Rotational Dynamics

# Rotational Dynamics ## Objectifs et prérequis Ce chapitre vise à maîtriser les principes fondamentaux de la dynamique rotationnelle des corps rigides, en s'appuyant sur les concepts de moment d'inertie, de moment angulaire, d'énergie cinétique rotationnelle et de conservation. L'élève doit être capable de calculer le moment d'inertie par intégration pour des formes standards, d'appliquer le théorème du moment angulaire sous couple constant, d'analyser le mouvement d'un pendule composé, de résoudre des problèmes de particules connectées par impulsion, et d'appliquer les principes de conservation du moment angulaire et de l'énergie dans des systèmes rotationnels. **Prérequis** : Maîtrise du calcul différentiel et intégral (intégrales doubles, changement de variables), des lois de Newton en translation, du produit vectoriel, du concept de centre de masse, et des notions de travail et d'énergie en mécanique du point. --- ## I. Moment of inertia ### Définition et propriétés Le moment d'inertie $I$ d'un corps rigide par rapport à un axe fixé est la somme des produits de la masse de chaque élément par le carré de sa distance perpendiculaire à cet axe. Pour une distribution continue de masse, il s'exprime par une intégrale de volume : $$ I = \int r^2 \, dm $$ où $r$ est la distance perpendiculaire de l'élément de masse $dm$ à l'axe de rotation. > **À retenir** : Le moment d'inertie dépend de l'axe choisi et de la répartition de la masse ; il est toujours positif et possède les dimensions $[M L^2]$. ### Exemples résolus par intégration **Exemple 1 : Barre uniforme de longueur $L$ et masse $M$, axe passant par son centre et perpendiculaire à la barre** On considère une barre le long de l'axe $x$, de $-L/2$ à $L/2$. La densité linéique est $\lambda = M/L$. Un élément $dm = \lambda \, dx$ est à distance $|x|$ de l'axe. $$ I = \int_{-L/2}^{L/2} x^2 \lambda \, dx = \lambda \int_{-L/2}^{L/2} x^2 \, dx = \frac{M}{L} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-L/2}^{L/2} = \frac{M}{L} \cdot \frac{2}{3} \left( \frac{L}{2} \right)^3 = \frac{1}{12} M L^2 $$ > **À retenir** : Pour une barre uniforme, $I_{\text{centre}} = \frac{1}{12} M L^2$. **Exemple 2 : Disque uniforme de rayon $R$ et masse $M$, axe passant par son centre et perpendiculaire au plan** On utilise des coordonnées polaires : $dm = \sigma \, r \, dr \, d\theta$, avec $\sigma = M/(\pi R^2)$ densité surfacique. $$ I = \int_0^{2\pi} \int_0^R r^2 \cdot \sigma r \, dr \, d\theta = \sigma \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^R r^3 \, dr = \sigma \cdot 2\pi \cdot \frac{R^4}{4} = \frac{M}{\pi R^2} \cdot 2\pi \cdot \frac{R^4}{4} = \frac{1}{2} M R^2 $$ > **À retenir** : Pour un disque uniforme, $I = \frac{1}{2} M R^2$. **Exemple 3 : Cercle fin (anneau) de rayon $R$ et masse $M$, axe passant par son centre et perpendiculaire au plan** Toute la masse est à distance $R$ : $$ I = \int R^2 \, dm = R^2 \int dm = M R^2 $$ > **À retenir** : Pour un anneau fin, $I = M R^2$. ### Exercices d'application corrigés **Exercice 1** : Calculer le moment d'inertie d'une plaque rectangulaire uniforme de côtés $a$ et $b$, masse $M$, autour d'un axe passant par son centre et perpendiculaire à son plan. *Solution* : Densité surfacique $\sigma = M/(ab)$. En coordonnées cartésiennes centrées : $$ I = \sigma \int_{-a/2}^{a/2} \int_{-b/2}^{b/2} (x^2 + y^2) \, dy \, dx $$ $$ = \sigma \left[ \int_{-a/2}^{a/2} x^2 \, dx \int_{-b/2}^{b/2} dy + \int_{-a/2}^{a/2} dx \int_{-b/2}^{b/2} y^2 \, dy \right] $$ $$ = \sigma \left[ \left( \frac{a^3}{12} \right) b + a \left( \frac{b^3}{12} \right) \right] = \frac{M}{ab} \cdot \frac{ab}{12} (a^2 + b^2) = \frac{1}{12} M (a^2 + b^2) $$ **Réponse** : $I = \frac{1}{12} M (a^2 + b^2)$ **Exercice 2** : Un cylindre creux de rayon intérieur $R_1$, extérieur $R_2$, hauteur $h$, masse $M$, tourne autour de son axe de symétrie. Trouver son moment d'inertie. *Solution* : Densité volumique $\rho = M / [\pi h (R_2^2 - R_1^2)]$. Un élément cylindrique de rayon $r$, épaisseur $dr$ a une masse $dm = \rho \cdot 2\pi r h \, dr$. $$ I = \int_{R_1}^{R_2} r^2 \, dm = \int_{R_1}^{R_2} r^2 \cdot \rho \cdot 2\pi r h \, dr = 2\pi \rho h \int_{R_1}^{R_2} r^3 \, dr $$ $$ = 2\pi \rho h \left[ \frac{r^4}{4} \right]_{R_1}^{R_2} = \frac{\pi \rho h}{2} (R_2^4 - R_1^4) $$ Substituer $\rho$ : $$ I = \frac{\pi h}{2} \cdot \frac{M}{\pi h (R_2^2 - R_1^2)} (R_2^4 - R_1^4) = \frac{M}{2} \cdot \frac{(R_2^2 - R_1^2)(R_2^2 + R_1^2)}{R_2^2 - R_1^2} = \frac{M}{2} (R_1^2 + R_2^2) $$ **Réponse** : $I = \frac{M}{2} (R_1^2 + R_2^2)$ --- ## II. Radii of gyration ### Définition et propriétés Le rayon de giration $k$ d'un corps par rapport à un axe est défini comme la distance à laquelle toute la masse du corps devrait être concentrée pour produire le même moment d'inertie que la répartition réelle. Il satisfait : $$ I = M k^2 \quad \Rightarrow \quad k = \sqrt{\frac{I}{M}} $$ > **À retenir** : Le rayon de giration a la dimension d'une longueur et dépend de l'axe de rotation ; il permet de comparer la "diffusion" de la masse autour de l'axe. ### Exemples résolus **Exemple 1 : Barre uniforme, axe par le centre** $I = \frac{1}{12} M L^2$ → $k = \sqrt{\frac{I}{M}} = \sqrt{\frac{L^2}{12}} = \frac{L}{2\sqrt{3}}$ > **À retenir** : Pour une barre, $k = L/(2\sqrt{3})$ autour du centre. **Exemple 2 : Disque uniforme** $I = \frac{1}{2} M R^2$ → $k = \sqrt{\frac{R^2}{2}} = \frac{R}{\sqrt{2}}$ > **À retenir** : Pour un disque, $k = R/\sqrt{2}$. **Exemple 3 : Anneau fin** $I = M R^2$ → $k = R$ > **À retenir** : Pour un anneau, le rayon de giration égale le rayon géométrique. ### Exercices d'application corrigés **Exercice 1** : Trouver le rayon de giration d'une plaque rectangulaire uniforme de côtés $a$ et $b$, masse $M$, autour d'un axe passant par son centre et perpendiculaire à son plan. *Solution* : D'après l'Exercice 1 du chapitre précédent : $I = \frac{1}{12} M (a^2 + b^2)$ $$ k = \sqrt{\frac{I}{M}} = \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{12}} $$ **Réponse** : $k = \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{12}}$ **Exercice 2** : Un cylindre plein de rayon $R$ et masse $M$ tourne autour de son axe. Quel est son rayon de giration ? *Solution* : Pour un cylindre plein, $I = \frac{1}{2} M R^2$ (dérivable comme pour le disque) $$ k = \sqrt{\frac{I}{M}} = \sqrt{\frac{R^2}{2}} = \frac{R}{\sqrt{2}} $$ **Réponse** : $k = R/\sqrt{2}$ --- ## III. Proof of standard results by integration Cette section consolide la méthode d'intégration pour déduire les moments d'inertie standards, en insistant sur le choix des coordonnées et des éléments $dm$. ### Méthode générale 1. Choisir un système de coordonnées adapté à la symétrie du corps (cartésien, cylindrique, sphérique). 2. Exprimer $dm$ en termes des variables d'intégration et de la densité (linéique, surfacique, volumique). 3. Écrire la distance perpendiculaire $r$ au carré en fonction des coordonnées. 4. Déterminer les limites d'intégration selon la géométrie. 5. Calculer l'intégrale et simplifier. ### Exemple résolu : Cône plein de hauteur $h$, rayon de base $R$, masse $M$, axe passant par son sommet et parallèle à l'axe de symétrie (axe $z$) On place le sommet à l'origine, l'axe $z$ le long de l'axe de symétrie. À une hauteur $z$, le rayon de la section transversale est $r(z) = (R/h) z$. Densité volumique : $\rho = M / V = M / \left( \frac{1}{3} \pi R^2 h \right) = \frac{3M}{\pi R^2 h}$ Un élément cylindrique de rayon $r$, épaisseur $dz$ a un volume $dV = 2\pi r \, dr \, dz$, donc $dm = \rho \cdot 2\pi r \, dr \, dz$ La distance à l'axe $z$ est $r$, donc : $$ I_z = \int r^2 \, dm = \int_{z=0}^{h} \int_{r=0}^{(R/h)z} r^2 \cdot \rho \cdot 2\pi r \, dr \, dz = 2\pi \rho \int_0^h \int_0^{(R/h)z} r^3 \, dr \, dz $$ $$ = 2\pi \rho \int_0^h \left[ \frac{r^4}{4} \right]_0^{(R/h)z} dz = \frac{\pi \rho}{2} \int_0^h \left( \frac{R}{h} z \right)^4 dz = \frac{\pi \rho}{2} \cdot \frac{R^4}{h^4} \int_0^h z^4 \, dz $$ $$ = \frac{\pi \rho}{2} \cdot \frac{R^4}{h^4} \cdot \frac{h^5}{5} = \frac{\pi \rho R^4 h}{10} $$ Substituer $\rho$ : $$ I_z = \frac{\pi}{10} \cdot \frac{3M}{\pi R^2 h} \cdot R^4 h = \frac{3}{10} M R^2 $$ > **À retenir** : Pour un cône plein, $I_{\text{sommet, axe symétrie}} = \frac{3}{10} M R^2$. ### Exercice d'application corrigé **Exercice** : Déterminer le moment d'inertie d'une sphère pleine de rayon $R$ et masse $M$ autour d'un diamètre. *Solution* : Utiliser des coordonnées sphériques centrées : $dm = \rho \, r^2 \sin\theta \, dr \, d\theta \, d\phi$, avec $\rho = 3M/(4\pi R^3)$. La distance à l'axe $z$ est $r \sin\theta$. $$ I_z = \int (r \sin\theta)^2 \, dm = \rho \int_0^R \int_0^\pi \int_0^{2\pi} r^2 \sin^2\theta \cdot r^2 \sin\theta \, d\phi \, d\theta \, dr $$ $$ = \rho \int_0^R r^4 \, dr \int_0^\pi \sin^3\theta \, d\theta \int_0^{2\pi} d\phi $$ $$ = \rho \cdot \frac{R^5}{5} \cdot \left( \int_0^\pi (1 - \cos^2\theta) \sin\theta \, d\theta \right) \cdot 2\pi $$ Soit $u = \cos\theta$, $du = -\sin\theta \, d\theta$ : $$ \int_0^\pi \sin^3\theta \, d\theta = \int_{1}^{-1} -(1 - u^2) du = \int_{-1}^{1} (1 - u^2) du = \left[ u - \frac{u^3}{3} \right]_{-1}^{1} = \left(1 - \frac{1}{3}\right) - \left(-1 + \frac{1}{3}\right) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3} $$ Donc : $$ I_z = \frac{3M}{4\pi R^3} \cdot \frac{R^5}{5} \cdot \frac{4}{3} \cdot 2\pi = \frac{3M}{4\pi R^3} \cdot \frac{R^5}{5} \cdot \frac{8\pi}{3} = \frac{2}{5} M R^2 $$ **Réponse** : $I = \frac{2}{5} M R^2$ > **À retenir** : Pour une sphère pleine, $I_{\text{diamètre}} = \frac{2}{5} M R^2$. --- ## IV. Motion of a rigid body under the action of a constant torque ### Principe fondamental de la dynamique rotationnelle Pour un corps rigide tournant autour d'un axe fixe, le couple résultant $\tau$ est égal au produit du moment d'inertie $I$ par l'accélération angulaire $\alpha$ : $$ \tau = I \alpha $$ C'est l'analogue rotationnel de la seconde loi de Newton. > **À retenir** : $\tau = I \alpha$ régit le mouvement rotationnel sous couple constant ; $\alpha$ est alors constant si $\tau$ et $I$ le sont. ### Mouvement uniformément accéléré Si $\tau$ est constant et $I$ constant, alors $\alpha = \tau / I$ est constant. Les équations du mouvement sont analogues à celles de la translation : $$ \omega = \omega_0 + \alpha t $$ $$ \theta = \theta_0 + \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2 $$ $$ \omega^2 = \omega_0^2 + 2 \alpha \theta $$ où $\omega_0$ et $\theta_0$ sont la vitesse angulaire et l'angle initiaux. ### Travail et puissance Le travail effectué par un couple $\tau$ lors d'une rotation d'angle $\theta$ est : $$ W = \int \tau \, d\theta $$ Si $\tau$ est constant : $W = \tau \theta$ La puissance instantanée est : $$ P = \tau \omega $$ > **À retenir** : Le travail d'un couple constant est $W = \tau \theta$ ; la puissance est $P = \tau \omega$. ### Exemple résolu Une roue de moment d'inertie $I = 0,5 \, \text{kg·m}^2$ est soumise à un couple constant $\tau = 2 \, \text{N·m}$. Partant du repos, trouver sa vitesse angulaire après $t = 4 \, \text{s}$ et l'angle parcouru. *Solution* : $$ \alpha = \frac{\tau}{I} = \frac{2}{0,5} = 4 \, \text{rad/s}^2 $$ $$ \omega = \omega_0 + \alpha t = 0 + 4 \times 4 = 16 \, \text{rad/s} $$ $$ \theta = \frac{1}{2} \alpha t^2 = \frac{1}{2} \times 4 \times 16 = 32 \, \text{rad} $$ **Réponse** : $\omega = 16 \, \text{rad/s}$, $\theta = 32 \, \text{rad}$ ### Exercices d'application corrigés **Exercice 1** : Un disque de masse $M = 2 \, \text{kg}$ et rayon $R = 0,2 \, \text{m}$ tourne autour de son axe central. Un couple constant $\tau = 0,5 \, \text{N·m}$ lui est appliqué. Partant du repos, trouver le temps nécessaire pour atteindre $\omega = 10 \, \text{rad/s}$. *Solution* : $$ I = \frac{1}{2} M R^2 = \frac{1}{2} \times 2 \times (0,2)^2 = 0,04 \, \text{kg·m}^2 $$ $$ \alpha = \frac{\tau}{I} = \frac{0,5}{0,04} = 12,5 \, \text{rad/s}^2 $$ $$ t = \frac{\omega - \omega_0}{\alpha} = \frac{10 - 0}{12,5} = 0,8 \, \text{s} $$ **Réponse** : $t = 0,8 \, \text{s}$ **Exercice 2** : Une poulie de moment d'inertie $I = 0,1 \, \text{kg·m}^2$ est soumise à un couple de frottement constant $\tau_f = 0,02 \, \text{N·m}$. Si elle tourne initialement à $\omega_0 = 20 \, \text{rad/s}$, combien de temps met-elle à s'arrêter ? *Solution* : Le couple de frottement provoque une décélération : $\alpha = -\tau_f / I = -0,02 / 0,1 = -0,2 \, \text{rad/s}^2$ $$ t = \frac{0 - \omega_0}{\alpha} = \frac{-20}{-0,2} = 100 \, \text{s} $$ **Réponse** : $t = 100 \, \text{s}$ --- ## V. Moment of momentum about a fixed axis ### Définition Le moment angulaire (ou moment de quantité de mouvement) $L$ d'un corps rigide par rapport à un axe fixe est défini comme : $$ L = I \omega $$ où $I$ est le moment d'inertie par rapport à cet axe et $\omega$ la vitesse angulaire. > **À retenir** : $L = I \omega$ est le moment angulaire autour d'un axe fixe ; il est parallèle à $\omega$ pour un axe de symétrie principal. ### Relation avec le couple Le théorème du moment angulaire stipule que le taux de variation du moment angulaire est égal au couple extérieur appliqué : $$ \tau = \frac{dL}{dt} $$ Pour un corps rigide avec $I$ constant autour de l'axe : $$ \tau = I \frac{d\omega}{dt} = I \alpha $$ ce qui retrouve le principe fondamental de la dynamique rotationnelle. > **À retenir** : $\tau = dL/dt$ est la forme générale du second principe en rotation ; si $I$ constant, $\tau = I \alpha$. ### Exemple résolu Un disque de moment d'inertie $I = 0,2 \, \text{kg·m}^2$ voit sa vitesse angulaire augmenter de $5 \, \text{rad/s}$ à $15 \, \text{rad/s}$ en $2 \, \text{s}$. Trouver le couple moyen appliqué. *Solution* : Variation du moment angulaire : $\Delta L = I \Delta \omega = 0,2 \times (15 - 5) = 2 \, \text{kg·m}^2/\text{s}$ Couple moyen : $\tau_{\text{moy}} = \Delta L / \Delta t = 2 / 2 = 1 \, \text{N·m}$ **Réponse** : $\tau = 1 \, \text{N·m}$ ### Exercices d'application corrigés **Exercice 1** : Une roue de moment d'inertie $I = 0,3 \, \text{kg·m}^2$ tourne à $\omega = 10 \, \text{rad/s}$. Quel est son moment angulaire ? *Solution* : $$ L = I \omega = 0,3 \times 10 = 3 \, \text{kg·m}^2/\text{s} $$ **Réponse** : $L = 3 \, \text{kg·m}^2/\text{s}$ **Exercice 2** : Le moment angulaire d'un corps passe de $4 \, \text{kg·m}^2/\text{s}$ à $12 \, \text{kg·m}^2/\text{s}$ en $4 \, \text{s}$. Quel couple constant a été appliqué ? *Solution* : $$ \tau = \frac{\Delta L}{\Delta t} = \frac{12 - 4}{4} = 2 \, \text{N·m} $$ **Réponse** : $\tau = 2 \, \text{N·m}$ --- ## VI. Energy of a rigid rotating body ### Énergie cinétique rotationnelle L'énergie cinétique d'un corps rigide tournant autour d'un axe fixe avec vitesse angulaire $\omega$ est : $$ K = \frac{1}{2} I \omega^2 $$ > **À retenir** : $K = \frac{1}{2} I \omega^2$ est l'énergie cinétique rotationnelle ; analogue de $\frac{1}{2} m v^2$ en translation. ### Travail-énergie Le théorème du travail-énergie en rotation stipule que le travail net effectué par les couples extérieurs est égal à la variation de l'énergie cinétique rotationnelle : $$ W_{\text{net}} = \Delta K = \frac{1}{2} I \omega^2 - \frac{1}{2} I \omega_0^2 $$ Si le seul travail provient d'un couple constant $\tau$ sur un angle $\theta$ : $$ \tau \theta = \frac{1}{2} I (\omega^2 - \omega_0^2) $$ > **À retenir** : $\tau \theta = \Delta K$ relie travail du couple et variation d'énergie cinétique. ### Exemple résolu Une roue de moment d'inertie $I = 0,4 \, \text{kg·m}^2$ accélère du repos à $\omega = 25 \, \text{rad/s}$. Calculer l'énergie cinétique gagnée et le travail effectué si l'angle parcouru est $\theta = 50 \, \text{rad}$. *Solution* : $$ \Delta K = \frac{1}{2} I \omega^2 = \frac{1}{2} \times 0,4 \times (25)^2 = 0,2 \times 625 = 125 \, \text{J} $$ Si le travail provient d'un couple constant : $$ W = \tau \theta = \Delta K \Rightarrow \tau = \frac{\Delta K}{\theta} = \frac{125}{50} = 2,5 \, \text{N·m} $$ **Réponse** : $\Delta K = 125 \, \text{J}$, $\tau = 2,5 \, \text{N·m}$ ### Exercices d'application corrigés **Exercice 1** : Un disque de masse $M = 1,5 \, \text{kg}$ et rayon $R = 0,15 \, \text{m}$ tourne à $\omega = 20 \, \text{rad/s}$. Trouver son énergie cinétique. *Solution* : $$ I = \frac{1}{2} M R^2 = \frac{1}{2} \times 1,5 \times (0,15)^2 = 0,016875 \, \text{kg·m}^2 $$ $$ K = \frac{1}{2} I \omega^2 = \frac{1}{2} \times 0,016875 \times 400 = 3,375 \, \text{J} $$ **Réponse** : $K = 3,375 \, \text{J}$ **Exercice 2** : Une poulie de moment d'inertie $I = 0,05 \, \text{kg·m}^2$ voit son énergie cinétique passer de $2 \, \text{J}$ à $18 \, \text{J}$. Quel est le changement de vitesse angulaire si $\omega_0 = 4 \, \text{rad/s}$ ? *Solution* : $$ K_0 = \frac{1}{2} I \omega_0^2 = \frac{1}{2} \times 0,05 \times 16 = 0,4 \, \text{J} \quad \text{(incohérence avec donnée)} $$ On utilise directement la variation : $$ \Delta K = \frac{1}{2} I (\omega^2 - \omega_0^2) $$ $$ 18 - 2 = 16 = \frac{1}{2} \times 0,05 \times (\omega^2 - 16) $$ $$ 16 = 0,025 (\omega^2 - 16) \Rightarrow \omega^2 - 16 = 640 \Rightarrow \omega^2 = 656 \Rightarrow \omega \approx 25,6 \, \text{rad/s} $$ **Réponse** : $\omega \approx 25,6 \, \text{rad/s}$ (augmentation de $\approx 21,6 \, \text{rad/s}$) --- ## VII. Compound pendulum ### Définition et période Un pendule composé (ou pendule physique) est un corps rigide suspendu librement pouvant osciller autour d'un axe horizontal fixe ne passant pas par son centre de masse. Sa période d'oscillation pour de petits angles est : $$ T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{M g d}} $$ où $I$ est le moment d'inertie par rapport à l'axe de suspension, $M$ la masse totale, $g$ l'accélération de la pesanteur, et $d$ la distance de l'axe au centre de masse. > **À retenir** : $T = 2\pi \sqrt{I/(Mgd)}$ définit la période d'un pendule composé pour petits oscillations. ### Équivalent pendule simple La longueur du pendule simple équivalent est : $$ L_{\text{eq}} = \frac{I}{M d} $$ > **À retenir** : $L_{\text{eq}} = I/(Md)$ est la longueur du pendule simple ayant la même période. ### Exemple résolu Une barre uniforme de longueur $L$ et masse $M$ est suspendue par une de ses extrémités. Trouver sa période d'oscillation. *Solution* : Moment d'inertie autour d'une extrémité : $I = \frac{1}{3} M L^2$ (par théorème des axes parallèles : $I_{\text{centre}} + M d^2 = \frac{1}{12} M L^2 + M (L/2)^2 = \frac{1}{3} M L^2$) Distance du centre de masse à l'axe : $d = L/2$ $$ T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{M g d}} = 2\pi \sqrt{\frac{\frac{1}{3} M L^2}{M g \cdot (L/2)}} = 2\pi \sqrt{\frac{2L}{3g}} $$ **Réponse** : $T = 2\pi \sqrt{\frac{2L}{3g}}$ ### Exercices d'application corrigés **Exercice 1** : Un disque uniforme de rayon $R$ est suspendu par un point sur sa circonférence. Trouver sa période d'oscillation. *Solution* : Moment d'inertie autour du centre : $I_c = \frac{1}{2} M R^2$ Par théorème des axes parallèles, autour d'un point sur la circonférence : $I = I_c + M R^2 = \frac{1}{2} M R^2 + M R^2 = \frac{3}{2} M R^2$ Distance du centre de masse à l'axe : $d = R$ $$ T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{M g d}} = 2\pi \sqrt{\frac{\frac{3}{2} M R^2}{M g R}} = 2\pi \sqrt{\frac{3R}{2g}} $$ **Réponse** : $T = 2\pi \sqrt{\frac{3R}{2g}}$ **Exercice 2** : Un pendule composé a une période $T = 2 \, \text{s}$ et une distance $d = 0,25 \, \text{m}$ de l'axe au centre de masse. Si sa masse est $M = 0,5 \, \text{kg}$, trouver son moment d'inertie $I$. *Solution* : $$ T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{M g d}} \Rightarrow \frac{T}{2\pi} = \sqrt{\frac{I}{M g d}} \Rightarrow \left( \frac{T}{2\pi} \right)^2 = \frac{I}{M g d} $$ $$ I = M g d \left( \frac{T}{2\pi} \right)^2 = 0,5 \times 9,8 \times 0,25 \times \left( \frac{2}{2\pi} \right)^2 = 0,5 \times 9,8 \times 0,25 \times \frac{1}{\pi^2} $$ $$ = \frac{1,225}{\pi^2} \approx \frac{1,225}{9,8696} \approx 0,124 \, \text{kg·m}^2 $$ **Réponse** : $I \approx 0,124 \, \text{kg·m}^2$ --- ## VIII. Connected particles and impulse ### Principe d'impulsion et de quantité de mouvement en rotation Lorsqu'une impulsion externe $\vec{J}$ (ou un couple d'impulsion) agit sur un système de particules ou un corps rigide pendant un temps très court, elle provoque un changement soudain du moment angulaire : $$ \Delta \vec{L} = \vec{\Gamma}_{\text{imp}} $$ où $\vec{\Gamma}_{\text{imp}}$ est le moment de l'impulsion (couple d'impulsion). Pour une force impulsive $\vec{F}$ appliquée en un point $\vec{r}$ relatif à l'axe : $$ \vec{\Gamma}_{\text{imp}} = \vec{r} \times \vec{J} $$ > **À retenir** : Le changement de moment angulaire égal le moment de l'impulsion appliquée : $\Delta L = r J_\perp$ (composante perpendiculaire). ### Système de particules connectées Pour des particules liées par des tiges rigides ou des cordes inextensibles tournant autour d'un axe fixe, l'impulsion interne se compense, et seule l'impulsion externe modifie le moment angulaire total du système : $$ \sum \Delta L_i = \sum (\vec{r}_i \times \vec{J}_i)_{\text{ext}} $$ Si l'axe est fixe et sans frottement, le moment angulaire du système est conservé si aucune impulsion externe n'agit. ### Exemple résolu Deux petites masses $m_1 = 0,2 \, \text{kg}$ et $m_2 = 0,3 \, \text{kg}$ sont fixées aux extrémités d'une tige légère de longueur $L = 0,8 \, \text{m}$, tournant autour d'un axe passant par son centre et perpendiculaire à la tige. Une impulsion horizontale $J = 0,5 \, \text{N·s}$ est appliquée perpendiculairement à la tige sur la masse $m_2$ à son extrémité. Trouver la vitesse angulaire immédiate après l'impulsion. *Solution* : Moment d'inertie du système : $$ I = m_1 \left(\frac{L}{2}\right)^2 + m_2 \left(\frac{L}{2}\right)^2 = (m_1 + m_2) \left(\frac{L}{2}\right)^2 = 0,5 \times (0,4)^2 = 0,5 \times 0,16 = 0,08 \, \text{kg·m}^2 $$ L'impulsion sur $m_2$ : le bras de levier est $r = L/2 = 0,4 \, \text{m}$, et l'impulsion est perpendiculaire à la tige, donc : $$ \Gamma_{\text{imp}} = r J = 0,4 \times 0,5 = 0,2 \, \text{N·m·s} $$ Changement de moment angulaire : $\Delta L = \Gamma_{\text{imp}} = I \omega - 0$ (partant du repos) $$ \omega = \frac{\Gamma_{\text{imp}}}{I} = \frac{0,2}{0,08} = 2,5 \, \text{rad/s} $$ **Réponse** : $\omega = 2,5 \, \text{rad/s}$ ### Exercices d'application corrigés **Exercice 1** : Une particule de masse $m = 0,1 \, \text{kg}$ est attachée à l'extrémité d'une tige légère de longueur $r = 0,5 \, \text{m}$, tournant autour de l'autre extrémité. Une impulsion $J = 0,2 \, \text{N·s}$ est appliquée perpendiculairement à la tige sur la particule. Si le système était initialement au repos, trouver sa vitesse angulaire après l'impulsion. *Solution* : $$ I = m r^2 = 0,1 \times (0,5)^2 = 0,025 \, \text{kg·m}^2 $$ $$ \Gamma_{\text{imp}} = r J = 0,5 \times 0,2 = 0,1 \, \text{N·m·s} $$ $$ \omega = \frac{\Gamma_{\text{imp}}}{I} = \frac{0,1}{0,025} = 4 \, \text{rad/s} $$ **Réponse** : $\omega = 4 \, \text{rad/s}$ **Exercice 2** : Deux masses $m$ sont fixées aux extrémités d'une tige légère de longueur $2L$, tournant autour de son centre. Une impulsion $J$ est appliquée perpendiculairement à la tige sur une masse. Trouver $\omega$ après l'impulsion, en supposant le repos initial. *Solution* : $$ I = 2 \cdot m L^2 $$ $$ \Gamma_{\text{imp}} = L J $$ $$ \omega = \frac{L J}{2 m L^2} = \frac{J}{2 m L} $$ **Réponse** : $\omega = \dfrac{J}{2 m L}$ ---