Chap18 : Récepteur

# Chap18 : Récepteur ## Objectifs et prérequis **Objectifs** : À l’issue de ce chapitre, l’élève sera capable de : - Définir le récepteur électrique et son rôle dans un circuit. - Expliquer la notion de normalisation d’un récepteur et son intérêt pratique. - Identifier et caractériser les différents types de dipôles récepteurs (résistif, inductif, capacitif) en fonction de leur comportement en régime sinusoïdal établi. - Déterminer l’impédance complexe d’un dipôle récepteur à partir de ses paramètres physiques. - Calculer la puissance active, réactive et apparente consommée par un récepteur. - Utiliser le diagramme de Fresnel pour représenter les tensions et courants dans un récepteur. - Résoudre des problèmes d’application liés à l’analyse de récepteurs en courant alternatif. **Prérequis** : - Maîtrise des lois d’Ohm et de Kirchhoff en régime continu. - Notions de grandeur sinusoïdale : valeur efficace, valeur instantanée, déphasage, pulsation ω. - Utilisation des nombres complexes pour représenter les grandeurs électriques (module, argument, forme algébrique et exponentielle). - Concept de dipôle et de bipôle électrique. - Notions de puissance en régime continu (P = UI). --- ## Introduction Dans un circuit électrique alimenté en courant alternatif, les éléments qui consomment de l’énergie électrique sont appelés **récepteurs**. Ils transforment cette énergie électrique en d’autres formes : chaleur (résistance), énergie magnétique (bobine), ou énergie électrique stockée (condensateur). Le chapitre précédent a introduit les grandeurs sinusoïdales et l’usage des nombres complexes en régime alternatif. Ici, nous nous intéressons spécifiquement aux **dipôles récepteurs** : leur comportement, leur caractérisation par l’impédance complexe, et les puissances qu’ils consomment. La notion de **normalisation** permet de comparer des récepteurs de différentes puissances en les ramenant à une référence standard (souvent 230 V, 50 Hz), ce qui est essentiel en électrotechnique pour le dimensionnement et l’analyse des installations. --- ## I. Normalisé d’un récepteur ### Définition et principe Un récepteur est dit **normalisé** lorsqu’il est caractérisé par ses paramètres électriques (tension nominale, courant nominal, puissance nominale) référés à des valeurs de tension et de fréquence standardisées du réseau d’alimentation. Au Cameroun, comme dans la plupart des pays africains francophones, le réseau de distribution fournit une tension efficace de **230 V** à une fréquence de **50 Hz**. Un récepteur normalisé est donc conçu pour fonctionner correctement sous ces conditions. > **À retenir** : Un récepteur normalisé est celui dont les caractéristiques électriques (tension, courant, puissance) sont spécifiées pour une tension efficace de 230 V et une fréquence de 50 Hz. ### Intérêt de la normalisation La normalisation permet : - De comparer facilement différents récepteurs (ex. : une lampe de 60 W vs un fer à repasser de 1200 W). - De faciliter le choix des protections (disjoncteurs, fusibles) et des sections de conducteurs. - D’assurer la compatibilité avec le réseau national. - De simplifier les calculs en utilisant des valeurs de référence (Uₙ = 230 V, fₙ = 50 Hz). ### Exemple résolu : Détermination du courant nominal Un récepteur est marqué : **230 V – 50 Hz – 100 W**. Quel est son courant nominal efficace ? **Solution** : En régime établi, pour un récepteur actif pur (facteur de puissance = 1), la puissance active s’écrit : $$ P = U \cdot I \cdot \cos\varphi $$ Si le récepteur est résistif (cosφ = 1), alors : $$ I = \frac{P}{U} = \frac{100\ \text{W}}{230\ \text{V}} \approx 0,435\ \text{A} $$ Donc, le courant nominal efficace est d’environ **0,435 A**. > **À retenir** : Pour un récepteur actif pur, $ I_n = \frac{P_n}{U_n} $. ### Exercice d’application 1 Un récepteur est marqué : **230 V – 50 Hz – 2 kW**. a) Calculer son courant nominal efficace en supposant qu’il est résistif. b) Si sa résistance équivalente est connue, quelle est sa valeur ? **Corrigé** : a) $ I_n = \frac{P_n}{U_n} = \frac{2000}{230} \approx 8,696\ \text{A} $ b) En régime sinusoïdal établi, pour une résistance : $ P = \frac{U^2}{R} $, donc : $$ R = \frac{U_n^2}{P_n} = \frac{(230)^2}{2000} = \frac{52900}{2000} = 26,45\ \Omega $$ Réponse : **R ≈ 26,5 Ω**. --- ## II. Caractéristiques des dipôles récepteur Un **dipôle récepteur** est un composant à deux bornes qui absorbe de l’énergie électrique du réseau. En régime sinusoïdal établi, son comportement est entièrement décrit par son **impédance complexe** $ \underline{Z} $, qui relie le complexe du tension $ \underline{U} $ à celui du courant $ \underline{I} $ par la loi d’Ohm généralisée : $$ \underline{U} = \underline{Z} \cdot \underline{I} $$ Nous étudions trois types fondamentaux de dipôles récepteurs : résistif, inductif et capacitif. ### A. Dipôle résistif #### Définition et propriétés Un dipôle résistif est caractérisé par une résistance $ R $, indépendante de la fréquence. En régime sinusoïdal, la tension et le courant sont en phase. > **À retenir** : Pour un dipôle résistif, $ \underline{Z}_R = R $ (réel et positif), et $ \varphi = 0^\circ $. La loi d’Ohm s’écrit : $$ \underline{U}_R = R \cdot \underline{I}_R $$ En valeurs efficaces : $ U_R = R \cdot I_R $ La puissance active consommée est : $$ P_R = U_R \cdot I_R = R \cdot I_R^2 = \frac{U_R^2}{R} $$ La puissance réactive est nulle : $ Q_R = 0 $ La puissance apparente vaut : $ S_R = P_R $ #### Exemple résolu : Tension aux bornes d’une résistance Une résistance de $ R = 50\ \Omega $ est traversée par un courant efficace de $ I = 0,2\ \text{A} $. Quelle est la tension efficace à ses bornes ? Quelle est la puissance dissipée ? **Solution** : $$ U_R = R \cdot I = 50 \times 0,2 = 10\ \text{V} $$ $$ P_R = U_R \cdot I = 10 \times 0,2 = 2\ \text{W} $$ ou $ P_R = I^2 R = (0,2)^2 \times 50 = 0,04 \times 50 = 2\ \text{W} $ #### Exercice d’application 2 Une résistance consomme une puissance active de 8 W lorsqu’elle est soumise à une tension efficace de 12 V. Déterminer sa résistance et le courant qui la traverse. **Corrigé** : $ P = \frac{U^2}{R} \Rightarrow R = \frac{U^2}{P} = \frac{12^2}{8} = \frac{144}{8} = 18\ \Omega $ $ I = \frac{U}{R} = \frac{12}{18} = 0,667\ \text{A} $ Réponse : **R = 18 Ω, I ≈ 0,667 A** --- ### B. Dipôle inductif #### Définition et propriétés Un dipôle inductif est modélisé par une bobine de self-inductance $ L $, supposée sans résistance (ou avec résistance négligeable). En régime sinusoïdal, le courant est en retard de $ 90^\circ $ par rapport à la tension. > **À retenir** : Pour un dipôle inductif pur, $ \underline{Z}_L = j\omega L $, avec $ \omega = 2\pi f $, et $ \varphi = +90^\circ $ (le courant retarde la tension). L’impédance est purement imaginaire et positive : $$ Z_L = \omega L = 2\pi f L $$ La loi d’Ohm : $$ \underline{U}_L = j\omega L \cdot \underline{I}_L $$ En valeurs efficaces : $ U_L = \omega L \cdot I_L $ La puissance active moyenne est nulle : $ P_L = 0 $ (l’énergie est stockée puis restituée) La puissance réactive est : $$ Q_L = U_L \cdot I_L = \omega L \cdot I_L^2 = \frac{U_L^2}{\omega L} $$ Elle est positive : la bobine consomme de la puissance réactive inductive. La puissance apparente : $ S_L = |Q_L| $ #### Exemple résolu : Réactance d’une bobine Une bobine de $ L = 0,1\ \text{H} $ est branchée sur un réseau de 50 Hz. Calculer sa réactance inductive et l’impédance module. **Solution** : $$ \omega = 2\pi f = 2\pi \times 50 = 100\pi\ \text{rad/s} $$ $$ X_L = \omega L = 100\pi \times 0,1 = 10\pi \approx 31,42\ \Omega $$ Comme la bobine est pure, $ Z_L = jX_L $, donc $ |Z_L| = X_L \approx 31,42\ \Omega $ #### Exercice d’application 3 Une bobine possède une réactance inductive de 40 Ω à 50 Hz. Déterminer sa self-inductance. Quelle est la tension efficace à ses bornes si elle est traversée par un courant de 0,5 A ? **Corrigé** : $ X_L = 2\pi f L \Rightarrow L = \frac{X_L}{2\pi f} = \frac{40}{2\pi \times 50} = \frac{40}{100\pi} \approx 0,127\ \text{H} $ $ U_L = X_L \cdot I_L = 40 \times 0,5 = 20\ \text{V} $ Réponse : **L ≈ 0,127 H, U_L = 20 V** --- ### C. Dipôle capacitif #### Définition et propriétés Un dipôle capacitif est modélisé par un condensateur de capacité $ C $, supposé sans pertes. En régime sinusoïdal, le courant est en avance de $ 90^\circ $ par rapport à la tension. > **À retenir** : Pour un dipôle capacitif pur, $ \underline{Z}_C = \frac{1}{j\omega C} = -j\frac{1}{\omega C} $, avec $ \varphi = -90^\circ $ (le courant avance la tension). La réactance capacitive est : $$ X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2\pi f C} $$ L’impédance module est : $ |Z_C| = X_C $ La loi d’Ohm : $$ \underline{U}_C = \frac{1}{j\omega C} \cdot \underline{I}_C = -j X_C \cdot \underline{I}_C $$ En valeurs efficaces : $ U_C = X_C \cdot I_C $ La puissance active moyenne est nulle : $ P_C = 0 $ La puissance réactive est : $$ Q_C = - U_C \cdot I_C = - \frac{U_C^2}{X_C} $$ Elle est négative : le condensateur fournit de la puissance réactive (il la génère). La puissance apparente : $ S_C = |Q_C| $ #### Exemple résolu : Capacité d’un condensateur Un condensateur présente une réactance capacitive de 50 Ω à une fréquence de 50 Hz. Déterminer sa capacité. **Solution** : $$ X_C = \frac{1}{2\pi f C} \Rightarrow C = \frac{1}{2\pi f X_C} = \frac{1}{2\pi \times 50 \times 50} = \frac{1}{5000\pi} \approx 6,366 \times 10^{-6}\ \text{F} $$ Donc $ C \approx 6,37\ \mu\text{F} $ #### Exercice d’application 4 Un condensateur de $ C = 10\ \mu\text{F} $ est branché sur un réseau de 50 Hz. Calculer sa réactance capacitive et la valeur du courant efficace s’il est soumis à une tension de 100 V. **Corrigé** : $$ X_C = \frac{1}{2\pi f C} = \frac{1}{2\pi \times 50 \times 10 \times 10^{-6}} = \frac{1}{0,00314} \approx 318,3\ \Omega $$ $$ I_C = \frac{U_C}{X_C} = \frac{100}{318,3} \approx 0,314\ \text{A} $$ Réponse : **X_C ≈ 318 Ω, I_C ≈ 0,314 A** --- ### D. Dipôle complexe : association R-L ou R-C En pratique, les récepteurs ne sont jamais purs. Un moteur, par exemple, présente une résistance (joule) et une inductance (couple magnétique). On modèle alors un dipôle série R-L ou R-C. #### Cas d’un dipôle série R-L > **À retenir** : Pour un dipôle série R-L, $ \underline{Z} = R + j\omega L $, avec $ \varphi = \arctan\left(\frac{\omega L}{R}\right) > 0 $ (courant en retard). Le module de l’impédance : $$ |Z| = \sqrt{R^2 + (\omega L)^2} $$ La puissance active : $ P = U I \cos\varphi $ La puissance réactive : $ Q = U I \sin\varphi $ Le facteur de puissance : $ \cos\varphi = \frac{R}{|Z|} $ #### Exemple résolu : Impédance d’un récepteur R-L Un récepteur modélisé par une résistance $ R = 30\ \Omega $ en série avec une inductance $ L = 0,2\ \text{H} $ est alimenté par un réseau de 50 Hz. Déterminer : a) L’impédance complexe et son module. b) Le facteur de puissance. c) Le courant efficace si la tension efficace est de 230 V. d) Les puissances active, réactive et apparente. **Solution** : a) $ \omega = 2\pi \times 50 = 100\pi\ \text{rad/s} $ $ X_L = \omega L = 100\pi \times 0,2 = 20\pi \approx 62,83\ \Omega $ $$ \underline{Z} = 30 + j62,83\ \Omega $$ $$ |Z| = \sqrt{30^2 + (62,83)^2} = \sqrt{900 + 3947} = \sqrt{4847} \approx 69,62\ \Omega $$ b) $ \cos\varphi = \frac{R}{|Z|} = \frac{30}{69,62} \approx 0,431 $ $ \varphi = \arccos(0,431) \approx 64,5^\circ $ (courant en retard) c) $ I = \frac{U}{|Z|} = \frac{230}{69,62} \approx 3,30\ \text{A} $ d) $ P = U I \cos\varphi = 230 \times 3,30 \times 0,431 \approx 327\ \text{W} $ $ Q = U I \sin\varphi $, avec $ \sin\varphi = \sqrt{1 - \cos^2\varphi} = \sqrt{1 - 0,186} = \sqrt{0,814} \approx 0,902 $ $$ Q = 230 \times 3,30 \times 0,902 \approx 684\ \text{VAR} $$ $ S = U I = 230 \times 3,30 \approx 759\ \text{VA} $ Vérification : $ S^2 = P^2 + Q^2 \Rightarrow 759^2 \approx 576000 $, $ 327^2 + 684^2 \approx 106929 + 467856 = 574785 $ (légère différence due aux arrondis) #### Exercice d’application 5 Un récepteur est modélisé par une résistance de 40 Ω en série avec une self-inductance de 0,15 H. Il est alimenté par 230 V, 50 Hz. Calculer : a) L’impédance module. b) Le facteur de puissance. c) Le courant efficace. d) La puissance active consommée. **Corrigé** : a) $ \omega = 100\pi $, $ X_L = 100\pi \times 0,15 = 15\pi \approx 47,12\ \Omega $ $ |Z| = \sqrt{40^2 + 47,12^2} = \sqrt{1600 + 2220} = \sqrt{3820} \approx 61,8\ \Omega $ b) $ \cos\varphi = \frac{40}{61,8} \approx 0,647 $ c) $ I = \frac{230}{61,8} \approx 3,72\ \text{A} $ d) $ P = U I \cos\varphi = 230 \times 3,72 \times 0,647 \approx 552\ \text{W} $ --- ### E. Diagramme de Fresnel pour un récepteur Le diagramme de Fresnel (ou diagramme des vecteurs) représente les grandeurs sinusoïdales sous forme de vecteurs tournants dans le plan complexe. Il permet de visualiser les déphasages entre tension et courant. > **À retenir** : Dans un diagramme de Fresnel, la tension effective est souvent prise comme référence (axe des réels). Le courant est représenté par un vecteur faisant un angle $ -\varphi $ avec la tension si $ \varphi $ est l’angle d’impédance (tension devant le courant). - Pour un récepteur R-L : le courant retarde → vecteur I en dessous de l’axe des réels. - Pour un récepteur R-C : le courant avance → vecteur I au-dessus de l’axe des réels. - La tension aux bornes de chaque composant s’obtient par multiplication du courant par son impédance : - $ \underline{U}_R = R \cdot \underline{I} $ (en phase avec I) - $ \underline{U}_L = j\omega L \cdot \underline{I} $ (I avancé de 90°) - $ \underline{U}_C = -jX_C \cdot \underline{I} $ (I retardé de 90°) #### Exemple résolu : Diagramme de Fresnel R-L Un récepteur R-L a $ R = 50\ \Omega $, $ X_L = 50\ \Omega $, sous $ U = 100\ \text{V} $. Tracer le diagramme de Fresnel et déterminer $ \varphi $. **Solution** : $ |Z| = \sqrt{50^2 + 50^2} = 50\sqrt{2} \approx 70,7\ \Omega $ $ I = \frac{100}{70,7} \approx 1,414\ \text{A} $ $ \tan\varphi = \frac{X_L}{R} = 1 \Rightarrow \varphi = 45^\circ $ La tension est la référence (0°). Le courant retarde de 45° → placé à -45°. $ U_R = R I = 50 \times 1,414 = 70,7\ \text{V} $ (en phase avec I) $ U_L = X_L I = 50 \times 1,414 = 70,7\ \text{V} $ (I avancé de 90° → U_L à +45° par rapport à I, donc à 0° par rapport à U ? Attendre : En fait : $ \underline{U}_L = j X_L \underline{I} $, donc si I est à -45°, U_L est à -45° + 90° = +45°. La tension totale $ \underline{U} = \underline{U}_R + \underline{U}_L $ : $ U_R $ à -45°, module 70,7 $ U_L $ à +45°, module 70,7 Somme vectorielle : effectivement sur l’axe des réels à 100 V. Le diagramme montre un losange symétrique. --- ## Synthèse du chapitre - Le **récepteur normalisé** est caractérisé pour une tension efficace de 230 V et une fréquence de 50 Hz, référence du réseau camerounais. - Un **dipôle récepteur** absorbe de l’énergie électrique ; son comportement en régime sinusoïdal est décrit par son impédance complexe $ \underline{Z} $. - **Dipôle résistif** : $ \underline{Z}_R = R $, $ \varphi = 0^\circ $, $ P > 0 $, $ Q = 0 $. - **Dipôle inductif pur** : $ \underline{Z}_L = j\omega L $, $ \varphi = +90^\circ $, $ P = 0 $, $ Q > 0 $. - **Dipôle capacitif pur** : $ \underline{Z}_C = -j/(\omega C) $, $ \varphi = -90^\circ $, $ P = 0 $, $ Q < 0 $. - **Dipôle série R-L** : $ \underline{Z} = R + j\omega L $, $ \varphi = \arctan(\omega L / R) > 0 $, consommation de puissance réactive inductive. - **Dipôle série R-C** : $ \underline{Z} = R - j/(\omega C) $, $ \varphi = \arctan(-1/(\omega C R)) < 0 $, consommation de puissance réactive capacitive (ou fourniture). - La **puissance active** $ P = U I \cos\varphi $ correspond à l’énergie réellement convertie. - La **puissance réactive** $ Q = U I \sin\varphi $ traduit l’échange d’énergie avec le champ magnétique ou électrique. - La **puissance apparente** $ S = U I $ est la grandeur apparente fournie par la source. - Le **facteur de puissance** $ \cos\varphi = P/S $ indique l’efficacité de l’utilisation du courant. - Le **diagramme de Fresnel** permet de représenter géométriquement les tensions et courants et leurs déphasages. - La **normalisation** facilite la comparaison, le dimensionnement et la conformité aux normes du réseau. --- ## Glossaire - **Récepteur** : Dipôle qui absorbe de l’énergie électrique du réseau pour la convertir en autre forme d’énergie. - **Normalisé** : Qualifie un récepteur dont les caractéristiques sont référées à 230 V et 50 Hz. - **Impédance complexe** $ \underline{Z} $ : Rapport du complexe de la tension à celui du courant, $ \underline{Z} = \underline{U}/\underline{I} $, en ohms (Ω). - **Réactance** : Partie imaginaire de l’impédance ; inductive ($ X_L = \omega L $) ou capacitive ($ X_C = 1/(\omega C) $). - **Facteur de puissance** $ \cos\varphi $ : Rapport de la puissance active à la puissance apparente, indicateur de l’efficacité énergétique. - **Puissance active** $ P $ : Puissance moyenne réellement convertie, en watts (W). - **Puissance réactive** $ Q $ : Puissance associée aux échanges d’énergie magnétique ou électrique, en voltampères réactifs (VAR). - **Puissance apparente** $ S $ : Produit des valeurs efficaces de tension et de courant, en voltampères (VA). - **Déphasage** $ \varphi $ : Angle entre les grandeurs tension et courant, en degrés ou radians. - **Self-inductance** $ L $ : Propriété d’une bobine à s’opposer aux variations de courant, en henrys (H). - **Capacité** $ C $ : Propriété d’un condensateur à stocker de la charge, en farads (F). - **Diagramme de Fresnel** : Représentation vectorielle des grandeurs sinusoïdales pour visualiser les déphasages. --- *Fin du cours de référence pour le chapitre « Récepteur » – Physique, Première – Système éducatif camerounais francophone.*