Further Curve Sketching and Inequalities

# Further Curve Sketching and Inequalities ## Objectifs et prérequis Ce chapitre vise à développer une compréhension approfondie du comportement des fonctions réelles à une variable, en combinant l'analyse algébrique, géométrique et asymptotique pour tracer des courbes avec précision et résoudre des inégalités, notamment celles impliquant des valeurs absolues. L'élève doit maîtriser les notions de définition, de limite, de continuité, de dérivée et d'intégrale de base (niveau Lower Sixth) pour aborder ce contenu. Une bonne maîtrise du tracé de fonctions polynomiales, rationnelles, trigonométriques de base et exponentielles/logarithmiques est supposée. ## I. Domain of definition of a function ### Définition > Le domaine de définition d'une fonction réelle $f$, noté $D_f$, est l'ensemble des réels $x$ pour lesquels l'expression de $f(x)$ est bien définie dans $\mathbb{R}$. ### Propriétés - Pour une fonction rationnelle $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$, $D_f = \mathbb{R} \setminus \{x \mid Q(x) = 0\}$. - Pour une fonction avec racine carrée $\sqrt{g(x)}$, $D_f = \{x \mid g(x) \geq 0\}$. - Pour un logarithme $\ln(g(x))$, $D_f = \{x \mid g(x) > 0\}$. - Pour une fonction trigonométrique comme $\tan(x)$, $D_f = \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \right\}$. ### Exemple résolu Déterminer $D_f$ pour $f(x) = \frac{\sqrt{x-2}}{x^2 - 9}$. **Étape 1** : Numérateur : $\sqrt{x-2}$ nécessite $x-2 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2$. **Étape 2** : Dénominateur : $x^2 - 9 = (x-3)(x+3) \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$ et $x \neq -3$. **Étape 3** : Intersection : $x \geq 2$ et $x \neq 3$ → $D_f = [2, 3) \cup (3, +\infty)$. > **À retenir** : Le domaine de définition est obtenu par l'intersection des conditions de définition de chaque opération élémentaire. ### Exercices d'application corrigés 1. $f(x) = \frac{\ln(x+1)}{\sqrt{5-x}}$ - $\ln(x+1) > 0 \Rightarrow x > -1$ - $\sqrt{5-x}$ défini si $5-x \geq 0 \Rightarrow x \leq 5$, et dénominateur $\neq 0 \Rightarrow 5-x > 0 \Rightarrow x < 5$ - $D_f = (-1, 5)$ 2. $f(x) = \sqrt{\frac{x-1}{x+2}}$ - Fraction $\geq 0$ : tableau de signes : numérateur $\geq 0$ si $x \geq 1$, dénominateur $>0$ si $x > -2$, $<0$ si $x < -2$ - Solution : $x \in [-2, 1]$ ? Non : dénominateur nul en $-2$ → exclu. - Signes : $+$ sur $(-\infty, -2)$ : num $-$ , dén $-$ → $+$ ; $(-2,1)$ : num $-$ , dén $+$ → $-$ ; $[1,+\infty)$ : num $+$ , dén $+$ → $+$ - Donc $D_f = (-\infty, -2) \cup [1, +\infty)$ ## II. Limits of a function at the bounds of its domain of definition ### Définition > On étudie les limites unilatérales de $f(x)$ lorsque $x$ approche une borne du domaine $D_f$ (finie ou infinie), notées $\lim_{x \to a^+} f(x)$ ou $\lim_{x \to a^-} f(x)$, pour détecter des comportements asymptotiques ou des discontinuités. ### Propriétés - Si $a$ est une borne inférieure de $D_f$, on étudie $\lim_{x \to a^+} f(x)$. - Si $a$ est une borne supérieure, on étudie $\lim_{x \to a^-} f(x)$. - Ces limites peuvent être finies, $+\infty$, $-\infty$, ou inexistantes. - Elles permettent de détecter des asymptotes verticales ou des trous. ### Exemple résolu Étudier les limites de $f(x) = \frac{1}{x-2}$ aux bornes de $D_f = \mathbb{R} \setminus \{2\}$. - Borne inférieure : aucune (domaine non borné en dessous). - Borne supérieure : aucune. - Mais $x=2$ est un point d'exclusion : on étudie les limites unilatérales en $2$. - $\lim_{x \to 2^-} \frac{1}{x-2} = -\infty$ (dénominateur $<0$ et tend vers $0^-$) - $\lim_{x \to 2^+} \frac{1}{x-2} = +\infty$ (dénominateur $>0$ et tend vers $0^+$) > **À retenir** : Une limite infinie unilatérale en un point d'exclusion du domaine indique une asymptote verticale en ce point. ### Exercices d'application corrigés 1. $f(x) = \frac{x+1}{\sqrt{x-3}}$, $D_f = (3, +\infty)$ - Limite en $3^+$ : $\lim_{x \to 3^+} \frac{x+1}{\sqrt{x-3}} = \frac{4}{0^+} = +\infty$ - Limite en $+\infty$ : $\sim \frac{x}{\sqrt{x}} = \sqrt{x} \to +\infty$ → Asymptote verticale en $x=3$, pas d'asymptote horizontale. 2. $f(x) = \ln\left(\frac{x}{x-1}\right)$, $D_f = (-\infty, 0) \cup (1, +\infty)$ - En $0^-$ : $\frac{x}{x-1} \to \frac{0^-}{-1} = 0^+ \Rightarrow \ln(0^+) = -\infty$ - En $1^+$ : $\frac{x}{x-1} \to \frac{1^+}{0^+} = +\infty \Rightarrow \ln(+\infty) = +\infty$ - En $-\infty$ : $\frac{x}{x-1} \to 1^- \Rightarrow \ln(1^-) = 0^-$ - En $+\infty$ : $\frac{x}{x-1} \to 1^+ \Rightarrow \ln(1^+) = 0^+$ → Asymptotes verticales en $x=0$ et $x=1$, asymptote horizontale $y=0$ aux deux infinis. ## III. Range of values for the existence or non-existence of a function ### Définition > L'ensemble des valeurs prises par $f(x)$ lorsque $x$ parcourt $D_f$ est appelé ensemble des valeurs ou image de $f$, noté $f(D_f)$ ou parfois « ensemble des valeurs réelles pour lesquelles la fonction existe ». ### Propriétés - Pour déterminer l'ensemble des valeurs, on résout souvent $y = f(x)$ pour $x$ en fonction de $y$, puis on trouve les $y$ tels que cette équation admet une solution dans $D_f$. - Méthode : isoler $x$, puis imposer que la solution soit réelle et dans $D_f$. - Utile pour détecter les valeurs que $f$ ne peut pas prendre (trous dans l'image). ### Exemple résolu Trouver l'ensemble des valeurs de $f(x) = \frac{2x-1}{x+3}$, $D_f = \mathbb{R} \setminus \{-3\}$. Écrire $y = \frac{2x-1}{x+3}$ → $y(x+3) = 2x-1$ → $yx + 3y = 2x - 1$ → $yx - 2x = -1 - 3y$ → $x(y - 2) = -1 - 3y$ → $x = \frac{-1-3y}{y-2}$, pour $y \neq 2$ Cette expression de $x$ est définie si $y \neq 2$. On doit aussi vérifier que $x \neq -3$ (car $-3 \notin D_f$) : $\frac{-1-3y}{y-2} = -3$ → $-1-3y = -3(y-2) = -3y + 6$ → $-1 = 6$ → contradiction. Donc aucune valeur de $y$ ne fait $x = -3$. Ainsi, l'ensemble des valeurs est $\mathbb{R} \setminus \{2\}$. > **À retenir** : Pour une fonction rationnelle homographique, l'ensemble des valeurs est $\mathbb{R}$ privé de la valeur de l'asymptote horizontale. ### Exercices d'application corrigés 1. $f(x) = \sqrt{x^2 + 4x + 5}$ Compléter le carré : $x^2+4x+5 = (x+2)^2 + 1 \geq 1$ → $\sqrt{(x+2)^2+1} \geq \sqrt{1} = 1$ → Ensemble des valeurs : $[1, +\infty)$ 2. $f(x) = \frac{1}{x^2+1}$ Dénominateur $\geq 1$ → $f(x) \leq 1$, et $>0$ → Lorsque $x=0$, $f=1$ ; quand $x \to \pm\infty$, $f \to 0^+$ → Ensemble des valeurs : $(0, 1]$ ## IV. Asymptotes and intercepts ### Définition > Une asymptote est une droite que la courbe approche arbitrairement étroitement lorsque $x$ ou $y$ tend vers l'infini, sans jamais la rejoindre (dans le cas des asymptotes propres). > Une asymptote verticale : $x = a$ si $\lim_{x \to a^\pm} f(x) = \pm\infty$. > Une asymptote horizontale : $y = b$ si $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = b$. > Une asymptote oblique : $y = ax + b$ si $\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - (ax+b)] = 0$. > **À retenir** : Pour une fonction rationnelle $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ : - Asymptote verticale : zeros de $Q(x)$ non annulés par $P(x)$. - Asymptote horizontale : si $\deg P < \deg Q$ → $y=0$ ; si $\deg P = \deg Q$ → $y = \frac{\text{coeff dominant de } P}{\text{coeff dominant de } Q}$ ; si $\deg P > \deg Q$ → pas d'asymptote horizontale. - Asymptote oblique : si $\deg P = \deg Q + 1$, alors faire la division de $P$ par $Q$ : le quotient donne $ax+b$. ### Intercepts - Intercept avec l'axe $x$ : résoudre $f(x) = 0$. - Intercept avec l'axe $y$ : calculer $f(0)$ si $0 \in D_f$. ### Exemple résolu Trouver les asymptotes et intercepts de $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 1}$. **Asymptotes verticales** : dénominateur $x-1=0 \Rightarrow x=1$. Vérifier numérateur : $1^2-4=-3 \neq 0$ → asymptote verticale en $x=1$. **Asymptotes obliques** : $\deg P = 2$, $\deg Q = 1$ → $\deg P = \deg Q + 1$ → asymptote oblique. Division polynomiale : $$ \frac{x^2 - 4}{x - 1} = x + 1 - \frac{3}{x-1} $$ → Quotient : $x+1$ → asymptote oblique : $y = x + 1$. **Asymptote horizontale** : non applicable (déjà oblique). **Intercepts** : - $x$ : $f(x)=0 \Rightarrow x^2-4=0 \Rightarrow x=\pm 2$ → points $(-2,0)$, $(2,0)$ - $y$ : $f(0) = \frac{0-4}{0-1} = \frac{-4}{-1} = 4$ → point $(0,4)$ > **À retenir** : Une asymptote oblique existe uniquement lorsque le degré du numérateur est exactement supérieur d'une unité à celui du dénominateur. ### Exercices d'application corrigés 1. $f(x) = \frac{2x^2 + 3x - 2}{x - 2}$ - Asymptote verticale : $x=2$ (numérateur en $2$ : $8+6-2=12\neq0$) - Division : $\frac{2x^2+3x-2}{x-2} = 2x + 7 + \frac{12}{x-2}$ → asymptote oblique : $y=2x+7$ - Intercepts $x$ : $2x^2+3x-2=0 \Rightarrow (2x-1)(x+2)=0 \Rightarrow x=\frac{1}{2}, x=-2$ - Intercept $y$ : $f(0) = \frac{-2}{-2}=1$ 2. $f(x) = \frac{3x}{x^2+1}$ - Asymptote verticale : dénominateur $>0$ toujours → aucune - Asymptote horizontale : $\deg P=1 < \deg Q=2$ → $y=0$ - Intercepts $x$ : $3x=0 \Rightarrow x=0$ - Intercept $y$ : $f(0)=0$ ## V. Stationary points ### Définition > Un point stationnaire d'une fonction dérivable $f$ est un point $x_0 \in D_f$ tel que $f'(x_0) = 0$. Il peut correspondre à un extremum local (maximum ou minimum) ou à un point d'arrêt sans extremum (comme une terrasse). ### Propriétés - Pour trouver les points stationnaires : résoudre $f'(x) = 0$. - On utilise ensuite la seconde dérivée ou le tableau de variation pour classifier : - Si $f''(x_0) > 0$ → minimum local - Si $f''(x_0) < 0$ → maximum local - Si $f''(x_0) = 0$ → test inconclusif (nécessite analyse du signe de $f'$ autour de $x_0$). > **À retenir** : Un point stationnaire n'est pas nécessairement un extremum ; il faut vérifier le changement de signe de $f'$ autour du point. ### Exemple résolu Trouver et classer les points stationnaires de $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$. $f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$ → $f'(x)=0 \Rightarrow x=0$ ou $x=2$ $f''(x) = 6x - 6$ - En $x=0$ : $f''(0) = -6 < 0$ → maximum local $f(0) = 2$ → point $(0,2)$ - En $x=2$ : $f''(2) = 12-6=6 > 0$ → minimum local $f(2) = 8 - 12 + 2 = -2$ → point $(2,-2)$ > **À retenir** : Le signe de $f''$ au point stationnaire permet de classifier l'extremum si $f'' \neq 0$. ### Exercices d'application corrigés 1. $f(x) = x^4 - 4x^3$ $f'(x) = 4x^3 - 12x^2 = 4x^2(x-3)$ → Points stationnaires : $x=0$ (double racine), $x=3$ $f''(x) = 12x^2 - 24x = 12x(x-2)$ - En $x=0$ : $f''(0)=0$ → test inconclusif Analyser $f'$ : pour $x<0$, $f'(x)=4x^2(x-3)$ : $x^2>0$, $(x-3)<0$ → $f'<0$ Pour $0<x<3$ : $x^2>0$, $(x-3)<0$ → $f'<0$ → Pas de changement de signe → pas d'extremum en $x=0$ (terrasse) - En $x=3$ : $f''(3)=12\cdot3\cdot1=36>0$ → minimum local $f(3)=81-108=-27$ → point $(3,-27)$ 2. $f(x) = \frac{x}{x^2+1}$ $f'(x) = \frac{(1)(x^2+1) - x(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{x^2+1-2x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}$ → $f'(x)=0 \Rightarrow 1-x^2=0 \Rightarrow x=\pm 1$ $f''(x)$ : on peut éviter en utilisant le tableau de variation de $f'$ - Pour $x<-1$ : $1-x^2 <0$ → $f'<0$ - Pour $-1<x<1$ : $1-x^2>0$ → $f'>0$ - Pour $x>1$ : $1-x^2<0$ → $f'<0$ → $x=-1$ : $f'$ passe de $-$ à $+$ → minimum local $f(-1) = \frac{-1}{1+1} = -\frac{1}{2}$ → $x=1$ : $f'$ passe de $+$ à $-$ → maximum local $f(1) = \frac{1}{2}$ → Points : minimum en $(-1,-\frac{1}{2})$, maximum en $(1,\frac{1}{2})$ ## VI. Variation of a function (Interpretation of the sign of f'(x))/Table of variation of a function ### Définition > Le tableau de variation d'une fonction dérivable $f$ sur un intervalle indique les intervalles où $f$ est strictement croissante ($f'(x) > 0$) ou strictement décroissante ($f'(x) < 0$), en s'appuyant sur les signes de la dérivée première. > **À retenir** : Le tableau de variation se construit en : 1. Trouvant les points où $f'(x)=0$ ou $f'$ non définie (points critiques). 2. Faisant un tableau de signes de $f'$ sur les intervalles définis par ces points. 3. En déduisant la variation de $f$ : $f' > 0$ → croissante, $f' < 0$ → décroissante. ### Exemple résolu Étudier la variation de $f(x) = \frac{x^2}{x-1}$, $D_f = \mathbb{R} \setminus \{1\}$. $f'(x) = \frac{(2x)(x-1) - x^2(1)}{(x-1)^2} = \frac{2x^2 - 2x - x^2}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2x}{(x-1)^2} = \frac{x(x-2)}{(x-1)^2}$ Le dénominateur $(x-1)^2 > 0$ pour tout $x \neq 1$ → le signe de $f'$ dépend du numérateur $x(x-2)$. Tableau de signes de $x(x-2)$ : - $x<0$ : $x<0$, $(x-2)<0$ → produit $>0$ - $0<x<2$ : $x>0$, $(x-2)<0$ → produit $<0$ - $x>2$ : $x>0$, $(x-2)>0$ → produit $>0$ Points critiques : $x=0$, $x=2$ (où $f'=0$), et $x=1$ (où $f'$ non définie). Tableau de variation : | $x$ | $-\infty$ | $0$ | $1$ | $2$ | $+\infty$ | |-------------|-----------|-----------|-----------|-----------|-----------| | $f'(x)$ | $+$ | $0$ | $-$ | $-$ | $0$ | $+$ | | $f(x)$ | $\nearrow$ | max loc | $\searrow$ | asymptote vert. | $\searrow$ | min loc | $\nearrow$ | Valeurs : $f(0) = 0$ $f(2) = \frac{4}{1} = 4$ $\lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty$, $\lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty$ > **À retenir** : Le tableau de variation permet de visualiser l'évolution de la fonction et de localiser les extrema et les comportements asymptotiques. ### Exercices d'application corrigés 1. $f(x) = x + \frac{4}{x}$, $D_f = \mathbb{R} \setminus \{0\}$ $f'(x) = 1 - \frac{4}{x^2} = \frac{x^2 - 4}{x^2}$ Signe de $f'$ dépend de $x^2-4 = (x-2)(x+2)$ Points critiques : $x=-2, 0, 2$ Tableau de signes de $f'$ : - $x<-2$ : $(+)$ → $f'>0$ - $-2<x<0$ : $(-)$ → $f'<0$ - $0<x<2$ : $(-)$ → $f'<0$ - $x>2$ : $(+)$ → $f'>0$ Tableau de variation : | $x$ | $-\infty$ | $-2$ | $0$ | $2$ | $+\infty$ | |-------------|-----------|-----------|-----------|-----------|-----------| | $f'(x)$ | $+$ | $0$ | $-$ | $-$ | $0$ | $+$ | | $f(x)$ | $\nearrow$ | min loc | $\searrow$ | asymptote vert. | $\searrow$ | max loc | $\nearrow$ | $f(-2) = -2 + \frac{4}{-2} = -2-2=-4$ $f(2) = 2 + \frac{4}{2} = 2+2=4$ 2. $f(x) = e^{-x^2}$ $f'(x) = -2x e^{-x^2}$ Signe de $f'$ opposé au signe de $x$ (puisque $e^{-x^2}>0$) → $f'(x) > 0$ si $x<0$, $f'(x) < 0$ si $x>0$ Point critique : $x=0$ Tableau de variation : | $x$ | $-\infty$ | $0$ | $+\infty$ | |-------------|-----------|-----------|-----------| | $f'(x)$ | $+$ | $0$ | $-$ | | $f(x)$ | $\nearrow$ | max loc | $\searrow$ | $f(0)=1$ → maximum global en $(0,1)$ ## VII. Study of position of curve with respect to a line/Infinite branches ### Définition > On étudie la position de la courbe $y=f(x)$ par rapport à une droite donnée $y = mx + p$ en analysant le signe de la différence $f(x) - (mx + p)$. > Si $f(x) - (mx+p) > 0$ → la courbe est au-dessus de la droite. > Si $f(x) - (mx+p) < 0$ → la courbe est en dessous. > Les branches infinies correspondent au comportement de la courbe lorsque $x \to \pm\infty$, souvent lié aux asymptotes. > **À retenir** : Pour comparer une courbe à une droite, on étudie le signe de $f(x) - (mx+p)$ ; ses zéros donnent les points d'intersection, son signe donne la position relative. ### Exemple résolu Étudier la position de la courbe $y = x^3 - 3x$ par rapport à la droite $y = 2x$. Calculer la différence : $f(x) - 2x = (x^3 - 3x) - 2x = x^3 - 5x = x(x^2 - 5)$ Zéros : $x=0$, $x=\sqrt{5}$, $x=-\sqrt{5}$ Tableau de signes de $x(x^2-5)$ : - $x < -\sqrt{5}$ : $x<0$, $(x^2-5)>0$ → produit $<0$ → courbe sous la droite - $-\sqrt{5} < x < 0$ : $x<0$, $(x^2-5)<0$ → produit $>0$ → courbe au-dessus - $0 < x < \sqrt{5}$ : $x>0$, $(x^2-5)<0$ → produit $<0$ → courbe sous - $x > \sqrt{5}$ : $x>0$, $(x^2-5)>0$ → produit $>0$ → courbe au-dessus Branches infinies : - Quand $x \to -\infty$ : $x^3 - 5x \sim x^3 \to -\infty$ → $f(x) - 2x