Motion of Particles in two Dimensions

# Motion of Particles in two Dimensions ## Objectifs et prérequis Ce chapitre vise à permettre à l'étudiant de décrire le mouvement d'une particule dans un plan en utilisant deux systèmes de coordonnées distincts : les coordonnées cartésiennes et les coordonnées polaires. Il s'agit de maîtriser la décomposition des vecteurs vitesse et accélération selon ces systèmes, de comprendre leur signification physique, et de savoir les dériver rigoureusement. À l'issue de ce chapitre, l'étudiant sera capable d'analyser des mouvements plans (circulaires, spirales, trajectoires quelconques) en choisissant le système de coordonnées le plus adapté, et de résoudre des problèmes de dynamique en deux dimensions en exprimant les lois du mouvement sous forme composante. **Prérequis :** - Maîtrise du calcul différentiel et intégral (dérivées de fonctions composées, règle de la chaîne, dérivées secondes). - Connaissance des vecteurs dans le plan : addition, soustraction, produit scalaire, décomposition selon une base. - Notions de cinématique du point matériel en une dimension (vitesse, accélération comme dérivées temporelles du déplacement). - Familiarité avec les coordonnées polaires : relation $(x, y) \leftrightarrow (r, \theta)$, où $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$, $r = \sqrt{x^2 + y^2}$, $\theta = \arctan(y/x)$ (avec attention au quadrant). - Notion de base vectorielle locale : compréhension que les vecteurs de base peuvent dépendre de la position (comme en coordonnées polaires). --- ## I. Vitesse et accélération en coordonnées cartésiennes En coordonnées cartésiennes $(x, y)$, la position d'une particule à l'instant $t$ est donnée par le vecteur rayon : $$ \vec{r}(t) = x(t)\,\hat{i} + y(t)\,\hat{j} $$ où $\hat{i}$ et $\hat{j}$ sont les vecteurs unitaires constants suivant les axes $x$ et $y$. ### Vitesse La vitesse instantanée est la dérivée temporelle du vecteur position : $$ \vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}}{dt} = \dot{x}(t)\,\hat{i} + \dot{y}(t)\,\hat{j} $$ où la notation ponctuée $\dot{x} = dx/dt$ est utilisée. ### Accélération L'accélération instantanée est la dérivée temporelle du vecteur vitesse : $$ \vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}}{dt} = \ddot{x}(t)\,\hat{i} + \ddot{y}(t)\,\hat{j} $$ > **À retenir** : En coordonnées cartésiennes, les composantes de la vitesse et de l'accélération sont simplement les dérivées premières et secondes des coordonnées $x(t)$ et $y(t)$. Les vecteurs de base $\hat{i}, \hat{j}$ sont constants dans l'espace et le temps, ce qui simplifie la dérivation. ### Exemple résolu 1 Une particule se déplace selon la trajectoire définie par : $$ x(t) = 2t^2, \quad y(t) = 3t - t^3 $$ Trouver son vecteur vitesse et accélération à $t = 1$ s. **Solution :** $$ \dot{x} = \frac{d}{dt}(2t^2) = 4t, \quad \dot{y} = \frac{d}{dt}(3t - t^3) = 3 - 3t^2 $$ $$ \ddot{x} = \frac{d}{dt}(4t) = 4, \quad \ddot{y} = \frac{d}{dt}(3 - 3t^2) = -6t $$ À $t = 1$ : $$ \vec{v}(1) = 4(1)\,\hat{i} + (3 - 3(1)^2)\,\hat{j} = 4\hat{i} + 0\hat{j} = 4\,\hat{i} \quad \text{(m/s)} $$ $$ \vec{a}(1) = 4\,\hat{i} + (-6(1))\,\hat{j} = 4\hat{i} - 6\hat{j} \quad \text{(m/s}^2\text{)} $$ ### Exercice d'application 1 Une particule suit la trajectoire : $x(t) = 5\cos(2t)$, $y(t) = 5\sin(2t)$. a) Montrer que la trajectoire est un cercle. b) Calculer $\vec{v}(t)$ et $\vec{a}(t)$. c) Quel est le module de la vitesse et de l'accélération ? Sont-ils constants ? **Corrigé :** a) $x^2 + y^2 = 25\cos^2(2t) + 25\sin^2(2t) = 25(\cos^2 + \sin^2) = 25$ → cercle de rayon 5 m. b) $\dot{x} = -10\sin(2t)$, $\dot{y} = 10\cos(2t)$ → $\vec{v} = -10\sin(2t)\,\hat{i} + 10\cos(2t)\,\hat{j}$ $\ddot{x} = -20\cos(2t)$, $\ddot{y} = -20\sin(2t)$ → $\vec{a} = -20\cos(2t)\,\hat{i} -20\sin(2t)\,\hat{j}$ c) $|\vec{v}| = \sqrt{(-10\sin)^2 + (10\cos)^2} = 10\sqrt{\sin^2+\cos^2} = 10$ m/s (constant) $|\vec{a}| = \sqrt{(-20\cos)^2 + (-20\sin)^2} = 20$ m/s² (constant) → Mouvement circulaire uniforme. --- ## II. Vitesse et accélération en coordonnées polaires En coordonnées polaires $(r, \theta)$, la position est : $$ \vec{r}(t) = r(t)\,\hat{e}_r $$ où $\hat{e}_r$ est le vecteur unitaire radial (pointant depuis l'origine vers la particule), et $\hat{e}_\theta$ est le vecteur unitaire transverse (perpendiculaire à $\hat{e}_r$, dans le sens de $\theta$ croissant). Les vecteurs de base polaires ne sont **pas constants** : ils tournent avec la particule. Leurs dérivées temporelles sont : $$ \frac{d\hat{e}_r}{dt} = \dot{\theta}\,\hat{e}_\theta, \quad \frac{d\hat{e}_\theta}{dt} = -\dot{\theta}\,\hat{e}_r $$ Ces relations découlent de la géométrie : lorsque $\theta$ varie d'un angle $d\theta$, $\hat{e}_r$ tourne vers $\hat{e}_\theta$ et $\hat{e}_\theta$ tourne vers $-\hat{e}_r$. ### Vitesse $$ \vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{d}{dt}\left(r\,\hat{e}_r\right) = \dot{r}\,\hat{e}_r + r\,\frac{d\hat{e}_r}{dt} = \dot{r}\,\hat{e}_r + r\dot{\theta}\,\hat{e}_\theta $$ Ainsi : $$ \vec{v} = v_r\,\hat{e}_r + v_\theta\,\hat{e}_\theta \quad \text{avec} \quad v_r = \dot{r}, \quad v_\theta = r\dot{\theta} $$ ### Accélération $$ \vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d}{dt}\left(\dot{r}\,\hat{e}_r + r\dot{\theta}\,\hat{e}_\theta\right) $$ Appliquons la dérivation du produit à chaque terme : $$ \vec{a} = \underbrace{\ddot{r}\,\hat{e}_r + \dot{r}\,\frac{d\hat{e}_r}{dt}}_{\text{dérivée de } \dot{r}\hat{e}_r} + \underbrace{\frac{d}{dt}(r\dot{\theta})\,\hat{e}_\theta + r\dot{\theta}\,\frac{d\hat{e}_\theta}{dt}}_{\text{dérivée de } r\dot{\theta}\hat{e}_\theta} $$ Substituons les dérivées des bases : $$ \vec{a} = \ddot{r}\,\hat{e}_r + \dot{r}(\dot{\theta}\,\hat{e}_\theta) + (\dot{r}\dot{\theta} + r\ddot{\theta})\,\hat{e}_\theta + r\dot{\theta}(-\dot{\theta}\,\hat{e}_r) $$ Regroupons les composantes selon $\hat{e}_r$ et $\hat{e}_\theta$ : - Composante radiale : $\ddot{r} - r\dot{\theta}^2$ - Composante transverse : $r\ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta}$ Ainsi : $$ \vec{a} = \left(\ddot{r} - r\dot{\theta}^2\right)\hat{e}_r + \left(r\ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta}\right)\hat{e}_\theta $$ On définit : - $a_r = \ddot{r} - r\dot{\theta}^2$ : accélération radiale - $a_\theta = r\ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta}$ : accélération transverse (ou coriolis) > **À retenir** : En coordonnées polaires, la vitesse possède une composante radiale $\dot{r}$ (variation de la distance à l'origine) et une composante transverse $r\dot{\theta}$ (due au mouvement angulaire). L'accélération comporte quatre termes : deux provenant de la dérivation de $r$ et $\dot{r}$, et deux provenant de la rotation des vecteurs de base. Le terme $-r\dot{\theta}^2$ est l'accélération centripète (vers l'intérieur), et $2\dot{r}\dot{\theta}$ est l'accélération de Coriolis. ### Exemple résolu 2 Une particule se déplace selon $r(t) = 2t$, $\theta(t) = t^2$ (en unités SI). Trouver $\vec{v}$ et $\vec{a}$ à $t = 2$ s. **Solution :** $$ \dot{r} = 2, \quad \ddot{r} = 0 $$ $$ \dot{\theta} = 2t, \quad \ddot{\theta} = 2 $$ À $t = 2$ : $$ \dot{r} = 2, \quad r = 2(2) = 4, \quad \dot{\theta} = 4, \quad \ddot{\theta} = 2 $$ Vitesse : $$ v_r = \dot{r} = 2 \quad \text{m/s}, \quad v_\theta = r\dot{\theta} = 4 \times 4 = 16 \quad \text{m/s} $$ $$ \vec{v} = 2\,\hat{e}_r + 16\,\hat{e}_\theta $$ Accélération : $$ a_r = \ddot{r} - r\dot{\theta}^2 = 0 - 4 \times (4)^2 = -64 \quad \text{m/s}^2 $$ $$ a_\theta = r\ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta} = 4 \times 2 + 2 \times 2 \times 4 = 8 + 16 = 24 \quad \text{m/s}^2 $$ $$ \vec{a} = -64\,\hat{e}_r + 24\,\hat{e}_\theta $$ L'accélération radiale négative indique une direction vers l'origine (centripète), tandis que la composante transverse positive indique une augmentation de la vitesse angulaire. ### Exercice d'application 2 Une particule se déplace sur une spirale archimédienne : $r = k\theta$, avec $k = 0,1$ m/rad, et $\theta(t) = 3t^2$ rad. a) Exprimer $r(t)$, puis trouver $\dot{r}(t)$ et $\ddot{r}(t)$. b) Calculer $\vec{v}(t)$ et $\vec{a}(t)$ en coordonnées polaires. c) Quelle est la nature du mouvement à $t = 1$ s ? (radiale, transverse, mixte ?) **Corrigé :** a) $r(t) = k\theta(t) = 0,1 \times 3t^2 = 0,3t^2$ $\dot{r} = 0,6t$, $\ddot{r} = 0,6$ b) $\dot{\theta} = 6t$, $\ddot{\theta} = 6$ $v_r = \dot{r} = 0,6t$ $v_\theta = r\dot{\theta} = (0,3t^2)(6t) = 1,8t^3$ $a_r = \ddot{r} - r\dot{\theta}^2 = 0,6 - (0,3t^2)(36t^2) = 0,6 - 10,8t^4$ $a_\theta = r\ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta} = (0,3t^2)(6) + 2(0,6t)(6t) = 1,8t^2 + 7,2t^2 = 9t^2$ c) À $t = 1$ : $v_r = 0,6$ m/s, $v_\theta = 1,8$ m/s → les deux composantes non nulles → mouvement mixte $a_r = 0,6 - 10,8 = -10,2$ m/s² (forte centripète vers l'intérieur) $a_\theta = 9$ m/s² (augmentation de la vitesse transverse) → La particule se rapproche de l'origine tout en accélérant angulairement. --- ## III. Dérivation des composantes radiale et transverse de la vitesse et de l'accélération Cette section formalise la dérivation déjà esquissée en II., en insistant sur le raisonnement vectoriel et l'utilisation de la règle de la chaîne pour les bases mobiles. ### Rappel : Base polaire Les vecteurs unitaires polaires s'expriment en fonction des cartésiens : $$ \hat{e}_r = \cos\theta\,\hat{i} + \sin\theta\,\hat{j}, \quad \hat{e}_\theta = -\sin\theta\,\hat{i} + \cos\theta\,\hat{j} $$ Leur dépendance en $\theta$ implique que leur dérivée temporelle passe par $\dot{\theta}$ : $$ \frac{d\hat{e}_r}{dt} = \frac{d\hat{e}_r}{d\theta} \cdot \frac{d\theta}{dt} = (-\sin\theta\,\hat{i} + \cos\theta\,\hat{j})\dot{\theta} = \hat{e}_\theta\,\dot{\theta} $$ $$ \frac{d\hat{e}_\theta}{dt} = \frac{d\hat{e}_\theta}{d\theta} \cdot \dot{\theta} = (-\cos\theta\,\hat{i} - \sin\theta\,\hat{j})\dot{\theta} = -\hat{e}_r\,\dot{\theta} $$ ### Dérivation de la vitesse (détaillée) $$ \vec{r} = r\hat{e}_r $$ $$ \vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{dr}{dt}\hat{e}_r + r\frac{d\hat{e}_r}{dt} \quad \text{(règle du produit)} $$ $$ = \dot{r}\hat{e}_r + r(\dot{\theta}\hat{e}_\theta) \quad \text{(en utilisant } d\hat{e}_r/dt = \dot{\theta}\hat{e}_\theta\text{)} $$ $$ = \dot{r}\hat{e}_r + r\dot{\theta}\hat{e}_\theta $$ Donc : > **À retenir** : $\vec{v} = \dot{r}\,\hat{e}_r + r\dot{\theta}\,\hat{e}_\theta$ → $v_r = \dot{r}$, $v_\theta = r\dot{\theta}$ ### Dérivation de l'accélération (détaillée) $$ \vec{v} = \dot{r}\hat{e}_r + r\dot{\theta}\hat{e}_\theta $$ $$ \vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d}{dt}(\dot{r}\hat{e}_r) + \frac{d}{dt}(r\dot{\theta}\hat{e}_\theta) $$ Premier terme : $$ \frac{d}{dt}(\dot{r}\hat{e}_r) = \ddot{r}\hat{e}_r + \dot{r}\frac{d\hat{e}_r}{dt} = \ddot{r}\hat{e}_r + \dot{r}(\dot{\theta}\hat{e}_\theta) $$ Deuxième terme : $$ \frac{d}{dt}(r\dot{\theta}\hat{e}_\theta) = \frac{d}{dt}(r\dot{\theta})\hat{e}_\theta + r\dot{\theta}\frac{d\hat{e}_\theta}{dt} $$ $$ = (\dot{r}\dot{\theta} + r\ddot{\theta})\hat{e}_\theta + r\dot{\theta}(-\dot{\theta}\hat{e}_r) = (\dot{r}\dot{\theta} + r\ddot{\theta})\hat{e}_\theta - r\dot{\theta}^2\hat{e}_r $$ Somme totale : $$ \vec{a} = \left[\ddot{r}\hat{e}_r - r\dot{\theta}^2\hat{e}_r\right] + \left[\dot{r}\dot{\theta}\hat{e}_\theta + (\dot{r}\dot{\theta} + r\ddot{\theta})\hat{e}_\theta\right] $$ $$ = \left(\ddot{r} - r\dot{\theta}^2\right)\hat{e}_r + \left(2\dot{r}\dot{\theta} + r\ddot{\theta}\right)\hat{e}_\theta $$ Donc : > **À retenir** : $\vec{a} = (\ddot{r} - r\dot{\theta}^2)\hat{e}_r + (r\ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta})\hat{e}_\theta$ → $a_r = \ddot{r} - r\dot{\theta}^2$, $a_\theta = r\ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta}$ ### Exemple résolu 3 : Vérification par conversion cartésienne Une particule suit $r(t) = e^{-t}$, $\theta(t) = t$. Montrer que l'accélération obtenue en coordonnées polaires est cohérente avec celle obtenue en passant par les coordonnées cartésiennes. **Solution :** En polaires : $$ \dot{r} = -e^{-t}, \quad \ddot{r} = e^{-t} $$ $$ \dot{\theta} = 1, \quad \ddot{\theta} = 0 $$ $$ a_r = \ddot{r} - r\dot{\theta}^2 = e^{-t} - e^{-t}(1)^2 = 0 $$ $$ a_\theta = r\ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta} = e^{-t}(0) + 2(-e^{-t})(1) = -2e^{-t} $$ $$ \vec{a} = 0\cdot\hat{e}_r - 2e^{-t}\hat{e}_\theta $$ En cartésiennes : $$ x = r\cos\theta = e^{-t}\cos t, \quad y = r\sin\theta = e^{-t}\sin t $$ $$ \dot{x} = -e^{-t}\cos t - e^{-t}\sin t = -e^{-t}(\cos t + \sin t) $$ $$ \dot{y} = -e^{-t}\sin t + e^{-t}\cos t = e^{-t}(\cos t - \sin t) $$ $$ \ddot{x} = e^{-t}(\cos t + \sin t) - e^{-t}(-\sin t + \cos t) = e^{-t}[(\cos t + \sin t) + (\sin t - \cos t)] = 2e^{-t}\sin t $$ $$ \ddot{y} = e^{-t}(-\cos t + \sin t) + e^{-t}(-\sin t - \cos t) = e^{-t}[-\cos t + \sin t - \sin t - \cos t] = -2e^{-t}\cos t $$ Maintenant, exprimer $\vec{a} = \ddot{x}\hat{i} + \ddot{y}\hat{j}$ en base polaire : $$ \hat{e}_r = \cos t\,\hat{i} + \sin t\,\hat{j}, \quad \hat{e}_\theta = -\sin t\,\hat{i} + \cos t\,\hat{j} $$ On cherche $a_r, a_\theta$ tels que : $$ \vec{a} = a_r\hat{e}_r + a_\theta\hat{e}_\theta = a_r(\cos t\,\hat{i} + \sin t\,\hat{j}) + a_\theta(-\sin t\,\hat{i} + \cos t\,\hat{j}) $$ $$ = (a_r\cos t - a_\theta\sin t)\hat{i} + (a_r\sin t + a_\theta\cos t)\hat{j} $$ Égalons à $\ddot{x}\hat{i} + \ddot{y}\hat{j} = 2e^{-t}\sin t\,\hat{i} - 2e^{-t}\cos t\,\hat{j}$ : $$ \begin{cases} a_r\cos t - a_\theta\sin t = 2e^{-t}\sin t \\ a_r\sin t + a_\theta\cos t = -2e^{-t}\cos t \end{cases} $$ Multiplier la première équation par $\cos t$, la seconde par $\sin t$ et additionner : $$ a_r\cos^2 t - a_\theta\sin t\cos t + a_r\sin^2 t + a_\theta\sin t\cos t = 2e^{-t}\sin t\cos t - 2e^{-t}\cos t\sin t $$ $$ a_r(\cos^2 t + \sin^2 t) = 0 \Rightarrow a_r = 0 $$ Puis remplacer $a_r = 0$ dans la première équation : $$ - a_\theta\sin t = 2e^{-t}\sin t \Rightarrow a_\theta = -2e^{-t} \quad (\text{pour } \sin t \neq 0) $$ Résultat identique à celui obtenu en polaires → cohérence vérifiée. > **À retenir** : La décomposition en coordonnées polaires est intrinsèquement cohérente avec la représentation cartésienne. Elle révèle des effets physiques cachés (comme la force de Coriolis dans les référentiels tournants) que la forme cartésienne masque par sa simplicité apparente. ### Exercice d'application 3 Une particule se déplace de telle sorte que $r(t) = 4t$, $\theta(t) = \pi/2$ (constant). a) Quelle est la trajectoire ? b) Calculer $\vec{v}$ et $\vec{a}$ en coordonnées polaires. c) Vérifier en passant par les coordonnées cartésiennes. **Corrigé :** a) $\theta = \pi/2$ constant → droite verticale passant par l'origine (axe $y$ positif). b) $\dot{r} = 4$, $\ddot{r} = 0$ ; $\dot{\theta} = 0$, $\ddot{\theta} = 0$ $v_r = 4$, $v_\theta = r\dot{\theta} = 0$ → $\vec{v} = 4\hat{e}_r$ $a_r = \ddot{r} - r\dot{\theta}^2 = 0 - 0 = 0$ $a_\theta = r\ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta} = 0 + 0 = 0$ → $\vec{a} = 0$ → Mouvement rectiligne uniforme le long de l'axe $y$. c) En cartésiennes : $x = r\cos\theta = 4t \cdot 0 = 0$, $y = r\sin\theta = 4t \cdot 1 = 4t$ → $\vec{r} = 0\hat{i} + 4t\hat{j}$ $\vec{v} = 0\hat{i} + 4\hat{j}$, $\vec{a} = 0$ → identique. --- ## IV. Cas simples de mouvement radiale-transverse Nous examinons maintenant des mouvements particuliers où une des composantes (radiale ou transverse) est nulle ou constante, permettant d'interpréter physiquement les termes de l'accélération. ### Cas 1 : Mouvement purement radial ($\dot{\theta} = 0$, $\theta$ constant) La particule se déplace le long d'une droite fixe passant par l'origine. - $v_r = \dot{r}$, $v_\theta = 0$ - $a_r = \ddot{r}$, $a_\theta = 0$ (puisque $r\ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta} = 0$) > **À retenir** : Dans un mouvement purement radial, l'accélération n'a que une composante radiale égale à $\ddot{r}$, et il n'y a pas d'accélération transverse ni d'effet de Coriolis ou centripète. **Exemple** : $r(t) = t^3$, $\theta = \pi/4$ → $\vec{v} = 3t^2\hat{e}_r$, $\vec{a} = 6t\hat{e}_r$ → Mouvement accéléré le long de la droite $y = x$. ### Cas 2 : Mouvement purement transverse ($\dot{r} = 0$, $r$ constant) La particule se déplace sur un cercle centré à l'origine. - $v_r = 0$, $v_\theta = r\dot{\theta}$ - $a_r = -r\dot{\theta}^2$, $a_\theta = r\ddot{\theta}$ > **À retenir** : Dans un mouvement circulaire non uniforme, l'accélération radiale est centripète ($-r\dot{\theta}^2$, dirigée vers l'origine), et l'accélération transverse est égale à $r\ddot{\theta}$ (variation de la vitesse tangentielle). Si $\ddot{\theta} = 0$, alors $a_\theta = 0$ et le mouvement est uniforme : $a_r = -v^2/r$, $a_\theta = 0$. **Exemple** : $r = 5$ m, $\theta(t) = 2t$ → $\dot{\theta} = 2$, $\ddot{\theta} = 0$ → $v_\theta = 5 \times 2 = 10$ m/s, $a_r = -5 \times 4 = -20$ m/s², $a_\theta = 0$ → Mouvement circulaire uniforme : accélération centripète de 20 m/s² vers l'origine. ### Cas 3 : Mouvement avec accélération radiale nulle ($a_r = 0$) Cela implique $\ddot{r} = r\dot{\theta}^2$. La distance à l'origine varie de telle sorte que l'accélération radiale totale est nulle. Cela peut se produire dans des mouvements où la particule s'éloigne ou se rapproche tout en tournant, avec un équilibre entre l'inertie radiale et la tendance centripète. > **À retenir** : $a_r = 0$ ne signifie pas qu'il n'y a pas de mouvement radial : $\dot{r}$ peut être non nul. Cela signifie que la variation de $\dot{r}$ est exactement compensée par le terme $-r\dot{\theta}^2$. **Exemple** : Supposons $\dot{\theta} = \omega$ constant, et $r(t) = \frac{1}{2}\omega^2 t^2$ → $\dot{r} = \omega^2 t$, $\ddot{r} = \omega^2$ → $a_r = \ddot{r} - r\omega^2 = \omega^2 - \left(\frac{1}{2}\omega^2 t^2\right)\omega^2 = \omega^2 - \frac{1}{2}\omega^4 t^2$ Pour que $a_r = 0$ : $\omega^2 = \frac{1}{2}\omega^4 t^2$ → $t^2 = 2/\omega^2$ → $t = \sqrt{2}/\omega$ À cet instant précis, l'accélération radiale est nulle, bien que $\dot{r} \neq 0$ et $\dot{\theta} \neq 0$. ### Cas 4 : Mouvement avec accélération transverse nulle ($a_\theta = 0$) Cela implique $r\ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta} = 0$, ou equivalentment $\frac{d}{dt}(r^2\dot{\theta}) = 0$ → $r^2\dot{\theta} = \text{constante}$. C'est la loi des aires égales en temps égaux (second loi de Kepler pour un mouvement sous force centrale). > **À retenir** : Si $a_\theta = 0$, alors le moment cinétique par unité de masse $r^2\dot{\theta}$ est conservé. Cela caractérise un mouvement sous une force purement radiale (comme la gravité ou l'électrostatique vers un centre fixe). **Exemple** : Une planète tourne autour du Soleil : $a_\theta = 0$ car la force gravitationnelle est radiale → $r^2\dot{\theta} = h$ (constante) → loi des aires. **Application numérique** : À $t=0$, $r_0 = 2$ m, $\dot{\theta}_0 = 3$ rad/s → $h = r_0^2\dot{\theta}_0 = 4 \times 3 = 12$ m²/s À un autre instant, si $r = 4$ m, alors $\dot{\theta} = h / r^2 = 12 / 16 = 0,75$ rad/s → La vitesse angulaire diminue lorsque la distance augmente, pour conserver le moment cinétique. ### Tableau récapitulatif des cas simples | Type de mouvement | Condition | $v_r$ | $v_\theta$ | $a_r$ | $a_\theta$ | Interprétation physique | |---------------------------|-------------------------|-----------|--------------|---------------------|--------------------|---------------------------------------------| | Purement radial | $\dot{\theta} = 0$ | $\dot{r}$ | 0 | $\ddot{r}$ | 0 | Mouvement le long d'une droite fixe | | Purement transverse | $\dot{r} = 0$ | 0 | $r\dot{\theta}$ | $-r\dot{\theta}^2$ | $r\ddot{\theta}$ | Mouvement sur un cercle (uniforme si $\ddot{\theta}=0$) | | Accélération radiale nulle| $\ddot{r} = r\dot{\theta}^2$ | $\dot{r}$ | $r\dot{\theta}$ | 0 | $r\ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta}$ | Équilibre entre inertie radiale et effet centripète | | Accélération transverse nulle | $r\ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta} = 0$ | $\dot{r}$ | $r\dot{\theta}$ | $\ddot{r} - r\dot{\theta}^2$ | 0 | Conservation du moment cinétique (force centrale) | > **À retenir** : L'analyse des cas simples permet d'interpréter géométriquement et physiquement les composantes de l'accélération en coordonnées polaires : le terme $-r\dot{\theta}^2$ est toujours centripète, le terme $2\dot{r}\dot{\theta}$ est l'accélération de Coriolis (apparente dans un référentiel tournant), et leur combinaison avec les termes d'inertie ($\ddot{r}$, $r\ddot{\theta}$) donne l'accélération totale. ### Exercice d'application 4 Une particule se déplace de telle sorte que son moment cinétique par unité de masse est conservé : $r^2\dot{\theta} = h = 9$ m²/s. On sait que $r(t) = 3 + t^2$. a) Trouver $\dot{\theta}(t)$ et $\ddot{\theta}(t)$. b) Calculer $v_r(t)$, $v_\theta(t)$, $a_r(t)$, $a_\theta(t)$. c) À $t = 1$ s, déterminer si le mouvement est principalement radial ou transverse, et si l'accélération est dirigée vers l'intérieur ou l'extérieur. **Corrigé :** a) $r^2\dot{\theta} = h$ → $\dot{\theta} = h / r^2 = 9 / (3 + t^2)^2$ $\ddot{\theta} = \frac{d}{dt}\left[9(3 + t^2)^{-2}\right] = 9 \cdot (-2)(3 + t^2)^{-3} \cdot 2t = -36t (3 + t^2)^{-3}$ b) $v_r = \dot{r} = 2t$ $v_\theta = r\dot{\theta} = (3 + t^2) \cdot \frac{9}{(3 + t^2)^2} = \frac{9}{3 + t^2}$ $a_r = \ddot{r} - r\dot{\theta}^2 = 2 - (3 + t^2) \cdot \left(\frac{9}{(3 + t^2)^2}\right)^2 = 2 - \frac{81}{(3 + t^2)^3}$ $a_\theta = r\ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta} = (3 + t^2)\cdot\left[-36t(3 + t^2)^{-3}\right] + 2(2t)\cdot\left[\frac{9}{(3 + t^2)^2}\right]$ $= -36t(3 + t^2)^{-2} + 36t(3 + t^2)^{-2} = 0$ → cohérent avec la conservation du moment cinétique c) À $t = 1$ : $r = 3 + 1 = 4$ m $v_r = 2(1) = 2$ m/s $v_\theta = 9 / (3 + 1) = 9/4 = 2,25$ m/s → presque égale, légèrement transverse dominante $a_r = 2 - 81 / (4)^3 = 2 - 81/64 = 2 - 1,2656 = 0,7344$ m/s² (>0 → dirigée vers l'extérieur) $a_\theta = 0$ → À $t=1$ s, la particule s'éloigne de l'origine ($\dot{r}>0$) et tourne dans le sens positif de $\theta$, avec une accélération radiale vers l'extérieur (due à l'inertie radiale dominante sur l'effet centripète). --- ## Synthèse du chapitre - En coordonnées cartésiennes, la vitesse et l'accélération sont obtenues par dérivation directe des coordonnées $x(t)$ et $y(t)$, grâce à la constance des vecteurs de base $\hat{i}, \hat{j}$. - En coordonnées polaires, les vecteurs de base $\hat{e}_r, \hat{e}_\theta$ dépendent de l'angle $\theta$, ce qui introduit des termes complémentaires lors de la dérivation : la vitesse possède une composante radiale $\dot{r}$ et une transverse $r\dot{\theta}$ ; l'accélération comporte quatre termes : $\ddot{r}$ (inertie radiale), $-r\dot{\theta}^2$ (centripète), $r\ddot{\theta}$ (inertie transverse), et $2\dot{r}\dot{\theta}$ (Coriolis). - La dérivation rigoureuse en coordonnées polaires repose sur l'expression des bases polaires en fonction des bases cartésiennes et l'application de la règle de la chaîne. - Les cas simples (mouvement purement radial, transverse, accélération radiale ou transverse nulle) permettent d'interpréter physiquement chaque terme de l'accélération et de reconnaître des lois fondamentales comme la conservation du moment cinétique ($a_\theta = 0$) ou la loi des aires. - Le choix entre coordonnées cartésiennes et polaires dépend de la symétrie du problème : cartésien pour les trajectoires linéaires ou paraboliques, polaire pour les mouvements circulaires, spirales, ou sous force centrale. ## Glossaire - **Vecteur rayon** : Vecteur position d'une particule par rapport à l'origine du référentiel. - **Composante radiale** : Projection d'un vecteur (vitesse, accélération) sur la direction $\hat{e}_r$ (vers l'extérieur depuis l'origine). - **Composante transverse** : Projection d'un vecteur sur la direction $\hat{e}_\theta$ (perpendiculaire à $\hat{e}_r$, dans le sens de $\theta$ croissant). - **Vecteur unitaire radial ($\hat{e}_r$)** : Vecteur de longueur 1 pointant depuis l'origine vers la particule. - **Vecteur unitaire transverse ($\hat{e}_\theta$)** : Vecteur de longueur 1 perpendiculaire à $\hat{e}_r$, orienté dans le sens d'augmentation de $\theta$. - **Accélération centripète** : Terme $-r\dot{\theta}^2$ de l'accélération en coordonnées polaires, dirigée vers l'origine, responsable du changement de direction de la vitesse dans un mouvement courbe. - **Accélération de Coriolis** : Terme $2\dot{r}\dot{\theta}$ de l'accélération en coordonnées polaires, apparue dans les référentiels tournants, due à la variation de la distance à l'origine pendant le mouvement angulaire. - **Moment cinétique par unité de masse** : Quantité $r^2\dot{\theta}$, conservée lorsque l'acceleration transverse est nulle (force centrale). - **Loi des aires égales** : Conséquence de la conservation du moment cinétique : le rayon vecteur balaye des aires égales en temps égaux. - **Mouvement purement radial** : Mouvement où $\dot{\theta} = 0$, la particule se déplace le long d'une droite fixe passant par l'origine. - **Mouvement purement transverse** : Mouvement où $\dot{r} = 0$, la particule se déplace sur un cercle centré à l'origine. - **Force centrale** : Force dirigée vers ou depuis un point fixe (l'origine), ne produisant aucun moment par rapport à ce point ($a_\theta = 0$).