Application Of Scalar And Vector Products

# Application Of Scalar And Vector Products ## Objectifs et prérequis Ce chapitre vise à maîtriser l'application des produits scalaire et vectoriel dans des contextes physiques et géométriques liés aux forces, moments et équilibre. À l'issue de ce cours, l'élève sera capable de : - Décomposer un vecteur selon une direction donnée en utilisant le produit scalaire. - Calculer le travail d'une force constante en utilisant le produit scalaire. - Déterminer le moment d'une force par rapport à un point ou un axe en utilisant le produit vectoriel. - Analyser l'équilibre d'un corps soumis à des forces simples ou des couples. - Résoudre des systèmes de forces coplanaires et non coplanaires en trois dimensions. - Appliquer les conditions d'équilibre statique (somme des forces et somme des moments nuls). **Prérequis** : Maîtrise des opérations sur les vecteurs (addition, soustraction, multiplication par un scalaire), du produit scalaire ($\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \vert\mathbf{a}\vert\vert\mathbf{b}\vert\cos\theta$), du produit vectoriel ($\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \vert\mathbf{a}\vert\vert\mathbf{b}\vert\sin\theta\,\mathbf{n}$), des systèmes de coordonnées cartésiennes, et des notions de base en mécanique (force, déplacement, rigidité). --- ## I. Vector Component of a Vector in a given direction La composante d'un vecteur $\mathbf{v}$ selon une direction donnée par un vecteur unitaire $\mathbf{u}$ est la projection scalaire de $\mathbf{v}$ sur $\mathbf{u}$. Elle représente l'ampleur de $\mathbf{v}$ dans la direction de $\mathbf{u}$. > **Définition** : La composante scalaire de $\mathbf{v}$ selon $\mathbf{u}$ est donnée par $\mathbf{v} \cdot \mathbf{u}$, où $\mathbf{u}$ est un vecteur unitaire ($\vert\mathbf{u}\vert = 1$). > La composante vectorielle de $\mathbf{v}$ selon $\mathbf{u}$ est $(\mathbf{v} \cdot \mathbf{u})\mathbf{u}$. **Propriétés** : - Si $\mathbf{u}$ n'est pas unitaire, on utilise $\dfrac{\mathbf{v} \cdot \mathbf{u}}{\vert\mathbf{u}\vert}$ pour la composante scalaire. - La composante vectorielle selon $\mathbf{u}$ est nulle si et seulement si $\mathbf{v} \perp \mathbf{u}$. - La somme des composantes vectorielles selon deux directions orthogonales unitaires reconstitue $\mathbf{v}$ dans le plan engendré par ces directions. **Exemple 1** : Soit $\mathbf{v} = 3\mathbf{i} + 4\mathbf{j} - 2\mathbf{k}$ et $\mathbf{u} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}\mathbf{i} + \dfrac{1}{\sqrt{3}}\mathbf{j} + \dfrac{1}{\sqrt{3}}\mathbf{k}$. Trouver la composante scalaire et vectorielle de $\mathbf{v}$ selon $\mathbf{u}$. **Solution** : $\mathbf{u}$ est unitaire car $\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 + \left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 + \left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 = \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}=1$. Composante scalaire : $\mathbf{v} \cdot \mathbf{u} = (3)(\dfrac{1}{\sqrt{3}}) + (4)(\dfrac{1}{\sqrt{3}}) + (-2)(\dfrac{1}{\sqrt{3}}) = \dfrac{3+4-2}{\sqrt{3}} = \dfrac{5}{\sqrt{3}} = \dfrac{5\sqrt{3}}{3}$. Composante vectorielle : $(\mathbf{v} \cdot \mathbf{u})\mathbf{u} = \dfrac{5}{\sqrt{3}} \left( \dfrac{1}{\sqrt{3}}\mathbf{i} + \dfrac{1}{\sqrt{3}}\mathbf{j} + \dfrac{1}{\sqrt{3}}\mathbf{k} \right) = \dfrac{5}{3}\mathbf{i} + \dfrac{5}{3}\mathbf{j} + \dfrac{5}{3}\mathbf{k}$. **Exercice 1** : Soit $\mathbf{a} = 2\mathbf{i} - 3\mathbf{j} + 6\mathbf{k}$ et $\mathbf{b} = 4\mathbf{i} + \mathbf{j} - 2\mathbf{k}$. Trouver la composante de $\mathbf{a}$ selon la direction de $\mathbf{b}$. **Corrigé** : $\vert\mathbf{b}\vert = \sqrt{4^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{16+1+4} = \sqrt{21}$. $\mathbf{u}_b = \dfrac{\mathbf{b}}{\vert\mathbf{b}\vert} = \dfrac{4}{\sqrt{21}}\mathbf{i} + \dfrac{1}{\sqrt{21}}\mathbf{j} - \dfrac{2}{\sqrt{21}}\mathbf{k}$. Composante scalaire : $\mathbf{a} \cdot \mathbf{u}_b = (2)(\dfrac{4}{\sqrt{21}}) + (-3)(\dfrac{1}{\sqrt{21}}) + (6)(-\dfrac{2}{\sqrt{21}}) = \dfrac{8 - 3 - 12}{\sqrt{21}} = \dfrac{-7}{\sqrt{21}} = -\dfrac{\sqrt{21}}{3}$. Composante vectorielle : $-\dfrac{\sqrt{21}}{3} \cdot \dfrac{\mathbf{b}}{\sqrt{21}} = -\dfrac{1}{3}\mathbf{b} = -\dfrac{4}{3}\mathbf{i} - \dfrac{1}{3}\mathbf{j} + \dfrac{2}{3}\mathbf{k}$. --- ## II. Work done by a constant force Le travail d'une force constante $\mathbf{F}$ lors d'un déplacement $\mathbf{d}$ est défini comme le produit scalaire de la force et du déplacement. Il mesure l'énergie transférée par la force au système. > **Définition** : Le travail $W$ d'une force constante $\mathbf{F}$ produisant un déplacement $\mathbf{d}$ est $W = \mathbf{F} \cdot \mathbf{d}$. > Si $\theta$ est l'angle entre $\mathbf{F}$ et $\mathbf{d}$, alors $W = \vert\mathbf{F}\vert\vert\mathbf{d}\vert\cos\theta$. **Propriétés** : - $W > 0$ si la force a une composante dans le sens du déplacement. - $W = 0$ si $\mathbf{F} \perp \mathbf{d}$ (force normale au déplacement). - $W < 0$ si la force s'oppose au déplacement (travail résistant). - Le travail est indépendant du chemin pour une force constante (mais dépend uniquement des points initial et final). **Exemple 2** : Une force $\mathbf{F} = 5\mathbf{i} + 3\mathbf{j} - 2\mathbf{k}$ (en N) agit sur un objet qui se déplace du point $A(1, -2, 3)$ au point $B(4, 1, -1)$. Calculer le travail effectué. **Solution** : $\mathbf{d} = \overrightarrow{AB} = (4-1)\mathbf{i} + (1-(-2))\mathbf{j} + (-1-3)\mathbf{k} = 3\mathbf{i} + 3\mathbf{j} - 4\mathbf{k}$. $W = \mathbf{F} \cdot \mathbf{d} = (5)(3) + (3)(3) + (-2)(-4) = 15 + 9 + 8 = 32\ \text{J}$. **Exercice 2** : Une force de 10 N agit selon la direction du vecteur $2\mathbf{i} - \mathbf{j} + 2\mathbf{k}$. Un objet se déplace de 5 m selon la direction de $\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 2\mathbf{k}$. Trouver le travail effectué. **Corrigé** : $\mathbf{F}$ : direction $2\mathbf{i} - \mathbf{j} + 2\mathbf{k}$, $\vert\mathbf{v}_F\vert = \sqrt{4+1+4}=3$, donc $\mathbf{F} = 10 \cdot \dfrac{2\mathbf{i} - \mathbf{j} + 2\mathbf{k}}{3} = \dfrac{20}{3}\mathbf{i} - \dfrac{10}{3}\mathbf{j} + \dfrac{20}{3}\mathbf{k}$. $\mathbf{d}$ : direction $\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 2\mathbf{k}$, $\vert\mathbf{v}_d\vert = \sqrt{1+4+4}=3$, donc $\mathbf{d} = 5 \cdot \dfrac{\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 2\mathbf{k}}{3} = \dfrac{5}{3}\mathbf{i} + \dfrac{10}{3}\mathbf{j} + \dfrac{10}{3}\mathbf{k}$. $W = \mathbf{F} \cdot \mathbf{d} = \left(\dfrac{20}{3}\right)\left(\dfrac{5}{3}\right) + \left(-\dfrac{10}{3}\right)\left(\dfrac{10}{3}\right) + \left(\dfrac{20}{3}\right)\left(\dfrac{10}{3}\right) = \dfrac{100}{9} - \dfrac{100}{9} + \dfrac{200}{9} = \dfrac{200}{9} \approx 22.22\ \text{J}$. --- ## III. Moment of a Force (Equilibrium) Le moment d'une force par rapport à un point mesure sa tendance à faire tourner un corps autour de ce point. Il est défini par le produit vectoriel du bras de levier et de la force. > **Définition** : Le moment $\mathbf{M}_O$ d'une force $\mathbf{F}$ appliquée en un point $P$ par rapport au point $O$ est $\mathbf{M}_O = \overrightarrow{OP} \times \mathbf{F}$, où $\overrightarrow{OP}$ est le vecteur position de $P$ par rapport à $O$. > Sa magnitude est $\vert\mathbf{M}_O\vert = \vert\overrightarrow{OP}\vert\vert\mathbf{F}\vert\sin\theta$, avec $\theta$ l'angle entre $\overrightarrow{OP}$ et $\mathbf{F}$. > La direction de $\mathbf{M}_O$ est perpendiculaire au plan contenant $\overrightarrow{OP}$ et $\mathbf{F}$, donnée par la règle de la main droite. **Propriétés** : - Si $\mathbf{F}$ passe par $O$, alors $\overrightarrow{OP}$ et $\mathbf{F}$ sont alignés → $\mathbf{M}_O = \mathbf{0}$. - Le moment d'une force nulle est nul. - Le moment d'une somme de forces est la somme des moments : $\mathbf{M}_O(\mathbf{F}_1 + \mathbf{F}_2) = \mathbf{M}_O(\mathbf{F}_1) + \mathbf{M}_O(\mathbf{F}_2)$. - En équilibre statique : $\sum \mathbf{F} = \mathbf{0}$ et $\sum \mathbf{M}_O = \mathbf{0}$ pour tout point $O$. **Exemple 3** : Une force $\mathbf{F} = 4\mathbf{i} - 3\mathbf{j} + 2\mathbf{k}$ N est appliquée au point $P(2, -1, 3)$. Trouver le moment de cette force par rapport à l'origine $O(0,0,0)$. **Solution** : $\overrightarrow{OP} = 2\mathbf{i} - \mathbf{j} + 3\mathbf{k}$. $\mathbf{M}_O = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -1 & 3 \\ 4 & -3 & 2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-1)(2) - (3)(-3)) - \mathbf{j}((2)(2) - (3)(4)) + \mathbf{k}((2)(-3) - (-1)(4))$ $= \mathbf{i}(-2 + 9) - \mathbf{j}(4 - 12) + \mathbf{k}(-6 + 4) = 7\mathbf{i} - (-8)\mathbf{j} + (-2)\mathbf{k} = 7\mathbf{i} + 8\mathbf{j} - 2\mathbf{k}\ \text{N·m}$. **Exercice 3** : Une force de 15 N agit selon la direction de $\mathbf{i} + 2\mathbf{j} - 2\mathbf{k}$ au point $Q(1, 4, -2)$. Trouver le moment de cette force par rapport au point $C(3, -1, 1)$. **Corrigé** : $\mathbf{F}$ : direction $\mathbf{i} + 2\mathbf{j} - 2\mathbf{k}$, $\vert\mathbf{v}\vert = \sqrt{1+4+4}=3$, donc $\mathbf{F} = 15 \cdot \dfrac{\mathbf{i} + 2\mathbf{j} - 2\mathbf{k}}{3} = 5\mathbf{i} + 10\mathbf{j} - 10\mathbf{k}$. $\overrightarrow{CQ} = Q - C = (1-3)\mathbf{i} + (4-(-1))\mathbf{j} + (-2-1)\mathbf{k} = -2\mathbf{i} + 5\mathbf{j} - 3\mathbf{k}$. $\mathbf{M}_C = \overrightarrow{CQ} \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -2 & 5 & -3 \\ 5 & 10 & -10 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((5)(-10) - (-3)(10)) - \mathbf{j}((-2)(-10) - (-3)(5)) + \mathbf{k}((-2)(10) - (5)(5))$ $= \mathbf{i}(-50 + 30) - \mathbf{j}(20 + 15) + \mathbf{k}(-20 - 25) = -20\mathbf{i} - 35\mathbf{j} - 45\mathbf{k}\ \text{N·m}$. --- ## IV. Single Forces/Couples Un **couple** est formé par deux forces égales en intensité, parallèles, de sens opposé, et non alignées. Il produit un moment pur sans résultante force. > **Définition** : Un couple est constitué de deux forces $\mathbf{F}$ et $-\mathbf{F}$ appliquées en des points $P$ et $Q$. Son moment (ou torque) est $\mathbf{M} = \overrightarrow{PQ} \times \mathbf{F}$, indépendant du point de référence. > Le moment d'un couple est un vecteur libre : il a la même valeur quel que soit le point par rapport auquel on le calcule. **Propriétés** : - La résultante force d'un couple est nulle : $\mathbf{F} + (-\mathbf{F}) = \mathbf{0}$. - Le moment d'un couple dépend uniquement de la distance perpendiculaire entre les lignes d'action et de l'intensité de la force : $\vert\mathbf{M}\vert = F \cdot d$, où $d$ est l'écartement perpendiculaire. - Deux couples sont équivalents s'ils ont le même moment (même magnitude, même direction et même sens). - Un couple ne peut être équilibré que par un autre couple de moment opposé. **Exemple 4** : Deux forces de 20 N chacune agissent selon les directions $-\mathbf{i}$ et $\mathbf{i}$ aux points $A(0, 1, 0)$ et $B(0, -1, 0)$. Montrer qu'elles forment un couple et calculer son moment. **Solution** : $\mathbf{F}_A = -20\mathbf{i}$, $\mathbf{F}_B = 20\mathbf{i}$ → résultante force = $-20\mathbf{i} + 20\mathbf{i} = \mathbf{0}$. $\overrightarrow{AB} = B - A = (0-0)\mathbf{i} + (-1-1)\mathbf{j} + (0-0)\mathbf{k} = -2\mathbf{j}$. Prendre le moment par rapport à $A$ : $\mathbf{M}_A = \overrightarrow{AA} \times \mathbf{F}_A + \overrightarrow{AB} \times \mathbf{F}_B = \mathbf{0} + (-2\mathbf{j}) \times (20\mathbf{i}) = -40 (\mathbf{j} \times \mathbf{i}) = -40 (-\mathbf{k}) = 40\mathbf{k}\ \text{N·m}$. Vérifier par rapport à l'origine : $\overrightarrow{OA} = \mathbf{j}$, $\overrightarrow{OB} = -\mathbf{j}$. $\mathbf{M}_O = \overrightarrow{OA} \times \mathbf{F}_A + \overrightarrow{OB} \times \mathbf{F}_B = (\mathbf{j}) \times (-20\mathbf{i}) + (-\mathbf{j}) \times (20\mathbf{i}) = -20(\mathbf{j}\times\mathbf{i}) -20(-\mathbf{j}\times\mathbf{i}) = -20(-\mathbf{k}) -20(\mathbf{k}) = 20\mathbf{k} -20\mathbf{k}$ ? Attendre : $\mathbf{j} \times (-\mathbf{i}) = -(\mathbf{j}\times\mathbf{i}) = -(-\mathbf{k}) = \mathbf{k}$ → $-20 \cdot \mathbf{k} = -20\mathbf{k}$ ? Refaire : $\overrightarrow{OA} \times \mathbf{F}_A = (0,1,0) \times (-20,0,0) = \begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\0&1&0\\-20&0&0\end{vmatrix} = \mathbf{i}(0)- \mathbf{j}(0)+ \mathbf{k}(0 - (-20)) = 20\mathbf{k}$. $\overrightarrow{OB} \times \mathbf{F}_B = (0,-1,0) \times (20,0,0) = \begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\0&-1&0\\20&0&0\end{vmatrix} = \mathbf{i}(0)- \mathbf{j}(0)+ \mathbf{k}(0 - (-20)) = 20\mathbf{k}$. Donc $\mathbf{M}_O = 20\mathbf{k} + 20\mathbf{k} = 40\mathbf{k}\ \text{N·m}$. Même résultat → couple équivalent. **Exercice 4** : Deux forces de 12 N chacune agissent selon $2\mathbf{j}$ et $-2\mathbf{j}$ aux points $P(3, 0, -1)$ et $Q(3, 4, -1)$. Montrer qu'elles forment un couple et trouver son moment. **Corrigé** : $\mathbf{F}_P = 12 \cdot \dfrac{2\mathbf{j}}{\vert 2\mathbf{j}\vert} = 12\mathbf{j}$ (puisque $\vert 2\mathbf{j}\vert=2$, mais direction est $\mathbf{j}$ → attendez : direction $2\mathbf{j}$ est même que $\mathbf{j}$, donc force = $12\mathbf{j}$ si on prend l'intensité 12 N dans cette direction. En fait : si la force est de 12 N selon $2\mathbf{j}$, alors le vecteur force est $12 \cdot \dfrac{2\mathbf{j}}{\vert 2\mathbf{j}\vert} = 12 \cdot \dfrac{2\mathbf{j}}{2} = 12\mathbf{j}$. Oui. De même, force en $Q$ : $-12\mathbf{j}$. Résultante force : $12\mathbf{j} + (-12\mathbf{j}) = \mathbf{0}$. $\overrightarrow{PQ} = Q - P = (3-3)\mathbf{i} + (4-0)\mathbf{j} + (-1-(-1))\mathbf{k} = 4\mathbf{j}$. Moment par rapport à $P$ : $\overrightarrow{PP} \times \mathbf{F}_P + \overrightarrow{PQ} \times \mathbf{F}_Q = \mathbf{0} + (4\mathbf{j}) \times (-12\mathbf{j}) = -48 (\mathbf{j} \times \mathbf{j}) = \mathbf{0}$ ? Erreur : les forces sont parallèles à $\overrightarrow{PQ}$ → moment nul ? Mais attendez : les forces sont selon $\mathbf{j}$, et $\overrightarrow{PQ}$ est aussi selon $\mathbf{j}$ → elles sont alignées avec le vecteur reliant les points → donc les lignes d'action sont confondues ? Non : les points $P$ et $Q$ sont sur une ligne parallèle à $\mathbf{j}$, et les forces sont aussi selon $\mathbf{j}$ → donc les deux forces sont colinéaires avec la ligne $PQ$ → donc elles forment un système de forces alignées, pas un couple ! Pour un couple, les forces doivent être parallèles mais non colinéaires avec le segment joignant leurs points d'application. Ici, $\overrightarrow{PQ} = 4\mathbf{j}$, et les forces sont $\pm 12\mathbf{j}$ → donc $\overrightarrow{PQ}$ est parallèle aux forces → le bras de levier perpendiculaire est nul → moment nul. Donc ce n'est **pas** un couple. Correction de l'exercice : prendre des points non alignés avec la direction des forces. Nouvel exercice : Deux forces de 12 N chacune agissent selon $2\mathbf{i}$ et $-2\mathbf{i}$ aux points $P(0, 3, 0)$ et $Q(0, 0, 4)$. Montrer qu'elles forment un couple et trouver son moment. **Corrigé** : $\mathbf{F}_P = 12 \cdot \dfrac{2\mathbf{i}}{\vert 2\mathbf{i}\vert} = 12\mathbf{i}$, $\mathbf{F}_Q = -12\mathbf{i}$. Résultante force = $\mathbf{0}$. $\overrightarrow{PQ} = Q - P = (0-0)\mathbf{i} + (0-3)\mathbf{j} + (4-0)\mathbf{k} = -3\mathbf{j} + 4\mathbf{k}$. Moment par rapport à $P$ : $\overrightarrow{PQ} \times \mathbf{F}_Q = (-3\mathbf{j} + 4\mathbf{k}) \times (-12\mathbf{i}) = -12 [ (-3\mathbf{j}) \times \mathbf{i} + (4\mathbf{k}) \times \mathbf{i} ] = -12 [ -3(\mathbf{j}\times\mathbf{i}) + 4(\mathbf{k}\times\mathbf{i}) ] = -12 [ -3(-\mathbf{k}) + 4(\mathbf{j}) ] = -12 [ 3\mathbf{k} + 4\mathbf{j} ] = -48\mathbf{j} - 36\mathbf{k}$. Ou directement : $\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & -3 & 4 \\ -12 & 0 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0) - \mathbf{j}(0 - (-48)) + \mathbf{k}(0 - 36) = 0\mathbf{i} - \mathbf{j}(48) + \mathbf{k}(-36) = -48\mathbf{j} - 36\mathbf{k}\ \text{N·m}$. Magnitude : $\sqrt{(-48)^2 + (-36)^2} = \sqrt{2304 + 1296} = \sqrt{3600} = 60\ \text{N·m}$. Vérifier par rapport à l'origine : $\overrightarrow{OP} = 3\mathbf{j}$, $\overrightarrow{OQ} = 4\mathbf{k}$. $\mathbf{M}_O = (3\mathbf{j}) \times (12\mathbf{i}) + (4\mathbf{k}) \times (-12\mathbf{i}) = 36(\mathbf{j}\times\mathbf{i}) - 48(\mathbf{k}\times\mathbf{i}) = 36(-\mathbf{k}) - 48(\mathbf{j}) = -48\mathbf{j} - 36\mathbf{k}$. Même résultat → couple équivalent, moment libre. --- ## V. Coplanar Forces Des forces sont coplanaires si leurs lignes d'action se trouvent dans un même plan. Pour un corps rigide soumis à des forces coplanaires, l'équilibre nécessite que la somme vectorielle des forces soit nulle et que la somme des moments par rapport à tout point dans le plan soit nulle. > **Définition** : Un système de forces est coplanaire si tous les vecteurs force et leurs points d'application se trouvent dans un même plan (généralement le plan $xy$ pour simplifier). > En équilibre : $\sum F_x = 0$, $\sum F_y = 0$, et $\sum M_O = 0$ pour tout point $O$ dans le plan. **Propriétés** : - Le moment d'une force dans le plan $xy$ par rapport à l'origine est un scalaire signé : $M_O = x F_y - y F_x$ (composante $z$ du produit vectoriel). - On peut remplacer un système de forces coplanaires par une résultante unique (force et moment) ou par un couple si la résultante force est nulle. - Trois forces non parallèles en équilibre sont concourantes (leurs lignes d'action se rencontrent en un seul point) — théorème de Lami si les angles sont connus. **Exemple 5** : Trois forces agissent sur un corps dans le plan $xy$ : $\mathbf{F}_1 = 5\mathbf{i}\ \text{N}$ en $A(2, 0)$, $\mathbf{F}_2 = 3\mathbf{j}\ \text{N}$ en $B(0, 4)$, $\mathbf{F}_3 = -4\mathbf{i} - 3\mathbf{j}\ \text{N}$ en $C(1, 2)$. Vérifier si le système est en équilibre. **Solution** : Somme des forces : $\sum F_x = 5 + 0 + (-4) = 1 \neq 0$ $\sum F_y = 0 + 3 + (-3) = 0$ Puisque $\sum F_x \neq 0$, le système n'est pas en équilibre, quel que soit le moment. Pas besoin de calculer les moments. **Exercice 5** : Trois forces de 10 N chacune agissent dans le plan $xy$ : $\mathbf{F}_1 = 10\mathbf{i}$ en $P(0, 3)$, $\mathbf{F}_2 = -10\mathbf{i}$ en $Q(4, 0)$, $\mathbf{F}_3 = 10\mathbf{j}$ en $R(0, 0)$. Vérifier l'équilibre. Si non en équilibre, trouver la force supplémentaire nécessaire pour l'équilibre. **Corrigé** : Somme des forces : $\sum F_x = 10 + (-10) + 0 = 0$ $\sum F_y = 0 + 0 + 10 = 10 \neq 0$ Donc pas en équilibre. Pour équilibre, il faut ajouter une force $\mathbf{F}_4$ telle que $\sum \mathbf{F} = \mathbf{0}$ → $\mathbf{F}_4 = -10\mathbf{j}\ \text{N}$. Vérifier le moment : prendre le moment par rapport à l'origine $O(0,0)$. $\mathbf{M}_O = \overrightarrow{OP} \times \mathbf{F}_1 + \overrightarrow{OQ} \times \mathbf{F}_2 + \overrightarrow{OR} \times \mathbf{F}_3$ $= (0\mathbf{i}+3\mathbf{j}) \times (10\mathbf{i}) + (4\mathbf{i}+0\mathbf{j}) \times (-10\mathbf{i}) + (0\mathbf{i}+0\mathbf{j}) \times (10\mathbf{j})$ $= 30 (\mathbf{j}\times\mathbf{i}) + (-40) (\mathbf{i}\times\mathbf{i}) + \mathbf{0} = 30(-\mathbf{k}) + \mathbf{0} = -30\mathbf{k}\ \text{N·m}$. Avec $\mathbf{F}_4 = -10\mathbf{j}$ en un point quelconque, disons en $S(0,0)$ pour simplifier : $\overrightarrow{OS} \times \mathbf{F}_4 = \mathbf{0} \times (-10\mathbf{j}) = \mathbf{0}$. Moment total : $-30\mathbf{k} + \mathbf{0} = -30\mathbf{k} \neq \mathbf{0}$ → toujours pas en équilibre ! Il faut choisir le point d'application de $\mathbf{F}_4$ pour annuler le moment. Soit $\mathbf{F}_4 = -10\mathbf{j}$ appliqué en un point $S(x, y)$. Moment dû à $\mathbf{F}_4$ : $\overrightarrow{OS} \times \mathbf{F}_4 = (x\mathbf{i}+y\mathbf{j}) \times (-10\mathbf{j}) = -10x (\mathbf{i}\times\mathbf{j}) -10y (\mathbf{j}\times\mathbf{j}) = -10x \mathbf{k} + \mathbf{0} = -10x \mathbf{k}$. Moment total : $-30\mathbf{k} + (-10x \mathbf{k}) = -(30 + 10x)\mathbf{k}$. Pour l'annuler : $-(30 + 10x) = 0$ → $x = -3$. $y$ est libre (puisque $\mathbf{j} \times \mathbf{j} = \mathbf{0}$). Donc ajouter une force de $10\ \text{N}$ selon $-\mathbf{j}$ appliquée en tout point de la droite $x = -3$ (par exemple en $S(-3, 0)$) pour obtenir l'équilibre. Vérification : Forces : $\sum F_x = 10-10+0+0=0$, $\sum F_y = 0+0+10-10=0$. Moments par rapport à $O$ : $\mathbf{F}_1$ : $(0,3)\times(10,0) = 30(\mathbf{j}\times\mathbf{i}) = -30\mathbf{k}$ $\mathbf{F}_2$ : $(4,0)\times(-10,0) = -40(\mathbf{i}\times\mathbf{i}) = \mathbf{0}$ $\mathbf{F}_3$ : $(0,0)\times(0,10) = \mathbf{0}$ $\mathbf{F}_4$ : $(-3,0)\times(0,-10) = (-3)(-10)(\mathbf{i}\times\mathbf{j}) = 30\mathbf{k}$ Somme des moments : $-30\mathbf{k} + \mathbf{0} + \mathbf{0} + 30\mathbf{k} = \mathbf{0}$. Équilibre atteint. ---