Hyperbolic and Inverse hyperbolic Functions

# Hyperbolic and Inverse hyperbolic Functions ## Objectifs et prérequis Ce chapitre vise à maîtriser les fonctions hyperboliques et leurs inverses, essentielles en analyse avancée, physique et ingénierie. À la fin de ce cours, l'étudiant sera capable de : - Définir les fonctions hyperboliques de base et leurs inverses ; - Les différencier et les intégrer ; - Utiliser les substitutions hyperboliques pour résoudre des intégrales ; - Développer les fonctions hyperboliques en série de Maclaurin ; - Calculer leurs valeurs numériques ; - Tracer leurs graphiques ; - Appliquer les identités hyperboliques et la règle d'Osborn ; - Résoudre des équations hyperboliques ; - Exprimer les fonctions hyperboliques inverses sous forme logarithmique. **Prérequis** : Maîtrise du calcul différentiel et intégral (niveau Lower Sixth), connaissance des fonctions exponentielles et logarithmiques, des identités trigonométriques de base, et des séries de Taylor/Maclaurin. --- ## I. Definition of hyperbolic functions Les fonctions hyperboliques sont définies à partir de l'exponentielle naturelle $e^x$. > **Définition** : Les fonctions hyperboliques de base sont définies comme suit : > $$ > \sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}, \quad > \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}, \quad > \tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} > $$ > $$ > \operatorname{csch} x = \frac{1}{\sinh x}, \quad > \operatorname{sech} x = \frac{1}{\cosh x}, \quad > \coth x = \frac{\cosh x}{\sinh x} > $$ **Propriétés fondamentales** : - $\cosh x$ est paire : $\cosh(-x) = \cosh x$ - $\sinh x$ est impaire : $\sinh(-x) = -\sinh x$ - $\tanh x$ est impaire : $\tanh(-x) = -\tanh x$ - $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ (identité fondamentale) - $1 - \tanh^2 x = \operatorname{sech}^2 x$ - $\coth^2 x - 1 = \operatorname{csch}^2 x$ **Exemple 1** : Calculer $\sinh(0)$, $\cosh(0)$, $\tanh(0)$. - $\sinh(0) = \frac{e^0 - e^0}{2} = 0$ - $\cosh(0) = \frac{e^0 + e^0}{2} = 1$ - $\tanh(0) = \frac{0}{1} = 0$ **Exercice 1** : Montrer que $\frac{d}{dx} \sinh x = \cosh x$ en utilisant la définition. **Correction** : $$ \frac{d}{dx} \sinh x = \frac{d}{dx} \left( \frac{e^x - e^{-x}}{2} \right) = \frac{e^x + e^{-x}}{2} = \cosh x $$ **Exercice 2** : Évaluer $\cosh(\ln 2)$. **Correction** : $$ \cosh(\ln 2) = \frac{e^{\ln 2} + e^{-\ln 2}}{2} = \frac{2 + \frac{1}{2}}{2} = \frac{5/2}{2} = \frac{5}{4} $$ --- ## II. Differentiation of Inverse Hyperbolic Functions Les fonctions hyperboliques inverses sont définies comme les inverses des fonctions hyperboliques sur leurs domaines appropriés. > **Définition** : Les fonctions hyperboliques inverses sont définies par : > $$ > y = \sinh^{-1} x \iff x = \sinh y, \quad > y = \cosh^{-1} x \iff x = \cosh y \ (y \geq 0), \quad > y = \tanh^{-1} x \iff x = \tanh y \ (|x| < 1) > $$ > De même pour $\csch^{-1} x$, $\sech^{-1} x$, $\coth^{-1} x$. > **Formules de dérivation** : > $$ > \frac{d}{dx} \sinh^{-1} x = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}, \quad > \frac{d}{dx} \cosh^{-1} x = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} \ (x > 1), \quad > \frac{d}{dx} \tanh^{-1} x = \frac{1}{1 - x^2} \ (|x| < 1) > $$ > $$ > \frac{d}{dx} \csch^{-1} x = -\frac{1}{|x|\sqrt{x^2 + 1}}, \quad > \frac{d}{dx} \sech^{-1} x = -\frac{1}{x\sqrt{1 - x^2}} \ (0 < x < 1), \quad > \frac{d}{dx} \coth^{-1} x = \frac{1}{1 - x^2} \ (|x| > 1) > $$ **Exemple 2** : Dériver $y = \sinh^{-1}(3x)$. **Correction** : $$ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{(3x)^2 + 1}} \cdot 3 = \frac{3}{\sqrt{9x^2 + 1}} $$ **Exercice 3** : Dériver $y = \cosh^{-1}(e^x)$. **Correction** : $$ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{(e^x)^2 - 1}} \cdot e^x = \frac{e^x}{\sqrt{e^{2x} - 1}} $$ **Exercice 4** : Dériver $y = \tanh^{-1}(\sqrt{x})$ pour $0 < x < 1$. **Correction** : $$ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 - (\sqrt{x})^2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}(1 - x)} $$ --- ## III. Integration of Basic Hyperbolic Functions L'intégration des fonctions hyperboliques découle directement de leurs dérivées. > **Formules d'intégration** : > $$ > \int \sinh x \, dx = \cosh x + C, \quad > \int \cosh x \, dx = \sinh x + C, \quad > \int \operatorname{sech}^2 x \, dx = \tanh x + C > $$ > $$ > \int \operatorname{csch}^2 x \, dx = -\coth x + C, \quad > \int \operatorname{sech} x \tanh x \, dx = -\operatorname{sech} x + C, \quad > \int \operatorname{csch} x \coth x \, dx = -\operatorname{csch} x + C > $$ **Exemple 3** : Calculer $\int (2\sinh x + 3\cosh x) \, dx$. **Correction** : $$ \int 2\sinh x \, dx + \int 3\cosh x \, dx = 2\cosh x + 3\sinh x + C $$ **Exercice 5** : Évaluer $\int_0^{\ln 2} \cosh x \, dx$. **Correction** : $$ [\sinh x]_0^{\ln 2} = \sinh(\ln 2) - \sinh(0) = \frac{e^{\ln 2} - e^{-\ln 2}}{2} - 0 = \frac{2 - \frac{1}{2}}{2} = \frac{3}{4} $$ **Exercice 6** : Calculer $\int \operatorname{sech}^2 (5x) \, dx$. **Correction** : Soit $u = 5x$, $du = 5dx$ → $dx = du/5$ $$ \int \operatorname{sech}^2 (5x) \, dx = \frac{1}{5} \int \operatorname{sech}^2 u \, du = \frac{1}{5} \tanh u + C = \frac{1}{5} \tanh(5x) + C $$ --- ## IV. Use of Hyperbolic Substitutions in Integration Les substitutions hyperboliques sont utiles pour intégrer des expressions contenant $\sqrt{x^2 + a^2}$, $\sqrt{x^2 - a^2}$, ou $\sqrt{a^2 - x^2}$. > **Substitutions standards** : > - Pour $\sqrt{x^2 + a^2}$ : laisser $x = a \sinh θ$ → $dx = a \cosh θ \, dθ$, $\sqrt{x^2 + a^2} = a \cosh θ$ > - Pour $\sqrt{x^2 - a^2}$ (avec $x > a$) : laisser $x = a \cosh θ$ → $dx = a \sinh θ \, dθ$, $\sqrt{x^2 - a^2} = a \sinh θ$ > - Pour $\sqrt{a^2 - x^2}$ : laisser $x = a \tanh θ$ (moins courant) ou utiliser trigonométrique ; ici, on préfère $x = a \sin θ$ pour éviter les hyperboliques inutiles. > **Note** : Pour $\sqrt{a^2 - x^2}$, la substitution trigonométrique est plus naturelle ; les substitutions hyperboliques sont principalement pour les deux premiers cas. **Exemple 4** : Calculer $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + 9}}$. **Correction** : Laisser $x = 3 \sinh θ$ → $dx = 3 \cosh θ \, dθ$, $\sqrt{x^2 + 9} = \sqrt{9\sinh^2 θ + 9} = 3 \cosh θ$ $$ \int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + 9}} = \int \frac{3 \cosh θ}{3 \cosh θ} dθ = \int dθ = θ + C = \sinh^{-1}\left(\frac{x}{3}\right) + C $$ **Exercice 7** : Évaluer $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 - 16}}$ pour $x > 4$. **Correction** : Laisser $x = 4 \cosh θ$ → $dx = 4 \sinh θ \, dθ$, $\sqrt{x^2 - 16} = 4 \sinh θ$ $$ \int \frac{dx}{\sqrt{x^2 - 16}} = \int \frac{4 \sinh θ}{4 \sinh θ} dθ = \int dθ = θ + C = \cosh^{-1}\left(\frac{x}{4}\right) + C $$ **Exercice 8** : Calculer $\int \frac{dx}{\sqrt{25 + x^2}}$. **Correction** : Identique à l'exemple 4 avec $a=5$ : $$ \int \frac{dx}{\sqrt{25 + x^2}} = \sinh^{-1}\left(\frac{x}{5}\right) + C $$ --- ## V. Maclaurin's Series expansion of Basic Hyperbolic Functions Les séries de Maclaurin sont obtenues par dérivation successive en $x=0$ ou par substitution dans la série de $e^x$. > **Séries de Maclaurin** : > $$ > e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots > $$ > Donc : > $$ > \sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots > $$ > $$ > \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!} = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots > $$ > $$ > \tanh x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} - \cdots \quad (\text{valable pour } |x| < \frac{\pi}{2}) > $$ **Exemple 5** : Développer $\sinh x$ jusqu'au terme en $x^5$. **Correction** : $$ \sinh x = x + \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + O(x^7) $$ **Exercice 9** : Développer $\cosh x$ jusqu'au terme en $x^4$. **Correction** : $$ \cosh x = 1 + \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + O(x^6) $$ **Exercice 10** : Utiliser la série de $\sinh x$ pour approximer $\sinh(0.1)$. **Correction** : $$ \sinh(0.1) \approx 0.1 + \frac{(0.1)^3}{6} + \frac{(0.1)^5}{120} = 0.1 + 0.0001667 + 0.000000833 \approx 0.1001675 $$ Valeur réelle : $\sinh(0.1) \approx 0.10016675$ → erreur < $10^{-6}$ --- ## VI. Numerical Value of Hyperbolic functions Les valeurs numériques se calculent directement via les définitions exponentielles ou à l'aide de calculatrices. > **Méthode** : Pour calculer $\sinh x$, $\cosh x$, etc., utiliser : > $$ > \sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}, \quad > \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2} > $$ > Avec $e^x$ connu ou approximé. **Exemple 6** : Calculer $\sinh(1)$ et $\cosh(1)$ avec 4 décimales. **Correction** : $e^1 \approx 2.7183$, $e^{-1} \approx 0.3679$ $$ \sinh(1) = \frac{2.7183 - 0.3679}{2} = \frac{2.3504}{2} = 1.1752 $$ $$ \cosh(1) = \frac{2.7183 + 0.3679}{2} = \frac{3.0862}{2} = 1.5431 $$ **Exercice 11** : Calculer $\tanh(2)$. **Correction** : $e^2 \approx 7.3891$, $e^{-2} \approx 0.1353$ $$ \tanh(2) = \frac{7.3891 - 0.1353}{7.3891 + 0.1353} = \frac{7.2538}{7.5244} \approx 0.9640 $$ **Exercice 12** : Calculer $\operatorname{sech}(0.5)$. **Correction** : $\cosh(0.5) = \frac{e^{0.5} + e^{-0.5}}{2}$, $e^{0.5} \approx 1.6487$, $e^{-0.5} \approx 0.6065$ $$ \cosh(0.5) \approx \frac{1.6487 + 0.6065}{2} = 1.1276 \quad \Rightarrow \quad \operatorname{sech}(0.5) \approx \frac{1}{1.1276} \approx 0.8869 $$ --- ## VII. Graphs of Hyperbolic functions Les graphiques révèlent la symétrie et le comportement asymptotique. - **$\sinh x$** : impaire, passe par l'origine, croît comme $\frac{e^x}{2}$ pour $x \to +\infty$, comme $-\frac{e^{-x}}{2}$ pour $x \to -\infty$ - **$\cosh x$** : paire, minimum en $(0,1)$, symétrique par rapport à l'axe $y$, croît comme $\frac{e^x}{2}$ aux deux extrémités - **$\tanh x$** : impaire, bornée entre $-1$ et $1$, asymptotes horizontales $y = \pm 1$, passe par l'origine - **$\operatorname{sech} x$** : paire, maximum en $(0,1)$, tend vers $0$ quand $x \to \pm\infty$ - **$\operatorname{csch} x$** : impaire, asymptote verticale en $x=0$, tend vers $0$ quand $x \to \pm\infty$ - **$\coth x$** : impaire, asymptote verticale en $x=0$, asymptotes horizontales $y = \pm 1$ > **À retenir** : Le graphique de $\cosh x$ est une **catenoïde** (forme d'une chaîne suspendue). **Exercice 13** : Décrire le comportement de $\sinh x$ quand $x \to -\infty$. **Correction** : Quand $x \to -\infty$, $e^x \to 0$, $e^{-x} \to +\infty$, donc $\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2} \approx -\frac{e^{-x}}{2} \to -\infty$ **Exercice 14** : Quel est l'intervalle de $\tanh x$ ? **Correction** : $(-1, 1)$, atteint jamais $-1$ ou $1$, mais tend vers eux quand $x \to \mp\infty$ --- ## VIII. Hyperbolic Identities Les identités hyperboliques sont analogues aux trigonométriques, avec des signes modifiés selon la règle d'Osborn. > **Identités fondamentales** : > $$ > \cosh^2 x - \sinh^2 x = 1 > $$ > $$ > 1 - \tanh^2 x = \operatorname{sech}^2 x > $$ > $$ > \coth^2 x - 1 = \operatorname{csch}^2 x > $$ > $$ > \sinh(x \pm y) = \sinh x \cosh y \pm \cosh x \sinh y > $$ > $$ > \cosh(x \pm y) = \cosh x \cosh y \pm \sinh x \sinh y > $$ > $$ > \tanh(x \pm y) = \frac{\tanh x \pm \tanh y}{1 \pm \tanh x \tanh y} > $$ **Exemple 7** : Prouver $\cosh(2x) = \cosh^2 x + \sinh^2 x$. **Correction** : En utilisant la formule d'addition : $$ \cosh(2x) = \cosh(x+x) = \cosh x \cosh x + \sinh x \sinh x = \cosh^2 x + \sinh^2 x $$ Alternativement, depuis $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$, on a $\cosh^2 x = 1 + \sinh^2 x$, donc : $$ \cosh^2 x + \sinh^2 x = 1 + 2\sinh^2 x = \cosh(2x) \quad \text{(vérifiable via définition)} $$ **Exercice 15** : Simplifier $\sinh^2 x + \cosh^2 x$. **Correction** : On sait que $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$. On ne peut pas directement simplifier $\sinh^2 x + \cosh^2 x$, mais on peut l'exprimer : $$ \sinh^2 x + \cosh^2 x = (\cosh^2 x - \sinh^2 x) + 2\sinh^2 x = 1 + 2\sinh^2 x = \cosh(2x) $$ Donc : $\sinh^2 x + \cosh^2 x = \cosh(2x)$ **Exercice 16** : Montrer que $\tanh(x+y) = \frac{\tanh x + \tanh y}{1 + \tanh x \tanh y}$. **Correction** : En utilisant les définitions : $$ \tanh(x+y) = \frac{\sinh(x+y)}{\cosh(x+y)} = \frac{\sinh x \cosh y + \cosh x \sinh y}{\cosh x \cosh y + \sinh x \sinh y} $$ Diviser numérateur et dénominateur par $\cosh x \cosh y$ : $$ = \frac{\frac{\sinh x}{\cosh x} + \frac{\sinh y}{\cosh y}}{1 + \frac{\sinh x \sinh y}{\cosh x \cosh y}} = \frac{\tanh x + \tanh y}{1 + \tanh x \tanh y} $$ --- ## IX. Osborn's Rule Cette règle permet de convertir une identité trigonométrique en identité hyperbolique en changeant le signe des termes contenant un produit pair de fonctions sinus. > **Règle d'Osborn** : Pour transformer une identité trigonométrique en identité hyperbolique : > - Remplacer $\sin$ par $\sinh$, $\cos$ par $\cosh$ > - **Changer le signe** de chaque terme qui contient un **produit pair** de fonctions $\sin$ (ou $\sinh$ après remplacement) **Exemple 8** : Appliquer la règle d'Osborn à $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x$. **Correction** : Remplacer $\cos$ → $\cosh$, $\sin$ → $\sinh$ : $\cosh(2x) = 1 - 2\sinh^2 x$ Le terme $-2\sinh^2 x$ contient un produit pair de $\sinh$ (deux facteurs) → changer son signe : devient $+2\sinh^2 x$ Donc : $\cosh(2x) = 1 + 2\sinh^2 x$ Vérification : depuis $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ et $\cosh(2x) = \cosh^2 x + \sinh^2 x$, alors : $$ \cosh(2x) = (\sinh^2 x + 1) + \sinh^2 x = 1 + 2\sinh^2 x \quad \checkmark $$ **Exercice 17** : Utiliser la règle d'Osborn pour trouver l'identité hyperbolique correspondant à $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$. **Correction** : Remplacer $\sin$ → $\sinh$, $\cos$ → $\cosh$ : $\sinh(2x) = 2 \sinh x \cosh y$ → attendre, c'est $\sinh(2x) = 2 \sinh x \cosh x$ Le terme $2 \sinh x \cosh x$ contient un produit **impair** de $\sinh$ (un seul $\sinh$) → **ne pas changer le signe** Donc : $\sinh(2x) = 2 \sinh x \cosh x$ → vérifiable par définition. **Exercice 18** : Appliquer la règle d'Osborn à $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$. **Correction** : Remplacer : $\cosh^2 x + \sinh^2 x = 1$ Le terme $\sinh^2 x$ contient un produit pair de $\sinh$ → changer son signe : devient $-\sinh^2 x$ Donc : $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ → identité fondamentale, correcte. --- ## X. Definition of Inverse Hyperbolic functions/graphs Les fonctions hyperboliques inverses sont définies comme les inverses des fonctions hyperboliques restreintes à des intervalles où elles sont bijectives. > **Définitions et domaines** : > - $y = \sinh^{-1} x$ : domaine $\mathbb{R}$, image $\mathbb{R}$, impaire > - $y = \cosh^{-1} x$ : domaine $[1, \infty)$, image $[0, \infty)$, décroissante puis croissante ? Non : $\cosh x$ est décroissante sur $(-\infty,0]$ et croissante sur $[0,\infty)$, donc pour l'inverse, on prend la branche $x \geq 0$ → $\cosh^{-1} x$ est définie pour $x \geq 1$, et est croissante > - $y = \tanh^{-1} x$ : domaine $(-1, 1)$, image $\mathbb{R}$, impaire > - $y = \csch^{-1} x$ : domaine $(-\infty,0) \cup (0,\infty)$, image $(-\infty,0) \cup (0,\infty)$, impaire > - $y = \sech^{-1} x$ : domaine $(0,1]$, image $[0, \infty)$, décroissante > - $y = \coth^{-1} x$ : domaine $(-\infty,-1) \cup (1,\infty)$, image $(-\infty,0) \cup (0,\infty)$, impaire **Graphiques** : - $\sinh^{-1} x$ : ressemble à une courbe en S passant par l'origine, symétrique par rapport à l'origine - $\cosh^{-1} x$ : définie pour $x \geq 1$, commence en $(1,0)$, croît lentement, ressemble à une racine carrée déformée - $\tanh^{-1} x$ : asymptotes verticales en $x = \pm 1$, passe par l'origine, ressemble à une fonction arctangente étirée **Exemple 9** : Tracer mentalement $y = \sinh^{-1} x$ pour $x = -2, -1, 0, 1, 2$. **Correction** : - $x = -2$ : $y = \sinh^{-1}(-2) \approx -1.4436$ - $x = -1$ : $y \approx -0.8814$ - $x = 0$ : $y = 0$ - $x = 1$ : $y \approx 0.8814$ - $x = 2$ : $y \approx 1.4436$ → Courbe symétrique, passant par l'origine, croissance lente pour de grandes $|x|$ **Exercice 19** : Quel est le domaine de $\cosh^{-1} x$ ? **Correction** : $[1, \infty)$ **Exercice 20** : Pourquoi $\sech^{-1} x$ n'est-il pas défini pour $x > 1$ ? **Correction** : Parce que $\sech x = \frac{1}{\cosh x} \leq 1$ pour tout $x$ réel, donc son image est $(0,1]$, donc l'inverse n'est défini que pour $x \in (0,1]$ --- ## XI. Logarithmic Equivalence of Inverse Hyperbolic functions Les fonctions hyperboliques inverses peuvent s'exprimer sous forme logarithmique, ce qui facilite leur dérivation et intégration. > **Formules logarithmiques** : > $$ > \sinh^{-1} x = \ln \left( x + \sqrt{x^2 + 1} \right) > $$ > $$ > \cosh^{-1} x = \ln \left( x + \sqrt{x^2 - 1} \right) \quad (x \geq 1) > $$ > $$ > \tanh^{-1} x = \frac{1}{2} \ln \left( \frac{1+x}{1-x} \right) \quad (|x| < 1) > $$ > $$ > \csch^{-1} x = \ln \left( \frac{1}{x} + \frac{\sqrt{1 + x^2}}{|x|} \right) \quad (x \neq 0) > $$ > $$ > \sech^{-1} x = \ln \left( \frac{1 + \sqrt{1 - x^2}}{x} \right) \quad (0 < x \leq 1) > $$ > $$ > \coth^{-1} x = \frac{1}{2} \ln \left( \frac{x+1}{x-1} \right) \quad (|x| > 1) > $$ **Exemple 10** : Dériver $y = \sinh^{-1} x$ en utilisant sa forme logarithmique. **Correction** : $$ y = \ln \left( x + \sqrt{x^2 + 1} \right) $$ $$ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 1}} \cdot \left( 1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \right) = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 1}} \cdot \frac{\sqrt{x^2 + 1} + x}{\sqrt{x^2 + 1}} = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} $$ **Exercice 21** : Montrer que $\cosh^{-1} x = \ln \left( x + \sqrt{x^2 - 1} \right)$ pour $x \geq 1$. **Correction** : Soit $y = \cosh^{-1} x$ → $x = \cosh y = \frac{e^y + e^{-y}}{2}$ Multiplier par $2e^y$ : $2x e^y = e^{2y} + 1$ → $e^{2y} - 2x e^y + 1 = 0$ Résoudre l'équation quadratique en $e^y$ : $e^y = \frac{2x \pm \sqrt{4x^2 - 4}}{2} = x \pm \sqrt{x^2 - 1}$ Puisque $e^y > 0$ et $x \geq 1$, on prend le signe $+$ (car $x - \sqrt{x^2 - 1} < 1$ et pourrait être $<1$, mais les deux sont positifs ; cependant, pour $y \geq 0$, $e^y \geq 1$, et $x + \sqrt{x^2 - 1} \geq 1$, tandis que $x - \sqrt{x^2 - 1} \leq 1$ ; en fait, les deux sont valables, mais on choisit la branche où $y \geq 0$ → $e^y \geq 1$, donc $x + \sqrt{x^2 - 1} \geq 1$ et $x - \sqrt{x^2 - 1} \leq 1$ ; pour $x>1$, $x - \sqrt{x^2 - 1} < 1$, donc on prend $e^y = x + \sqrt{x^2 - 1}$ pour avoir $y \geq 0$) Donc : $e^y = x + \sqrt{x^2 - 1}$ → $y = \ln \left( x + \sqrt{x^2 - 1} \right)$ **Exercice 22** : Écrire $\tanh^{-1} (0.5)$ sous forme logarithmique et calculer sa valeur. **Correction** : $$ \tanh^{-1}(0.5) = \frac{1}{2} \ln \left( \frac{1+0.5}{1-0.5} \right) = \frac{1}{2} \ln \left( \frac{1.5}{0.5} \right) = \frac{1}{2} \ln(3) \approx \frac{1}{2} \times 1.0986 = 0.5493 $$ --- ## XII. Hyperbolic Equations Résoudre des équations impliquant des fonctions hyperboliques revient souvent à utiliser leurs définitions exponentielles ou leurs formes logarithmiques. > **Stratégie** : > - Exprimer tout en termes de $e^x$ et $e^{-x}$ > - Multiplier par $e^x$ pour obtenir une équation quadratique en $e^x$ > - Résoudre, puis prendre le logarithme naturel > - Vérifier les solutions (domaine des fonctions) **Exemple 11** : Résoudre $\sinh x = 2$. **Correction** : $$ \frac{e^x - e^{-x}}{2} = 2 \quad \Rightarrow \quad e^x - e^{-x} = 4 $$ Multiplier par $e^x$ : $e^{2x} - 1 = 4e^x$ → $e^{2x} - 4e^x - 1 = 0$ Soit $u = e^x$ : $u^2 - 4u - 1 = 0$ → $u = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2} = 2 \pm \sqrt{5}$ Puisque $u = e^x > 0$, on prend $u = 2 + \sqrt{5}$ (car $2 - \sqrt{5} < 0$) Donc : $e^x = 2 + \sqrt{5}$ → $x = \ln(2 + \sqrt{5})$ **Exercice 23** : Résoudre $\cosh x = 3$. **Correction** : $$ \frac{e^x + e^{-x}}{2} = 3 \quad \Rightarrow \quad e^x + e^{-x} = 6 $$ Multiplier par $e^x$ : $e^{2x} + 1 = 6e^x$ → $e^{2x} - 6e^x + 1 = 0$ Soit $u = e^x$ : $u^2 - 6u + 1 = 0$ → $u = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4}}{2} = 3 \pm \sqrt{2\sqrt{2}}$ → attendez : $\sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ ? $36 - 4 = 32$, $\sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ → $u = \frac{6 \pm 4\sqrt{2}}{2} = 3 \pm 2\sqrt{2}$ Les deux solutions sont positives : $3 + 2\sqrt{2} > 0$, $3 - 2\sqrt{2} \approx 3 - 2.828 = 0.172 > 0$ Mais $\cosh x \geq 1$, et pour chaque $x \neq 0$, $\cosh x = \cosh(-x)$, donc deux solutions : $x = \ln(3 + 2\sqrt{2})$ et $x = \ln(3 - 2\sqrt{2})$ Vérifier : $\ln(3 - 2\sqrt{2}) = \ln\left(\frac{1}{3+2\sqrt{2}}\right) = -\ln(3+2\sqrt{2})$ Donc les solutions sont $x = \pm \ln(3 + 2\sqrt{2})$ **Exercice 24** : Résoudre $\tanh x = \frac{1}{2}$. **Correction** : $$ \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} = \frac{1}{2} $$ Multiplier par $2(e^x + e^{-x})$ : $2(e^x - e^{-x}) = e^x + e^{-x}$ → $2e^x - 2e^{-x} = e^x + e^{-x}$ → $e^x - 3e^{-x} = 0$ Multiplier par $e^x$ : $e^{2x} - 3 = 0$ → $e^{2x} = 3$ → $e^x = \sqrt{3}$ (positif) → $x = \ln \sqrt{3} = \frac{1}{2} \ln 3$ --- ## XIII. Differentiation of Basic Hyperbolic Functions Cette section consolide les règles de dérivation des fonctions hyperboliques de base, essentielles pour les applications. > **Formules de dérivation** : > $$ > \frac{d}{dx} \sinh x = \cosh x, \quad > \frac{d}{dx} \cosh x = \sinh x, \quad > \frac{d}{dx} \tanh x = \operatorname{sech}^2 x > $$ > $$ > \frac{d}{dx} \operatorname{csch} x = -\operatorname{csch} x \coth x, \quad > \frac{d}{dx} \operatorname{sech} x = -\operatorname{sech} x \tanh x, \quad > \frac{d}{dx} \coth x = -\operatorname{csch}^2 x > $$ **Exemple 12** : Dériver $y = \sinh(3x^2)$. **Correction** : $$ \frac{dy}{dx} = \cosh(3x^2) \cdot \frac{d}{dx}(3x^2) = 6x \cosh(3x^2) $$ **Exercice 25** : Dériver $y = \cosh^2 x$. **Correction** : $$ \frac{dy}{dx} = 2 \cosh x \cdot \frac{d}{dx} \cosh x = 2 \cosh x \cdot \sinh x = \sinh(2x) $$ (puisque $2 \sinh x \cosh x = \sinh(2x)$) **Exercice 26** : Dériver $y = \operatorname{sech}(x^3)$. **Correction** : $$ \frac{dy}{dx} = -\operatorname{sech}(x^3) \tanh(x^3) \cdot \frac{d}{dx}(x^3) = -3x^2 \operatorname{sech}(x^3) \tanh(x^3) $$ **Exercice 27** : Dériver $y = \coth(\ln x)$ pour $x > 0$. **Correction** : $$ \frac{dy}{dx} = -\operatorname{csch}^2(\ln x) \cdot \frac{d}{dx}(\ln x) = -\frac{1}{x} \operatorname{csch}^2(\ln x) $$ ---