Mod2, Leçon 14 : Formules des lentilles minces

# Mod2, Leçon 14 : Formules des lentilles minces ## Objectifs et prérequis **Objectifs** : À l’issue de cette leçon, l’élève sera capable de : - Énoncer et expliquer la formule de conjugaison des lentilles minces. - Déterminer la position et la nature de l’image formée par une lentille mince convergente ou divergente à partir de la position de l’objet. - Calculer le grandissement transverse d’un système optique formé par une lentille mince. - Interpréter le signe du grandissement en termes d’orientation et de taille de l’image. - Résoudre des problèmes concrets liés à la formation d’images par lentilles minces (loupe, appareil photographique, œil humain simplifié). - Utiliser correctement les conventions de signe (signe réel/virtuel, objet/image réel/virtuel) dans le cadre de la convention cartésienne. **Prérequis** : - Notions de base en optique géométrique : rayon lumineux, foyer, centre optique, axe principal. - Connaissance des lois de la réfraction (loi de Snell-Descartes) appliquée aux surfaces sphériques. - Maîtrise du repérage cartésien sur un axe (origine au centre optique, sens de la lumière incidente de gauche à droite). - Notions de grandeur physique et d’unités (mètre, dioptrie). - Capacité à manipuler des fractions et des équations du premier degré. --- ## I. Formule de conjugaison des lentilles minces ### Définition et contexte Une lentille mince est un système optique constitué de deux surfaces sphériques (ou planes) très rapprochées, telle que l’épaisseur de la lentille soit négligeable devant les rayons de courbure de ses surfaces. On considère que la déviation des rayons se produit essentiellement au niveau du plan principal, situé au centre optique $O$. Lorsqu’un objet ponctuel $A$ placé sur l’axe principal émet des rayons lumineux, ceux-ci sont déviés par la lentille et convergent (ou semblent diverger) vers un point $A'$ appelé image de $A$. La relation entre la position de l’objet ($OA$), celle de l’image ($OA'$) et la distance focale $f$ de la lentille est donnée par la **formule de conjugaison**. > **À retenir** : La formule de conjugaison des lentilles minces s’écrit : > $$ > \frac{1}{OA} + \frac{1}{OA'} = \frac{1}{f} > $$ > où : > - $OA$ est la distance objet (algebrique, négative si l’objet est réel et placé du côté incident), > - $OA'$ est la distance image (algébrique, positive si l’image est réelle et du côté opposé au objet incident), > - $f$ est la distance focale (positive pour une lentille convergente, négative pour une lentille divergente), > - Toutes les distances sont mesurées depuis le centre optique $O$, selon la convention cartésienne : le sens de la lumière incidente (de gauche à droite) est pris comme positif. ### Propriétés et conventions de signe Dans la convention cartésienne utilisée en physique au lycée : - L’objet est placé à gauche de la lentille (côté où vient la lumière). - Toute distance mesurée vers la gauche (côté objet) est **négative**. - Toute distance mesurée vers la droite (côté image, côté sortant de la lumière) est **positive**. - Le foyer objet $F$ est situé à gauche : $OF = -f$ si $f>0$ (convergente). - Le foyer image $F'$ est situé à droite : $OF' = +f$ si $f>0$ (convergente). - Pour une lentille divergente ($f<0$) : les foyers sont virtuels, situés du même côté que l’objet. > **À retenir** : Dans la convention cartésienne : > - Objet réel : $OA < 0$ > - Image réelle : $OA' > 0$ > - Image virtuelle : $OA' < 0$ > - Lentille convergente : $f > 0$ > - Lentille divergente : $f < 0$ ### Exemple résolu 1 : Lentille convergente, objet placé au-delà de 2f Une lentille convergente de distance focale $f = 10\,\text{cm}$ reçoit un objet placé à $OA = -30\,\text{cm}$ (objet réel, à gauche). Calculer la position de l’image $OA'$ et déterminer sa nature. **Solution** : On applique la formule de conjugaison : $$ \frac{1}{OA} + \frac{1}{OA'} = \frac{1}{f} $$ $$ \frac{1}{-30} + \frac{1}{OA'} = \frac{1}{10} $$ $$ \frac{1}{OA'} = \frac{1}{10} - \left(-\frac{1}{30}\right) = \frac{1}{10} + \frac{1}{30} = \frac{3}{30} + \frac{1}{30} = \frac{4}{30} = \frac{2}{15} $$ $$ OA' = \frac{15}{2} = 7,5\,\text{cm} $$ Comme $OA' = +7,5\,\text{cm} > 0$, l’image est **réelle**, située à droite de la lentille. **Vérification** : L’objet est à $30\,\text{cm}$ à gauche ($>2f=20\,\text{cm}$), donc l’image doit être réelle, inversée, et située entre $f$ et $2f$ à droite : entre $10\,\text{cm}$ et $20\,\text{cm}$. Ici $7,5\,\text{cm}$ est inférieur à $10\,\text{cm}$ — erreur de calcul ! **Correction** : $$ \frac{1}{OA'} = \frac{1}{10} - \frac{1}{-30} = \frac{1}{10} + \frac{1}{30} = \frac{3+1}{30} = \frac{4}{30} = \frac{2}{15} \Rightarrow OA' = \frac{15}{2} = 7,5\,\text{cm} $$ Mais cela contredit l’attendu. Revoir la formule : La formule de conjugaison est parfois écrite sous la forme : $$ \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i} = \frac{1}{f} $$ avec $d_o = -OA$ (distance objet positive si réel à gauche), mais dans notre convention, $OA$ est déjà algébrique. En fait, dans la convention cartésienne standard : - $OA$ : coordonnée de l’objet (négative si à gauche) - $OA'$ : coordonnée de l’image (positive si à droite) - $f$ : focale (positive si convergente) La formule est bien : $$ \frac{1}{OA} + \frac{1}{OA'} = \frac{1}{f} $$ Mais pour un objet à $-30\,\text{cm}$, $f=+10\,\text{cm}$ : $$ \frac{1}{-30} + \frac{1}{OA'} = \frac{1}{10} \Rightarrow \frac{1}{OA'} = \frac{1}{10} + \frac{1}{30} = \frac{4}{30} = \frac{2}{15} \Rightarrow OA' = 7,5\,\text{cm} $$ Cela donne une image à $+7,5\,\text{cm}$, mais pour un objet à $2f$ à gauche ($-20\,\text{cm}$), l’image doit être à $+20\,\text{cm}$. Ici objet à $-30\,\text{cm}$ (au-delà de $2f$), l’image doit être entre $f$ et $2f$ à droite : entre $10$ et $20\,\text{cm}$. $7,5$ est trop petit. Erreur : la formule correcte dans la convention cartésienne est : $$ \frac{1}{OA'} - \frac{1}{OA} = \frac{1}{f} $$ ?? Non. En réalité, la confusion vient de la définition de $OA$. Dans beaucoup de textes, on note $u = -OA$ (distance objet positive si réel à gauche), $v = OA'$ (distance image positive si réelle à droite), alors : $$ \frac{1}{u} + \frac{1}{v} = \frac{1}{f} $$ avec $u>0$, $v>0$ pour objet et image réels. Mais dans la convention cartésienne pure, où $OA$ est la coordonnée : - Objet réel à gauche : $OA = -u$ ($u>0$) - Image réelle à droite : $OA' = +v$ ($v>0$) Alors : $$ \frac{1}{OA'} + \frac{1}{OA} = \frac{1}{f} \Rightarrow \frac{1}{v} + \frac{1}{-u} = \frac{1}{f} \Rightarrow \frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f} $$ Ce qui n’est pas la forme habituelle. La forme habituelle $\frac{1}{u} + \frac{1}{v} = \frac{1}{f}$ utilise $u$ et $v$ comme distances positives (mesurées en valeur absolue depuis $O$). Pour éviter la confusion, dans ce cours, nous adoptons la **convention des distances positives** pour les grandeurs physiques, avec des signes explicites selon le côté : > **À retenir** : Pour éviter les erreurs de signe, nous utiliserons la forme : > $$ > \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i} = \frac{1}{f} > $$ > où : > - $d_o$ = distance objet (toujours positive, mesurée depuis $O$ vers l’objet, côté incident), > - $d_i$ = distance image (positive si l’image est réelle, côté opposé à l’objet ; négative si virtuelle, même côté que l’objet), > - $f$ = distance focale (positive pour convergente, négative pour divergente), > - Toutes les distances sont des grandeurs positives, le signe de $d_i$ indique la nature de l’image. Dans cette convention : - Objet réel : placé du côté où vient la lumière → $d_o > 0$ - Image réelle : formée du côté opposé à l’objet → $d_i > 0$ - Image virtuelle : formée du même côté que l’objet → $d_i < 0$ - Lentille convergente : $f > 0$ - Lentille divergente : $f < 0$ C’est la convention la plus utilisée en résolution de problèmes en physique au lycée. Reprenons l’exemple avec cette convention. > **À retenir** : Formule de conjugaison (convention des distances positives avec signe pour l’image) : > $$ > \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i} = \frac{1}{f} > $$ > $d_o > 0$ (objet réel toujours à gauche), $d_i$ : + si image réelle (droite), – si image virtuelle (gauche), $f$ : + si convergente, – si divergente. ### Exemple résolu 1 (corrigé) : Lentille convergente, objet au-delà de 2f Lentille convergente : $f = +10\,\text{cm}$ Objet réel : placé à $30\,\text{cm}$ à gauche → $d_o = 30\,\text{cm}$ $$ \frac{1}{30} + \frac{1}{d_i} = \frac{1}{10} $$ $$ \frac{1}{d_i} = \frac{1}{10} - \frac{1}{30} = \frac{3}{30} - \frac{1}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15} $$ $$ d_i = 15\,\text{cm} $$ Comme $d_i = +15\,\text{cm} > 0$, l’image est **réelle**, située à $15\,\text{cm}$ à droite de la lentille. Vérification : objet à $30\,\text{cm}$ ($>2f=20\,\text{cm}$) → image réelle, inversée, entre $f$ et $2f$ à droite → entre $10$ et $20\,\text{cm}$. $15\,\text{cm}$ convient parfaitement. ### Exemple résolu 2 : Lentille convergente, objet entre f et 2f Même lentille : $f = 10\,\text{cm}$ Objet à $d_o = 15\,\text{cm}$ (entre $f$ et $2f$) $$ \frac{1}{15} + \frac{1}{d_i} = \frac{1}{10} $$ $$ \frac{1}{d_i} = \frac{1}{10} - \frac{1}{15} = \frac{3}{30} - \frac{2}{30} = \frac{1}{30} $$ $$ d_i = 30\,\text{cm} $$ Image réelle ($d_i>0$), à $30\,\text{cm}$ à droite → au-delà de $2f$, donc agrandie, inversée. ### Exemple résolu 3 : Lentille convergente, objet dans f (loupe) $f = 10\,\text{cm}$, $d_o = 5\,\text{cm}$ (objet à moins de $f$) $$ \frac{1}{5} + \frac{1}{d_i} = \frac{1}{10} $$ $$ \frac{1}{d_i} = \frac{1}{10} - \frac{1}{5} = \frac{1}{10} - \frac{2}{10} = -\frac{1}{10} $$ $$ d_i = -10\,\text{cm} $$ $d_i < 0$ → image **virtuelle**, située à $10\,\text{cm}$ du côté de l’objet (même côté, à gauche). ### Exemple résolu 4 : Lentille divergente Lentille divergente : $f = -10\,\text{cm}$ Objet réel : $d_o = 20\,\text{cm}$ $$ \frac{1}{20} + \frac{1}{d_i} = \frac{1}{-10} = -\frac{1}{10} $$ $$ \frac{1}{d_i} = -\frac{1}{10} - \frac{1}{20} = -\frac{2}{20} - \frac{1}{20} = -\frac{3}{20} $$ $$ d_i = -\frac{20}{3} \approx -6,67\,\text{cm} $$ Image virtuelle ($d_i<0$), située à $6,67\,\text{cm}$ du côté de l’objet (gauche), toujours réduite, droite, virtuelle pour un objet réel. --- ## II. Formule du grandissement transverse ### Définition Le **grandissement transverse** (ou grandissement latéral) $\gamma$ d’un système optique est le rapport de la taille de l’image à la taille de l’objet, mesurée perpendiculairement à l’axe principal. > **À retenir** : Le grandissement transverse s définit par : > $$ > \gamma = \frac{y'}{y} = -\frac{d_i}{d_o} > $$ > où : > - $y$ = hauteur de l’objet (positive si vers le haut), > - $y'$ = hauteur de l’image (positive si vers le haut), > - $d_o$ = distance objet (toujours positive), > - $d_i$ = distance image (positive si réelle, négative si virtuelle), > - Le signe moins provient de la convention selon laquelle une image réelle est inversée par rapport à l’objet. ### Propriétés et interprétation du signe - Si $\gamma > 0$ : l’image est **droite** (même orientation que l’objet). - Si $\gamma < 0$ : l’image est **inversée** (orientation opposée). - Si $|\gamma| > 1$ : l’image est **agrandie**. - Si $|\gamma| = 1$ : l’image est de même taille. - Si $|\gamma| < 1$ : l’image est **réduite**. > **À retenir** : Le grandissement transverse d’une lentille mince est donné par : > $$ > \gamma = -\frac{d_i}{d_o} > $$ > Il relie directement la position de l’image à celle de l’objet et permet de déterminer l’orientation et la taille relative de l’image sans connaître les hauteurs. ### Exemple résolu 1 : Grandissement dans le cas de l’exemple 1 (objet à 30 cm, f=10 cm) $d_o = 30\,\text{cm}$, $d_i = 15\,\text{cm}$ $$ \gamma = -\frac{15}{30} = -0,5 $$ Image réelle ($\gamma<0$), inversée, réduite de moitié. ### Exemple résolu 2 : Objet à 15 cm, f=10 cm $d_o = 15\,\text{cm}$, $d_i = 30\,\text{cm}$ $$ \gamma = -\frac{30}{15} = -2 $$ Image réelle, inversée, agrandie deux fois. ### Exemple résolu 3 : Objet dans f (loupe), d_o=5 cm, f=10 cm $d_o = 5\,\text{cm}$, $d_i = -10\,\text{cm}$ $$ \gamma = -\frac{(-10)}{5} = -\left(-2\right) = +2 $$ Image virtuelle ($\gamma>0$), droite, agrandie deux fois → fonctionnement d’une loupe. ### Exemple résolu 4 : Lentille divergente, d_o=20 cm, f=-10 cm $d_o = 20\,\text{cm}$, $d_i = -20/3 \approx -6,67\,\text{cm}$ $$ \gamma = -\frac{(-20/3)}{20} = -\left(-\frac{1}{3}\right) = +\frac{1}{3} $$ Image virtuelle, droite, réduite au tiers. --- ## Synthèse du chapitre - La **formule de conjugaison** des lentilles minces, dans la convention des distances positives avec signe pour l’image, s’écrit : $$ \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i} = \frac{1}{f} $$ où $d_o > 0$ (objet réel), $d_i$ positif si image réelle (côté opposé), négatif si virtuelle (même côté), $f > 0$ pour convergente, $f < 0$ pour divergente. - Cette formule permet de déterminer la position de l’image sachant l’objet et la focale, ou inversement. - Le **grandissement transverse** $\gamma$ est donné par : $$ \gamma = -\frac{d_i}{d_o} $$ Il indique : - L’orientation de l’image : $\gamma > 0$ → droite, $\gamma < 0$ → inversée, - Le rapport de taille : $|\gamma| > 1$ → agrandie, $|\gamma| < 1$ → réduite, $|\gamma| = 1$ → même taille. - Les lentilles **convergentes** ($f>0$) peuvent produire : - Une image réelle, inversée, réduite si $d_o > 2f$, - Une image réelle, inversée, de même taille si $d_o = 2f$, - Une image réelle, inversée, agrandie si $f < d_o < 2f$, - Une image virtuelle, droite, agrandie si $d_o < f$. - Les lentilles **divergentes** ($f<0$) produisent toujours, pour un objet réel : - Une image virtuelle, droite, réduite, située du même côté que l’objet. - Ces formules sont essentielles pour comprendre le fonctionnement d’instruments optiques comme la loupe, l’appareil photographique, le projecteur ou l’œil humain (en approximation). --- ## Glossaire - **Lentille mince** : Système optique dont l’épaisseur est négligeable devant les rayons de courbure de ses surfaces, permettant de considérer que la déviation des rayons se produit en un seul plan. - **Centre optique (O)** : Point situé sur l’axe principal au milieu de la lentille, traversé sans déviation par un rayon incident parallèle à l’axe. - **Axe principal** : Ligne droite passant par le centre de courbure des deux surfaces de la lentille et par le centre optique. - **Foyer image (F’)** : Point où convergent les rayons parallèles à l’axe incident après traversée d’une lentille convergente, ou d’où semblent diverger les rayons après traversée d’une lentille divergente. - **Foyer objet (F)** : Point situé du côté incident tel que les rayons provenant de ce point émergent parallèles à l’axe après traversée de la lentille. - **Distance focale (f)** : Distance entre le centre optique et un foyer (positif pour convergente, négatif pour divergente dans la convention utilisée). - **Objet réel** : Source de lumière placée du côté d’où vient la lumière incidente (à gauche dans la convention standard). - **Image réelle** : Point de convergence réelle des rayons émergents, pouvant être projetée sur un écran. - **Image virtuelle** : Point d’où semblent diverger les rayons émergents, ne pouvant pas être projetée sur un écran, située du même côté que l’objet. - **Grandissement transverse ($\gamma$)** : Rapport de la hauteur de l’image à celle de l’objet, perpendiculairement à l’axe principal, égal à $-d_i/d_o$. - **Convention des distances positives** : Méthode de signe où les distances objet et focale sont prises comme des valeurs positives, le signe de la distance image indiquant sa nature (réelle ou virtuelle). - **Loupe** : Instrument optique constitué d’une lentille convergente utilisée pour produire une image virtuelle, droite et agrandie d’un objet placé entre le foyer et la lentille.