Special Continous Distributions

# Special Continous Distributions ## Objectifs et prérequis Ce chapitre vise à maîtriser les lois de probabilité continues essentielles en mathématiques avancées : exponentielle, uniforme, normale, ainsi que leurs applications en approximation des lois discrètes (binômiale et de Poisson) avec correction de continuité. À l’issue de ce cours, l’étudiant sera capable de : - Identifier et appliquer la loi exponentielle pour modéliser les temps d’attente. - Calculer la moyenne et la variance de la loi uniforme. - Décrire la densité de probabilité de la loi normale et utiliser la table de la loi normale centrée réduite. - Calculer l’espérance et la variance d’une variable aléatoire normale. - Utiliser la loi normale comme approximation de la loi binômiale et de la loi de Poisson avec correction de continuité. - Résoudre des problèmes concrets en probabilités et statistiques. **Prérequis** : Maîtrise du calcul intégral (intégrales définies, primitives), des lois de probabilité discrètes (binômiale, de Poisson), du concept d’espérance et de variance, et de la notation des variables aléatoires continues. --- ## I. The exponential distribution ### Définition et densité de probabilité Une variable aléatoire continue $X$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda > 0$ si sa fonction de densité de probabilité (pdf) est : $$ f(x) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x} & \text{pour } x \geq 0 \\ 0 & \text{pour } x < 0 \end{cases} $$ > **À retenir** : La loi exponentielle modélise le temps entre deux événements successifs dans un processus de Poisson homogène. Elle est sans mémoire : $P(X > s + t \mid X > s) = P(X > t)$. ### Fonction de répartition La fonction de répartition cumulative (cdf) est : $$ F(x) = P(X \leq x) = \begin{cases} 1 - e^{-\lambda x} & \text{pour } x \geq 0 \\ 0 & \text{pour } x < 0 \end{cases} $$ ### Espérance et variance $$ \mathbb{E}[X] = \frac{1}{\lambda}, \quad \text{Var}(X) = \frac{1}{\lambda^2} $$ ### Exemple résolu 1 Le temps entre deux appels téléphoniques entrants dans un centre d’appel suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0.5$ appels par minute. Quelle est la probabilité qu’il s’écoule plus de 3 minutes entre deux appels ? **Solution** : $$ P(X > 3) = 1 - F(3) = e^{-\lambda \cdot 3} = e^{-0.5 \times 3} = e^{-1.5} \approx 0.2231 $$ ### Exercice d’application 1 (corrigé) La durée de vie d’une certaine ampoule suit une loi exponentielle de moyenne 1000 heures. a) Déterminer $\lambda$. b) Quelle est la probabilité qu’une ampoule dure moins de 800 heures ? c) Quelle est la probabilité qu’elle dure plus de 1200 heures sachant qu’elle a déjà fonctionné 800 heures ? **Corrigé** : a) $\mathbb{E}[X] = 1/\lambda = 1000 \Rightarrow \lambda = 0.001$ b) $P(X < 800) = F(800) = 1 - e^{-0.001 \times 800} = 1 - e^{-0.8} \approx 1 - 0.4493 = 0.5507$ c) Par propriété sans mémoire : $P(X > 1200 \mid X > 800) = P(X > 400) = e^{-0.001 \times 400} = e^{-0.4} \approx 0.6703$ --- ## II. The uniform or Rectangular distribution (Mean and Variance) ### Définition et densité de probabilité Une variable aléatoire continue $X$ suit une loi uniforme sur l’intervalle $[a, b]$ ($a < b$) si sa pdf est constante : $$ f(x) = \begin{cases} \frac{1}{b - a} & \text{pour } a \leq x \leq b \\ 0 & \text{sinon} \end{cases} $$ > **À retenir** : Tous les intervalles de même longueur dans $[a, b]$ ont la même probabilité. ### Fonction de répartition $$ F(x) = \begin{cases} 0 & \text{pour } x < a \\ \frac{x - a}{b - a} & \text{pour } a \leq x \leq b \\ 1 & \text{pour } x > b \end{cases} $$ ### Espérance et variance $$ \mathbb{E}[X] = \frac{a + b}{2}, \quad \text{Var}(X) = \frac{(b - a)^2}{12} $$ ### Exemple résolu 2 Le temps d’attente pour un bus est uniformément distribué entre 5 et 20 minutes. Quelle est la probabilité d’attendre moins de 10 minutes ? Quelle est l’attente moyenne et l’écart-type ? **Solution** : - $P(X < 10) = \frac{10 - 5}{20 - 5} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3} \approx 0.3333$ - $\mathbb{E}[X] = \frac{5 + 20}{2} = 12.5$ minutes - $\text{Var}(X) = \frac{(20 - 5)^2}{12} = \frac{225}{12} = 18.75 \Rightarrow \sigma = \sqrt{18.75} \approx 4.33$ minutes ### Exercice d’application 2 (corrigé) Un nombre est choisi au hasard dans l’intervalle $[2, 8]$. a) Trouver la probabilité qu’il soit supérieur à 6. b) Trouver la probabilité qu’il soit compris entre 3 et 5. c) Calculer la variance. **Corrigé** : a) $P(X > 6) = \frac{8 - 6}{8 - 2} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ b) $P(3 < X < 5) = \frac{5 - 3}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ c) $\text{Var}(X) = \frac{(8 - 2)^2}{12} = \frac{36}{12} = 3$ --- ## III. The Normal distribution/Probability density function ### Définition et densité de probabilité Une variable aléatoire continue $X$ suit une loi normale de moyenne $\mu$ et de variance $\sigma^2$ ($\sigma > 0$) si sa pdf est : $$ f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}, \quad -\infty < x < \infty $$ > **À retenir** : La courbe en cloche de la loi normale est symétrique par rapport à $\mu$, avec des points d’inflexion en $\mu \pm \sigma$. ### Propriétés clés - Symétrie : $f(\mu + x) = f(\mu - x)$ - $68\%$ des valeurs dans $[\mu - \sigma, \mu + \sigma]$ - $95\%$ dans $[\mu - 2\sigma, \mu + 2\sigma]$ - $99.7\%$ dans $[\mu - 3\sigma, \mu + 3\sigma]$ (règle empirique) ### Exemple résolu 3 Les tailles d’un groupe d’élèves sont normalement distribuées avec une moyenne de 165 cm et un écart-type de 6 cm. Quelle est la probabilité qu’un élève choisi au hasard mesure entre 159 cm et 171 cm ? **Solution** : On standardise : $z_1 = \frac{159 - 165}{6} = -1$, $z_2 = \frac{171 - 165}{6} = 1$ $P(159 < X < 171) = P(-1 < Z < 1) = \Phi(1) - \Phi(-1) = 0.8413 - 0.1587 = 0.6826$ --- ## IV. Expectation and Variance ### Espérance et variance de la loi normale Pour $X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ : $$ \mathbb{E}[X] = \mu, \quad \text{Var}(X) = \sigma^2 $$ Ces résultats découlent directement de la définition et peuvent être vérifiés par intégration (en utilisant les propriétés de la fonction paire et impaire). > **À retenir** : Pour toute variable normale, l’espérance est le centre de symétrie et la variance mesure l’étalement autour de cette moyenne. ### Transformation linéaire Si $X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ et $Y = aX + b$ ($a, b$ constants, $a \neq 0$), alors : $$ Y \sim \mathcal{N}(a\mu + b, a^2\sigma^2) $$ ### Exemple résolu 4 Si $X \sim \mathcal{N}(10, 4)$, trouver la distribution de $Y = 3X - 2$. **Solution** : $\mathbb{E}[Y] = 3 \times 10 - 2 = 28$ $\text{Var}(Y) = 3^2 \times 4 = 9 \times 4 = 36$ Donc $Y \sim \mathcal{N}(28, 36)$ ### Exercice d’application 3 (corrigé) Soit $X \sim \mathcal{N}(5, 9)$. a) Trouver $P(X < 2)$. b) Trouver $P(X > 8)$. c) Trouver $c$ tel que $P(X < c) = 0.9$. **Corrigé** : a) $z = \frac{2 - 5}{3} = -1 \Rightarrow P(Z < -1) = 0.1587$ b) $z = \frac{8 - 5}{3} = 1 \Rightarrow P(Z > 1) = 1 - 0.8413 = 0.1587$ c) $\Phi(z) = 0.9 \Rightarrow z \approx 1.28 \Rightarrow c = 5 + 1.28 \times 3 = 5 + 3.84 = 8.84$ --- ## V. The standard normal variable and the use of the standard normal table to find probabilities for normally distributed variable ### Variable normale centrée réduite On définit la variable normale centrée réduite $Z$ par : $$ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} $$ Alors $Z \sim \mathcal{N}(0, 1)$. > **À retenir** : Toute probabilité concernant $X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ se ramène à une probabilité sur $Z \sim \mathcal{N}(0,1)$ via la standardisation. ### Table de la loi normale centrée réduite La table donne $\Phi(z) = P(Z \leq z)$ pour $z \geq 0$. Pour $z < 0$, on utilise la symétrie : $\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)$. ### Exemple résolu 5 Trouver $P(-0.5 < Z < 1.2)$. **Solution** : $P(-0.5 < Z < 1.2) = \Phi(1.2) - \Phi(-0.5) = \Phi(1.2) - (1 - \Phi(0.5))$ D’après la table : $\Phi(1.2) = 0.8849$, $\Phi(0.5) = 0.6915$ Donc : $0.8849 - (1 - 0.6915) = 0.8849 - 0.3085 = 0.5764$ ### Exercice d’application 4 (corrigé) Utiliser la table normale pour trouver : a) $P(Z > 1.64)$ b) $P(Z < -0.84)$ c) $P(-1.96 < Z < 1.96)$ **Corrigé** : a) $P(Z > 1.64) = 1 - \Phi(1.64) = 1 - 0.9495 = 0.0505$ b) $P(Z < -0.84) = 1 - \Phi(0.84) = 1 - 0.7995 = 0.2005$ c) $P(-1.96 < Z < 1.96) = \Phi(1.96) - \Phi(-1.96) = 0.9750 - (1 - 0.9750) = 0.9750 - 0.0250 = 0.9500$ --- ## VI. Use of Normal distribution as an approximation of the binomial with the application of the continuity correction ### Conditions d’approximation La loi binomiale $X \sim \text{Bin}(n, p)$ peut être approximée par une loi normale $\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ avec : $$ \mu = np, \quad \sigma^2 = np(1-p) $$ si $np \geq 5$ et $n(1-p) \geq 5$ (règle pratique). > **À retenir** : Comme la binomiale est discrète et la normale continue, on applique une **correction de continuité** : > - $P(X = k) \approx P(k - 0.5 < Y < k + 0.5)$ > - $P(X \leq k) \approx P(Y < k + 0.5)$ > - $P(X \geq k) \approx P(Y > k - 0.5)$ ### Exemple résolu 6 Une pièce truquée donne pile avec probabilité $p = 0.3$. On la lance 100 fois. Trouver la probabilité d’obtenir entre 25 et 35 piles (inclus). **Solution** : Vérification : $np = 100 \times 0.3 = 30 \geq 5$, $n(1-p) = 70 \geq 5$ → approximation valide. $\mu = 30$, $\sigma^2 = 100 \times 0.3 \times 0.7 = 21 \Rightarrow \sigma = \sqrt{21} \approx 4.583$ Avec correction de continuité : $P(25 \leq X \leq 35) \approx P(24.5 < Y < 35.5)$ Standardisation : $z_1 = \frac{24.5 - 30}{4.583} \approx \frac{-5.5}{4.583} \approx -1.20$ $z_2 = \frac{35.5 - 30}{4.583} \approx \frac{5.5}{4.583} \approx 1.20$ $P(-1.20 < Z < 1.20) = \Phi(1.20) - \Phi(-1.20) = 0.8849 - (1 - 0.8849) = 0.8849 - 0.1151 = 0.7698$ ### Exercice d’application 5 (corrigé) Dans une usine, 10% des produits sont défectueux. On prend un échantillon de 200 produits. Trouver la probabilité d’avoir au most 15 défectueux (c’est-à-dire $\leq 15$). **Solution** : $X \sim \text{Bin}(200, 0.1)$ $\mu = 200 \times 0.1 = 20$, $\sigma^2 = 200 \times 0.1 \times 0.9 = 18 \Rightarrow \sigma = \sqrt{18} \approx 4.243$ Conditions : $np = 20 \geq 5$, $n(1-p) = 180 \geq 5$ → OK. Avec correction de continuité : $P(X \leq 15) \approx P(Y < 15.5)$ $z = \frac{15.5 - 20}{4.243} \approx \frac{-4.5}{4.243} \approx -1.06$ $P(Z < -1.06) = 1 - \Phi(1.06) = 1 - 0.8554 = 0.1446$ --- ## VII. Use of Normal distribution as an approximation of the poisson distribution with the application of continuity correction ### Conditions d’approximation La loi de Poisson $X \sim \text{Pois}(\lambda)$ peut être approximée par une loi normale $\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ avec : $$ \mu = \lambda, \quad \sigma^2 = \lambda $$ si $\lambda \geq 10$ (règle pratique). > **À retenir** : Comme pour la binomiale, on applique la **correction de continuité** car la loi de Poisson est discrète : > - $P(X = k) \approx P(k - 0.5 < Y < k + 0.5)$ > - $P(X \leq k) \approx P(Y < k + 0.5)$ > - $P(X \geq k) \approx P(Y > k - 0.5)$ ### Exemple résolu 7 Le nombre de voitures passant par un péage par heure suit une loi de Poisson de moyenne $\lambda = 50$. Trouver la probabilité qu’il y ait entre 45 et 55 voitures (inclus) en une heure. **Solution** : Vérification : $\lambda = 50 \geq 10$ → approximation valide. $\mu = 50$, $\sigma^2 = 50 \Rightarrow \sigma = \sqrt{50} \approx 7.071$ Avec correction de continuité : $P(45 \leq X \leq 55) \approx P(44.5 < Y < 55.5)$ Standardisation : $z_1 = \frac{44.5 - 50}{7.071} \approx \frac{-5.5}{7.071} \approx -0.778$ $z_2 = \frac{55.5 - 50}{7.071} \approx \frac{5.5}{7.071} \approx 0.778$ $P(-0.778 < Z < 0.778) = \Phi(0.778) - \Phi(-0.778) = \Phi(0.778) - (1 - \Phi(0.778)) = 2\Phi(0.778) - 1$ D’après la table : $\Phi(0.78) \approx 0.7823$ (interpolation : 0.778 ≈ 0.7820) Donc : $2 \times 0.7820 - 1 = 1.5640 - 1 = 0.5640$ ### Exercice d’application 6 (corrigé) Le nombre d’erreurs par page dans un manuscrit suit une loi de Poisson de moyenne $\lambda = 8$. Trouver la probabilité qu’une page contienne au moins 10 erreurs. **Solution** : $\lambda = 8 < 10$ → l’approximation normale n’est **pas** recommandée ici. Mais si on l’applique quand même (pour l’exercice) : $\mu = 8$, $\sigma^2 = 8 \Rightarrow \sigma = \sqrt{8} \approx 2.828$ $P(X \geq 10) \approx P(Y > 9.5)$ (correction de continuité) $z = \frac{9.5 - 8}{2.828} \approx \frac{1.5}{2.828} \approx 0.53$ $P(Z > 0.53) = 1 - \Phi(0.53) = 1 - 0.7019 = 0.2981$ > **Note** : En réalité, on devrait utiliser la loi de Poisson exacte : $P(X \geq 10) = 1 - P(X \leq 9)$, mais l’exercice demande l’approximation normale. --- ## Synthèse du chapitre - **Loi exponentielle** : Modélise les temps d’attente ; pdf $\lambda e^{-\lambda x}$ ; moyenne $1/\lambda$, variance $1/\lambda^2$ ; propriété sans mémoire. - **Loi uniforme** : Pdf constante sur $[a,b]$ ; moyenne $(a+b)/2$, variance $(b-a)^2/12$. - **Loi normale** : Pdf en cloche ; entièrement définie par $\mu$ et $\sigma^2$ ; symétrie ; règle empirique (68-95-99.7). - **Variable normale centrée réduite** : $Z = (X-\mu)/\sigma \sim \mathcal{N}(0,1)$ ; utilisation de la table $\Phi(z)$. - **Approximation normale de la binomiale** : Valide si $np \geq 5$ et $n(1-p) \geq 5$ ; correction de continuité obligatoire. - **Approximation normale de la loi de Poisson** : Valide si $\lambda \geq 10$ ; correction de continuité appliquée. --- ## Glossaire - **Loi exponentielle** : Loi de probabilité continue modélisant le temps entre événements dans un processus de Poisson. - **Loi uniforme** : Loi de probabilité où tous les intervalles de même longueur ont égale probabilité. - **Loi normale** : Loi de probabilité continue symétrique, en forme de cloche, définie par sa moyenne et sa variance. - **Variable normale centrée réduite** : Variable normale de moyenne 0 et variance 1, obtenue par standardisation. - **Fonction de répartition** : Fonction $F(x) = P(X \leq x)$ donnant la probabilité cumulative jusqu’à $x$. - **Espérance** : Valeur moyenne attendue d’une variable aléatoire, notée $\mathbb{E}[X]$. - **Variance** : Mesure de l’écart autour de la moyenne, notée $\text{Var}(X)$. - **Correction de continuité** : Ajustement de $\pm 0.5$ lors de l’approximation d’une loi discrète par une loi continue. - **Table normale** : Outil donnant $\Phi(z) = P(Z \leq z)$ pour $Z \sim \mathcal{N}(0,1)$. - **Règle empirique** : Dans une loi normale, environ 68%, 95%, 99.7% des données se trouvent dans un, deux, trois écarts-types autour de la moyenne.