Discrete Random Variables

# Discrete Random Variables ## Objectifs et prérequis Ce chapitre vise à fournir une compréhension approfondie des variables aléatoires discrètes, essentielles pour modéliser des phénomènes où les résultats sont dénombrables et finis ou dénombrablement infinis. À la fin de ce chapitre, l'étudiant sera capable de : - Définir une variable aléatoire discrète et distinguer ses caractéristiques des variables continues. - Construire et interpréter la fonction de masse de probabilité (p.m.f) et la fonction de répartition cumulée (c.d.f). - Calculer l'espérance mathématique et la variance d'une variable aléatoire discrète, en appliquant leurs propriétés linéaires. - Déterminer le mode et la médiane d'une distribution discrète. - Utiliser la fonction génératrice des moments (MGF) pour dériver les moments d'une distribution. - Résoudre des problèmes concrets en probabilités discrètes en appliquant les théorèmes et propriétés étudiés. **Prérequis** : Maîtrise des notions de probabilité élémentaire (espaces échantillonnage, événements, probabilité conditionnelle, indépendance), des suites et séries (notamment les séries géométriques et arithmético-géométriques), et du calcul différentiel et intégral de base (pour les dérivées et limites dans les MGF). --- ## I. Elementary notions of discrete probability distributions Une **variable aléatoire discrète** est une fonction qui associe à chaque résultat d'une expérience aléatoire un nombre réel, tel que l'ensemble des valeurs possibles soit fini ou dénombrablement infini. > **Définition** : Une variable aléatoire $X$ est dite discrète si son ensemble de valeurs possibles $S_X = \{x_1, x_2, x_3, \dots\}$ est fini ou dénombrablement infini, et si pour tout $x \in S_X$, $P(X = x) > 0$, tandis que $P(X = x) = 0$ pour tout $x \notin S_X$. La **loi de probabilité** d'une variable aléatoire discrète est entièrement caractérisée par les probabilités associées à chacune de ses valeurs possibles. > **Propriété fondamentale** : Pour une variable aléatoire discrète $X$ prenant des valeurs dans $S_X$, on a : > $$ > \sum_{x \in S_X} P(X = x) = 1 \quad \text{et} \quad P(X = x) \geq 0 \quad \forall x \in S_X. > $$ ### Exemple 1 : Lancer d'un dé équilibré Soit $X$ le résultat obtenu en lançant un dé à six faces équilibré. Alors $S_X = \{1,2,3,4,5,6\}$ et : $$ P(X = k) = \frac{1}{6}, \quad k = 1,2,3,4,5,6. $$ Vérification : $\sum_{k=1}^6 \frac{1}{6} = 1$. ### Exemple 2 : Nombre de faces pile en deux lancers de pièce Soit $X$ le nombre de faces pile obtenues en lançant deux fois une pièce équilibrée. Alors $S_X = \{0,1,2\}$ et : - $P(X=0) = P(TT) = \frac{1}{4}$ - $P(X=1) = P(HT \cup TH) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ - $P(X=2) = P(HH) = \frac{1}{4}$ Vérification : $\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = 1$. ### Exercice 1 : Application Une urne contient 3 boules rouges et 2 boules bleues. On tire deux boules sans remise. Soit $X$ le nombre de boules rouges tirées. 1. Déterminer l'ensemble des valeurs possibles de $X$. 2. Calculer la loi de probabilité de $X$. 3. Vérifier que la somme des probabilités vaut 1. **Corrigé** : 1. $S_X = \{0,1,2\}$ 2. - $P(X=0) = P(\text{deux bleues}) = \frac{\binom{2}{2}}{\binom{5}{2}} = \frac{1}{10}$ - $P(X=1) = P(\text{une rouge, une bleue}) = \frac{\binom{3}{1}\binom{2}{1}}{\binom{5}{2}} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$ - $P(X=2) = P(\text{deux rouges}) = \frac{\binom{3}{2}}{\binom{5}{2}} = \frac{3}{10}$ 3. Somme : $\frac{1}{10} + \frac{6}{10} + \frac{3}{10} = \frac{10}{10} = 1$. ✅ --- ## II. The probability mass function (p.m.f) and the probability distribution La **fonction de masse de probabilité** (p.m.f) d'une variable aléatoire discrète $X$ est la fonction qui attribue à chaque valeur possible $x$ la probabilité que $X$ prenne exactement cette valeur. > **Définition** : La p.m.f de $X$, notée $p_X(x)$ ou $P(X = x)$, est définie par : > $$ > p_X(x) = P(X = x), \quad \forall x \in \mathbb{R}, > $$ > avec la propriété que $p_X(x) = 0$ pour tout $x \notin S_X$, et $\sum_{x \in S_X} p_X(x) = 1$. La **distribution de probabilité** de $X$ est l'ensemble des couples $(x, p_X(x))$ pour tout $x \in S_X$, souvent présenté sous forme de tableau ou de graphe. > **À retenir** : La p.m.f satisfait deux conditions essentielles : > 1. $p_X(x) \geq 0$ pour tout $x$, > 2. $\displaystyle\sum_{x} p_X(x) = 1$. ### Exemple 3 : Loi de Bernoulli Une variable aléatoire $X$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $p$ si elle ne prend que deux valeurs : 0 (échec) et 1 (succès), avec : $$ p_X(0) = 1-p, \quad p_X(1) = p, \quad 0 \leq p \leq 1. $$ Vérification : $(1-p) + p = 1$. ### Exemple 4 : Loi binomiale Soit $X$ le nombre de succès en $n$ essais indépendants de Bernoulli, chacun de probabilité de succès $p$. Alors $X \sim \mathcal{B}(n,p)$ et sa p.m.f est : $$ p_X(k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, \quad k = 0,1,2,\dots,n. $$ Vérification de la somme : d'après le théorème du binôme, $$ \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} = (p + (1-p))^n = 1^n = 1. $$ ### Exemple 5 : Loi de Poisson Une variable aléatoire $X$ suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda > 0$ si : $$ p_X(k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}, \quad k = 0,1,2,\dots $$ Vérification de la somme : d'après le développement en série de $e^{\lambda}$, $$ \sum_{k=0}^\infty \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} = e^{-\lambda} \sum_{k=0}^\infty \frac{\lambda^k}{k!} = e^{-\lambda} e^{\lambda} = 1. $$ ### Exercice 2 : Application Soit $X$ une variable aléatoire discrète avec p.m.f donnée par : $$ p_X(x) = \begin{cases} \frac{c}{x^2} & \text{pour } x = 1,2,3,\dots \\ 0 & \text{sinon} \end{cases} $$ 1. Déterminer la constante $c$ telle que $p_X(x)$ soit une p.m.f valide. 2. Calculer $P(X \geq 2)$. **Corrigé** : 1. Pour que $\sum_{x=1}^\infty p_X(x) = 1$, on a : $$ \sum_{x=1}^\infty \frac{c}{x^2} = c \sum_{x=1}^\infty \frac{1}{x^2} = c \cdot \frac{\pi^2}{6} = 1 \quad \Rightarrow \quad c = \frac{6}{\pi^2}. $$ (On utilise la valeur connue de la série de Basel : $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$.) 2. $$ P(X \geq 2) = 1 - P(X=1) = 1 - \frac{c}{1^2} = 1 - \frac{6}{\pi^2}. $$ --- ## III. The variance Var(X) of X and its properties L'**espérance mathématique** (ou valeur attendue) d'une variable aléatoire discrète $X$ est la moyenne pondérée de ses valeurs possibles, où les poids sont les probabilités correspondantes. > **Définition** : L'espérance de $X$, notée $E(X)$ ou $\mu_X$, est définie par : > $$ > E(X) = \sum_{x \in S_X} x \cdot p_X(x), > $$ > à condition que la série converge absolument. La **variance** de $X$ mesure la dispersion de ses valeurs autour de l'espérance. > **Définition** : La variance de $X$, notée $\text{Var}(X)$ ou $\sigma_X^2$, est définie par : > $$ > \text{Var}(X) = E\left[(X - E(X))^2\right] = \sum_{x \in S_X} (x - \mu)^2 p_X(x), > $$ > où $\mu = E(X)$. Une formule alternative, souvent plus pratique, est : > **À retenir** : > $$ > \text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2. > $$ ### Propriétés de l'espérance et de la variance Pour toute variable aléatoire discrète $X$ et toute constante $a, b \in \mathbb{R}$ : > **À retenir** : > 1. $E(aX + b) = a E(X) + b$, > 2. $\text{Var}(aX + b) = a^2 \text{Var}(X)$, > 3. Si $X$ et $Y$ sont indépendantes, alors $E(XY) = E(X)E(Y)$ et $\text{Var}(X+Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y)$. ### Exemple 6 : Espérance et variance de la loi de Bernoulli Pour $X \sim \text{Ber}(p)$ : - $E(X) = 0 \cdot (1-p) + 1 \cdot p = p$, - $E(X^2) = 0^2 \cdot (1-p) + 1^2 \cdot p = p$, - $\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = p - p^2 = p(1-p)$. ### Exemple 7 : Espérance et variance de la loi binomiale Pour $X \sim \mathcal{B}(n,p)$ : On peut écrire $X = X_1 + X_2 + \dots + X_n$, où les $X_i$ sont i.i.d. $\sim \text{Ber}(p)$. - $E(X) = \sum_{i=1}^n E(X_i) = np$, - $\text{Var}(X) = \sum_{i=1}^n \text{Var}(X_i) = np(1-p)$ (par indépendance). ### Exemple 8 : Espérance et variance de la loi de Poisson Pour $X \sim \text{Pois}(\lambda)$ : - $E(X) = \sum_{k=0}^\infty k \cdot \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} = \lambda e^{-\lambda} \sum_{k=1}^\infty \frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!} = \lambda e^{-\lambda} e^{\lambda} = \lambda$, - $E(X^2) = \sum_{k=0}^\infty k^2 \cdot \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} = \lambda + \lambda^2$ (dérivation connue), - $\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = (\lambda + \lambda^2) - \lambda^2 = \lambda$. ### Exercice 3 : Application Soit $X$ une variable aléatoire discrète avec p.m.f : $$ p_X(x) = \begin{cases} \frac{1}{8} & x = 0 \\ \frac{3}{8} & x = 1 \\ \frac{3}{8} & x = 2 \\ \frac{1}{8} & x = 3 \\ 0 & \text{sinon} \end{cases} $$ 1. Calculer $E(X)$ et $\text{Var}(X)$. 2. Soit $Y = 2X - 3$. Calculer $E(Y)$ et $\text{Var}(Y)$. **Corrigé** : 1. - $E(X) = 0\cdot\frac{1}{8} + 1\cdot\frac{3}{8} + 2\cdot\frac{3}{8} + 3\cdot\frac{1}{8} = 0 + \frac{3}{8} + \frac{6}{8} + \frac{3}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$, - $E(X^2) = 0^2\cdot\frac{1}{8} + 1^2\cdot\frac{3}{8} + 2^2\cdot\frac{3}{8} + 3^2\cdot\frac{1}{8} = 0 + \frac{3}{8} + \frac{12}{8} + \frac{9}{8} = \frac{24}{8} = 3$, - $\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 3 - \left(\frac{3}{2}\right)^2 = 3 - \frac{9}{4} = \frac{12}{4} - \frac{9}{4} = \frac{3}{4}$. 2. - $E(Y) = E(2X - 3) = 2E(X) - 3 = 2\cdot\frac{3}{2} - 3 = 3 - 3 = 0$, - $\text{Var}(Y) = \text{Var}(2X - 3) = 2^2 \text{Var}(X) = 4 \cdot \frac{3}{4} = 3$. --- ## IV. The cumulative distribution function of a discrete random variable La **fonction de répartition cumulée** (c.d.f) d'une variable aléatoire discrète $X$ donne la probabilité que $X$ soit inférieur ou égal à une certaine valeur. > **Définition** : La c.d.f de $X$, notée $F_X(x)$, est définie par : > $$ > F_X(x) = P(X \leq x) = \sum_{t \leq x} p_X(t), > $$ > pour tout $x \in \mathbb{R}$. > **À retenir** : La c.d.f d'une variable aléatoire discrète est une fonction : > 1. Non décroissante, > 2. Droit-continue (à gauche continue, mais avec des sauts à droite aux points de $S_X$), > 3. Telle que $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} F_X(x) = 0$ et $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} F_X(x) = 1$, > 4. Constante entre deux valeurs consécutives de $S_X$, et présentant un saut de hauteur $p_X(x_k)$ en $x_k$. ### Exemple 9 : c.d.f de la loi de Bernoulli Pour $X \sim \text{Ber}(p)$ : $$ F_X(x) = \begin{cases} 0 & x < 0 \\ 1-p & 0 \leq x < 1 \\ 1 & x \geq 1 \end{cases} $$ ### Exemple 10 : c.d.f de la loi binomiale $\mathcal{B}(3, \frac{1}{2})$ p.m.f : $p_X(0)=\frac{1}{8}, p_X(1)=\frac{3}{8}, p_X(2)=\frac{3}{8}, p_X(3)=\frac{1}{8}$ $$ F_X(x) = \begin{cases} 0 & x < 0 \\ \frac{1}{8} & 0 \leq x < 1 \\ \frac{1}{8}+\frac{3}{8}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2} & 1 \leq x < 2 \\ \frac{1}{2}+\frac{3}{8}=\frac{7}{8} & 2 \leq x < 3 \\ 1 & x \geq 3 \end{cases} $$ ### Exercice 4 : Application Soit $X$ avec p.m.f : $$ p_X(x) = \begin{cases} \frac{1}{6} & x = 1 \\ \frac{1}{3} & x = 2 \\ \frac{1}{2} & x = 3 \\ 0 & \text{sinon} \end{cases} $$ 1. Tracer la c.d.f $F_X(x)$. 2. Calculer $P(1 < X \leq 3)$ et $P(X \geq 2)$ en utilisant la c.d.f. **Corrigé** : 1. - $F_X(x) = 0$ pour $x < 1$, - $F_X(x) = \frac{1}{6}$ pour $1 \leq x < 2$, - $F_X(x) = \frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{1}{6} + \frac{2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ pour $2 \leq x < 3$, - $F_X(x) = 1$ pour $x \geq 3$. 2. - $P(1 < X \leq 3) = F_X(3) - F_X(1) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$, - $P(X \geq 2) = 1 - P(X < 2) = 1 - F_X(1^-) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ (ou directement $P(X=2)+P(X=3)=\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{5}{6}$). --- ## V. The mode and median of a discrete random variable Le **mode** d'une variable aléatoire discrète est la valeur la plus probable, c'est-à-dire celle qui maximise la p.m.f. > **Définition** : Un mode de $X$ est toute valeur $x^* \in S_X$ telle que : > $$ > p_X(x^*) \geq p_X(x) \quad \forall x \in S_X. > $$ > Il peut y avoir plusieurs modes (distribution multimodale) ou aucun (si toutes les probabilités sont égales, bien que rare en pratique discrète). La **médiane** d'une variable aléatoire discrète est toute valeur $m$ telle que la probabilité d'être inférieur ou égal à $m$ est au moins $\frac{1}{2}$, et celle d'être supérieur ou égal à $m$ est aussi au moins $\frac{1}{2}$. > **Définition** : Une médiane de $X$ est tout réel $m$ satisfaisant : > $$ > P(X \leq m) \geq \frac{1}{2} \quad \text{et} \quad P(X \geq m) \geq \frac{1}{2}. > $$ > Pour une variable discrète, on cherche souvent le plus petit $m$ tel que $F_X(m) \geq \frac{1}{2}$. > **À retenir** : Pour une variable discrète, la médiane peut être obtenue en trouvant le plus petit $x$ tel que $F_X(x) \geq 0.5$. ### Exemple 11 : Mode et médiane de la loi de Bernoulli Pour $X \sim \text{Ber}(p)$ : - Si $p > 0.5$, alors $p_X(1)=p > 1-p=p_X(0)$ → mode = 1. - Si $p < 0.5$, alors mode = 0. - Si $p = 0.5$, alors $p_X(0)=p_X(1)=0.5$ → deux modes : 0 et 1 (distribution bimodale). - Médiane : - Si $p < 0.5$, $F_X(0)=1-p > 0.5$ → médiane = 0, - Si $p > 0.5$, $F_X(0)=1-p < 0.5$, $F_X(1)=1 \geq 0.5$ → médiane = 1, - Si $p = 0.5$, $F_X(0)=0.5 \geq 0.5$ → médiane = 0 (on prend le plus petit). ### Exemple 12 : Mode et médiane de la loi de Poisson Pour $X \sim \text{Pois}(\lambda)$ : - Le mode est $\lfloor \lambda \rfloor$ ou $\lfloor \lambda \rfloor + 1$ selon que $\lambda$ est entier ou non. - Si $\lambda$ n'est pas entier, mode unique = $\lfloor \lambda \rfloor$, - Si $\lambda$ est entier, alors $p_X(\lambda) = p_X(\lambda-1)$ → deux modes : $\lambda-1$ et $\lambda$. - La médiane n'a pas de forme fermée simple, mais on sait qu'elle est approximativement $\lambda - \frac{1}{3}$ pour de grands $\lambda$. ### Exercice 5 : Application Soit $X$ avec p.m.f : $$ p_X(x) = \begin{cases} 0.1 & x = 0 \\ 0.2 & x = 1 \\ 0.4 & x = 2 \\ 0.2 & x = 3 \\ 0.1 & x = 4 \\ 0 & \text{sinon} \end{cases} $$ 1. Déterminer le(s) mode(s) de $X$. 2. Déterminer la médiane de $X$. **Corrigé** : 1. La probabilité maximale est $p_X(2)=0.4$ → mode unique = 2. 2. Calcul de la c.d.f : - $F_X(0) = 0.1$, - $F_X(1) = 0.1+0.2=0.3$, - $F_X(2) = 0.3+0.4=0.7 \geq 0.5$, - Donc la plus petite $x$ telle que $F_X(x) \geq 0.5$ est $x=2$ → médiane = 2. - Vérification : $P(X \leq 2)=0.7 \geq 0.5$, $P(X \geq 2)=p_X(2)+p_X(3)+p_X(4)=0.4+0.2+0.1=0.7 \geq 0.5$ → valide. --- ## VI. Moment generating functions La **fonction génératrice des moments** (MGF) d'une variable aléatoire est un outil puissant permettant de calculer tous les moments d'une distribution par dérivation. > **Définition** : La MGF de $X$, notée $M_X(t)$, est définie par : > $$ > M_X(t) = E\left(e^{tX}\right) = \sum_{x \in S_X} e^{tx} p_X(x), > $$ > pour tous les $t \in \mathbb{R}$ tels que l'espérance existe (c'est-à-dire que la série converge absolument). > **À retenir** : > Le $n$-ième moment d'origine de $X$ est donné par : > $$ > E(X^n) = M_X^{(n)}(0), > $$ > où $M_X^{(n)}(t)$ désigne la $n$-ième dérivée de $M_X(t)$ par rapport à $t$, évaluée en $t=0$. > **À retenir** : > Si $X$ et $Y$ sont indépendantes, alors $M_{X+Y}(t) = M_X(t) M_Y(t)$. ### Exemple 13 : MGF de la loi de Bernoulli Pour $X \sim \text{Ber}(p)$ : $$ M_X(t) = E(e^{tX}) = e^{t\cdot0} \cdot (1-p) + e^{t\cdot1} \cdot p = (1-p) + p e^{t}. $$ - Première dérivée : $M_X'(t) = p e^{t}$ → $M_X'(0) = p = E(X)$, - Deuxième dérivée : $M_X''(t) = p e^{t}$ → $M_X''(0) = p = E(X^2)$, - Donc $\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = p - p^2 = p(1-p)$. ### Exemple 14 : MGF de la loi binomiale Pour $X \sim \mathcal{B}(n,p)$, en utilisant l'indépendance et la MGF de Bernoulli : $$ M_X(t) = \left[ M_{\text{Ber}(p)}(t) \right]^n = \left[(1-p) + p e^{t}\right]^n. $$ - $M_X'(t) = n \left[(1-p) + p e^{t}\right]^{n-1} \cdot p e^{t}$ → $M_X'(0) = n \cdot 1^{n-1} \cdot p = np = E(X)$, - On peut poursuivre pour obtenir $E(X^2)$ et retrouver $\text{Var}(X) = np(1-p)$. ### Exemple 15 : MGF de la loi de Poisson Pour $X \sim \text{Pois}(\lambda)$ : $$ M_X(t) = E(e^{tX}) = \sum_{k=0}^\infty e^{tk} \cdot \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} = e^{-\lambda} \sum_{k=0}^\infty \frac{(\lambda e^{t})^k}{k!} = e^{-\lambda} e^{\lambda e^{t}} = e^{\lambda(e^{t} - 1)}. $$ - $M_X'(t) = \lambda e^{t} e^{\lambda(e^{t} - 1)}$ → $M_X'(0) = \lambda \cdot 1 \cdot e^{0} = \lambda = E(X)$, - $M_X''(t) = \frac{d}{dt} \left[ \lambda e^{t} e^{\lambda(e^{t} - 1)} \right] = \lambda e^{t} e^{\lambda(e^{t} - 1)} + \lambda^2 e^{2t} e^{\lambda(e^{t} - 1)}$ → $M_X''(0) = \lambda + \lambda^2 = E(X^2)$, - Donc $\text{Var}(X) = (\lambda + \lambda^2) - \lambda^2 = \lambda$. ### Exercice 6 : Application Soit $X$ une variable aléatoire discrète avec p.m.f : $$ p_X(x) = \begin{cases} \frac{1}{4} & x = -1 \\ \frac{1}{2} & x = 0 \\ \frac{1}{4} & x = 1 \\ 0 & \text{sinon} \end{cases} $$ 1. Trouver la MGF $M_X(t)$. 2. Utiliser la MGF pour calculer $E(X)$ et $\text{Var}(X)$. **Corrigé** : 1. $$ M_X(t) = E(e^{tX}) = e^{t\cdot(-1)} \cdot \frac{1}{4} + e^{t\cdot0} \cdot \frac{1}{2} + e^{t\cdot1} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{4} e^{-t} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} e^{t}. $$ 2. - Première dérivée : $$ M_X'(t) = \frac{1}{4} (-e^{-t}) + 0 + \frac{1}{4} e^{t} = -\frac{1}{4} e^{-t} + \frac{1}{4} e^{t}. $$ Alors $E(X) = M_X'(0) = -\frac{1}{4} \cdot 1 + \frac{1}{4} \cdot 1 = 0$. - Deuxième dérivée : $$ M_X''(t) = -\frac{1}{4} (-e^{-t}) + \frac{1}{4} e^{t} = \frac{1}{4} e^{-t} + \frac{1}{4} e^{t}. $$ Alors $E(X^2) = M_X''(0) = \frac{1}{4} \cdot 1 + \frac{1}{4} \cdot 1 = \frac{1}{2}$. - Donc $\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2}$. --- ## Synthèse du chapitre - Une variable aléatoire discrète est caractérisée par son ensemble de valeurs possibles dénombrable et sa fonction de masse de probabilité (p.m.f). - La p.m.f doit satisfaire la non-négativité et la somme égale à 1. - L'espérance $E(X)$ est la moyenne pondérée des valeurs par leurs probabilités. - La variance $\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ mesure la dispersion ; elle vérifie $\text{Var}(aX+b) = a^2 \text{Var}(X)$. - La fonction de répartition cumulée $F_X(x) = P(X \leq x)$ est non décroissante, tend vers 0 en $-\infty$ et vers 1 en $+\infty$, avec des sauts aux valeurs de $X$. - Le mode est la valeur maximisant la p.m.f ; la médiane est la plus petite valeur telle que $F_X(m) \geq 0.5$. - La fonction génératrice des moments $M_X(t) = E(e^{tX})$ permet d'obtenir les moments par dérivation : $E(X^n) = M_X^{(n)}(0)$. - Pour des variables indépendantes, la MGF de la somme est le produit des MGF. --- ## Glossaire - **Variable aléatoire discrète** : Variable prenant un nombre fini ou dénombrable de valeurs réelles, chacune associée à une probabilité strictement positive. - **Fonction de masse de probabilité (p.m.f)** : Fonction $p_X(x) = P(X = x)$ donnant la probabilité que la variable prenne exactement la valeur $x$. - **Espérance mathématique** : Moyenne théorique de $X$, notée $E(X)$ ou $\mu$, calculée comme $\sum x \cdot p_X(x)$. - **Variance** : Mesure de la dispersion de $X$ autour de son espérance, notée $\text{Var}(X)$ ou $\sigma^2$, définie comme $E[(X-\mu)^2]$ ou $E(X^2)-[E(X)]^2$. - **Fonction de répartition cumulée (c.d.f)** : Fonction $F_X(x) = P(X \leq x)$, donnant la probabilité que $X$ soit inférieur ou égal à $x$. - **Mode** : Valeur ou valeurs de $X$ pour lesquelles la p.m.f est maximale. - **Médiane** : Valeur $m$ telle que $P(X \leq m) \geq 0.5$ et $P(X \geq m) \geq 0.5$ ; pour une variable discrète, c'est souvent le plus petit $x$ avec $F_X(x) \geq 0.5$. - **Fonction génératrice des moments (MGF)** : Fonction $M_X(t) = E(e^{tX})$ permettant de dériver les moments de $X$ par dérivation successive en $t=0$. - **Loi de Bernoulli** : Distribution discrète à deux résultats (0 et 1) avec probabilité de succès $p$. - **Loi binomiale** : Distribution du nombre de succès en $n$ essais de Bernoulli indépendants, notée $\mathcal{B}(n,p)$. - **Loi de Poisson** : Distribution modélisant le nombre d'événements rares dans un intervalle fixe, de paramètre $\lambda$, avec p.m.f $e^{-\lambda}\lambda^k/k!$. - **Indépendance** : Propriété selon laquelle la réalisation d'une variable n'affecte pas la distribution de l'autre ; implique $E(XY)=E(X)E(Y)$ et $\text{Var}(X+Y)=\text{Var}(X)+\text{Var}(Y)$ pour des variables indépendantes.