Numerical Methods

# Numerical Methods ## Objectifs et prérequis Ce chapitre vise à fournir aux élèves de Upper Sixth (anglophone, système éducatif camerounais) une maîtrise approfondie des méthodes numériques essentielles en mathématiques appliquées. À l’issue de ce cours, l’élève sera capable de : - Appliquer la règle de Simpson pour approximer une intégrale définie avec une précision contrôlée, en comprenant ses conditions d’application et son erreur. - Construire et utiliser des développements en série de Taylor pour approximer des fonctions autour d’un point, en maîtrisant le reste de Lagrange et les intervalles de convergence. - Résoudre numériquement des équations différentielles ordinaires du premier ordre à l’aide de la méthode d’Euler (pas à pas), en analysant la stabilité et l’erreur globale. - Interpréter les résultats numériques dans un contexte physique ou géométrique, et comparer les méthodes selon leur précision et leur complexité. **Prérequis** : - Maîtrise du calcul différentiel et intégral (dérivées, intégrales définies, théorème fondamental du calcul). - Connaissance des suites et séries (convergence, série de Maclaurin). - Familiarité avec les fonctions élémentaires (exponentielle, logarithme, trigonométriques) et leurs dérivées. - Notions de base en approximation et erreurs (erreur absolue, relative, ordre de convergence). --- ## I. Simpson’s Rule and its Applications ### Définition et principe La règle de Simpson est une méthode d’intégration numérique qui approxime l’intégrale définie d’une fonction $f(x)$ sur un intervalle $[a, b]$ en approximant $f(x)$ par un polynôme du second degré (parabole) sur chaque sous-intervalle de deux pas. > **Règle de Simpson (forme composée)** : > Pour un intervalle $[a, b]$ divisé en $n$ sous-intervalles de même largeur $h = \frac{b-a}{n}$, où $n$ est pair, > $$ > \int_a^b f(x) \, dx \approx \frac{h}{3} \left[ f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + 4f(x_3) + \cdots + 2f(x_{n-2}) + 4f(x_{n-1}) + f(x_n) \right] > $$ > avec $x_k = a + kh$, $k = 0, 1, \dots, n$. > **Erreur de la règle de Simpson** : > Si $f \in C^4[a, b]$, alors l’erreur $E_S$ vérifie : > $$ > E_S = -\frac{(b-a)h^4}{180} f^{(4)}(\xi), \quad \xi \in (a, b) > $$ > Donc l’erreur est en $O(h^4)$ : la méthode est d’ordre 4. ### Exemple résolu 1 : Approximation de $\int_0^2 x^3 \, dx$ avec $n=4$ On veut approximer $I = \int_0^2 x^3 \, dx$. - $a=0$, $b=2$, $n=4$ (pair) → $h = \frac{2-0}{4} = 0.5$ - Points : $x_0=0$, $x_1=0.5$, $x_2=1$, $x_3=1.5$, $x_4=2$ - Valeurs de $f(x)=x^3$ : $f(0)=0$, $f(0.5)=0.125$, $f(1)=1$, $f(1.5)=3.375$, $f(2)=8$ Application de la formule : $$ I \approx \frac{0.5}{3} \left[ 0 + 4(0.125) + 2(1) + 4(3.375) + 8 \right] = \frac{0.5}{3} \left[ 0 + 0.5 + 2 + 13.5 + 8 \right] = \frac{0.5}{3} \times 24 = \frac{12}{3} = 4 $$ Valeur exacte : $\int_0^2 x^3 dx = \left[\frac{x^4}{4}\right]_0^2 = \frac{16}{4} = 4$ → Erreur nulle ici car $x^3$ est un polynôme de degré 3, et Simpson est exact pour les polynômes de degré ≤ 3. ### Exemple résolu 2 : Approximation de $\int_0^1 e^{-x^2} dx$ avec $n=4$ On veut $I = \int_0^1 e^{-x^2} dx$ (intégrale de Gauss, pas de primitive élémentaire). - $a=0$, $b=1$, $n=4$ → $h=0.25$ - Points : $x_0=0$, $x_1=0.25$, $x_2=0.5$, $x_3=0.75$, $x_4=1$ - $f(x)=e^{-x^2}$ : $f(0)=1$ $f(0.25)=e^{-0.0625} \approx 0.9394$ $f(0.5)=e^{-0.25} \approx 0.7788$ $f(0.75)=e^{-0.5625} \approx 0.5698$ $f(1)=e^{-1} \approx 0.3679$ Application : $$ I \approx \frac{0.25}{3} \left[ 1 + 4(0.9394) + 2(0.7788) + 4(0.5698) + 0.3679 \right] $$ $$ = \frac{0.25}{3} \left[ 1 + 3.7576 + 1.5576 + 2.2792 + 0.3679 \right] = \frac{0.25}{3} \times 8.9623 \approx \frac{2.2406}{3} \approx 0.7469 $$ Valeur exacte (approchée) : $\int_0^1 e^{-x^2} dx \approx 0.746824$ → Erreur absolue ≈ $0.000076$, très bonne précision pour $n=4$. ### Exercices d’application corrigés **Exercice 1** : Utiliser la règle de Simpson avec $n=6$ pour approximer $\int_1^3 \frac{1}{x} dx$. Comparer avec la valeur exacte $\ln 3 \approx 1.0986$. **Correction** : $a=1$, $b=3$, $n=6$ → $h=\frac{2}{6}=\frac{1}{3} \approx 0.3333$ Points : $x_k = 1 + k/3$, $k=0..6$ $f(x)=1/x$ $f(0)=1$, $f(1/3)=3$, $f(2/3)=1.5$, $f(1)=1$, $f(4/3)=0.75$, $f(5/3)=0.6$, $f(2)=0.5$ Somme pondérée : $f_0 + 4f_1 + 2f_2 + 4f_3 + 2f_4 + 4f_5 + f_6$ $= 1 + 4(3) + 2(1.5) + 4(1) + 2(0.75) + 4(0.6) + 0.5$ $= 1 + 12 + 3 + 4 + 1.5 + 2.4 + 0.5 = 24.4$ $I \approx \frac{h}{3} \times 24.4 = \frac{1/3}{3} \times 24.4 = \frac{1}{9} \times 24.4 \approx 2.7111$ → **Erreur !** Attention : $h = (b-a)/n = 2/6 = 1/3$, donc $\frac{h}{3} = \frac{1}{9}$ → $24.4 / 9 \approx 2.711$ → mais l’intégrale de $1/x$ de 1 à 3 est $\ln 3 \approx 1.0986$ → **erreur de calcul dans les valeurs !** Reprenons : $f(x)=1/x$ $x_0=1$ → $f=1$ $x_1=1+1/3=4/3≈1.333$ → $f=3/4=0.75$ $x_2=1+2/3=5/3≈1.667$ → $f=3/5=0.6$ $x_3=2$ → $f=0.5$ $x_4=2+1/3=7/3≈2.333$ → $f=3/7≈0.4286$ $x_5=2+2/3=8/3≈2.667$ → $f=3/8=0.375$ $x_6=3$ → $f=1/3≈0.3333$ Somme : $f_0 + 4f_1 + 2f_2 + 4f_3 + 2f_4 + 4f_5 + f_6$ $= 1 + 4(0.75) + 2(0.6) + 4(0.5) + 2(0.4286) + 4(0.375) + 0.3333$ $= 1 + 3 + 1.2 + 2 + 0.8572 + 1.5 + 0.3333 = 9.8905$ $I \approx \frac{h}{3} \times 9.8905 = \frac{1/3}{3} \times 9.8905 = \frac{1}{9} \times 9.8905 \approx 1.0989$ Valeur exacte : $\ln 3 \approx 1.098612$ → Erreur absolue ≈ $0.0003$, excellente précision. **Exercice 2** : Estimer l’erreur maximale possible lors de l’utilisation de la règle de Simpson avec $n=4$ pour approximer $\int_0^{\pi} \sin x \, dx$. Sachant que $f^{(4)}(x) = \sin x$. **Correction** : $I_{exacte} = \int_0^{\pi} \sin x dx = [-\cos x]_0^{\pi} = -(-1) - (-1) = 2$ Erreur de Simpson : $|E_S| \leq \frac{(b-a)h^4}{180} \max_{[a,b]} |f^{(4)}(x)|$ $a=0$, $b=\pi$, $n=4$ → $h=\pi/4$ $f^{(4)}(x)=\sin x$ → $\max |f^{(4)}| = 1$ sur $[0,\pi]$ $$ |E_S| \leq \frac{(\pi - 0)(\pi/4)^4}{180} = \frac{\pi \cdot \pi^4 / 256}{180} = \frac{\pi^5}{46080} \approx \frac{306.02}{46080} \approx 0.00664 $$ Valeur approchée avec $n=4$ : $h=\pi/4≈0.7854$ Points : $0, \pi/4, \pi/2, 3\pi/4, \pi$ $f=\sin$: $0, \sqrt{2}/2≈0.7071, 1, \sqrt{2}/2≈0.7071, 0$ Somme : $0 + 4(0.7071) + 2(1) + 4(0.7071) + 0 = 2.8284 + 2 + 2.8284 = 7.6568$ $I \approx \frac{h}{3} \times 7.6568 = \frac{0.7854}{3} \times 7.6568 ≈ 0.2618 \times 7.6568 ≈ 2.004$ Erreur réelle ≈ $|2.004 - 2| = 0.004 < 0.00664$ → cohérent. --- ## II. Polynomial approximations using Taylor series ### Définition et principe Le développement en série de Taylor d’une fonction $f$ autour d’un point $a$ permet d’approximer $f(x)$ par un polynôme dont les coefficients dépendent des dérivées de $f$ en $a$. Plus l’ordre est élevé, meilleure est l’approximation près de $a$. > **Formule de Taylor** : > Si $f$ est $n$-fois dérivable en $a$, alors > $$ > f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + R_n(x) > $$ > où $R_n(x)$ est le reste. > **Reste de Lagrange** : > $$ > R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}, \quad \xi \text{ entre } a \text{ et } x > $$ > **Série de Maclaurin** : cas particulier où $a=0$ : > $$ > f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(0)}{k!} x^k > $$ ### Exemple résolu 1 : Développement de $e^x$ en série de Maclaurin jusqu’à l’ordre 3 $f(x)=e^x$ → toutes les dérivées sont $e^x$ → en $0$, $f^{(k)}(0)=1$ pour tout $k$. $$ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + R_3(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + R_3(x) $$ Avec $R_3(x) = \frac{e^{\xi}}{4!} x^4$, $\xi \in (0,x)$ Pour $x=0.1$ : Approximation : $1 + 0.1 + \frac{0.01}{2} + \frac{0.001}{6} = 1 + 0.1 + 0.005 + 0.0001667 ≈ 1.1051667$ Valeur exacte : $e^{0.1} ≈ 1.1051709$ → Erreur ≈ $0.0000042$, très faible. ### Exemple résolu 2 : Développement de $\sin x$ autour de $a=0$ jusqu’à l’ordre 5 $f(x)=\sin x$ $f(0)=0$ $f'(x)=\cos x$ → $f'(0)=1$ $f''(x)=-\sin x$ → $f''(0)=0$ $f'''(x)=-\cos x$ → $f'''(0)=-1$ $f^{(4)}(x)=\sin x$ → $f^{(4)}(0)=0$ $f^{(5)}(x)=\cos x$ → $f^{(5)}(0)=1$ $$ \sin x = 0 + 1\cdot x + \frac{0}{2!}x^2 + \frac{-1}{3!}x^3 + \frac{0}{4!}x^4 + \frac{1}{5!}x^5 + R_5(x) = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + R_5(x) $$ Avec $R_5(x) = \frac{f^{(6)}(\xi)}{6!} x^6 = \frac{-\sin \xi}{720} x^6$ Pour $x=0.5$ : Approximation : $0.5 - \frac{0.125}{6} + \frac{0.03125}{120} = 0.5 - 0.020833 + 0.0002604 ≈ 0.4794274$ Valeur exacte : $\sin(0.5) ≈ 0.4794255$ → Erreur ≈ $0.0000019$ ### Exemple résolu 3 : Approximation de $\ln(1+x)$ par série de Maclaurin jusqu’à l’ordre 4, et estimation de l’erreur pour $x=0.2$ $f(x)=\ln(1+x)$ $f(0)=0$ $f'(x)=\frac{1}{1+x}$ → $f'(0)=1$ $f''(x)=-\frac{1}{(1+x)^2}$ → $f''(0)=-1$ $f'''(x)=\frac{2}{(1+x)^3}$ → $f'''(0)=2$ $f^{(4)}(x)=-\frac{6}{(1+x)^4}$ → $f^{(4)}(0)=-6$ $$ \ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + R_4(x) $$ $R_4(x) = \frac{f^{(5)}(\xi)}{5!} x^5 = \frac{24}{(1+\xi)^5} \cdot \frac{x^5}{120} = \frac{x^5}{5(1+\xi)^5}$ Pour $x=0.2$ : Approximation : $0.2 - \frac{0.04}{2} + \frac{0.008}{3} - \frac{0.0016}{4} = 0.2 - 0.02 + 0.0026667 - 0.0004 = 0.1822667$ Valeur exacte : $\ln(1.2) ≈ 0.1823216$ → Erreur ≈ $0.0000549$ Estimation de l’erreur par reste de Lagrange : $|R_4(0.2)| \leq \frac{(0.2)^5}{5 \cdot (1+0)^5} = \frac{0.00032}{5} = 0.000064$ (puisque $\xi \in [0,0.2]$, $(1+\xi)^5 \geq 1$) → Borne supérieure : $0.000064$, erreur réelle $0.0000549 < 0.000064$ → cohérent. ### Exercices d’application corrigés **Exercice 1** : Développer $\cos x$ en série de Maclaurin jusqu’à l’ordre 6. Utiliser cette approximation pour calculer $\cos(0.3)$ et estimer l’erreur maximale possible avec le reste de Lagrange. **Correction** : $f(x)=\cos x$ $f(0)=1$ $f'(x)=-\sin x$ → $f'(0)=0$ $f''(x)=-\cos x$ → $f''(0)=-1$ $f'''(x)=\sin x$ → $f'''(0)=0$ $f^{(4)}(x)=\cos x$ → $f^{(4)}(0)=1$ $f^{(5)}(x)=-\sin x$ → $f^{(5)}(0)=0$ $f^{(6)}(x)=-\cos x$ → $f^{(6)}(0)=-1$ $$ \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + R_6(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \frac{x^6}{720} + R_6(x) $$ Pour $x=0.3$ : $1 - \frac{0.09}{2} + \frac{0.0081}{24} - \frac{0.000729}{720} = 1 - 0.045 + 0.0003375 - 0.0000010125 ≈ 0.9553365$ Valeur exacte : $\cos(0.3) ≈ 0.955336489$ → Erreur ≈ $1.1 \times 10^{-7}$ Reste : $R_6(x) = \frac{f^{(7)}(\xi)}{7!} x^7$, $f^{(7)}(x)=\sin x$ → $|f^{(7)}(\xi)| \leq 1$ $|R_6(0.3)| \leq \frac{(0.3)^7}{5040} = \frac{0.0002187}{5040} ≈ 4.34 \times 10^{-8}$ → Erreur réelle $< $ borne supérieure → cohérent. **Exercice 2** : Trouver le développement de Taylor de $f(x)=\frac{1}{1-x}$ autour de $a=0$ jusqu’à l’ordre 4. Préciser l’intervalle de convergence. **Correction** : $f(x)=(1-x)^{-1}$ $f(0)=1$ $f'(x)=(1-x)^{-2}$ → $f'(0)=1$ $f''(x)=2(1-x)^{-3}$ → $f''(0)=2$ $f'''(x)=6(1-x)^{-4}$ → $f'''(0)=6$ $f^{(4)}(x)=24(1-x)^{-5}$ → $f^{(4)}(0)=24$ $$ \frac{1}{1-x} = 1 + x + \frac{2}{2!}x^2 + \frac{6}{3!}x^3 + \frac{24}{4!}x^4 + \cdots = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + \cdots $$ C’est la série géométrique : converge si $|x| < 1$. → Intervalle de convergence : $(-1, 1)$ --- ## III. Step-by-step method of differential equations ### Définition et principe La méthode d’Euler (ou méthode du pas à pas) est une technique numérique pour approximer la solution d’une équation différentielle ordinaire du premier ordre de la forme : $$ \frac{dy}{dx} = f(x, y), \quad y(x_0) = y_0 $$ Elle consiste à utiliser la dérivée en un point pour estimer la valeur de la fonction au point suivant, en supposant que la pente est constante sur un petit intervalle $h$. > **Formule d’Euler** : > $$ > y_{n+1} = y_n + h \cdot f(x_n, y_n) > $$ > avec $x_{n+1} = x_n + h$, $h$ = pas de discrétisation. > **Erreur locale** : $O(h^2)$ > **Erreur globale** : $O(h)$ → méthode d’ordre 1. > **Stabilité** : La méthode peut devenir instable si $h$ est trop grand, surtout pour des équations raides. ### Exemple résolu 1 : Résoudre $y' = x + y$, $y(0)=1$ avec $h=0.1$ sur $[0, 0.3]$ On veut $y(0.3)$. - $x_0=0$, $y_0=1$, $h=0.1$ - $f(x,y)=x+y$ **Étape 1** : $x_1=0.1$ $y_1 = y_0 + h \cdot f(x_0, y_0) = 1 + 0.1 \cdot (0 + 1) = 1 + 0.1 = 1.1$ **Étape 2** : $x_2=0.2$ $y_2 = y_1 + h \cdot f(x_1, y_1) = 1.1 + 0.1 \cdot (0.1 + 1.1) = 1.1 + 0.1 \cdot 1.2 = 1.1 + 0.12 = 1.22$ **Étape 3** : $x_3=0.3$ $y_3 = y_2 + h \cdot f(x_2, y_2) = 1.22 + 0.1 \cdot (0.2 + 1.22) = 1.22 + 0.1 \cdot 1.42 = 1.22 + 0.142 = 1.362$ Valeur exacte ? Équation linéaire : $y' - y = x$ Solution homogène : $y_h = Ce^x$ Solution particulière : supposons $y_p = Ax + B$ → $y_p' = A$ → $A - (Ax+B) = x$ → $-Ax + (A-B) = x$ → $-A=1$ → $A=-1$ ; $A-B=0$ → $-1-B=0$ → $B=-1$ → $y_p = -x -1$ Solution générale : $y = Ce^x - x -1$ Condition initiale : $y(0)=1 = C - 0 -1$ → $C=2$ → $y(x) = 2e^x - x -1$ → $y(0.3) = 2e^{0.3} - 0.3 -1 ≈ 2(1.34986) - 1.3 ≈ 2.6997 - 1.3 = 1.3997$ Approximation d’Euler : $1.362$ Erreur absolue : $|1.3997 - 1.362| = 0.0377$ Erreur relative : ≈ $2.7\%$ → cohérent avec erreur globale $O(h)$ : $h=0.1$ → erreur ~ $0.1$ attendu. ### Exemple résolu 2 : Résoudre $y' = -2y$, $y(0)=5$ avec $h=0.2$ sur $[0, 0.6]$. Comparer avec la solution exacte. Équation : $y' = -2y$ → séparable → $y = 5e^{-2x}$ - $x_0=0$, $y_0=5$, $h=0.2$ - $f(x,y)=-2y$ **Étape 1** : $x_1=0.2$ $y_1 = 5 + 0.2 \cdot (-2 \cdot 5) = 5 + 0.2 \cdot (-10) = 5 - 2 = 3$ **Étape 2** : $x_2=0.4$ $y_2 = 3 + 0.2 \cdot (-2 \cdot 3) = 3 + 0.2 \cdot (-6) = 3 - 1.2 = 1.8$ **Étape 3** : $x_3=0.6$ $y_3 = 1.8 + 0.2 \cdot (-2 \cdot 1.8) = 1.8 + 0.2 \cdot (-3.6) = 1.8 - 0.72 = 1.08$ Valeur exacte : $y(0.2)=5e^{-0.4}≈5(0.6703)=3.3515$ $y(0.4)=5e^{-0.8}≈5(0.4493)=2.2465$ $y(0.6)=5e^{-1.2}≈5(0.3012)=1.506$ Erreurs : À $x=0.2$ : $|3.3515 - 3| = 0.3515$ À $x=0.4$ : $|2.2465 - 1.8| = 0.4465$ À $x=0.6$ : $|1.506 - 1.08| = 0.426$ Erreur globale ≈ $0.4$ pour $h=0.2$ → cohérent avec $O(h)$ : si on divise $h$ par 2, erreur devrait être divisée par 2. ### Exercices d’application corrigés **Exercice 1** : Utiliser la méthode d’Euler avec $h=0.25$ pour approximer la solution de $y' = y - x^2 + 1$, $y(0)=0.5$ sur $[0, 1]$. Donner $y(0.25)$, $y(0.5)$, $y(0.75)$, $y(1)$. **Correction** : $f(x,y)=y - x^2 + 1$ $x_0=0$, $y_0=0.5$, $h=0.25$ - $x_1=0.25$ : $y_1 = 0.5 + 0.25 \cdot (0.5 - 0^2 + 1) = 0.5 + 0.25 \cdot (1.5) = 0.5 + 0.375 = 0.875$ - $x_2=0.5$ : $y_2 = 0.875 + 0.25 \cdot (0.875 - (0.25)^2 + 1) = 0.875 + 0.25 \cdot (0.875 - 0.0625 + 1) = 0.875 + 0.25 \cdot (1.8125) = 0.875 + 0.453125 = 1.328125$ - $x_3=0.75$ : $y_3 = 1.328125 + 0.25 \cdot (1.328125 - (0.5)^2 + 1) = 1.328125 + 0.25 \cdot (1.328125 - 0.25 + 1) = 1.328125 + 0.25 \cdot (2.078125) = 1.328125 + 0.51953125 = 1.84765625$ - $x_4=1.0$ : $y_4 = 1.84765625 + 0.25 \cdot (1.84765625 - (0.75)^2 + 1) = 1.84765625 + 0.25 \cdot (1.84765625 - 0.5625 + 1) = 1.84765625 + 0.25 \cdot (2.28515625) = 1.84765625 + 0.5712890625 = 2.4189453125$ Résultats : $y(0.25) ≈ 0.875$ $y(0.5) ≈ 1.328$ $y(0.75) ≈ 1.848$ $y(1) ≈ 2.419$ **Exercice 2** : Expliquer pourquoi la méthode d’Euler peut donner une approximation qui diverge de la solution réelle même si le pas $h$ est petit, en prenant l’exemple de $y' = -10y$, $y(0)=1$ avec $h=0.2$. **Correction** : Solution exacte : $y = e^{-10x}$ → décroissance très rapide. Avec $h=0.2$ : $y_1 = 1 + 0.2 \cdot (-10 \cdot 1) = 1 - 2 = -1$ → déjà négatif ! Puis $y_2 = -1 + 0.2 \cdot (-10 \cdot -1) = -1 + 2 = 1$ $y_3 = 1 + 0.2 \cdot (-10 \cdot 1) = -1$ → oscillation entre 1 et -1, alors que la solution réelle est positive et tend vers 0. → La méthode d’Euler est **instable** ici car le produit $h \cdot |f_y| = 0.2 \cdot 10 = 2 > 2$ (condition de stabilité pour l’équation linéaire $y'=\lambda y$ : nécessite $|1 + h\lambda| < 1$ pour stabilité, ici $\lambda=-10$ → $|1 - 2| = 1$ → limite, mais en pratique, les erreurs s’accumulent et provoquent l’oscillation). En réalité, pour $y'=\lambda y$, la méthode d’Euler est stable si $|1 + h\lambda| < 1$. Ici : $|1 + 0.2 \cdot (-10)| = |1 - 2| = 1$ → sur la frontière → toute erreur arrondie provoque divergence ou oscillation. Avec $h=0.1$ : $|1 + 0.1 \cdot (-10)| = |1 - 1| = 0 < 1$ → stable. → Donc même un petit $h$ peut être insuffisant si $\lambda$ est très négatif (équation raide). --- ## Synthèse du chapitre - **Simpson’s Rule** : Méthode d’intégration numérique d’ordre 4, exacte pour les polynômes de degré ≤ 3, nécessite un nombre pair de sous-intervalles, erreur en $O(h^4)$. - **Taylor Series** : Approximation locale d’une fonction par un polynôme construit à partir de ses dérivées en un point, reste de Lagrange permet d’estimer l’erreur, série de Maclaurin quand $a=0$, convergence dépend du rayon de convergence. - **Euler’s Method** : Méthode pas à pas pour EDO du premier ordre, formule $y_{n+1} = y_n + h f(x_n, y_n)$, erreur globale en $O(h)$, condition de stabilité dépendante de $h$ et du coefficient de Lipschitz de $f$. Ces trois méthodes forment le noyau des techniques numériques en mathématiques appliquées : approximation d’intégrales, approximation de fonctions, et résolution d’équations différentielles. Elles sont complémentaires : Simpson pour les intégrales, Taylor pour les fonctions locales, Euler pour l’évolution dynamique. --- ## Glossaire - **Intégrale définie** : Limite des sommes de Riemann représentant l’aire sous une courbe entre deux bornes. - **Méthode composée** : Technique numérique qui divise l’intervalle en sous-intervalles égaux et applique une règle simple sur chacun. - **Erreur de troncature** : Différence entre la valeur exacte et l’approximation due à l’arrêt d’un processus infini (série, pas fini). - **Reste de Lagrange** : Expression exacte de l’erreur dans le développement de Taylor, dépend d’une dérivée évaluée en un point inconnu. - **Série de Maclaurin** : Développement en série de Taylor centré en zéro. - **Pas de discrétisation ($h$)** : Taille du pas utilisé dans les méthodes numériques pour avancer de $x_n$ à $x_{n+1}$. - **Erreur locale** : Erreur commise à une seule étape d’une méthode itérative. - **Erreur globale** : Accumulation de l’erreur locale sur toutes les étapes jusqu’au point d’intérêt. - **Stabilité numérique** : Propriété d’une méthode numérique selon laquelle les erreurs ne s’amplifient pas de façon exponentielle au cours des itérations. - **Équation différentielle ordinaire (EDO)** : Équation reliant une fonction inconnue, sa dérivée, et la variable indépendante. - **Fonction lipschitzienne** : Fonction dont le taux de variation est borné, condition suffisante pour l’existence et l’unicité de la solution d’une EDO. - **Ordre d’une méthode** : Exposant $p$ tel que l’erreur globale soit en $O(h^p)$ ; plus $p$ est grand, plus la méthode est précise pour un même $h$.