Applications of Definite Integrals

# Applications of Definite Integrals ## Objectifs et prérequis Ce chapitre vise à appliquer les intégrales définies à des problèmes géométriques et physiques concrets. À la fin de ce chapitre, l'étudiant sera capable de : - Calculer la valeur moyenne et la valeur quadratique moyenne d'une fonction sur un intervalle. - Déterminer la longueur d'arc d'une courbe plane. - Calculer l'aire d'une surface de révolution générée par la rotation d'une courbe autour d'un axe. - Déterminer le volume d'un solide de révolution. - Trouver le centroïde (centre de masse) d'une figure plane. - Déterminer le centre de gravité d'un solide de révolution. - Appliquer les théorèmes de Pappus pour relier aires, volumes et déplacements du centroïde. **Prérequis** : Maîtrise des intégrales définies, techniques d'intégration (substitution, parties, formes trigonométriques), dérivées, équations paramétriques et polaires de base, notions de densité linéaire et surfacique uniforme. --- ## I. Mean Value and Root Mean Square Value of a Function ### Définition de la valeur moyenne > La valeur moyenne d'une fonction continue $f(x)$ sur l'intervalle $[a, b]$ est définie par : > $$ > \bar{f} = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \, dx > $$ Cette notion généralise la moyenne arithmétique à des fonctions continues. Elle représente la hauteur constante d'un rectangle de base $[a,b]$ ayant la même aire que la région sous la courbe $y=f(x)$. ### Propriétés - Si $f(x) \geq 0$ sur $[a,b]$, alors $\bar{f} \geq 0$. - Linéarité : $\overline{cf + g} = c\bar{f} + \bar{g}$ pour constante $c$. - Si $f$ est paire sur $[-a,a]$, alors $\bar{f} = \frac{1}{2a} \int_{-a}^a f(x)dx = \frac{1}{a} \int_0^a f(x)dx$. ### Exemple résolu 1 Trouver la valeur moyenne de $f(x) = x^2$ sur $[0, 2]$. **Solution** : $$ \bar{f} = \frac{1}{2-0} \int_0^2 x^2 \, dx = \frac{1}{2} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{3} = \frac{4}{3} $$ ### Définition de la valeur quadratique moyenne (RMS) > La valeur quadratique moyenne (Root Mean Square, RMS) d'une fonction $f(x)$ sur $[a,b]$ est : > $$ > f_{\text{rms}} = \sqrt{ \frac{1}{b-a} \int_a^b [f(x)]^2 \, dx } > $$ Elle mesure l'amplitude effective d'une fonction variable, utilisée en électricité (tension alternative) et en traitement du signal. ### Propriétés - $f_{\text{rms}} \geq |\bar{f}|$ (inégalité de Cauchy-Schwarz). - Pour une fonction périodique, la RMS sur une période est indépendante du point de départ. - Si $f(x) = A \sin(\omega t)$, alors $f_{\text{rms}} = \frac{A}{\sqrt{2}}$. ### Exemple résolu 2 Calculer la RMS de $f(x) = 3\sin(2x)$ sur $[0, \pi]$. **Solution** : $$ [f(x)]^2 = 9\sin^2(2x) = \frac{9}{2}(1 - \cos(4x)) $$ $$ \int_0^\pi 9\sin^2(2x) \, dx = \frac{9}{2} \int_0^\pi (1 - \cos(4x)) \, dx = \frac{9}{2} \left[ x - \frac{\sin(4x)}{4} \right]_0^\pi = \frac{9}{2} \cdot \pi = \frac{9\pi}{2} $$ $$ f_{\text{rms}} = \sqrt{ \frac{1}{\pi-0} \cdot \frac{9\pi}{2} } = \sqrt{ \frac{9}{2} } = \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2} $$ ### Exercices d'application corrigés **Exercice 1** : Trouver la valeur moyenne de $f(x) = e^{-x}$ sur $[0, 1]$. **Solution** : $$ \bar{f} = \frac{1}{1-0} \int_0^1 e^{-x} dx = \left[ -e^{-x} \right]_0^1 = -(e^{-1} - 1) = 1 - \frac{1}{e} $$ **Exercice 2** : Calculer la RMS de $f(x) = x$ sur $[0, L]$. **Solution** : $$ f_{\text{rms}} = \sqrt{ \frac{1}{L} \int_0^L x^2 dx } = \sqrt{ \frac{1}{L} \cdot \frac{L^3}{3} } = \sqrt{ \frac{L^2}{3} } = \frac{L}{\sqrt{3}} $$ --- ## II. Arc length of a curve ### Définition de la longueur d'arc > La longueur $L$ d'une courbe définie par $y = f(x)$, différentiable sur $[a,b]$, est : > $$ > L = \int_a^b \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2} \, dx > $$ Cette formule provient de l'approximation par des petits segments droits et du théorème de Pythagore : $ds = \sqrt{dx^2 + dy^2}$. ### Forme paramétrique Si la courbe est donnée par $x = x(t)$, $y = y(t)$, $t \in [\alpha, \beta]$ : $$ L = \int_\alpha^\beta \sqrt{ \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2 } \, dt $$ ### Forme polaire Pour $r = r(\theta)$, $\theta \in [\alpha, \beta]$ : $$ L = \int_\alpha^\beta \sqrt{ r^2 + \left( \frac{dr}{d\theta} \right)^2 } \, d\theta $$ ### Exemple résolu 1 Trouver la longueur d'arc de $y = x^{3/2}$ de $x=0$ à $x=4$. **Solution** : $$ \frac{dy}{dx} = \frac{3}{2} x^{1/2}, \quad \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 = \frac{9}{4} x $$ $$ L = \int_0^4 \sqrt{1 + \frac{9}{4}x} \, dx $$ Soit $u = 1 + \frac{9}{4}x$, $du = \frac{9}{4} dx$, $dx = \frac{4}{9} du$ : Quand $x=0$, $u=1$ ; $x=4$, $u=1+9=10$ $$ L = \int_1^{10} \sqrt{u} \cdot \frac{4}{9} du = \frac{4}{9} \int_1^{10} u^{1/2} du = \frac{4}{9} \left[ \frac{2}{3} u^{3/2} \right]_1^{10} = \frac{8}{27} \left( 10^{3/2} - 1 \right) = \frac{8}{27} (10\sqrt{10} - 1) $$ ### Exemple résolu 2 (paramétrique) Trouver la longueur de la courbe $x = \cos t$, $y = \sin t$, $t \in [0, \pi/2]$. **Solution** : $$ \frac{dx}{dt} = -\sin t, \quad \frac{dy}{dt} = \cos t $$ $$ \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2 = \sin^2 t + \cos^2 t = 1 $$ $$ L = \int_0^{\pi/2} \sqrt{1} \, dt = \int_0^{\pi/2} 1 \, dt = \frac{\pi}{2} $$ (Ceci correspond à un quart de cercle unitaire, longueur attendue : $\frac{2\pi r}{4} = \frac{\pi}{2}$ — correct.) ### Exercices d'application corrigés **Exercice 1** : Calculer la longueur d'arc de $y = \ln(\cos x)$ sur $[0, \pi/4]$. **Solution** : $$ \frac{dy}{dx} = \frac{-\sin x}{\cos x} = -\tan x, \quad \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 = \tan^2 x $$ $$ 1 + \tan^2 x = \sec^2 x \Rightarrow \sqrt{1 + (dy/dx)^2} = \sec x $$ $$ L = \int_0^{\pi/4} \sec x \, dx = \left[ \ln|\sec x + \tan x| \right]_0^{\pi/4} = \ln(\sqrt{2} + 1) - \ln(1+0) = \ln(1+\sqrt{2}) $$ **Exercice 2** : Longueur de la courbe paramétrique $x = t^2$, $y = t^3$, $t \in [0,1]$. **Solution** : $$ \frac{dx}{dt} = 2t, \quad \frac{dy}{dt} = 3t^2 $$ $$ \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2 = 4t^2 + 9t^4 $$ $$ L = \int_0^1 \sqrt{4t^2 + 9t^4} \, dt = \int_0^1 t \sqrt{4 + 9t^2} \, dt $$ Soit $u = 4 + 9t^2$, $du = 18t dt$, $t dt = du/18$ : $t=0 \Rightarrow u=4$ ; $t=1 \Rightarrow u=13$ $$ L = \int_4^{13} \sqrt{u} \cdot \frac{1}{18} du = \frac{1}{18} \cdot \frac{2}{3} \left[ u^{3/2} \right]_4^{13} = \frac{1}{27} (13^{3/2} - 8) = \frac{1}{27} (13\sqrt{13} - 8) $$ --- ## III. Areas of surfaces of revolution ### Définition > L'aire $S$ de la surface générée par la rotation de la courbe $y = f(x) \geq 0$ autour de l'axe $x$, entre $x=a$ et $x=b$, est : > $$ > S = 2\pi \int_a^b y \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2} \, dx > $$ Cette formule vient de l'élément d'aire d'un anneau de rayon $y$ et de largeur $ds = \sqrt{1+(dy/dx)^2}dx$ : $dS = 2\pi y \, ds$. ### Rotation autour de l'axe $y$ Si la courbe est donnée par $x = g(y)$, $y \in [c,d]$, alors : $$ S = 2\pi \int_c^d x \sqrt{1 + \left( \frac{dx}{dy} \right)^2} \, dy $$ ### Forme paramétrique Pour $x=x(t)$, $y=y(t)$, rotation autour de $x$ : $$ S = 2\pi \int_\alpha^\beta y(t) \sqrt{ \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2 } \, dt $$ (rotation autour de $y$ : remplacer $y(t)$ par $x(t)$). ### Exemple résolu 1 Trouver l'aire de la surface générée par la rotation de $y = \sqrt{x}$ autour de l'axe $x$, de $x=1$ à $x=4$. **Solution** : $$ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}}, \quad \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 = \frac{1}{4x} $$ $$ 1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 = 1 + \frac{1}{4x} = \frac{4x+1}{4x} $$ $$ \sqrt{1 + (dy/dx)^2} = \sqrt{ \frac{4x+1}{4x} } = \frac{\sqrt{4x+1}}{2\sqrt{x}} $$ $$ S = 2\pi \int_1^4 \sqrt{x} \cdot \frac{\sqrt{4x+1}}{2\sqrt{x}} dx = 2\pi \int_1^4 \frac{\sqrt{4x+1}}{2} dx = \pi \int_1^4 \sqrt{4x+1} \, dx $$ Soit $u = 4x+1$, $du = 4dx$, $dx = du/4$ : $x=1 \Rightarrow u=5$ ; $x=4 \Rightarrow u=17$ $$ S = \pi \int_5^{17} \sqrt{u} \cdot \frac{1}{4} du = \frac{\pi}{4} \cdot \frac{2}{3} \left[ u^{3/2} \right]_5^{17} = \frac{\pi}{6} \left( 17^{3/2} - 5^{3/2} \right) = \frac{\pi}{6} (17\sqrt{17} - 5\sqrt{5}) $$ ### Exemple résolu 2 (paramétrique) Trouver l'aire de la surface générée par la rotation de la courbe $x = t$, $y = t^2$, $t \in [0,1]$, autour de l'axe $x$. **Solution** : $$ \frac{dx}{dt} = 1, \quad \frac{dy}{dt} = 2t $$ $$ \sqrt{ \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2 } = \sqrt{1 + 4t^2} $$ $$ S = 2\pi \int_0^1 y(t) \sqrt{1 + (dy/dt)^2} dt = 2\pi \int_0^1 t^2 \sqrt{1+4t^2} \, dt $$ Cette intégrale nécessite une substitution trigonométrique ou une table : soit $2t = \tan\theta$, $t = \frac{1}{2}\tan\theta$, $dt = \frac{1}{2}\sec^2\theta d\theta$ : Quand $t=0$, $\theta=0$ ; $t=1$, $\theta=\arctan(2)$ $$ \sqrt{1+4t^2} = \sqrt{1+\tan^2\theta} = \sec\theta $$ $$ S = 2\pi \int_0^{\arctan(2)} \left( \frac{1}{4} \tan^2\theta \right) \sec\theta \cdot \frac{1}{2} \sec^2\theta d\theta = \frac{\pi}{4} \int_0^{\arctan(2)} \tan^2\theta \sec^3\theta \, d\theta $$ Cette intégrale est standard mais lourde ; on peut utiliser une réduction ou une table. Résultat connu : $$ \int \tan^2\theta \sec^3\theta d\theta = \frac{1}{4} \sec\theta \tan\theta + \frac{1}{8} \ln|\sec\theta + \tan\theta| - \frac{1}{4} \int \sec\theta d\theta $$ Après évaluation (détaillée omise pour brièveté, mais vérifiable) : $$ S = \frac{\pi}{4} \left[ \frac{1}{4} \sec\theta \tan\theta + \frac{1}{8} \ln|\sec\theta + \tan\theta| - \frac{1}{4} \ln|\sec\theta + \tan\theta| \right]_0^{\arctan(2)} $$ À $\theta = \arctan(2)$ : $\tan\theta=2$, $\sec\theta=\sqrt{5}$ À $\theta=0$ : $\tan\theta=0$, $\sec\theta=1$ $$ S = \frac{\pi}{4} \left[ \frac{1}{4} \cdot \sqrt{5} \cdot 2 + \left( \frac{1}{8} - \frac{1}{4} \right) \ln|\sqrt{5}+2| - (0 + 0) \right] = \frac{\pi}{4} \left[ \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{8} \ln(\sqrt{5}+2) \right] $$ $$ S = \frac{\pi\sqrt{5}}{8} - \frac{\pi}{32} \ln(\sqrt{5}+2) $$ ### Exercices d'application corrigés **Exercice 1** : Aire de la surface générée par la rotation de $y = x^2$ autour de l'axe $x$, de $x=0$ à $x=1$. **Solution** : $$ \frac{dy}{dx} = 2x, \quad 1+(dy/dx)^2 = 1+4x^2 $$ $$ S = 2\pi \int_0^1 x^2 \sqrt{1+4x^2} \, dx $$ Soit $2x = \tan\theta$, $x = \frac{1}{2}\tan\theta$, $dx = \frac{1}{2}\sec^2\theta d\theta$ : $x=0 \Rightarrow \theta=0$ ; $x=1 \Rightarrow \theta=\arctan(2)$ $$ \sqrt{1+4x^2} = \sec\theta, \quad x^2 = \frac{1}{4}\tan^2\theta $$ $$ S = 2\pi \int_0^{\arctan(2)} \frac{1}{4}\tan^2\theta \cdot \sec\theta \cdot \frac{1}{2}\sec^2\theta d\theta = \frac{\pi}{4} \int_0^{\arctan(2)} \tan^2\theta \sec^3\theta d\theta $$ Même intégrale que précédemment. Résultat : $$ S = \frac{\pi}{4} \left[ \frac{1}{4} \sec\theta \tan\theta - \frac{1}{8} \ln|\sec\theta + \tan\theta| \right]_0^{\arctan(2)} = \frac{\pi}{4} \left[ \frac{1}{4} \cdot \sqrt{5} \cdot 2 - \frac{1}{8} \ln(\sqrt{5}+2) \right] $$ $$ S = \frac{\pi}{4} \left[ \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{8} \ln(\sqrt{5}+2) \right] = \frac{\pi\sqrt{5}}{8} - \frac{\pi}{32} \ln(\sqrt{5}+2) $$ **Exercice 2** : Aire de la surface générée par la rotation de $y = \sin x$ autour de l'axe $x$, de $x=0$ à $x=\pi$. **Solution** : $$ \frac{dy}{dx} = \cos x, \quad 1+(dy/dx)^2 = 1+\cos^2 x $$ $$ S = 2\pi \int_0^\pi \sin x \sqrt{1+\cos^2 x} \, dx $$ Soit $u = \cos x$, $du = -\sin x dx$ : $x=0 \Rightarrow u=1$ ; $x=\pi \Rightarrow u=-1$ $$ S = 2\pi \int_1^{-1} \sqrt{1+u^2} (-du) = 2\pi \int_{-1}^{1} \sqrt{1+u^2} du = 4\pi \int_0^1 \sqrt{1+u^2} du \quad \text{(fonction paire)} $$ $$ \int \sqrt{1+u^2} du = \frac{u}{2}\sqrt{1+u^2} + \frac{1}{2} \ln|u + \sqrt{1+u^2}| + C $$ $$ S = 4\pi \left[ \frac{u}{2}\sqrt{1+u^2} + \frac{1}{2} \ln|u + \sqrt{1+u^2}| \right]_0^1 = 4\pi \left[ \frac{1}{2}\sqrt{2} + \frac{1}{2} \ln(1+\sqrt{2}) - 0 \right] $$ $$ S = 2\pi \left( \sqrt{2} + \ln(1+\sqrt{2}) \right) $$ ---