PLane Transformations

# PLane Transformations ## Objectifs et prérequis Ce chapitre vise à maîtriser les transformations planes isométriques et similaires, en comprenant leur définition, leurs propriétés, leur composition, leur représentation algébrique et leurs applications géométriques. L'élève doit être capable de reconnaître, construire et analyser ces transformations, de les composer, et de les utiliser pour résoudre des problèmes géométriques complexes, notamment liés aux triangles, aux cercles et aux similarités spirales. **Prérequis :** - Maîtrise des vecteurs dans le plan ($\mathbb{R}^2$) - Connaissances en géométrie euclidienne élémentaire (droites, angles, congruence, symétrie) - Notions de base en nombres complexes (représentation géométrique, module, argument) - Familiarité avec les matrices de rotation et de réflexion (optionnel mais utile) --- ## I. Composition of two orthogonal symmetries ### Définition > Une symétrie orthogonale (ou réflexion) par rapport à une droite $d$ est une transformation qui associe à tout point $M$ son symétrique $M'$ par rapport à $d$, telle que $d$ soit le médiateur du segment $[MM']$. ### Propriétés - Une réflexion est une isométrie indirecte (elle inverse l'orientation). - Elle est involutive : $S_d \circ S_d = \text{Id}$. - Elle fixe point par point les points de la droite $d$. - Elle préserve les distances mais pas l'orientation. ### Composition de deux réflexions Soient $S_{d_1}$ et $S_{d_2}$ deux réflexions par rapport à des droites $d_1$ et $d_2$. #### Cas 1 : Droites parallèles ($d_1 \parallel d_2$) > La composition $S_{d_2} \circ S_{d_1}$ est une translation de vecteur $\vec{v} = 2 \cdot \overrightarrow{d_1d_2}$, où $\overrightarrow{d_1d_2}$ est le vecteur perpendiculaire aux droites, allant de $d_1$ à $d_2$, de longueur égale à la distance entre les droites. **Exemple résolu :** Soient $d_1 : y = 0$ et $d_2 : y = 3$ (droites horizontales parallèles). La réflexion par rapport à $d_1$ : $S_{d_1}(x,y) = (x, -y)$ La réflexion par rapport à $d_2$ : $S_{d_2}(x,y) = (x, 6 - y)$ Composition : $S_{d_2} \circ S_{d_1}(x,y) = S_{d_2}(x, -y) = (x, 6 - (-y)) = (x, y + 6)$ Ceci est une translation de vecteur $\vec{v} = (0, 6)$. La distance entre $d_1$ et $d_2$ est $3$, donc $2 \times 3 = 6$ → cohérent. #### Cas 2 : Droites sécantes ($d_1 \cap d_2 = \{O\}$) > La composition $S_{d_2} \circ S_{d_1}$ est une rotation de centre $O$ (point d'intersection) et d'angle $2\theta$, où $\theta$ est l'angle orienté de $d_1$ vers $d_2$. **Exemple résolu :** Soient $d_1$ : axe des $x$ ($y=0$) et $d_2$ : droite faisant un angle de $30^\circ$ avec l'axe des $x$ ($y = \tan(30^\circ)x$). Alors $\theta = 30^\circ$, donc la composition est une rotation de centre $O(0,0)$ et d'angle $60^\circ$. Vérification : $S_{d_1}(x,y) = (x, -y)$ $S_{d_2}$ : réflexion par rapport à une droite d'angle $\alpha = 30^\circ$ : Formule générale : $S_{d_\alpha}(x,y) = (x\cos 2\alpha + y\sin 2\alpha, x\sin 2\alpha - y\cos 2\alpha)$ Ici, $2\alpha = 60^\circ$, donc : $S_{d_2}(x,y) = (x\cos 60^\circ + y\sin 60^\circ, x\sin 60^\circ - y\cos 60^\circ) = \left(\frac{x}{2} + \frac{y\sqrt{3}}{2}, \frac{x\sqrt{3}}{2} - \frac{y}{2}\right)$ Composition : $S_{d_2} \circ S_{d_1}(x,y) = S_{d_2}(x, -y) = \left(\frac{x}{2} + \frac{(-y)\sqrt{3}}{2}, \frac{x\sqrt{3}}{2} - \frac{(-y)}{2}\right) = \left(\frac{x - y\sqrt{3}}{2}, \frac{x\sqrt{3} + y}{2}\right)$ Ceci correspond bien à la matrice de rotation de $60^\circ$ : $$ \begin{pmatrix} \cos 60^\circ & -\sin 60^\circ \\ \sin 60^\circ & \cos 60^\circ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} $$ Appliquée à $(x,y)$ : $\left(\frac{x}{2} - \frac{y\sqrt{3}}{2}, \frac{x\sqrt{3}}{2} + \frac{y}{2}\right)$ → identique. ### Exercices d'application corrigés **Exercice 1 :** Soient $d_1 : x = 0$ et $d_2 : x = 4$. Déterminer la nature de $S_{d_2} \circ S_{d_1}$ et donner son vecteur traductionnel. **Correction :** Droites verticales parallèles, distance = $4$. Composition : translation de vecteur $2 \times 4 = 8$ dans la direction de $d_1$ vers $d_2$, donc vers la droite. Vecteur : $\vec{v} = (8, 0)$. $S_{d_2} \circ S_{d_1}(x,y) = (x+8, y)$. **Exercice 2 :** Soient $d_1$ : axe des $y$ ($x=0$) et $d_2$ : droite $y = x$. Trouver l'angle et le centre de la rotation résultant de $S_{d_2} \circ S_{d_1}$. **Correction :** $d_1$ : angle $90^\circ$ (vertical), $d_2$ : angle $45^\circ$. Angle orienté de $d_1$ vers $d_2$ : $45^\circ - 90^\circ = -45^\circ$ (ou $315^\circ$). Mais on prend l'angle aigu : la rotation est de $2 \times |45^\circ - 90^\circ| = 90^\circ$ ? Attention : l'angle de rotation est $2\theta$ où $\theta$ est l'angle de $d_1$ à $d_2$. Si on va de $d_1$ ($x=0$, angle $90^\circ$) à $d_2$ ($y=x$, angle $45^\circ$), on tourne dans le sens horaire de $45^\circ$, donc $\theta = -45^\circ$. Alors angle de rotation = $2 \times (-45^\circ) = -90^\circ$, soit une rotation de $90^\circ$ dans le sens horaire. Centre : intersection de $d_1$ et $d_2$ : $(0,0)$. Vérification par calcul : $S_{d_1}(x,y) = (-x, y)$ $S_{d_2}(x,y) = (y, x)$ (réflexion par rapport à $y=x$) Composition : $S_{d_2} \circ S_{d_1}(x,y) = S_{d_2}(-x, y) = (y, -x)$ Ceci est bien une rotation de $-90^\circ$ (ou $270^\circ$) autour de l'origine : $$ \begin{pmatrix} \cos(-90^\circ) & -\sin(-90^\circ) \\ \sin(-90^\circ) & \cos(-90^\circ) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \quad \rightarrow \quad \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y \\ -x \end{pmatrix} $$ ✓ Correct. --- ## II. Composition of two Translations ### Définition > Une translation est une transformation qui associe à tout point $M$ un point $M'$ tel que $\overrightarrow{MM'} = \vec{v}$, où $\vec{v}$ est un vecteur fixe appelé vecteur de translation. ### Propriétés - Une translation est une isométrie directe. - Elle n'a aucun point fixe (sauf si $\vec{v} = \vec{0}$). - Elle préserve les distances, les angles, l'orientation et les parallélismes. - La composition de deux translations est une translation. ### Composition de deux translations > Soient $T_{\vec{u}}$ et $T_{\vec{v}}$ deux translations de vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$. Alors : > $$ > T_{\vec{v}} \circ T_{\vec{u}} = T_{\vec{u} + \vec{v}} > $$ > L'ordre n'a pas d'importance : la composition de translations est commutative. **Exemple résolu :** Soit $T_{\vec{u}}$ : translation de vecteur $\vec{u} = (2, -3)$ Soit $T_{\vec{v}}$ : translation de vecteur $\vec{v} = (-1, 4)$ Alors $T_{\vec{v}} \circ T_{\vec{u}}(x,y) = T_{\vec{v}}(x+2, y-3) = (x+2-1, y-3+4) = (x+1, y+1)$ Ceci est la translation de vecteur $\vec{u} + \vec{v} = (2-1, -3+4) = (1, 1)$ → correct. ### Exercices d'application corrigés **Exercice 1 :** Soit $T_1$ la translation qui envoie $A(1,2)$ en $A'(4,5)$. Soit $T_2$ la translation qui envoie $B(0,0)$ en $B'(-2,3)$. Trouver la translation résultant de $T_2 \circ T_1$. **Correction :** $\vec{u} = \overrightarrow{AA'} = (4-1, 5-2) = (3, 3)$ $\vec{v} = \overrightarrow{BB'} = (-2-0, 3-0) = (-2, 3)$ $\vec{u} + \vec{v} = (3-2, 3+3) = (1, 6)$ Donc $T_2 \circ T_1$ est la translation de vecteur $(1, 6)$. **Exercice 2 :** Montrer que la composition de trois translations $T_{\vec{a}}, T_{\vec{b}}, T_{\vec{c}}$ est indépendante de l'ordre. **Correction :** Par associativité et commutativité de l'addition vectorielle : $T_{\vec{c}} \circ T_{\vec{b}} \circ T_{\vec{a}} = T_{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}$ Quel que soit l'ordre, la somme des vecteurs est la même → résultat identique. --- ## III. Composition of a Translation and an orthogonal symmetry (Glide Reflection) ### Définition > Une **glissade-reflexion** (ou glide reflection) est la composition d'une translation et d'une réflexion par rapport à une droite parallèle au vecteur de translation. > Formellement : $G = T_{\vec{v}} \circ S_d$ ou $S_d \circ T_{\vec{v}}$, où $\vec{v}$ est parallèle à la droite $d$. ### Propriétés - Une glissade-reflexion est une isométrie indirecte. - Elle n'a aucun point fixe. - Elle préserve les distances mais inverse l'orientation. - Elle est composée d'une réflexion suivie d'une translation parallèle à l'axe de réflexion (ou vice versa). - Le carré d'une glissade-reflexion est une translation : $G^2 = T_{2\vec{v}}$. **Exemple résolu :** Soit $d$ : l'axe des $x$ ($y=0$), et soit $\vec{v} = (2, 0)$ (translation horizontale, parallèle à $d$). Alors : $S_d(x,y) = (x, -y)$ $T_{\vec{v}}(x,y) = (x+2, y)$ Composition : $G = T_{\vec{v}} \circ S_d(x,y) = T_{\vec{v}}(x, -y) = (x+2, -y)$ Ceci est une glissade-reflexion : réflexion par rapport à $y=0$, puis translation de $(2,0)$. Vérification du carré : $G^2(x,y) = G(G(x,y)) = G(x+2, -y) = (x+2+2, -(-y)) = (x+4, y)$ Ceci est une translation de vecteur $(4,0) = 2 \cdot (2,0)$ → cohérent. ### Exercices d'application corrigés **Exercice 1 :** Soit $S_d$ la réflexion par rapport à la droite $y = x$, et soit $T_{\vec{v}}$ la translation de vecteur $\vec{v} = (1,1)$. Montrer que $G = T_{\vec{v}} \circ S_d$ est une glissade-reflexion et trouver son axe. **Correction :** La droite $d : y=x$ a un vecteur directeur $(1,1)$. $\vec{v} = (1,1)$ est parallèle à $d$ → condition satisfaite. Donc $G$ est une glissade-reflexion. Son axe est la droite $d$ elle-même : $y=x$. Vérification : $S_d(x,y) = (y,x)$ $T_{\vec{v}}(x,y) = (x+1, y+1)$ $G(x,y) = T_{\vec{v}}(S_d(x,y)) = T_{\vec{v}}(y,x) = (y+1, x+1)$ Ceci est bien une glissade-reflexion : réflexion par rapport à $y=x$, puis translation de $(1,1)$. **Exercice 2 :** Soit $G(x,y) = (x+3, -y+2)$. Décomposer $G$ en une réflexion suivie d'une translation parallèle à l'axe de réflexion. **Correction :** On écrit : $G(x,y) = (x+3, -y+2) = (x+3, -(y-2))$ On reconnaît : - Une réflexion par rapport à une droite horizontale : $y = k$ donne $(x, 2k - y)$ Ici, on a $-y + 2 = -(y - 2)$ → donc réflexion par rapport à $y = 1$ (car $2 \cdot 1 - y = 2 - y$) Puis une translation de $(3, 0)$ : car on ajoute $3$ à $x$ et rien à $y$ après la réflexion. Vérification : Réflexion par rapport à $y=1$ : $S(x,y) = (x, 2 - y)$ Translation de $(3,0)$ : $T(x,y) = (x+3, y)$ $T \circ S(x,y) = T(x, 2-y) = (x+3, 2-y)$ → mais on veut $(x+3, -y+2)$ → identique. Donc $G = T_{(3,0)} \circ S_{y=1}$, avec $\vec{v} = (3,0)$ parallèle à l'axe $y=1$ (horizontale) → glissade-reflexion. --- ## IV. Composition of two Rotations of the same centre or different centres ### Définition > Une rotation de centre $O$ et d'angle $\alpha$ (orienté) est la transformation qui associe à tout point $M$ un point $M'$ tel que $OM' = OM$ et l'angle $\angle MOM' = \alpha$ (dans le sens trigonométrique positif). ### Propriétés - Une rotation est une isométrie directe. - Elle a exactement un point fixe : son centre. - Elle préserve les distances, les angles et l'orientation. - La composition de deux rotations est soit une rotation, soit une translation (si la somme des angles est nulle modulo $2\pi$). ### Composition de deux rotations #### Cas 1 : Même centre $O$ > Soient $R_{O,\alpha}$ et $R_{O,\beta}$ deux rotations de même centre $O$. Alors : > $$ > R_{O,\beta} \circ R_{O,\alpha} = R_{O,\alpha+\beta} > $$ > (Les angles s'additionnent modulo $2\pi$). **Exemple résolu :** $R_{O,30^\circ} \circ R_{O,40^\circ} = R_{O,70^\circ}$ Vérification matricielle : Matrice de rotation de $30^\circ$ : $\begin{pmatrix} \cos30 & -\sin30 \\ \sin30 & \cos30 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sqrt3/2 & -1/2 \\ 1/2 & \sqrt3/2 \end{pmatrix}$ Matrice de rotation de $40^\circ$ : $\begin{pmatrix} \cos40 & -\sin40 \\ \sin40 & \cos40 \end{pmatrix}$ Leur produit est la matrice de rotation de $70^\circ$ → propriété des matrices de rotation. #### Cas 2 : Centres différents $O_1$ et $O_2$ > Soient $R_{O_1,\alpha}$ et $R_{O_2,\beta}$ deux rotations de centres distincts. Alors : > - Si $\alpha + \beta \not\equiv 0 \pmod{2\pi}$, la composition est une rotation de centre $O$ (à déterminer) et d'angle $\alpha + \beta$. > - Si $\alpha + \beta \equiv 0 \pmod{2\pi}$, la composition est une translation. **Méthode pour trouver le centre de la rotation résultante :** Le centre $O$ de la rotation $R_{O_2,\beta} \circ R_{O_1,\alpha}$ est l'intersection des deux droites : - La droite formée par les milieux des segments $[M, R_{O_1,\alpha}(M)]$ pour tout $M$ (mais plus simplement) : On peut utiliser le fait que $O$ est tel que : $$ \angle O_1 O O_2 = \frac{\beta}{2} \quad \text{et} \quad \angle O_2 O O_1 = \frac{\alpha}{2} $$ ou encore, on construit $O$ comme le troisième sommet du triangle ayant pour base $O_1O_2$ et des angles à la base égaux à $\alpha/2$ et $\beta/2$. **Exemple résolu :** Soit $R_{A,90^\circ}$ : rotation de centre $A(0,0)$ et d'angle $90^\circ$ Soit $R_{B,90^\circ}$ : rotation de centre $B(2,0)$ et d'angle $90^\circ$ Alors $\alpha + \beta = 180^\circ \not\equiv 0 \pmod{360^\circ}$ → composition est une rotation de $180^\circ$. Pour trouver son centre $O$ : On cherche un point $O$ tel que la rotation de $90^\circ$ autour de $A$ suivie de $90^\circ$ autour de $B$ équivaut à une rotation de $180^\circ$ autour de $O$. On sait que deux rotations de $90^\circ$ autour de centres distants de $d$ donnent une rotation de $180^\circ$ autour du milieu du segment joignant les centres si les angles sont égaux et dans le même sens. Ici, $A(0,0)$, $B(2,0)$, milieu $O = (1,0)$. Vérification : Prendre un point $M(1,1)$. $R_{A,90^\circ}(M)$ : rotation de $90^\circ$ autour de $(0,0)$ : $(x,y) \rightarrow (-y,x)$ → $(-1,1)$ $R_{B,90^\circ}(-1,1)$ : translation pour mettre $B$ à l'origine : $(-1-2, 1-0) = (-3,1)$ Rotation de $90^\circ$ : $(-1, -3)$ Retraduction : $(-1+2, -3+0) = (1, -3)$ Résultat final : $(1, -3)$ Maintenant, rotation de $180^\circ$ autour de $O(1,0)$ : $(x,y) \rightarrow (2\cdot1 - x, 2\cdot0 - y) = (2 - x, -y)$ Appliqué à $M(1,1)$ : $(2-1, -1) = (1, -1)$ → pas identique ! Erreur : l'angle est $180^\circ$, mais le sens ? On a fait $R_{B,90^\circ} \circ R_{A,90^\circ}$ : d'abord $A$, puis $B$. Le résultat était $(1,-3)$. Rotation de $180^\circ$ autour de $O(1,0)$ : $(x,y) \rightarrow (2-x, -y)$ Pour $M(1,1)$ : $(2-1, -1) = (1,-1)$ → on veut $(1,-3)$ → pas bon. Essayons $O = (1, -1)$ : Rotation de $180^\circ$ autour de $(1,-1)$ : $(x,y) \rightarrow (2\cdot1 - x, 2\cdot(-1) - y) = (2-x, -2 - y)$ Pour $M(1,1)$ : $(2-1, -2-1)