Chap20 : Le flux magnétique

# Chap20 : Le flux magnétique ## Objectifs et prérequis **Objectifs** : - Comprendre la notion de champ magnétique et ses propriétés fondamentales. - Définir le flux magnétique à travers une surface et savoir le calculer dans différents cas. - Appliquer la loi de Gauss pour le magnétisme et interpréter son sens physique. - Résoudre des exercices d’application liés au flux magnétique dans des configurations simples (boucle plane, solénoïde, etc.). **Prérequis** : - Notions de champ électrique et de flux électrique (Chapitre précédent). - Calcul vectoriel de base : produit scalaire, angle entre deux vecteurs, intégrale de surface (notion intuitive). - Unités du Système international : tesla (T), weber (Wb), mètre (m), seconde (s), ampère (A). - Notion de champ uniforme et de surface plane ou courbe. --- ## Introduction Le magnétisme est une interaction fondamentale qui se manifeste par l’action de champs magnétiques sur les charges en mouvement et les dipôles magnétiques. Contrairement au champ électrique, qui peut avoir des sources ponctuelles (charges électriques isolées), le champ magnétique n’a pas de monopôles connus : les lignes de champ magnétique sont toujours fermées sur elles-mêmes. Cette propriété profonde conduit à la loi de Gauss pour le magnétisme, qui affirme que le flux magnétique à travers toute surface fermée est nul. Dans ce chapitre, nous définissons d’abord le champ magnétique comme une grandeur vectorielle caractérisant l’influence d’un aimant ou d’un courant électrique sur l’espace qui l’entoure. Nous introduisons ensuite le flux magnétique, analogue du flux électrique, qui quantifie le nombre de lignes de champ magnétique traversant une surface donnée. Cette notion est essentielle pour comprendre l’induction électromagnétique (chapitre suivant) et les phénomènes liés aux courants induits. Nous travaillerons principalement avec des champs magnétiques uniformes et des surfaces planes ou simples, afin de permettre des calculs explicites sans recourir à l’intégrale générale. --- ## I. Le champ magnétique ### Définition et représentation > Le champ magnétique $\vec{B}$ est une grandeur vectorielle qui, en un point de l’espace, caractérise l’action d’une source magnétique (aimant, courant électrique) sur une charge électrique en mouvement ou sur un dipôle magnétique placé en ce point. Son unité dans le Système international est le tesla (T), où $1\,\text{T} = 1\,\text{Wb/m}^2$. Le champ magnétique se représente par des lignes de champ (ou lignes de force) telles que : - La tangente à une ligne de champ en un point donne la direction de $\vec{B}$ en ce point. - La densité des lignes de champ est proportionnelle à l’intensité du champ ($\|\vec{B}\|$). - Les lignes de champ magnétique ne commencent ni ne finissent : elles forment des boucles fermées (absence de monopôles magnétiques). ### Propriétés du champ magnétique 1. **Vectoriel** : $\vec{B}$ a une direction, un sens et une intensité. 2. **Dépendance à la source** : - Autour d’un fil conducteur portant un courant $I$, le champ magnétique est circulaire et son intensité varie avec la distance $r$ au fil : $$ B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} $$ où $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\,\text{T·m/A}$ est la perméabilité du vide. - À l’intérieur d’un solénoïde long et étroit, le champ est sensiblement uniforme et parallèle à l’axe : $$ B = \mu_0 n I $$ où $n$ est le nombre de spires par unité de longueur. 3. **Superposition** : Le champ magnétique total en un point est la somme vectorielle des champs dus à chaque source individuelle (principe de superposition). 4. **Action sur les charges** : Une charge $q$ se déplaçant avec un vecteur vitesse $\vec{v}$ dans un champ magnétique $\vec{B}$ subit une force de Lorentz : $$ \vec{F} = q (\vec{v} \times \vec{B}) $$ Cette force est toujours perpendiculaire à $\vec{v}$ et à $\vec{B}$, donc elle ne travaille pas (variation de l’énergie cinétique nulle). ### Exemple résolu 1 : Champ magnétique d’un fil droit **Énoncé** : Un fil conducteur droit porte un courant de $I = 5,0\,\text{A}$. Calculer l’intensité du champ magnétique à une distance $r = 2,0\,\text{cm}$ du fil. **Solution** : On utilise la formule du champ d’un fil droit : $$ B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} $$ Substitution des valeurs : $$ B = \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \times 5,0}{2\pi \times 0,020} = \frac{20\pi \times 10^{-7}}{0,04\pi} = \frac{20 \times 10^{-7}}{0,04} = 5,0 \times 10^{-5}\,\text{T} $$ **Réponse** : $B = 5,0 \times 10^{-5}\,\text{T}$ (soit $50\,\mu\text{T}$). > **À retenir** : Le champ magnétique d’un fil droit varie inversement avec la distance au fil : $B \propto 1/r$. ### Exercice d’application 1 : Champ dans un solénoïde **Énoncé** : Un solénoïde de $500$ spires sur une longueur de $0,25\,\text{m}$ porte un courant de $2,0\,\text{A}$. Calculer l’intensité du champ magnétique à l’intérieur du solénoïde. **Solution** : Nombre de spires par mètre : $n = \frac{500}{0,25} = 2000\,\text{spires/m}$. Formule : $B = \mu_0 n I$ $$ B = (4\pi \times 10^{-7}) \times 2000 \times 2,0 = 4\pi \times 10^{-7} \times 4000 = 16\pi \times 10^{-4} \approx 5,03 \times 10^{-3}\,\text{T} $$ **Réponse** : $B \approx 5,0\,\text{mT}$. **Corrigé** : - $n = 500 / 0,25 = 2000\,\text{m}^{-1}$ - $B = 4\pi \times 10^{-7} \times 2000 \times 2 = 5,03 \times 10^{-3}\,\text{T}$ - Arrondi : $5,0\,\text{mT}$ --- ## II. Le flux magnétique ### Définition > Le flux magnétique $\Phi_B$ à travers une surface $S$ est défini comme l’intégrale de surface du champ magnétique $\vec{B}$ sur cette surface : > $$ > \Phi_B = \int_S \vec{B} \cdot \text{d}\vec{S} > $$ > où $\text{d}\vec{S}$ est un élément de surface vectoriel, de norme égale à l’aire du élément et de direction perpendiculaire à la surface (sortante par convention). Dans le cas d’un champ magnétique uniforme $\vec{B}$ et d’une surface plane $S$ de surface $A$, orientée selon un angle $\theta$ entre $\vec{B}$ et la normale à la surface, le flux se simplifie en : $$ \Phi_B = B A \cos\theta $$ L’unité du flux magnétique est le weber (Wb), où $1\,\text{Wb} = 1\,\text{T·m}^2$. ### Interprétation physique Le flux magnétique quantifie le « nombre » de lignes de champ magnétique traversant la surface $S$. Plus le champ est perpendiculaire à la surface ($\theta = 0^\circ$), plus le flux est important. Lorsque le champ est parallèle à la surface ($\theta = 90^\circ$), $\cos\theta = 0$ et le flux est nul : aucune ligne de champ ne traverse réellement la surface. ### Propriétés du flux magnétique 1. **Scalaire** : $\Phi_B$ est une grandeur scalaire (peut être positif, négatif ou nul). 2. **Signe** : Le signe dépend de l’orientation choisie pour la normale à la surface. Inverser l’orientation change le signe du flux. 3. **Additivité** : Pour une surface composée de plusieurs parties, le flux total est la somme algébrique des flux à travers chaque partie. 4. **Indépendance de la forme** : Pour un champ uniforme, le flux dépend uniquement de l’aire projetée de la surface dans la direction perpendiculaire à $\vec{B}$. ### Exemple résolu 2 : Flux à travers une boucle carrée **Énoncé** : Une boucle carrée de côté $l = 10,0\,\text{cm}$ est placée dans un champ magnétique uniforme de $B = 0,50\,\text{T}$. La normale à la boucle forme un angle de $30^\circ$ avec la direction du champ. Calculer le flux magnétique à travers la boucle. **Solution** : Aire de la boucle : $A = l^2 = (0,100)^2 = 0,0100\,\text{m}^2$ Angle : $\theta = 30^\circ$, donc $\cos 30^\circ = \sqrt{3}/2 \approx 0,8660$ Flux : $$ \Phi_B = B A \cos\theta = 0,50 \times 0,0100 \times 0,8660 = 0,00433\,\text{Wb} $$ **Réponse** : $\Phi_B = 4,33 \times 10^{-3}\,\text{Wb}$ (soit $4,33\,\text{mWb}$). > **À retenir** : Le flux magnétique dépend de l’orientation de la surface par rapport au champ : il est maximal lorsque la surface est perpendiculaire au champ ($\theta = 0^\circ$) et nul lorsqu’elle est parallèle ($\theta = 90^\circ$). ### Exercice d’application 2 : Flux à travers une boucle circulaire **Énoncé** : Une boucle circulaire de rayon $r = 5,0\,\text{cm}$ est placée dans un champ magnétique uniforme de $B = 0,20\,\text{T}$. Le champ est perpendiculaire au plan de la boucle. Calculer le flux magnétique à travers la boucle. **Solution** : Aire : $A = \pi r^2 = \pi \times (0,050)^2 = \pi \times 0,0025 = 7,854 \times 10^{-3}\,\text{m}^2$ Comme le champ est perpendiculaire, $\theta = 0^\circ$, $\cos\theta = 1$ $$ \Phi_B = B A = 0,20 \times 7,854 \times 10^{-3} = 1,571 \times 10^{-3}\,\text{Wb} $$ **Réponse** : $\Phi_B = 1,57 \times 10^{-3}\,\text{Wb}$ (soit $1,57\,\text{mWb}$). **Corrigé** : - $A = \pi r^2 = \pi \times (0,05)^2 = 7,85 \times 10^{-3}\,\text{m}^2$ - $\Phi_B = 0,20 \times 7,85 \times 10^{-3} = 1,57 \times 10^{-3}\,\text{Wb}$ ### Loi de Gauss pour le magnétisme > La loi de Gauss pour le magnétisme affirme que le flux magnétique à travers toute surface fermée est nul : > $$ > \oint_{\text{surface fermée}} \vec{B} \cdot \text{d}\vec{S} = 0 > $$ Cette loi résulte de l’absence de monopôles magnétiques : les lignes de champ magnétique ne commencent ni ne finissent dans l’espace, donc tout flux entrant dans un volume fermé doit en sortir par ailleurs. ### Exemple résolu 3 : Flux à travers un cylindre dans un champ uniforme **Énoncé** : Un cylindre de rayon $R$ et de hauteur $h$ est placé dans un champ magnétique uniforme $\vec{B}$ parallèle à son axe. Calculer le flux magnétique à travers la surface fermée du cylindre. **Solution** : La surface fermée du cylindre comporte trois parties : 1. Le dessus (disque de rayon $R$) : normale parallèle à $\vec{B}$, donc $\theta = 0^\circ$ $$ \Phi_{\text{dessus}} = B \cdot (\pi R^2) \cdot \cos 0^\circ = B \pi R^2 $$ 2. Le dessous (disque de rayon $R$) : normale opposée à $\vec{B}$ (si on prend la normale sortante), donc $\theta = 180^\circ$ $$ \Phi_{\text{dessous}} = B \cdot (\pi R^2) \cdot \cos 180^\circ = -B \pi R^2 $$ 3. La surface latérale : le champ est parallèle à la surface, donc $\theta = 90^\circ$ à chaque point $$ \Phi_{\text{latérale}} = \int \vec{B} \cdot \text{d}\vec{S} = 0 \quad (\text{car } \vec{B} \perp \text{d}\vec{S}) $$ Flux total : $$ \Phi_{\text{total}} = \Phi_{\text{dessus}} + \Phi_{\text{dessous}} + \Phi_{\text{latérale}} = B\pi R^2 + (-B\pi R^2) + 0 = 0 $$ **Réponse** : Le flux magnétique à travers la surface fermée du cylindre est nul, conformément à la loi de Gauss pour le magnétisme. > **À retenir** : La loi de Gauss pour le magnétisme ($\oint \vec{B} \cdot \text{d}\vec{S} = 0$) reflète l’absence de monopôles magnétiques : tout flux entrant dans un volume doit en sortir. ### Exercice d’application 3 : Flux à travers une demi-sphère **Énoncé** : Une demi-sphère de rayon $R$ est placée dans un champ magnétique uniforme $\vec{B}$ vertical. Le plan de base de la demi-sphère est horizontal. Calculer le flux magnétique à travers la surface courbe de la demi-sphère (seule la partie arrondie, pas la base). **Solution** : On considère la surface fermée formée par la demi-sphère + son disque de base. D’après la loi de Gauss, le flux à travers cette surface fermée est nul : $$ \Phi_{\text{fermé}} = \Phi_{\text{courbe}} + \Phi_{\text{base}} = 0 $$ Le disque de base a une aire $A = \pi R^2$, et son normale (sortante du volume) est verticale vers le bas. Si $\vec{B}$ est dirigé vers le haut, alors l’angle entre $\vec{B}$ et la normale sortante du disque est $180^\circ$, donc : $$ \Phi_{\text{base}} = B \cdot (\pi R^2) \cdot \cos 180^\circ = -B \pi R^2 $$ Donc : $$ \Phi_{\text{courbe}} + (-B \pi R^2) = 0 \quad \Rightarrow \quad \Phi_{\text{courbe}} = B \pi R^2 $$ **Réponse** : Le flux magnétique à travers la surface courbe de la demi-sphère est $\Phi_B = B \pi R^2$. **Corrigé** : - Surface fermée : flux nul (loi de Gauss) - Flux à travers la base : $\Phi_{\text{base}} = -B \pi R^2$ (normale sortante vers le bas, $\vec{B}$ vers le haut) - Donc $\Phi_{\text{courbe}} = B \pi R^2$ --- ## Synthèse du chapitre - Le champ magnétique $\vec{B}$ est une grandeur vectorielle produite par des courants électriques ou des aimants, représentée par des lignes de champ fermées. - Autour d’un fil droit : $B = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}$ ; dans un solénoïde long : $B = \mu_0 n I$. - Le flux magnétique $\Phi_B$ à travers une surface $S$ est $\Phi_B = \int_S \vec{B} \cdot \text{d}\vec{S}$ ; pour un champ uniforme et une surface plane : $\Phi_B = B A \cos\theta$. - Le flux est maximal lorsque la surface est perpendiculaire au champ ($\theta = 0^\circ$) et nul lorsqu’elle est parallèle ($\theta = 90^\circ$). - La loi de Gauss pour le magnétisme : $\oint_{\text{fermé}} \vec{B} \cdot \text{d}\vec{S} = 0$, conséquence de l’absence de monopôles magnétiques. - Le flux à travers une surface ouverte dépend de l’orientation ; à travers une surface fermée, il est toujours nul. - Unité du champ : tesla (T) ; unité du flux : weber (Wb), où $1\,\text{Wb} = 1\,\text{T·m}^2$. - Le principe de superposition s’applique au champ magnétique : le champ total est la somme vectorielle des champs individuels. - La force de Lorentz sur une charge en mouvement : $\vec{F} = q (\vec{v} \times \vec{B})$, perpendiculaire à la vitesse, donc sans travail. --- ## Glossaire - **Champ magnétique ($\vec{B}$)** : Grandeur vectorielle caractérisant l’influence d’une source magnétique sur l’espace, mesurée en tesla (T). - **Flux magnétique ($\Phi_B$)** : Mesure du nombre de lignes de champ magnétique traversant une surface, défini par $\Phi_B = \int_S \vec{B} \cdot \text{d}\vec{S}$, mesuré en weber (Wb). - **Ligne de champ magnétique** : Ligne tangente à laquelle la direction donne celle de $\vec{B}$ en chaque point ; ses lignes sont fermées et ne commencent ni ne finissent. - **Solénoïde** : Bobine cylindrique de fil conducteur dans laquelle un champ magnétique uniforme est produit lorsqu’un courant y circule. - **Perméabilité du vide ($\mu_0$)** : Constante physique égale à $4\pi \times 10^{-7}\,\text{T·m/A}$, apparaissant dans l’expression du champ magnétique d’un fil droit. - **Angle $\theta$** : Angle entre le vecteur champ magnétique $\vec{B}$ et la normale à la surface considérée, intervenant dans l’expression du flux $\Phi_B = B A \cos\theta$. - **Loi de Gauss pour le magnétisme** : Loi affirmant que le flux magnétique à travers toute surface fermée est nul, reflétant l’absence de monopôles magnétiques. - **Force de Lorentz** : Force subie par une charge électrique en mouvement dans un champ électromagnétique, donnée par $\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})$ ; en champ magnétique pur : $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$. - **Weber (Wb)** : Unité du flux magnétique dans le Système international ; $1\,\text{Wb} = 1\,\text{T·m}^2$. - **Tesla (T)** : Unité du champ magnétique dans le Système international ; $1\,\text{T} = 1\,\text{Wb/m}^2$. - **Produit scalaire** : Opération $\vec{A} \cdot \vec{B} = AB\cos\theta$, utilisée pour calculer la composante d’un champ suivant une direction donnée. - **Surface fermée** : Surface qui enferme un volume entièrement (ex. : sphère, cylindre fermé), sur laquelle la loi de Gauss pour le magnétisme s’applique. --- *Fin du cours de référence pour le chapitre « Chap20 : Le flux magnétique » – Niveau Première – Physique – Système éducatif camerounais francophone.*