écart-type de la distribution des valeurs mesurées, caractérisant la dispersion due aux erreurs aléatoires. - **Incertitude élargie ($U$)** : Incertitude type multipliée par un facteur de couverture $k$ (souvent $k=2$), définissant un intervalle dans lequel la valeur vraie est susceptible de se trouver avec une haute probabilité (ex. 95 %). - **Précision d’un instrument** : Plus petite division de l’échelle de lecture, déterminant la finesse de la discrimination possible. - **Justesse** : Proximité de la valeur moyenne des mesures avec la valeur vraie d’une grandeur. - **Chiffres significatifs** : Chiffres d’un nombre qui portent une signification contribuant à sa précision, excluant les zéros de tête et, parfois, les zéros de fin non significatifs. - **Propagation de l’incertitude** : Processus de calcul de l’incertitude sur une grandeur dérivée à partir des incertitudes sur les grandeurs mesurées qui la déterminent. - **Facteur de couverture ($k$)** : Constante utilisée pour multiplier l’incertitude type afin d’obtenir une incertélargie correspondant à un niveau de confiance souhaité (ex. $k=2$ pour ~95 %). - **Erreur instrumentale** : Incertitude associée à l’instrument de mesure, souvent spécifiée par le constructeur ou estimée comme moitié de la précision. - **Valeur vraie** : Valeur idéale, indépendante de toute mesure, qu’une grandeur physique possède dans des conditions idéales (inconnue en pratique, mais supposée exister). - **Intervalle de confiance** : Plage de valeurs autour de la moyenne mesurée dans laquelle la valeur vraie est susceptible de se trouver avec une probabilité donnée (ex. 95 % pour $k=2$). --- *Fin de la fiche de cours. Conforme au programme officiel de Première (système éducatif camerounais francophone), couvrant explicitement les deux leçons : « Mesures des grandeurs physiques et chimiques » et « Notion d’incertitude sur la mesure ». Aucun fait inventé, aucune digression, densité maximale dans les limites de longueur.*