Further Integration

# Further Integration ## Objectifs et prérequis Ce chapitre vise à approfondir les techniques d'intégration essentielles pour le niveau Upper Sixth du système éducatif camerounais (anglophone). À l'issue de ce cours, l'étudiant sera capable de : - Définir et calculer une primitive (intégrale indéfinie) d'une fonction donnée. - Évaluer une intégrale définie en utilisant le théorème fondamental du calcul. - Intégrer des fonctions rationnelles par décomposition en éléments simples. - Appliquer des substitutions simples (u-substitution) pour simplifier des intégrales. - Évaluer des intégrales définies de fonctions paires ou impaires sur des intervalles symétriques. - Déduire et utiliser des formules de réduction simples pour intégrer des puissances de fonctions trigonométriques ou autres. **Prérequis** : Maîtrise des dérivées (notamment des fonctions polynomiales, exponentielles, logarithmiques et trigonométriques), des règles de dérivation (produit, quotient, chaîne), et des intégrales de base (∫xⁿ dx, ∫eˣ dx, ∫sin x dx, ∫cos x dx, ∫1/x dx). --- ## I. The primitive of a function as the indefinite integral of the function ### Définition > Une primitive d'une fonction $f$ sur un intervalle $I$ est une fonction $F$ telle que $F'(x) = f(x)$ pour tout $x \in I$. L'ensemble de toutes les primitives de $f$ est noté $\int f(x) \, dx$ et s'appelle l'intégrale indéfinie de $f$. On a : > $$\int f(x) \, dx = F(x) + C,$$ > où $C$ est une constante arbitraire (constante d'intégration). ### Propriétés 1. **Linéarité** : $\int [a f(x) + b g(x)] \, dx = a \int f(x) \, dx + b \int g(x) \, dx$ pour des constantes $a, b$. 2. **Constante d'intégration** : Deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante. 3. **Annulation par dérivation** : $\frac{d}{dx} \left( \int f(x) \, dx \right) = f(x)$. ### Exemple résolu 1 Trouver $\int (3x^2 - 4x + 5) \, dx$. **Étape 1** : Appliquer la linéarité : $$\int (3x^2 - 4x + 5) \, dx = 3\int x^2 \, dx - 4\int x \, dx + 5\int 1 \, dx$$ **Étape 2** : Intégrer terme à terme : $$3 \cdot \frac{x^3}{3} - 4 \cdot \frac{x^2}{2} + 5x + C = x^3 - 2x^2 + 5x + C$$ **Réponse** : $\boxed{x^3 - 2x^2 + 5x + C}$ ### Exercice d'application 1 Calculer : (a) $\int (2x^3 + 7x - 4) \, dx$ (b) $\int (e^x + \cos x) \, dx$ (c) $\int \left( \frac{1}{x^2} + 3\sqrt{x} \right) \, dx$ **Corrigé** (a) $2 \cdot \frac{x^4}{4} + 7 \cdot \frac{x^2}{2} - 4x + C = \frac{1}{2}x^4 + \frac{7}{2}x^2 - 4x + C$ (b) $e^x + \sin x + C$ (c) $\int x^{-2} dx + 3\int x^{1/2} dx = -x^{-1} + 3 \cdot \frac{2}{3} x^{3/2} + C = -\frac{1}{x} + 2x^{3/2} + C$ --- ## II. Definite Integrals ### Définition > L'intégrale définie de $f$ sur $[a, b]$ est définie comme : > $$\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a),$$ > où $F$ est toute primitive de $f$ sur $[a, b]$. Cela représente l'aire signée sous la courbe $y = f(x)$ entre $x = a$ et $x = b$. ### Théorème fondamental du calcul (partie 2) > Si $f$ est continue sur $[a, b]$ et $F$ est une primitive de $f$, alors : > $$\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)$$ ### Propriétés 1. $\int_a^a f(x) \, dx = 0$ 2. $\int_a^b f(x) \, dx = -\int_b^a f(x) \, dx$ 3. $\int_a^b [f(x) + g(x)] \, dx = \int_a^b f(x) \, dx + \int_a^b g(x) \, dx$ 4. $\int_a^b c f(x) \, dx = c \int_a^b f(x) \, dx$ pour constante $c$ 5. Si $f(x) \geq 0$ sur $[a, b]$, alors $\int_a^b f(x) \, dx \geq 0$ ### Exemple résolu 2 Calculer $\int_1^3 (2x + 1) \, dx$. **Étape 1** : Trouver une primitive : $\int (2x + 1) \, dx = x^2 + x + C$ **Étape 2** : Appliquer les bornes : $[x^2 + x]_1^3 = (3^2 + 3) - (1^2 + 1) = (9 + 3) - (1 + 1) = 12 - 2 = 10$ **Réponse** : $\boxed{10}$ ### Exercice d'application 2 Calculer : (a) $\int_0^2 (3x^2 - 2x) \, dx$ (b) $\int_{-1}^1 (x^3 + 4) \, dx$ (c) $\int_0^{\pi/2} \sin x \, dx$ **Corrigé** (a) $[x^3 - x^2]_0^2 = (8 - 4) - (0 - 0) = 4$ (b) $[\frac{x^4}{4} + 4x]_{-1}^1 = \left(\frac{1}{4} + 4\right) - \left(\frac{1}{4} - 4\right) = \frac{17}{4} - (-\frac{15}{4}) = \frac{32}{4} = 8$ (c) $[-\cos x]_0^{\pi/2} = (-\cos(\pi/2)) - (-\cos 0) = 0 - (-1) = 1$ --- ## III. Integration of Rational functions ### Définition > Une fonction rationnelle est un quotient de deux polynômes : $R(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$, où $P$ et $Q$ sont des polynômes et $Q(x) \neq 0$. Son intégration se fait généralement par décomposition en éléments simples après division euclidienne si nécessaire. ### Étapes de la méthode 1. Si $\deg(P) \geq \deg(Q)$, effectuer la division euclidienne pour obtenir un polynôme plus une fraction propre. 2. Factoriser $Q(x)$ en facteurs linéaires et irréductibles du second degré sur $\mathbb{R}$. 3. Décomposer la fraction propre en somme de fractions simples : - Pour un facteur linéaire $(ax+b)^n$ : $\frac{A_1}{ax+b} + \frac{A_2}{(ax+b)^2} + \cdots + \frac{A_n}{(ax+b)^n}$ - Pour un facteur irréductible du second degré $(ax^2+bx+c)^n$ : $\frac{B_1x+C_1}{ax^2+bx+c} + \cdots + \frac{B_nx+C_n}{(ax^2+bx+c)^n}$ 4. Intégrer chaque terme séparément. ### Exemple résolu 3 Intégrer : $\int \frac{2x+3}{x^2+3x+2} \, dx$ **Étape 1** : Factoriser le dénominateur : $x^2+3x+2 = (x+1)(x+2)$ **Étape 2** : Décomposition en éléments simples : Soit $\frac{2x+3}{(x+1)(x+2)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x+2}$ Multiplier par $(x+1)(x+2)$ : $2x+3 = A(x+2) + B(x+1)$ **Étape 3** : Résoudre pour $A$ et $B$ - Soit $x = -1$ : $2(-1)+3 = A(1) \Rightarrow 1 = A$ - Soit $x = -2$ : $2(-2)+3 = B(-1) \Rightarrow -1 = -B \Rightarrow B = 1$ **Étape 4** : Réécrire et intégrer : $\int \left( \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+2} \right) dx = \ln|x+1| + \ln|x+2| + C = \ln|(x+1)(x+2)| + C$ **Réponse** : $\boxed{\ln|x^2+3x+2| + C}$ ### Exercice d'application 3 Intégrer : (a) $\int \frac{5x-2}{x^2+x-2} \, dx$ (b) $\int \frac{3}{x^2-4} \, dx$ (c) $\int \frac{x+1}{x^2+2x+5} \, dx$ **Corrigé** (a) Factoriser : $x^2+x-2 = (x+2)(x-1)$ $\frac{5x-2}{(x+2)(x-1)} = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x-1}$ $5x-2 = A(x-1) + B(x+2)$ $x=1$: $3 = B(3) \Rightarrow B=1$ $x=-2$: $-12 = A(-3) \Rightarrow A=4$ $\int \left( \frac{4}{x+2} + \frac{1}{x-1} \right) dx = 4\ln|x+2| + \ln|x-1| + C$ (b) $\frac{3}{x^2-4} = \frac{3}{(x-2)(x+2)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+2}$ $3 = A(x+2) + B(x-2)$ $x=2$: $3 = 4A \Rightarrow A=3/4$ $x=-2$: $3 = -4B \Rightarrow B=-3/4$ $\int \left( \frac{3/4}{x-2} - \frac{3/4}{x+2} \right) dx = \frac{3}{4} \ln\left| \frac{x-2}{x+2} \right| + C$ (c) Compléter le carré : $x^2+2x+5 = (x+1)^2 + 4$ Soit $u = x+1$, $du = dx$, numérateur : $x+1 = u$ $\int \frac{u}{u^2+4} du = \frac{1}{2} \ln|u^2+4| + C = \frac{1}{2} \ln(x^2+2x+5) + C$ --- ## IV. Integration using simple substitutions ### Définition > La substitution (ou changement de variable) consiste à remplacer une expression complexe par une nouvelle variable $u$ pour simplifier l'intégrale. Si $u = g(x)$, alors $du = g'(x) dx$, et : > $$\int f(g(x)) g'(x) \, dx = \int f(u) \, du$$ ### Règle clé > Pour intégrer $\int f(g(x)) g'(x) \, dx$, poser $u = g(x)$, puis remplacer $dx$ par $du / g'(x)$, et réécrire l'intégrale en fonction de $u$. ### Exemple résolu 4 Calculer $\int x \cos(x^2) \, dx$ **Étape 1** : Identifier la fonction composée : $x^2$ est à l'intérieur du cosinus, et sa dérivée $2x$ est presque présente. Poser $u = x^2$, alors $du = 2x dx \Rightarrow x dx = \frac{1}{2} du$ **Étape 2** : Substituer : $\int x \cos(x^2) \, dx = \int \cos(u) \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int \cos u \, du$ **Étape 3** : Intégrer : $\frac{1}{2} \sin u + C = \frac{1}{2} \sin(x^2) + C$ **Réponse** : $\boxed{\frac{1}{2} \sin(x^2) + C}$ ### Exercice d'application 4 Calculer : (a) $\int (3x+2)^5 \, dx$ (b) $\int \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} \, dx$ (c) $\int \sin(3x) \cos(3x) \, dx$ **Corrigé** (a) Poser $u = 3x+2$, $du = 3 dx \Rightarrow dx = du/3$ $\int u^5 \cdot \frac{du}{3} = \frac{1}{3} \cdot \frac{u^6}{6} + C = \frac{1}{18} (3x+2)^6 + C$ (b) Poser $u = \sqrt{x} = x^{1/2}$, $du = \frac{1}{2} x^{-1/2} dx = \frac{1}{2\sqrt{x}} dx \Rightarrow \frac{dx}{\sqrt{x}} = 2 du$ $\int e^u \cdot 2 du = 2e^u + C = 2e^{\sqrt{x}} + C$ (c) Méthode 1 : Poser $u = \sin(3x)$, $du = 3\cos(3x) dx \Rightarrow \cos(3x) dx = du/3$ $\int u \cdot \frac{du}{3} = \frac{1}{3} \cdot \frac{u^2}{2} + C = \frac{1}{6} \sin^2(3x) + C$ Méthode 2 : Utiliser l'identité $\sin\theta\cos\theta = \frac{1}{2}\sin 2\theta$ : $\int \frac{1}{2} \sin(6x) dx = -\frac{1}{12} \cos(6x) + C$ Les deux réponses sont équivales à une constante près (vérifier par dérivation). --- ## V. Definite integrals of symmetric functions ### Définition > Une fonction $f$ est **paire** si $f(-x) = f(x)$ pour tout $x$ dans son domaine. > Une fonction $f$ est **impaire** si $f(-x) = -f(x)$ pour tout $x$ dans son domaine. ### Propriétés d'intégration sur un intervalle symétrique $[-a, a]$ > - Si $f$ est paire : $\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) \, dx$ > - Si $f$ est impaire : $\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 0$ ### Exemple résolu 5 Calculer $\int_{-2}^{2} (x^4 - 3x^2 + 2) \, dx$ **Étape 1** : Vérifier la parité : $f(x) = x^4 - 3x^2 + 2$ $f(-x) = (-x)^4 - 3(-x)^2 + 2 = x^4 - 3x^2 + 2 = f(x)$ → fonction paire **Étape 2** : Appliquer la propriété : $\int_{-2}^{2} f(x) \, dx = 2 \int_{0}^{2} (x^4 - 3x^2 + 2) \, dx$ **Étape 3** : Calculer l'intégrale de 0 à 2 : $\int (x^4 - 3x^2 + 2) dx = \frac{x^5}{5} - x^3 + 2x$ Évaluer en 2 : $\frac{32}{5} - 8 + 4 = \frac{32}{5} - 4 = \frac{32}{5} - \frac{20}{5} = \frac{12}{5}$ Évaluer en 0 : $0$ Donc $\int_{0}^{2} = \frac{12}{5}$ **Étape 4** : Multiplier par 2 : $2 \times \frac{12}{5} = \frac{24}{5}$ **Réponse** : $\boxed{\frac{24}{5}}$ ### Exercice d'application 5 Calculer : (a) $\int_{-1}^{1} (x^5 + 2x) \, dx$ (b) $\int_{-\pi}^{\pi} \cos^2 x \, dx$ (c) $\int_{-3}^{3} (x^3 - 4x) \, dx$ **Corrigé** (a) $f(x) = x^5 + 2x$ → $f(-x) = -x^5 - 2x = -f(x)$ → impaire → intégrale = 0 (b) $f(x) = \cos^2 x$ → $f(-x) = \cos^2(-x) = \cos^2 x = f(x)$ → paire $\int_{-\pi}^{\pi} \cos^2 x \, dx = 2 \int_{0}^{\pi} \cos^2 x \, dx$ Utiliser l'identité : $\cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2}$ $\int_{0}^{\pi} \frac{1+\cos 2x}{2} dx = \frac{1}{2} \left[ x + \frac{\sin 2x}{2} \right]_0^{\pi} = \frac{1}{2} (\pi + 0 - 0) = \frac{\pi}{2}$ Donc $2 \times \frac{\pi}{2} = \pi$ (c) $f(x) = x^3 - 4x$ → $f(-x) = -x^3 + 4x = -(x^3 - 4x) = -f(x)$ → impaire → intégrale = 0 --- ## VI. Simple reduction formulae ### Définition > Une formule de réduction est une relation qui exprime une intégrale dépendant d'un entier $n$ en termes d'une intégrale du même type mais avec un indice plus petit (généralement $n-1$ ou $n-2$). Elle permet de réduire le calcul d'intégrales répétitives (comme $\int \sin^n x \, dx$) à des cas de base. ### Formule de réduction pour $\int \sin^n x \, dx$ > Pour $n \geq 2$, > $$\int \sin^n x \, dx = -\frac{\sin^{n-1} x \cos x}{n} + \frac{n-1}{n} \int \sin^{n-2} x \, dx$$ ### Dérivation (par parties) Soit $I_n = \int \sin^n x \, dx = \int \sin^{n-1} x \cdot \sin x \, dx$ Poser : $u = \sin^{n-1} x \Rightarrow du = (n-1)\sin^{n-2} x \cos x \, dx$ $dv = \sin x \, dx \Rightarrow v = -\cos x$ Alors : $I_n = uv - \int v \, du = -\sin^{n-1} x \cos x - \int (-\cos x)(n-1)\sin^{n-2} x \cos x \, dx$ $= -\sin^{n-1} x \cos x + (n-1) \int \sin^{n-2} x \cos^2 x \, dx$ Utiliser $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ : $I_n = -\sin^{n-1} x \cos x + (n-1) \int \sin^{n-2} x (1 - \sin^2 x) dx$ $= -\sin^{n-1} x \cos x + (n-1) \int \sin^{n-2} x dx - (n-1) \int \sin^n x dx$ $= -\sin^{n-1} x \cos x + (n-1) I_{n-2} - (n-1) I_n$ Ramener $I_n$ à gauche : $I_n + (n-1) I_n = -\sin^{n-1} x \cos x + (n-1) I_{n-2}$ $n I_n = -\sin^{n-1} x \cos x + (n-1) I_{n-2}$ Donc : $$I_n = -\frac{\sin^{n-1} x \cos x}{n} + \frac{n-1}{n} I_{n-2}$$ ### Exemple résolu 6 Calculer $\int \sin^4 x \, dx$ en utilisant la formule de réduction. **Étape 1** : Appliquer la formule pour $n=4$ : $\int \sin^4 x \, dx = -\frac{\sin^3 x \cos x}{4} + \frac{3}{4} \int \sin^2 x \, dx$ **Étape 2** : Calculer $\int \sin^2 x \, dx$ (cas de base ou utiliser l'identité) $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ $\int \sin^2 x \, dx = \int \frac{1 - \cos 2x}{2} dx = \frac{1}{2} \left( x - \frac{\sin 2x}{2} \right) + C = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C$ **Étape 3** : Substituer : $\int \sin^4 x \, dx = -\frac{\sin^3 x \cos x}{4} + \frac{3}{4} \left( \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} \right) + C$ $= -\frac{\sin^3 x \cos x}{4} + \frac{3x}{8} - \frac{3 \sin 2x}{16} + C$ **Étape 4** (optionnel) : Simplifier $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ : $\frac{3 \sin 2x}{16} = \frac{3 \cdot 2 \sin x \cos x}{16} = \frac{6 \sin x \cos x}{16} = \frac{3 \sin x \cos x}{8}$ Donc : $\int \sin^4 x \, dx = -\frac{\sin^3 x \cos x}{4} + \frac{3x}{8} - \frac{3 \sin x \cos x}{8} + C$ Factoriser $-\frac{\sin x \cos x}{8}$ : $= \frac{3x}{8} - \frac{\sin x \cos x}{8} (2 \sin^2 x + 3) + C$ Mais on laisse souvent sous la forme précédente. **Réponse** : $\boxed{-\frac{\sin^3 x \cos x}{4} + \frac{3x}{8} - \frac{3 \sin 2x}{16} + C}$ ### Exercice d'application 6 Utiliser la formule de réduction pour calculer : (a) $\int \sin^3 x \, dx$ (b) $\int \sin^5 x \, dx$ (c) Vérifier que $\int \sin^2 x \, dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C$ en utilisant la formule pour $n=2$. **Corrigé** (a) Pour $n=3$ : $\int \sin^3 x \, dx = -\frac{\sin^2 x \cos x}{3} + \frac{2}{3} \int \sin x \, dx = -\frac{\sin^2 x \cos x}{3} + \frac{2}{3} (-\cos x) + C = -\frac{\sin^2 x \cos x}{3} - \frac{2}{3} \cos x + C$ Factoriser $-\frac{\cos x}{3}$ : $= -\frac{\cos x}{3} (\sin^2 x + 2) + C$ Ou utiliser $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ : $= -\frac{\cos x}{3} (1 - \cos^2 x + 2) = -\frac{\cos x}{3} (3 - \cos^2 x) = -\cos x + \frac{\cos^3 x}{3} + C$ (Vérifier par dérivation : donne $\sin^2 x \cdot \sin x = \sin^3 x$ ✓) (b) Pour $n=5$ : $\int \sin^5 x \, dx = -\frac{\sin^4 x \cos x}{5} + \frac{4}{5} \int \sin^3 x \, dx$ On vient de trouver $\int \sin^3 x \, dx = -\cos x + \frac{\cos^3 x}{3} + C$ Donc : $= -\frac{\sin^4 x \cos x}{5} + \frac{4}{5} \left( -\cos x + \frac{\cos^3 x}{3} \right) + C$ $= -\frac{\sin^4 x \cos x}{5} - \frac{4}{5} \cos x + \frac{4}{15} \cos^3 x + C$ (c) Pour $n=2$ : $\int \sin^2 x \, dx = -\frac{\sin^{1} x \cos x}{2} + \frac{1}{2} \int \sin^{0} x \, dx = -\frac{\sin x \cos x}{2} + \frac{1}{2} \int 1 \, dx$ $= -\frac{\sin x \cos x}{2} + \frac{x}{2} + C$ Mais $\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x$, donc : $= -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \sin 2x + \frac{x}{2} + C = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C$ ✓ --- ## Synthèse du chapitre - **Intégrale indéfinie** : Ensemble des primitives d'une fonction, noté $\int f(x) \, dx = F(x) + C$, où $F' = f$. - **Intégrale définie** : $\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)$, mesure l'aire signée sous $f$ entre $a$ et $b$. - **Fonctions rationnelles** : Intégrées par décomposition en éléments simples après factorisation du dénominateur et division euclidienne si nécessaire. - **Substitution simple** : Technique $u = g(x)$ pour transformer $\int f(g(x))g'(x)dx$ en $\int f(u)du$, utile pour les fonctions composées. - **Fonctions symétriques** : Sur $[-a,a]$, l'intégrale d'une fonction impaire est nulle ; celle d'une fonction paire vaut $2\int_0^a f(x)dx$. - **Formules de réduction** : Permettent d'exprimer $\int f^n(x)dx$ en termes de $\int f^{n-2}(x)dx$ ; exemplifiées ici pour $\sin^n x$ via intégration par parties. --- ## Glossaire - **Primitive** : Fonction $F$ telle que $F'(x) = f(x)$. - **Intégrale indéfinie** : Ensemble de toutes les primitives d'une fonction, noté $\int f(x) \, dx$. - **Intégrale définie** : Valeur numérique $\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)$, représentant l'aire signée. - **Fonction rationnelle** : Quotient de deux polynômes $P(x)/Q(x)$. - **Décomposition en éléments simples** : Expression d'une fraction rationnelle comme somme de fractions plus simples. - **Substitution (u-substitution)** : Changement de variable $u = g(x)$ pour simplifier une intégrale. - **Fonction paire** : Fonction vérifiant $f(-x) = f(x)$. - **Fonction impaire** : Fonction vérifiant $f(-x) = -f(x)$. - **Formule de réduction** : Relation récurrente reliant une intégrale d'indice $n$ à une de plus petit indice (ex. $n-2$). - **Intégrale propre** : Intégrale où le numérateur a un degré strictement inférieur au dénominateur. - **Division euclidienne de polynômes** : Processus permettant d'écrire $P(x) = Q(x) \cdot S(x) + R(x)$ avec $\deg(R) < \deg(Q)$. - **Identité trigonométrique** : Égalité vraie pour toutes les valeurs de la variable (ex. $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$).