Oblique impact of Elastic Bodies

# Oblique impact of Elastic Bodies ## Objectifs et prérequis Ce chapitre vise à maîtriser l'analyse des impacts obliques entre corps élastiques, en appliquant les principes de conservation de la quantité de mouvement linéaire et du coefficient de restitution. À l'issue de ce cours, l'étudiant sera capable de : - Déterminer les vitesses après impact dans le cas de deux sphères lisses en mouvement oblique. - Analyser l'impact d'une sphère lisse sur un plan fixe. - Calculer l'angle de déviation et l'énergie cinétique perdue lors de l'impact. - Appliquer ces concepts à des problèmes concrets de mécanique. **Prérequis** : Notions de vecteurs, décomposition en composantes, deuxième loi de Newton, travail et énergie cinétique, coefficient de restitution dans le cas unidimensionnel. --- ## I. Lois de conservation de la quantité de mouvement linéaire et du coefficient de restitution Lors d'un impact entre deux corps, les forces internes d'impact sont considérables mais agissent sur un très court intervalle de temps. On néglige alors les forces externes (comme le poids ou la friction) pendant la durée de l'impact. Ainsi, la quantité de mouvement linéaire totale du système est conservée dans toute direction où aucune force externe n'agît. Le **coefficient de restitution** $e$ est défini comme le rapport entre la vitesse relative de séparation et la vitesse relative d'approche, mesurées le long de la ligne d'impact (direction normale aux surfaces en contact) : > $$ e = -\frac{\vec{v}_{Bf} \cdot \hat{n} - \vec{v}_{Af} \cdot \hat{n}}{\vec{v}_{Bi} \cdot \hat{n} - \vec{v}_{Ai} \cdot \hat{n}} $$ où $\hat{n}$ est le vecteur unitaire normal dirigé de A vers B, $\vec{v}_{Ai}, \vec{v}_{Bi}$ les vitesses initiales, et $\vec{v}_{Af}, \vec{v}_{Bf}$ les vitesses finales. Pour des corps **lisses**, il n'y a pas de force tangentielle lors de l'impact, donc la composante tangentielle de la vitesse de chaque corps reste inchangée. ### Exemple résolu 1 : Impact central unidimensionnel Deux boules de masses $m_A = 2\,\text{kg}$ et $m_B = 3\,\text{kg}$ se déplacent sur une ligne droite avec vitesses $v_{Ai} = 5\,\text{m/s}$ et $v_{Bi} = -2\,\text{m/s}$ (en sens opposé). Le coefficient de restitution est $e = 0.6$. Trouver leurs vitesses après impact. **Solution** : Conservation de la quantité de mouvement : $$ m_A v_{Ai} + m_B v_{Bi} = m_A v_{Af} + m_B v_{Bf} $$ $$ 2(5) + 3(-2) = 2v_{Af} + 3v_{Bf} \Rightarrow 10 - 6 = 2v_{Af} + 3v_{Bf} \Rightarrow 4 = 2v_{Af} + 3v_{Bf} \quad (1) $$ Coefficient de restitution : $$ e = -\frac{v_{Bf} - v_{Af}}{v_{Bi} - v_{Ai}} = 0.6 \Rightarrow -\frac{v_{Bf} - v_{Af}}{-2 - 5} = 0.6 \Rightarrow -\frac{v_{Bf} - v_{Af}}{-7} = 0.6 \Rightarrow \frac{v_{Bf} - v_{Af}}{7} = 0.6 $$ $$ v_{Bf} - v_{Af} = 4.2 \quad (2) $$ D'après (2) : $v_{Bf} = v_{Af} + 4.2$. Substituer dans (1) : $$ 4 = 2v_{Af} + 3(v_{Af} + 4.2) = 2v_{Af} + 3v_{Af} + 12.6 = 5v_{Af} + 12.6 $$ $$ 5v_{Af} = 4 - 12.6 = -8.6 \Rightarrow v_{Af} = -1.72\,\text{m/s} $$ $$ v_{Bf} = -1.72 + 4.2 = 2.48\,\text{m/s} $$ **Réponse** : $v_{Af} = -1.72\,\text{m/s}$, $v_{Bf} = 2.48\,\text{m/s}$ ### Exercice d'application 1 Une particule de masse $m = 1\,\text{kg}$ frappe une autre particule de masse $2m$ au repos. Après impact, la première particule rebondit avec une vitesse égale au tiers de sa vitesse initiale en sens opposé. Trouver le coefficient de restitution. **Solution** : Soit $v_{Ai} = v$, $v_{Bi} = 0$. Après impact : $v_{Af} = -\frac{v}{3}$, $v_{Bf} = ?$ Conservation de la quantité de mouvement : $$ m v + 2m \cdot 0 = m(-\frac{v}{3}) + 2m v_{Bf} \Rightarrow v = -\frac{v}{3} + 2v_{Bf} \Rightarrow \frac{4v}{3} = 2v_{Bf} \Rightarrow v_{Bf} = \frac{2v}{3} $$ Coefficient de restitution : $$ e = -\frac{v_{Bf} - v_{Af}}{v_{Bi} - v_{Ai}} = -\frac{\frac{2v}{3} - (-\frac{v}{3})}{0 - v} = -\frac{\frac{2v}{3} + \frac{v}{3}}{-v} = -\frac{v}{-v} = 1 $$ **Réponse** : $e = 1$ --- ## II. Impact entre deux sphères lisses Lors de l'impact oblique entre deux sphères lisses, la ligne d'impact est la ligne reliant leurs centres au moment du contact. Comme les sphères sont lisses, il n'y a pas de force tangentielle, donc : - La composante tangentielle de la vitesse de chaque sphère reste inchangée. - Seulement les composantes normales (le long de la ligne d'impact) sont modifiées selon les lois de conservation de la quantité de mouvement et du coefficient de restitution. ### Procédure de résolution : 1. Déterminer la ligne d'impact (direction normale $\hat{n}$). 2. Décomposer les vitesses initiales de chaque sphère en composantes normales ($\vec{v} \cdot \hat{n}$) et tangentielles ($\vec{v} - (\vec{v} \cdot \hat{n})\hat{n}$). 3. Appliquer la conservation de la quantité de mouvement linéaire le long de $\hat{n}$. 4. Appliquer la définition du coefficient de restitution le long de $\hat{n}$. 5. Les composantes tangentielles restent inchangées. 6. Reconstituer les vitesses finales en vectoriel. > **À retenir** : Dans un impact oblique entre sphères lisses, seules les composantes normales de la vitesse changent ; les composantes tangentielles sont conservées. ### Exemple résolu 2 : Impact oblique entre deux sphères lisses Une sphère A de masse $m_A = 0.5\,\text{kg}$ se déplace avec vitesse $\vec{v}_{Ai} = (4\hat{i} + 3\hat{j})\,\text{m/s}$ et frappe une sphère B de masse $m_B = 1.0\,\text{kg}$ initialement au repos ($\vec{v}_{Bi} = 0$). La ligne d'impact est le long de l'axe $\hat{i}$ (direction normale). Le coefficient de restitution est $e = 0.8$. Trouver les vitesses après impact. **Solution** : Ligne d'impact : $\hat{n} = \hat{i}$ (normale), donc tangente : $\hat{j}$. Décomposition : - Pour A : $v_{Ai,n} = \vec{v}_{Ai} \cdot \hat{i} = 4\,\text{m/s}$, $v_{Ai,t} = 3\,\text{m/s}$ (inchangée) - Pour B : $v_{Bi,n} = 0$, $v_{Bi,t} = 0$ (inchangée) Conservation de la quantité de mouvement le long de $\hat{n}$ : $$ m_A v_{Ai,n} + m_B v_{Bi,n} = m_A v_{Af,n} + m_B v_{Bf,n} $$ $$ 0.5 \cdot 4 + 1.0 \cdot 0 = 0.5 v_{Af,n} + 1.0 v_{Bf,n} \Rightarrow 2 = 0.5 v_{Af,n} + v_{Bf,n} \quad (1) $$ Coefficient de restitution : $$ e = -\frac{v_{Bf,n} - v_{Af,n}}{v_{Bi,n} - v_{Ai,n}} = 0.8 \Rightarrow -\frac{v_{Bf,n} - v_{Af,n}}{0 - 4} = 0.8 \Rightarrow -\frac{v_{Bf,n} - v_{Af,n}}{-4} = 0.8 \Rightarrow \frac{v_{Bf,n} - v_{Af,n}}{4} = 0.8 $$ $$ v_{Bf,n} - v_{Af,n} = 3.2 \quad (2) $$ D'après (2) : $v_{Bf,n} = v_{Af,n} + 3.2$. Substituer dans (1) : $$ 2 = 0.5 v_{Af,n} + (v_{Af,n} + 3.2) = 1.5 v_{Af,n} + 3.2 \Rightarrow 1.5 v_{Af,n} = 2 - 3.2 = -1.2 \Rightarrow v_{Af,n} = -0.8\,\text{m/s} $$ $$ v_{Bf,n} = -0.8 + 3.2 = 2.4\,\text{m/s} $$ Composantes tangentielles inchangées : - $v_{Af,t} = v_{Ai,t} = 3\,\text{m/s}$ - $v_{Bf,t} = v_{Bi,t} = 0\,\text{m/s}$ Reconstitution : $$ \vec{v}_{Af} = v_{Af,n} \hat{i} + v_{Af,t} \hat{j} = -0.8\hat{i} + 3\hat{j}\,\text{m/s} $$ $$ \vec{v}_{Bf} = v_{Bf,n} \hat{i} + v_{Bf,t} \hat{j} = 2.4\hat{i} + 0\hat{j}\,\text{m/s} $$ **Réponse** : $\vec{v}_{Af} = (-0.8\hat{i} + 3\hat{j})\,\text{m/s}$, $\vec{v}_{Bf} = (2.4\hat{i})\,\text{m/s}$ ### Exercice d'application 2 Deux sphères lisses de masses égales $m$ se déplacent telles que avant impact : $\vec{v}_{A} = (5\hat{i} + 12\hat{j})\,\text{m/s}$, $\vec{v}_{B} = (3\hat{i} - 4\hat{j})\,\text{m/s}$. La ligne d'impact est le long de $\hat{i}$. Si $e = 0.5$, trouver les vitesses après impact. **Solution** : Ligne d'impact : $\hat{n} = \hat{i}$, tangente : $\hat{j}$. Décomposition : - A : $v_{A,i,n} = 5$, $v_{A,i,t} = 12$ - B : $v_{B,i,n} = 3$, $v_{B,i,t} = -4$ Conservation de la quantité de mouvement le long de $\hat{n}$ : $$ m \cdot 5 + m \cdot 3 = m v_{A,f,n} + m v_{B,f,n} \Rightarrow 8 = v_{A,f,n} + v_{B,f,n} \quad (1) $$ Coefficient de restitution : $$ e = -\frac{v_{B,f,n} - v_{A,f,n}}{v_{B,i,n} - v_{A,i,n}} = 0.5 \Rightarrow -\frac{v_{B,f,n} - v_{A,f,n}}{3 - 5} = 0.5 \Rightarrow -\frac{v_{B,f,n} - v_{A,f,n}}{-2} = 0.5 \Rightarrow \frac{v_{B,f,n} - v_{A,f,n}}{2} = 0.5 $$ $$ v_{B,f,n} - v_{A,f,n} = 1 \quad (2) $$ D'après (2) : $v_{B,f,n} = v_{A,f,n} + 1$. Substituer dans (1) : $$ 8 = v_{A,f,n} + (v_{A,f,n} + 1) = 2v_{A,f,n} + 1 \Rightarrow 2v_{A,f,n} = 7 \Rightarrow v_{A,f,n} = 3.5\,\text{m/s} $$ $$ v_{B,f,n} = 3.5 + 1 = 4.5\,\text{m/s} $$ Composantes tangentielles inchangées : - $v_{A,f,t} = 12\,\text{m/s}$ - $v_{B,f,t} = -4\,\text{m/s}$ Reconstitution : $$ \vec{v}_{A,f} = 3.5\hat{i} + 12\hat{j}\,\text{m/s} $$ $$ \vec{v}_{B,f} = 4.5\hat{i} - 4\hat{j}\,\text{m/s} $$ **Réponse** : $\vec{v}_{A,f} = (3.5\hat{i} + 12\hat{j})\,\text{m/s}$, $\vec{v}_{B,f} = (4.5\hat{i} - 4\hat{j})\,\text{m/s}$ --- ## III. Impact entre une sphère lisse et un plan fixe Lorsqu'une sphère lisse frappe un plan fixe lisse, le plan ne bouge pas (masse infinie). La ligne d'impact est la normale au plan au point de contact. Comme le plan est fixe et lisse : - Sa vitesse reste nulle avant et après impact. - La composante tangentielle de la vitesse de la sphère est conservée (pas de force tangentielle). - Seulement la composante normale de la vitesse de la sphère change, selon le coefficient de restitution. > **À retenir** : Pour l'impact d'une sphère lisse sur un plan fixe lisse, la composante tangentielle de la vitesse est inchangée, et la composante normale après impact est liée à celle avant impact par $v_{f,n} = -e v_{i,n}$, où le signe moins indique le changement de direction. ### Exemple résolu 3 : Impact d'une sphère sur un plan fixe Une sphère de masse $m$ frappe un plan horizontal lisse avec une vitesse $\vec{v}_i = (6\hat{i} - 8\hat{j})\,\text{m/s}$, où $\hat{j}$ est dirigé vers le haut (perpendiculaire au plan). Le plan est donc horizontal, sa normale est $\hat{j}$. Le coefficient de restitution est $e = 0.6$. Trouver la vitesse après impact. **Solution** : Ligne d'impact : normale au plan = $\hat{j}$ (vers le haut). Donc : composante normale = composante $\hat{j}$, composante tangentielle = composante $\hat{i}$. Décomposition : - $v_{i,n} = \vec{v}_i \cdot \hat{j} = -8\,\text{m/s}$ (négative car dirigée vers le bas, vers le plan) - $v_{i,t} = 6\,\text{m/s}$ (inchangée) Après impact : - Composante tangentielle inchangée : $v_{f,t} = v_{i,t} = 6\,\text{m/s}$ - Composante normale : $v_{f,n} = -e v_{i,n}$ (puisque le plan est fixe, la vitesse relative de séparation est $-v_{f,n}$ et d'approche est $v_{i,n}$ ; attention au signe) En utilisant la définition : $e = -\frac{v_{f,n} - v_{plan,f}}{v_{i,n} - v_{plan,i}}$. Comme le plan est fixe : $v_{plan,i} = v_{plan,f} = 0$. $$ e = -\frac{v_{f,n} - 0}{v_{i,n} - 0} = -\frac{v_{f,n}}{v_{i,n}} \Rightarrow v_{f,n} = -e v_{i,n} $$ Ici, $v_{i,n} = -8\,\text{m/s}$, donc : $$ v_{f,n} = -0.6 \times (-8) = 4.8\,\text{m/s} $$ Réconstitution : $$ \vec{v}_f = v_{f,t} \hat{i} + v_{f,n} \hat{j} = 6\hat{i} + 4.8\hat{j}\,\text{m/s} $$ **Réponse** : $\vec{v}_f = (6\hat{i} + 4.8\hat{j})\,\text{m/s}$ ### Exercice d'application 3 Une particule frappe un plan vertical lisse avec une vitesse $\vec{v}_i = (-4\hat{i} + 3\hat{j})\,\text{m/s}$, où $\hat{i}$ est horizontal vers la droite et $\hat{j}$ vertical vers le haut. Le plan est vertical, donc sa normale est $\hat{i}$ (pointant vers l'extérieur du plan). Après impact, la composante horizontale de la vitesse est réduite à la moitié de sa valeur initiale mais en sens opposé. Trouver le coefficient de restitution. **Solution** : Ligne d'impact : normale au plan = $\hat{i}$ (puisque le plan est vertical). Donc : composante normale = composante $\hat{i}$, composante tangentielle = composante $\hat{j}$. Données : - $v_{i,n} = \vec{v}_i \cdot \hat{i} = -4\,\text{m/s}$ (négative car dirigée vers le plan) - Après impact : $v_{f,n} = ?$ donné : "réduite à la moitié de sa valeur initiale mais en sens opposé" → valeur initiale de $v_{i,n}$ est $-4$, la moitié est $2$, en sens opposé → $+2\,\text{m/s}$ (loin du plan) - Donc $v_{f,n} = +2\,\text{m/s}$ - Composante tangentielle inchangée : $v_{f,t} = v_{i,t} = 3\,\text{m/s}$ (on n'en a pas besoin pour $e$) En utilisant la définition pour un plan fixe : $$ e = -\frac{v_{f,n} - 0}{v_{i,n} - 0} = -\frac{v_{f,n}}{v_{i,n}} = -\frac{2}{-4} = \frac{2}{4} = 0.5 $$ **Réponse** : $e = 0.5$ ---