Hypothesis Testing

# Hypothesis Testing ## Objectifs et prérequis Ce chapitre vise à maîtriser les principes fondamentaux du test d'hypothèses dans le contexte du programme camerounais de Further Mathematics (Upper Sixth, anglophone). À l'issue de ce cours, l'élève sera capable de : - Formuler correctement les hypothèses nulle et alternative dans un contexte statistique ; - Réaliser des tests de signification pour une probabilité hypothétique (distribution binomiale) et pour la moyenne d'une distribution de Poisson ; - Effectuer un test de signification pour la moyenne d'une population (distribution normale connue ou inconnue) ; - Appliquer le théorème central limite pour tester la différence entre deux moyennes de populations à l'aide d'échantillons de grande taille ; - Interpréter les résultats en termes de niveau de signification, de valeur p et de décision statistique ; - Éviter les erreurs de type I et II et comprendre leur implication pratique. **Prérequis** : - Notions de probabilités conditionnelles, lois binomiale et de Poisson ; - Espérance et variance de variables aléatoires discrètes et continues ; - Théorème central limite (TCL) et approximation normale ; - Notions de statistique descriptive (moyenne, écart-type, variance) ; - Familiarité avec les notations : $ \bar{x} $, $ \mu $, $ \sigma $, $ s $, $ n $, $ p $, $ \hat{p} $. --- ## I. The role of the null and alternative hypotheses in significance testing Dans un test d'hypothèses, on cherche à évaluer la plausibilité d'une affirmation sur un paramètre de population à partir d'un échantillon. Cette affirmation est formulée sous forme de deux hypothèses mutuellement exclusives et exhaustives : > **Définition** : L'**hypothèse nulle** ($ H_0 $) est une affirmation selon laquelle il n'y a pas d'effet, pas de différence ou pas de changement par rapport à une valeur de référence. Elle est toujours formulée avec un signe d'égalité ($ = $, $ \leq $, ou $ \geq $) et représente le statut quo à tester. > **Définition** : L'**hypothèse alternative** ($ H_1 $ ou $ H_a $) est l'affirmation que l'on souhaite soutenir si les preuves de l'échantillon sont suffisamment fortes pour rejeter $ H_0 $. Elle ne contient jamais un signe d'égalité strict et peut être unilatérale ($ < $ ou $ > $) ou bilatérale ($ \neq $). > **Règle** : Le test d'hypothèses ne permet jamais d'accepter $ H_0 $, mais seulement de **rejeter** $ H_0 $ ou de **ne pas rejeter** $ H_0 $ en fonction des preuves. ### Exemple 1 : Test d'une probabilité Un fabricant affirme que 60 % de ses produits sont sans défaut. On prélève un échantillon de 100 produits et on trouve 52 sans défaut. - $ H_0 : p = 0,60 $ - $ H_1 : p < 0,60 $ (on soupçonne une baisse de qualité) ### Exemple 2 : Test d'une moyenne On veut savoir si la moyenne de temps de réaction d'un groupe d'élèves est différente de 250 ms. - $ H_0 : \mu = 250 $ - $ H_1 : \mu \neq 250 $ ### Exercices d'application corrigés **Exercice 1** : Une école affirme que 70 % de ses élèves de sixième réussissent l'examen de mathématiques. Un inspecteur prélève un échantillon aléatoire de 200 élèves et trouve que 128 ont réussi. Formuler $ H_0 $ et $ H_1 $ pour tester si la proportion réelle est inférieure à 70 %. **Correction** : - $ H_0 : p = 0,70 $ - $ H_1 : p < 0,70 $ *(On teste une diminution possible du taux de réussite)* **Exercice 2** : Un laboratoire affirme que la durée de vie moyenne de ses piles est de 500 heures. Un consommateur veut tester si cette durée est réellement supérieure à 500 heures. **Correction** : - $ H_0 : \mu = 500 $ - $ H_1 : \mu > 500 $ --- ## II. Significance testing of a hypothetical value for probability and for the mean of Poisson distribution ### A. Test pour une probabilité (loi binomiale) On teste $ H_0 : p = p_0 $ contre $ H_1 : p \neq p_0 $, $ p < p_0 $ ou $ p > p_0 $, à partir d'un échantillon de taille $ n $ avec $ X $ succès observés. Lorsque $ n $ est suffisamment grand ($ np_0 \geq 5 $ et $ n(1-p_0) \geq 5 $), on utilise l'approximation normale de la loi binomiale : > **Formule** : > $$ > Z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}} > $$ > où $ \hat{p} = \frac{X}{n} $ On compare $ Z $ à la loi normale centrée réduite $ N(0,1) $. > **À retenir** : La condition $ np_0 \geq 5 $ et $ n(1-p_0) \geq 5 $ garantit la validité de l'approximation normale. #### Exemple résolu : On teste si la proportion de garçons dans une école est de 0,5. Dans un échantillon de 400 naissances, on observe 210 garçons. - $ H_0 : p = 0,5 $ - $ H_1 : p \neq 0,5 $ - $ \hat{p} = 210/400 = 0,525 $ - $ SE = \sqrt{\frac{0,5 \times 0,5}{400}} = \sqrt{0,000625} = 0,025 $ - $ Z = \frac{0,525 - 0,5}{0,025} = 1,0 $ - Pour un test bilatéral à $ \alpha = 0,05 $, la zone critique est $ |Z| > 1,96 $. - Puisque $ |1,0| < 1,96 $, on **ne rejette pas** $ H_0 $. Conclusion : Il n'y a pas suffisamment de preuves pour affirmer que la proportion de garçons diffère de 0,5. #### Exercice d'application : Dans un sondage, 130 personnes sur 250 déclarent soutenir une nouvelle politique. Tester à $ \alpha = 0,01 $ si la proportion réelle de soutien est supérieure à 0,5. **Correction** : - $ H_0 : p = 0,5 $ - $ H_1 : p > 0,5 $ - $ \hat{p} = 130/250 = 0,52 $ - $ SE = \sqrt{\frac{0,5 \times 0,5}{250}} = \sqrt{0,001} = 0,0316 $ - $ Z = \frac{0,52 - 0,5}{0,0316} = 0,633 $ - Valeur critique unilatérale à $ \alpha = 0,01 $ : $ Z_{0,01} = 2,33 $ - Puisque $ 0,633 < 2,33 $, on **ne rejette pas** $ H_0 $. Conclusion : Il n'y a pas suffisamment de preuves pour affirmer que plus de la moitié de la population soutient la politique. ### B. Test pour la moyenne d'une loi de Poisson Soit $ X \sim \text{Poisson}(\lambda) $. On veut tester $ H_0 : \lambda = \lambda_0 $ contre $ H_1 : \lambda \neq \lambda_0 $, $ < $ ou $ > $. Lorsque $ \lambda_0 $ est suffisamment grand (généralement $ \lambda_0 \geq 10 $), la loi de Poisson peut être approximée par une loi normale : $ X \approx \mathcal{N}(\lambda_0, \lambda_0) $ Pour un échantillon de taille $ n $, la moyenne empirique $ \bar{X} $ suit approximativement : $ \bar{X} \sim \mathcal{N}\left( \lambda_0, \frac{\lambda_0}{n} \right) $ > **Formule** : > $$ > Z = \frac{\bar{X} - \lambda_0}{\sqrt{\frac{\lambda_0}{n}}} > $$ > **À retenir** : L'approximation normale de la loi de Poisson est valide lorsque $ \lambda_0 \geq 10 $, même pour des $ n $ modérés. #### Exemple résolu : Un centre d'appel reçoit en moyenne 18 appels par heure selon son historique. Durant une semaine de surveillance (7 heures), on observe un total de 119 appels. Tester si le taux moyen horaire a changé à $ \alpha = 0,05 $. - $ H_0 : \lambda = 18 $ - $ H_1 : \lambda \neq 18 $ - $ \bar{X} = 119 / 7 = 17 $ - $ SE = \sqrt{\frac{18}{7}} = \sqrt{2,571} \approx 1,604 $ - $ Z = \frac{17 - 18}{1,604} = -0,623 $ - Zone critique bilatérale : $ |Z| > 1,96 $ - Puisque $ |-0,623| < 1,96 $, on **ne rejette pas** $ H_0 $. Conclusion : Il n'y a pas suffisamment de preuves pour affirmer que le taux moyen d'appels a changé. #### Exercice d'application : Un serveur web enregistre en moyenne 25 requêtes par minute. Durant une période de 10 minutes, on observe 230 requêtes. Tester à $ \alpha = 0,05 $ si le taux moyen a diminué. **Correction** : - $ H_0 : \lambda = 25 $ - $ H_1 : \lambda < 25 $ - $ \bar{X} = 230 / 10 = 23 $ - $ SE = \sqrt{\frac{25}{10}} = \sqrt{2,5} \approx 1,581 $ - $ Z = \frac{23 - 25}{1,581} = -1,265 $ - Valeur critique unilatérale à $ \alpha = 0,05 $ : $ -1,645 $ - Puisque $ -1,265 > -1,645 $ (c'est-à-dire pas dans la zone de rejet), on **ne rejette pas** $ H_0 $. Conclusion : Il n'y a pas suffisamment de preuves pour affirmer une diminution du taux de requêtes. --- ## III. Significance testing for a population mean On teste $ H_0 : \mu = \mu_0 $ contre $ H_1 : \mu \neq \mu_0 $, $ < $ ou $ > $, à partir d'un échantillon de taille $ n $, moyenne $ \bar{x} $, et écart-type $ s $ ou $ \sigma $. ### Cas 1 : Variance connue ($ \sigma $ connu) On utilise la loi normale centrée réduite : > **Formule** : > $$ > Z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} > $$ ### Cas 2 : Variance inconnue ($ \sigma $ inconnu, on utilise $ s $) Si la population est normale ou $ n $ est grand ($ n \geq 30 $), on utilise la loi de Student avec $ \nu = n-1 $ degrés de liberté : > **Formule** : > $$ > t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}} > $$ > **À retenir** : Pour $ n \geq 30 $, la loi de Student $ t $ est très proche de la loi normale $ Z $, et on peut souvent utiliser $ Z $ comme approximation même si $ \sigma $ est inconnu. #### Exemple résolu (variance connue) : On veut tester si la moyenne de poids d'une certaine variété de tomates est de 150 g. On connaît l'écart-type de la population : $ \sigma = 12 $ g. Un échantillon de 36 tomates donne $ \bar{x} = 155 $ g. Tester à $ \alpha = 0,05 $. - $ H_0 : \mu = 150 $ - $ H_1 : \mu \neq 150 $ - $ SE = \frac{12}{\sqrt{36}} = 2 $ - $ Z = \frac{155 - 150}{2} = 2,5 $ - Zone critique bilatérale : $ |Z| > 1,96 $ - Puisque $ |2,5| > 1,96 $, on **rejette** $ H_0 $. Conclusion : Il y a suffisamment de preuves pour affirmer que la moyenne de poids diffère de 150 g. #### Exemple résolu (variance inconnue, $ n \geq 30 $) : Un professeur veut savoir si la moyenne des notes à un examen est différente de 12/20. Un échantillon de 50 élèves donne $ \bar{x} = 11,2 $ et $ s = 2,5 $. Tester à $ \alpha = 0,05 $. - $ H_0 : \mu = 12 $ - $ H_1 : \mu \neq 12 $ - $ SE = \frac{2,5}{\sqrt{50}} \approx 0,3536 $ - $ t = \frac{11,2 - 12}{0,3536} \approx -2,262 $ - Degrés de liberté : $ \nu = 49 $ - Valeur critique bilatérale à $ \alpha = 0,05 $ : $ t_{0,025,49} \approx \pm 2,01 $ (table t) - Puisque $ |-2,262| > 2,01 $, on **rejette** $ H_0 $. Conclusion : La moyenne des notes est significativement différente de 12/20. #### Exercice d'application : Une usine produit des boulons dont la longueur théorique est de 10 mm. On prélève un échantillon de 40 boulons : moyenne observée $ \bar{x} = 10,2 $ mm, écart-type $ s = 0,3 $ mm. Tester à $ \alpha = 0,01 $ si la moyenne réelle est supérieure à 10 mm. **Correction** : - $ H_0 : \mu = 10 $ - $ H_1 : \mu > 10 $ - $ SE = \frac{0,3}{\sqrt{40}} \approx 0,0474 $ - $ t = \frac{10,2 - 10}{0,0474} \approx 4,22 $ - $ \nu = 39 $, valeur critique unilatérale à $ \alpha = 0,01 $ : $ t_{0,01,39} \approx 2,426 $ - Puisque $ 4,22 > 2,426 $, on **rejette** $ H_0 $. Conclusion : Il y a suffisamment de preuves pour affirmer que la longueur moyenne des boulons est supérieure à 10 mm. --- ## IV. Significance testing for a population of difference between two means by large scale (Using Central Limit theorem) On veut tester si la moyenne de deux populations indépendantes est différente : $ H_0 : \mu_1 - \mu_2 = 0 $ contre $ H_1 : \mu_1 - \mu_2 \neq 0 $, $ < $ ou $ > $. Lorsque les tailles d'échantillons sont grandes ($ n_1 \geq 30 $ et $ n_2 \geq 30 $), le théorème central limite implique que la différence des moyennes empiriques $ \bar{X}_1 - \bar{X}_2 $ suit approximativement une loi normale : > **Formule** : > $$ > Z = \frac{(\bar{x}_1 - \bar{x}_2) - (\mu_1 - \mu_2)_0}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}}} > $$ > Sous $ H_0 $ : $ (\mu_1 - \mu_2)_0 = 0 $, donc : > $$ > Z = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}}} > $$ Si les variances de population sont inconnues mais les échantillons sont grands, on peut les remplacer par les variances empiriques $ s_1^2 $ et $ s_2^2 $ : > **Formule (variances inconnues, grands échantillons)** : > $$ > Z = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}} > $$ > **À retenir** : Le TCL permet d'utiliser la loi normale pour la différence de moyennes même si les populations ne sont pas normales, à condition que $ n_1 $ et $ n_2 $ soient suffisamment grands (généralement $ \geq 30 $). #### Exemple résolu : On veut comparer la moyenne de temps de résolution de problèmes entre deux groupes d'élèves : groupe A (méthode traditionnelle) et groupe B (méthode interactive). - Groupe A : $ n_1 = 40 $, $ \bar{x}_1 = 8,2 $ min, $ s_1 = 1,5 $ - Groupe B : $ n_2 = 50 $, $ \bar{x}_2 = 7,5 $ min, $ s_2 = 1,2 $ Tester à $ \alpha = 0,05 $ si la méthode interactive réduit significativement le temps. - $ H_0 : \mu_1 - \mu_2 = 0 $ - $ H_1 : \mu_1 - \mu_2 > 0 $ (on teste si A est plus lent que B) - $ SE = \sqrt{\frac{1,5^2}{40} + \frac{1,2^2}{50}} = \sqrt{\frac{2,25}{40} + \frac{1,44}{50}} = \sqrt{0,05625 + 0,0288} = \sqrt{0,08505} \approx 0,2916 $ - $ Z = \frac{8,2 - 7,5}{0,2916} = \frac{0,7}{0,2916} \approx 2,40 $ - Valeur critique unilatérale à $ \alpha = 0,05 $ : $ 1,645 $ - Puisque $ 2,40 > 1,645 $, on **rejette** $ H_0 $. Conclusion : Il y a suffisamment de preuves pour affirmer que le groupe A met significativement plus de temps que le groupe B. #### Exercice d'application : Deux usines produisent des composants électroniques. On veut savoir si la durée de vie moyenne est différente. - Usine X : $ n_1 = 35 $, $ \bar{x}_1 = 1200 $ h, $ s_1 = 100 $ - Usine Y : $ n_2 = 40 $, $ \bar{x}_2 = 1150 $ h, $ s_2 = 90 $ Tester à $ \alpha = 0,01 $ si la durée de vie moyenne des deux usines est différente. **Correction** : - $ H_0 : \mu_1 - \mu_2 = 0 $ - $ H_1 : \mu_1 - \mu_2 \neq 0 $ - $ SE = \sqrt{\frac{100^2}{35} + \frac{90^2}{40}} = \sqrt{\frac{10000}{35} + \frac{8100}{40}} = \sqrt{285,71 + 202,5} = \sqrt{488,21} \approx 22,10 $ - $ Z = \frac{1200 - 1150}{22,10} = \frac{50}{22,10} \approx 2,26 $ - Valeur critique bilatérale à $ \alpha = 0,01 $ : $ \pm 2,576 $ - Puisque $ |2,26| < 2,576 $, on **ne rejette pas** $ H_0 $. Conclusion : Il n'y a pas suffisamment de preuves pour affirmer une différence significative entre les durées de vie moyennes des deux usines. --- ## Synthèse du chapitre - Les hypothèses nulle ($ H_0 $) et alternative ($ H_1 $) sont complémentaires : $ H_0 $ contient toujours un signe d'égalité, $ H_1 $ ne le contient jamais. - Le test de signification repose sur la comparaison d'une statistique de test (Z ou t) à une loi de référence (normale ou Student) sous $ H_0 $. - Pour une probabilité (binôme) : on utilise $ Z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}} $ sous les conditions $ np_0 \geq 5 $, $ n(1-p_0) \geq 5 $. - Pour la moyenne d'une loi de Poisson : on utilise $ Z = \frac{\bar{X} - \lambda_0}{\sqrt{\lambda_0/n}} $ lorsque $ \lambda_0 \geq 10 $. - Pour la moyenne d'une population : - Si $ \sigma $ connu : $ Z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} $ - Si $ \sigma $ inconnu et $ n \geq 30 $ : $ t \approx Z $ avec $ s $ à la place de $ \sigma $ - Pour la différence de deux moyennes (grands échantillons) : $ Z = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}} $, valide grâce au TCL même si les populations ne sont pas normales. - La décision se prend en comparant la statistique de test à la valeur critique ou en calculant la valeur p : - Si $ |stat| > z_{\alpha/2} $ (bilatéral) ou $ stat > z_{\alpha} $ (unilatéral supérieur) → rejet de $ H_0 $ - Sinon → non-rejet de $ H_0 $ - Ne jamais dire "accepter $ H_0 $", mais "ne pas rejeter $ H_0 $" : absence de preuve n'est pas preuve d'absence. --- ## Glossaire - **Hypothèse nulle ($ H_0 $)** : Affirmation de référence testée, généralement représentant l'absence d'effet ou de différence. - **Hypothèse alternative ($ H_1 $)** : Affirmation que l'on cherche à soutenir si les données contredisent suffisamment $ H_0 $. - **Test de signification** : Procédure statistique permettant de décider si les observations sont suffisamment improbables sous $ H_0 $ pour le rejeter. - **Valeur p** : Probabilité d'obtenir un résultat au moins aussi extrême que celui observé, en supposant que $ H_0 $ est vraie. - **Niveau de signification ($ \alpha $)** : Seuil fixé à l'avance (souvent 0,05 ou 0,01) pour décider du rejet de $ H_0 $. - **Statistique de test** : Fonction des données utilisée pour prendre la décision (ex. : Z, t). - **Loi normale centrée réduite** : Loi de probabilité $ \mathcal{N}(0,1) $ utilisée comme référence dans de nombreux tests. - **Théorème central limite (TCL)** : Théorème affirmant que la moyenne d'un échantillon suffisamment grand suit approximativement une loi normale, indépendamment de la loi de la population. - **Erreur de type I** : Rejet de $ H_0 $ alors qu'elle est vraie (faux positif). - **Erreur de type II** : Non-rejet de $ H_0 $ alors qu'elle est fausse (faux négatif). - **Puissance d'un test** : Probabilité de rejeter correctement $ H_0 $ lorsque $ H_1 $ est vraie ($ 1 - \beta $). - **Intervalle de confiance** : Intervalle contenant la vraie valeur du paramètre avec un certain niveau de confiance (lié étroitement au test d'hypothèses).