Simple and Damped Harmonic motion

# Simple and Damped Harmonic motion ## Objectifs et prérequis **Objectifs** : À la fin de ce chapitre, l'élève sera capable de : - Décrire le mouvement harmonique simple (MHS) à partir de l'équation différentielle fondamentale et en déduire ses caractéristiques (période, fréquence, amplitude, phase). - Résoudre l'équation du MHS pour des conditions initiales données et interpréter physiquement la solution. - Étendre l'analyse au mouvement harmonique amorti (MHA) en distinguant les cas d'amortissement faible, critique et fort. - Déterminer l'expression de la position, de la vitesse et de l'énergie dans le cas du MHA. - Appliquer les modèles du MHS et du MHA à des systèmes physiques réels (masse-ressort, pendule simple, circuits LC et RLC). - Analyser graphiquement et numériquement les comportements temporels des oscillations amorties. - Résoudre des problèmes d'application en utilisant les formules dérivées et en vérifiant la dimensionnalité et la cohérence physique. **Prérequis** : Maîtrise du calcul différentiel et intégral (dérivées secondes, équations différentielles linéaires à coefficients constants), des notions de mécanique newtonienne (deuxième loi de Newton, loi de Hooke), des fonctions trigonométriques et exponentielles, et de la représentation complexe des oscillations (optionnel mais utile). --- ## I. Simple harmonic motion ### Définition et équation fondamentale Le mouvement harmonique simple (MHS) est un mouvement périodique où la force restauratrice agissant sur un objet est directement proportionnelle à son déplacement par rapport à une position d'équilibre et dirigée vers cette position. > **À retenir** : La force restauratrice dans le MHS satisfait à la loi de Hooke : $ F = -kx $, où $ k > 0 $ est la constante de raideur et $ x $ est le déplacement par rapport à l'équilibre. En appliquant la deuxième loi de Newton $ F = ma $, on obtient : $$ m \frac{d^2x}{dt^2} = -kx $$ $$ \frac{d^2x}{dt^2} + \frac{k}{m} x = 0 $$ En définissant $ \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} $ (pulsation angulaire naturelle), l'équation devient : $$ \frac{d^2x}{dt^2} + \omega_0^2 x = 0 $$ ### Solution générale L'équation différentielle ci-dessus est linéaire homogène du second ordre à coefficients constants. Son équation caractéristique est $ r^2 + \omega_0^2 = 0 $, donnant $ r = \pm i\omega_0 $. La solution générale est donc : $$ x(t) = A \cos(\omega_0 t) + B \sin(\omega_0 t) $$ Cette forme peut être réécrite sous une forme amplitude-phase : > **À retenir** : $ x(t) = C \cos(\omega_0 t - \phi) $, où $ C = \sqrt{A^2 + B^2} $ est l'amplitude et $ \phi = \arctan\left(\frac{B}{A}\right) $ est la phase initiale. ### Propriétés du MHS - **Période** : $ T = \frac{2\pi}{\omega_0} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} $ - **Fréquence** : $ f = \frac{1}{T} = \frac{\omega_0}{2\pi} $ - **Vitesse** : $ v(t) = \frac{dx}{dt} = -C\omega_0 \sin(\omega_0 t - \phi) $ - **Accélération** : $ a(t) = \frac{d^2x}{dt^2} = -C\omega_0^2 \cos(\omega_0 t - \phi) = -\omega_0^2 x(t) $ - **Énergie mécanique totale** : Conservée et égale à $ E = \frac{1}{2} k C^2 = \frac{1}{2} m \omega_0^2 C^2 $ > **À retenir** : Dans le MHS, l'énergie mécanique totale est constante et se partage entre énergie cinétique $ K = \frac{1}{2} m v^2 $ et énergie potentielle élastique $ U = \frac{1}{2} k x^2 $. ### Exemple résolu 1 Une masse de 0,5 kg est attachée à un ressort de constante $ k = 200 \, \text{N/m} $. Elle est déplacée de 0,1 m depuis l'équilibre et relâchée depuis le repos. Trouver : (a) La pulsation $ \omega_0 $ (b) L'équation du mouvement (c) La vitesse à $ t = 0,1 \, \text{s} $ **Solution** : (a) $ \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{200}{0,5}} = \sqrt{400} = 20 \, \text{rad/s} $ (b) Au $ t=0 $, $ x(0) = 0,1 \, \text{m} $, $ v(0) = 0 $. D'après $ x(t) = C \cos(\omega_0 t - \phi) $ : $ x(0) = C \cos(-\phi) = C \cos\phi = 0,1 $ $ v(0) = C\omega_0 \sin\phi = 0 \Rightarrow \sin\phi = 0 \Rightarrow \phi = 0 $ (puisque $ C>0 $) Donc $ C = 0,1 \, \text{m} $, et : $$ x(t) = 0,1 \cos(20t) \, \text{m} $$ (c) $ v(t) = -0,1 \times 20 \sin(20t) = -2 \sin(20t) \, \text{m/s} $ À $ t = 0,1 \, \text{s} $ : $ v(0,1) = -2 \sin(2) \approx -2 \times 0,909 = -1,818 \, \text{m/s} $ ### Exercices d'application corrigés **Exercice 1** : Un pendule simple de longueur $ L = 1,0 \, \text{m} $ effectue de petites oscillations. Calculer sa période. **Solution** : Pour un pendule simple, $ \omega_0 = \sqrt{\frac{g}{L}} $, donc $ T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} = 2\pi \sqrt{\frac{1,0}{9,8}} \approx 2,006 \, \text{s} $. **Exercice 2** : Une masse de 2 kg oscille selon $ x(t) = 0,05 \cos(10t + \pi/3) \, \text{m} $. Trouver l'énergie totale. **Solution** : Amplitude $ C = 0,05 \, \text{m} $, $ \omega_0 = 10 \, \text{rad/s} $, donc $ k = m\omega_0^2 = 2 \times 100 = 200 \, \text{N/m} $. $ E = \frac{1}{2} k C^2 = \frac{1}{2} \times 200 \times (0,05)^2 = 0,25 \, \text{J} $. **Exercice 3** : À quel instant la vitesse est-elle maximale dans un MHS commençant depuis l'amplitude maximale au repos ? **Solution** : La vitesse est maximale quand $ x=0 $, ce qui se produit à $ t = \frac{T}{4} $ après le départ depuis $ x=C $. --- ## II. Damped Harmonic motion ### Introduction à l'amortissement Dans les systèmes réels, des forces dissipatives (frottement, résistance de l'air) agissent en opposition au mouvement. On modélise souvent cette force comme proportionnelle à la vitesse : $ F_d = -b v $, où $ b > 0 $ est le coefficient d'amortissement. > **À retenir** : L'équation du mouvement pour un oscillateur harmonique amorti est : > $$ m \frac{d^2x}{dt^2} + b \frac{dx}{dt} + kx = 0 $$ > ou, en divisant par $ m $ : > $$ \frac{d^2x}{dt^2} + 2\beta \frac{dx}{dt} + \omega_0^2 x = 0 $$ > où $ \beta = \frac{b}{2m} $ est le coefficient d'amortissement et $ \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} $. ### Analyse de l'équation différentielle L'équation caractéristique est : $ r^2 + 2\beta r + \omega_0^2 = 0 $, avec des racines : $$ r = -\beta \pm \sqrt{\beta^2 - \omega_0^2} $$ Trois cas se présentent selon le discriminant $ \Delta = \beta^2 - \omega_0^2 $ : #### Cas 1 : Amortissement faible ($ \beta < \omega_0 $) — Mouvement sous-amorti > **À retenir** : Dans le cas sous-amorti, la solution est : > $$ x(t) = A e^{-\beta t} \cos(\omega_d t - \phi) $$ > où $ \omega_d = \sqrt{\omega_0^2 - \beta^2} $ est la pulsation d'amortissement. Le mouvement oscille avec une amplitude décroissante exponentiellement. La pseudo-période est $ T_d = \frac{2\pi}{\omega_d} $. #### Cas 2 : Amortissement critique ($ \beta = \omega_0 $) > **À retenir** : La solution critique est : > $$ x(t) = (A + Bt) e^{-\beta t} $$ > Le système revient à l'équilibre le plus rapidement possible sans osciller. #### Cas 3 : Amortissement fort ($ \beta > \omega_0 $) — Mouvement sur-amorti > **À retenir** : La solution sur-amortie est : > $$ x(t) = A e^{(-\beta + \sqrt{\beta^2 - \omega_0^2})t} + B e^{(-\beta - \sqrt{\beta^2 - \omega_0^2})t} $$ > Le retour à l'équilibre est lent et non oscillatoire. ### Vitesse et énergie dans le MHA - Vitesse : $ v(t) = \frac{dx}{dt} $ - Dans le cas sous-amorti : $$ v(t) = -A e^{-\beta t} \left[ \beta \cos(\omega_d t - \phi) + \omega_d \sin(\omega_d t - \phi) \right] $$ - L'énergie mécanique totale diminue avec le temps : $$ E(t) = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} k x^2 $$ Son taux de variation est : > **À retenir** : $ \frac{dE}{dt} = -b v^2 \leq 0 $, montrant que l'énergie est dissipée par la force d'amortissement. ### Exemple résolu 2 Un système masse-ressort de $ m = 0,2 \, \text{kg} $, $ k = 50 \, \text{N/m} $, est soumis à un amortisseur avec $ b = 0,4 \, \text{N·s/m} $. La masse est déplacée de 0,08 m et relâchée depuis le repos. Déterminer le type d'amortissement et l'équation du mouvement. **Solution** : - $ \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{50}{0,2}} = \sqrt{250} \approx 15,81 \, \text{rad/s} $ - $ \beta = \frac{b}{2m} = \frac{0,4}{2 \times 0,2} = 1,0 \, \text{s}^{-1} $ - Puisque $ \beta = 1,0 < \omega_0 \approx 15,81 $, le système est **sous-amorti**. - $ \omega_d = \sqrt{\omega_0^2 - \beta^2} = \sqrt{250 - 1} = \sqrt{249} \approx 15,78 \, \text{rad/s} $ - Conditions initiales : $ x(0) = 0,08 $, $ v(0) = 0 $ - $ x(t) = A e^{-\beta t} \cos(\omega_d t - \phi) $ - $ x(0) = A \cos(-\phi) = A \cos\phi = 0,08 $ - $ v(t) = A e^{-\beta t} [ -\beta \cos(\omega_d t - \phi) - \omega_d \sin(\omega_d t - \phi) ] $ - $ v(0) = A [ -\beta \cos\phi + \omega_d \sin\phi ] = 0 $ - Donc $ \omega_d \sin\phi = \beta \cos\phi \Rightarrow \tan\phi = \frac{\beta}{\omega_d} = \frac{1,0}{15,78} \approx 0,0634 \Rightarrow \phi \approx 0,0633 \, \text{rad} $ - Alors $ A = \frac{0,08}{\cos\phi} \approx \frac{0,08}{0,998} \approx 0,0802 \, \text{m} $ - Équation du mouvement : $$ x(t) \approx 0,0802 e^{-t} \cos(15,78 t - 0,0633) \, \text{m} $$ ### Exercices d'application corrigés **Exercice 1** : Un circuit RLC série a $ L = 0,1 \, \text{H} $, $ C = 10 \, \mu\text{F} $, $ R = 20 \, \Omega $. Déterminer le type d'amortissement. **Solution** : - $ \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} = \frac{1}{\sqrt{0,1 \times 10^{-5}}} = \frac{1}{\sqrt{10^{-6}}} = 1000 \, \text{rad/s} $ - $ \beta = \frac{R}{2L} = \frac{20}{2 \times 0,1} = 100 \, \text{s}^{-1} $ - Puisque $ \beta = 100 < \omega_0 = 1000 $, le système est **sous-amorti**. **Exercice 2** : Pour le même circuit, trouver la pulsation d'amortissement $ \omega_d $. **Solution** : $ \omega_d = \sqrt{\omega_0^2 - \beta^2} = \sqrt{10^6 - 10^4} = \sqrt{990000} \approx 995 \, \text{rad/s} $ **Exercice 3** : Pourquoi l'amortissement critique est-il utile dans les instruments de mesure ? **Solution** : Parce qu'il permet au système de revenir à l'équilibre le plus rapidement possible sans oscillation ni dépassement, assurant une lecture stable et rapide. --- ## III. Applications of Simple and Damped Harmonic motion ### Applications du MHS 1. **Pendule simple** : Pour de petites oscillations, $ \theta(t) \approx \theta_0 \cos(\omega_0 t - \phi) $ avec $ \omega_0 = \sqrt{g/L} $. 2. **Circuits LC idéaux** : La charge sur le condensateur suit $ q(t) = Q \cos(\omega_0 t - \phi) $, $ \omega_0 = 1/\sqrt{LC} $. 3. **Molécules diatomiques** : Les vibrations interatomiques approximent un MHS autour de la distance d'équilibre. 4. **Oscillateur de quartz** : Utilisé dans les horloges pour sa fréquence stable. > **À retenir** : Le MHS est un bon modèle lorsque les forces dissipatives sont négligeables et que la déformation reste dans le domaine élastique linéaire (loi de Hooke valide). ### Applications du MHA 1. **Amortisseurs automobiles** : Conçus pour être proches de l'amortissement critique afin d'atténuer rapidement les chocs sans rebond. 2. **Circuits RLC** : Utilisés dans les filtres passe-bande et les oscillateurs électroniques ; l'amortissement contrôle la largeur de bande. 3. **Instruments de mesure** (galvanomètres, balances) : L'amortissement critique évite les oscillations parasites. 4. **Bâtiments en zone sismique** : Des systèmes d'amortissement sont intégrés pour réduire les oscillations induites par les séismes. 5. **Amortissement de l'air dans les pendules** : Explique pourquoi l'amplitude d'un pendule réel diminue avec le temps. > **À retenir** : Dans un circuit RLC série, la tension aux bornes du condensateur obéit à la même équation qu'un oscillateur mécanique amorti, avec des analogies : $ m \leftrightarrow L $, $ b \leftrightarrow R $, $ k \leftrightarrow 1/C $. ### Exemple résolu 3 Un oscillateur LC a $ L = 25 \, \text{mH} $, $ C = 400 \, \text{pF} $. Il est connecté en série à une résistance $ R = 10 \, \Omega $. (a) Montrer que le système est sous-amorti. (b) Calculer la fréquence d'oscillation amortie. (c) Si la charge initiale est $ Q_0 = 2 \, \mu\text{C} $, trouver l'expression de la charge à tout instant. **Solution** : (a) $ \omega_0 = 1/\sqrt{LC} = 1/\sqrt{0,025 \times 4 \times 10^{-10}} = 1/\sqrt{10^{-11}} = 10^{5,5} \approx 3,162 \times 10^5 \, \text{rad/s} $ $ \beta = R/(2L) = 10/(2 \times 0,025) = 200 \, \text{s}^{-1} $ Puisque $ \beta \ll \omega_0 $, le système est **sous-amorti**. (b) $ \omega_d = \sqrt{\omega_0^2 - \beta^2} \approx \omega_0 \sqrt{1 - (\beta/\omega_0)^2} \approx \omega_0 $ (puisque $ \beta/\omega_0 \approx 6,3 \times 10^{-4} $) Donc $ f_d = \omega_d/(2\pi) \approx 3,162 \times 10^5 / (2\pi) \approx 50,3 \, \text{kHz} $ (c) Dans le cas sous-amorti avec $ q(0) = Q_0 $, $ i(0) = dq/dt|_{t=0} = 0 $ : $$ q(t) = Q_0 e^{-\beta t} \cos(\omega_d t) $$ (on prend $ \phi = 0 $ puisque $ dq/dt(0) = 0 $ implique $ \sin\phi = 0 $ et $ \cos\phi > 0 $) $$ q(t) = 2 \times 10^{-6} e^{-200 t} \cos(3,162 \times 10^5 t) \, \text{C} $$ ### Exercices d'application corrigés **Exercice 1** : Un pont modélisé comme un oscillateur harmonique a une masse effective de $ 10^5 \, \text{kg} $ et une constante de raideur de $ 2 \times 10^6 \, \text{N/m} $. Un vent provoque une force périodique. Quelle est sa fréquence naturelle ? **Solution** : $ f_0 = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{2 \times 10^6}{10^5}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{20} \approx 0,71 \, \text{Hz} $ **Exercice 2** : Une balle de tennis de masse 0,057 kg rebondit sur une raquette modélisée comme un ressort de $ k = 10^4 \, \text{N/m} $. Si le contact dure 5 ms, estimer la période naturelle du système et commenter. **Solution** : $ T_0 = 2\pi \sqrt{m/k} = 2\pi \sqrt{0,057/10000} \approx 2\pi \times 0,0024 \approx 0,015 \, \text{s} = 15 \, \text{ms} $. Comme le temps de contact (5 ms) est inférieur à $ T_0/2 $, le système ne complète pas une demi-oscillation : l'interaction est impulsionnelle, pas oscillatoire complète. **Exercice 3** : Pourquoi un galvanomètre doit-il être amorti critique ? **Solution** : Pour éviter les oscillations de l'aiguille autour de la position d'équilibre, permettant une lecture rapide et précise sans dépassement ni instabilité. --- ## Synthèse du chapitre - Le mouvement harmonique simple (MHS) résulte d'une force restauratrice linéaire $ F = -kx $, menant à l'équation $ \ddot{x} + \omega_0^2 x = 0 $, avec solution sinusoïdale et énergie constante. - Le mouvement harmonique amorti (MHA) introduit une force de frottement proportionnelle à la vitesse, donnant $ \ddot{x} + 2\beta \dot{x} + \omega_0^2 x = 0 $. - Trois régimes d'amortissement : - Sous-amorti ($ \beta < \omega_0 $) : oscillations amorties avec pulsation $ \omega_d = \sqrt{\omega_0^2 - \beta^2} $ - Critique ($ \beta = \omega_0 $) : retour le plus rapide à l'équilibre sans oscillation - Sur-amorti ($ \beta > \omega_0 $) : retour lent et non oscillatoire - L'énergie mécanique diminue dans le MHA selon $ dE/dt = -b v^2 $. - Les applications du MHS incluent les pendules, les circuits LC et les vibrations moléculaires. - Les applications du MHA comprennent les amortisseurs, les circuits RLC, les instruments de mesure et la protection sismique. - Les systèmes mécaniques et électriques sont analogues : masse ↔ inductance, raideur ↔ inverse capacité, coefficient d'amortissement ↔ résistance. --- ## Glossaire - **Amortissement** : Phénomène de dissipation d'énergie dans un système oscillatoire, modélisé par une force proportionnelle à la vitesse. - **Amortissement critique** : Cas où $ \beta = \omega_0 $, permettant le retour à l'équilibre le plus rapide sans oscillation. - **Amplitude** : Valeur maximale du déplacement dans un mouvement oscillatoire, notée $ C $ ou $ A $. - **Énergie mécanique totale** : Somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle ; conservée dans le MHS, décroissante dans le MHA. - **Force restauratrice** : Force agissant pour ramener un système vers sa position d'équilibre ; dans le MHS, proportionnelle au déplacement. - **Période** : Durée d'un cycle complet d'oscillation, notée $ T $. - **Pulsation angulaire** : Fréquence angulaire d'oscillation, notée $ \omega $, en rad/s. - **Pseudo-période** : Période effective dans le cas sous-amorti, $ T_d = 2\pi / \omega_d $. - **Résonance** : Phénomène où une excitation périodique à fréquence proche de $ \omega_0 $ produit une réponse amplifiée (non traité ici mais lié). - **Sous-amorti** : Régime où $ \beta < \omega_0 $, caractérisé par des oscillations amorties. - **Sur-amorti** : Régime où $ \beta > \omega_0 $, retour non oscillatoire à l'équilibre. - **Vitesse angulaire** : Dans ce contexte, synonyme de pulsation angulaire $ \omega $.