SÉQ. 12 Valorisation des déchets de l’environnement de l’Homme

# SÉQ. 12 Valorisation des déchets de l’environnement de l’Homme ## Objectifs et prérequis **Objectifs :** À l’issue de ce chapitre, l’élève sera capable de : - Définir la valorisation des déchets et distinguer ses différentes formes (recyclage, réutilisation, valorisation énergétique, compostage). - Expliquer les principes et les étapes du recyclage des papiers et des plastiques, en identifiant les types de polymères concernés et leurs propriétés. - Analyser les avantages environnementaux, économiques et sociaux de la valorisation des déchets. - Décrire le processus d’intégration en mathématiques (intégrale définie et indéfinie) et appliquer les règles d’intégration de base. - Calculer des intégrales simples (fonctions polynomiales, exponentielles, trigonométriques de base) et interpréter leur signification géométrique (aire sous une courbe). - Résoudre des problèmes d’application liés à la valorisation des déchets (taux de recyclage, économies de matières premières) et à l’intégration (aires, volumes de révolution simples). - Utiliser la notation scientifique appropriée et respecter les conventions d’écriture des formules. **Prérequis :** - Notions de chimie générale : états de la matière, liaisons chimiques, polymères de base (ex. : polyéthylène, polypropylène, cellulose). - Notions de physique : énergie, travail, puissance. - Maîtrise du calcul différentiel : dérivées des fonctions usuelles (polynomiales, exponentielles, trigonométriques). - Notions de géométrie : aire d’une surface plane, volume d’un solide de révolution (notion intuitive). - Capacité à manipuler des expressions algébriques et à résoudre des équations du premier et du second degré. --- ## Introduction La gestion des déchets constitue un défi majeur pour les sociétés modernes, notamment en raison de l’augmentation constante de la consommation et de la production. Au Cameroun, comme dans de nombreux pays en développement, la quantité de déchets solides urbains (DSU) générés par habitant augmente, mettant sous pression les systèmes de collecte et d’élimination. Toutefois, les déchets ne sont pas uniquement un fardeau : ils représentent également une ressource potentielle lorsqu’ils sont soumis à des processus de valorisation. La valorisation des déchets consiste à leur donner une seconde vie, soit sous forme de matière première secondaire (recyclage), soit sous forme d’énergie (valorisation énergétique), soit sous forme de produit utile (compostage, réutilisation). Ce chapitre aborde deux thématiques complémentaires : d’une part, la valorisation concrète des déchets de papiers et de plastiques, matériaux omniprésents dans notre environnement quotidien ; d’autre part, l’apprentissage de l’intégration en mathématiques, outil fondamental permettant de quantifier des phénomènes physiques liés à l’environnement, tels que l’accumulation de déchets dans un espace donné ou le calcul d’aires et de volumes associés à des installations de traitement. L’intégration, en tant qu’opération inverse de la dérivation, permet de passer d’un taux de variation (ex. : flux de déchets par jour) à une quantité totale (ex. : masse de déchets accumulée sur un mois). Cette dualité entre sciences de la vie et de la Terre et mathématiques appliquées illustre l’interdisciplinarité nécessaire pour répondre aux défis du développement durable. --- ## I. Séance 30 : Valorisation des déchets (papiers, plastiques) et avantages ### A. Définition et principes de la valorisation des déchets > **La valorisation des déchets est l’ensemble des procédés permettant de transformer des déchets en produits, matières premières ou énergie utilisables, afin d’éviter leur élimination pure et simple (en décharge ou par incinération sans récupération d’énergie).** La valorisation s’inscrit dans la hiérarchie du traitement des déchets, qui privilégie, dans l’ordre : la prévention, la réutilisation, le recyclage, la valorisation énergétique, et enfin l’élimination. Elle vise à réduire l’impact environnemental lié à l’extraction de ressources vierges, à diminuer les émissions de gaz à effet de serre, et à préserver les espaces naturels. On distingue principalement trois formes de valorisation : - **Le recyclage matière** : transformation des déchets en nouvelles matières premières secondaires (ex. : papier recyclé, granulés de plastique). - **La valorisation énergétique** : conversion des déchets en chaleur, électricité ou carburants (ex. : incinération avec récupération d’énergie, pyrolyse). - **Le compostage et la méthanisation** : transformation biologique des déchets organiques en amendement sols ou en biogaz. Dans cette séance, nous nous concentrons sur le recyclage matière des papiers et des plastiques, deux flux majeurs des déchets solides urbains. ### B. Valorisation du papier : du déchet à la matière première secondaire #### 1. Composition et propriétés du papier Le papier est principalement constitué de **cellulose**, un polysaccharide linéaire formé par l’enchaînement de unités de glucose liées par des liaisons β(1→4). Il provient majoritairement de fibres végétales (bois, mais aussi chanvre, lin, ou fibres de récupération). Selon sa qualité et son usage, le papier peut contenir des charges (carbonate de calcium, kaolin), des additifs (colle, agents de blanchiment), et des encres. > **La cellulose est un polymère naturel, biodégradable, renouvelable, et constitue la principale composante recyclable du papier.** #### 2. Étapes du recyclage du papier Le recyclage du papier suit un processus en plusieurs étapes : 1. **Collecte et tri** : les papiers usagés sont collectés séparément (bacs bleus, points d’apport volontaire) puis triés selon leur type (journaux, magazines, cartons, papiers de bureau) et leur niveau de contamination (encres, plastiques, alimentaires). 2. **Broyage et pulpage** : le papier trié est mélangé à de l’eau dans un pulpeur, où il est désintégré en fibres individuelles. Cette suspension s’appelle la **pâte**. 3. **Épuration** : la pâte subit des opérations de nettoyage pour éliminer les contaminants : - **Écrinage** : retrait des plastiques et agrafes par tamisage. - **Désencrage** : élimination des encres par flottation (injection d’air et de surfactants) ou lavage. - **Épuration par centrifugation** : retrait des charges lourdes (sables, métaux). 4. **Blanchiment (optionnel)** : pour produire du papier blanc, la pâte peut être traitée avec des agents comme le peroxyde d’hydrogène ou l’oxygène (méthodes sans chlore). 5. **Formation de la feuille** : la pâte épurée est étalée sur un tamis tournant, égouttée, pressée, puis séchée par des cylindres chauffés. 6. **Finition** : le papier obtenu peut être calandré (lissé), enduit, ou roulé en bobines pour être réutilisé dans l’industrie papetière. #### 3. Avantages du recyclage du papier - **Économie de ressources naturelles** : la production d’une tonne de papier recyclé permet d’économiser environ 17 arbres, 26 m³ d’eau, et 4 000 kWh d’énergie par rapport à la production à partir de bois vierge. - **Réduction des émissions de CO₂** : le recyclage évite l’émission d’environ 1,5 tonne de CO₂ par tonne de papier produite, du fait de l’évitement de l’abattage, du transport du bois, et de la moindre consommation énergétique. - **Diminution du volume des déchets en décharge** : le papier représente environ 25 % du poids des déchets ménagers ; son recyclage allège considérablement la charge des sites d’enfouissement. - **Création d’emplois** : la chaîne du recyclage (collecte, tri, traitement) génère des emplois locaux, souvent dans l’économie sociale et solidaire. #### 4. Exemple résolu : calcul de l’économie de bois grâce au recyclage **Exercice :** Une usine de recyclage du papier traite 500 tonnes de papiers usagés par mois. Sachant qu’une tonne de papier recyclé permet d’économiser 17 arbres, combien d’arbres sont sauvegardés en un an ? **Solution :** Économie mensuelle d’arbres = 500 tonnes × 17 arbres/tonne = 8 500 arbres. Économie annuelle = 8 500 arbres/mois × 12 mois = **102 000 arbres**. > **À retenir :** Le recyclage d’une tonne de papier permet d’économiser environ 17 arbres, 26 m³ d’eau et 4 000 kWh d’énergie. #### 5. Exercices d’application corrigés **Exercice 1 :** Un lycée produit 120 kg de papiers de bureau usagés par semaine. Si 75 % de ces papiers sont récupérés pour le recyclage, quelle masse de papier est effectivement recyclée en une année (52 semaines) ? **Solution :** Masse hebdomadaire récupérée = 120 kg × 0,75 = 90 kg. Masse annuelle = 90 kg/semaine × 52 semaines = 4 680 kg = **4,68 tonnes**. **Exercice 2 :** Le recyclage d’une tonne de papier permet d’économiser 4 000 kWh d’énergie. Une centrale électrique produit de l’énergie avec un rendement de 35 %. Quelle quantité de charbon (PCI = 24 MJ/kg) faudrait-il brûler pour produire la même quantité d’énergie qu’économisée par le recyclage de 2 tonnes de papier ? **Solution :** Énergie économisée = 2 tonnes × 4 000 kWh/tonne = 8 000 kWh. Conversion en joules : 8 000 kWh × 3,6 × 10⁶ J/kWh = 2,88 × 10¹⁰ J. Énergie réellement fournie par le charbon (rendement 35 %) : Énergie chimique nécessaire = (2,88 × 10¹⁰ J) / 0,35 = 8,23 × 10¹⁰ J. Masse de charbon = (8,23 × 10¹⁰ J) / (24 × 10⁶ J/kg) = 3 429 kg ≈ **3,43 tonnes**. --- ### C. Valorisation du plastique : défis et procédés de recyclage #### 1. Composition et identification des plastiques Les plastiques sont des polymères synthétiques, principalement dérivés du pétrole ou du gaz naturel. Ils sont constitués de longues chaînes de monomères répétés. Leur diversité chimique entraîne des propriétés variées (rigidité, flexibilité, résistance à la chaleur, perméabilité). Pour faciliter le tri et le recyclage, un système de codage international a été établi (résine identification code, RIC) : | Code RIC | Polymère | Nom courant | Usages typiques | |----------|----------|-------------|-----------------| | 1 | PET | Polyéthylène téréphtalate | Bouteilles d’eau, boissons gazeuses | | 2 | PEHD | Polyéthylène haute densité | Bouteilles de lait, produits ménagers | | 3 | PVC | Polychlorure de vinyle | Tuyaux, câbles, revêtements de sol | | 4 | PEBD | Polyéthylène basse densité | Sacs plastiques, films alimentaires | | 5 | PP | Polypropylène | Bouchons, barquettes, tissus techniques | | 6 | PS | Polystyrène | Vaisselle jetable, isolants, emballages alimentaires | | 7 | AUTRES | Autres polymères (ex. : PC, ABS, nylon) | Couches, appareils électroniques, pièces automobiles | > **Le tri par type de polymère est essentiel au recyclage mécanique des plastiques, car la plupart des polymères ne sont pas mutuellement miscibles à l’état fondu.** #### 2. Étapes du recyclage mécanique du plastique Le recyclage mécanique est le procédé le plus répandu pour les plastiques thermoplastiques (PET, PEHD, PP, etc.) : 1. **Collecte et tri** : les déchets plastiques sont collectés séparément (souvent par type de produit, ex. : bouteilles) puis triés par polymère (via séparation automatique : densité, spectroscopie NIR, ou tri manuel). 2. **Broyage** : les plastiques triés sont réduits en petits morceaux (paillettes ou flocons) de 5 à 10 mm de taille. 3. **Lavage** : les paillettes sont lavées à l’eau chaude avec des détergents pour éliminer les contaminants (saletés, étiquettes, résidus alimentaires). 4. **Séchage** : les paillettes lavées sont séchées par centrifugation ou air chaud. 5. **Extrusion et granulation** : les paillettes sèches sont fondues dans une extrudeuse, filtrées pour éliminer les impuretés, puis coupées en granulés réguliers (appelés *regrind* ou matière première secondaire). 6. **Transformation** : les granulés sont utilisés comme matière première dans des procédés de fabrication (injection, extrusion, soufflage) pour produire de nouveaux objets (bouteilles, fibres textiles, pièces automobiles, mobilier urbain). #### 3. Limites et alternatives au recyclage mécanique - **Dégradation des propriétés** : chaque cycle de fusion entraîne une légère dégradation thermique et oxydative du polymère (rupture de chaînes, formation de radicaux libres), réduisant la masse moléculaire et donc les propriétés mécaniques. Après 5 à 10 cycles, le plastique devient souvent inadapté à des usages techniques élevés. - **Contamination** : la présence de différents polymères, d’additifs incompatibles, ou de résidus organiques peut rendre le lot non recyclable. - **Plastiques non thermoplastiques** : les thermodurcissables (ex. : résines époxy, polyuréthanes) ne peuvent pas être fondus et recyclés mécaniquement. - **Alternatives** : - **Recyclage chimique** : dépolymerisation (ex. : méthanolysis du PET pour récupérer l’acide téréphtalique et le méthylène glycol) ou pyrolyse (production d’huiles, de gaz de synthèse). - **Valorisation énergétique** : incinération avec récupération d’énergie (utile pour les plastiques non recyclables, mais moins préférable que le recyclage matière). - **Biodégradabilité contrôlée** : utilisation de plastiques biodégradables (ex. : PLA, PHA) pour certaines applications à courte durée de vie. #### 4. Avantages du recyclage du plastique - **Économie de ressources fossiles** : la production d’une tonne de PET recyclé permet d’économiser environ 1,6 tonne de pétrole brut. - **Réduction des émissions de CO₂** : le recyclage du PET évite l’émission d’environ 1,5 à 2,0 tonnes de CO₂ par tonne de plastique produit, comparé à la production vierge. - **Diminution de la pollution** : le plastique représente une part importante des déchets marins ; son recyclage réduit les risques d’ingestion par la faune et de fragmentation en microplastiques. - **Création de valeur ajoutée** : les granulés de plastique recyclé peuvent être utilisés dans des produits à haute valeur (textiles techniques, pièces automobiles légères). #### 5. Exemple résolu : calcul de l’économie de pétrole grâce au recyclage du PET **Exercice :** Un centre de tri collecte 12 tonnes de bouteilles en PET par mois. Sachant que le recyclage d’une tonne de PET permet d’économiser 1,6 tonne de pétrole brut, quelle quantité de pétrole est économisée en une année ? **Solution :** Économie mensuelle de pétrole = 12 tonnes × 1,6 tonne PET⁻¹ = 19,2 tonnes. Économie annuelle = 19,2 tonnes/mois × 12 mois = **230,4 tonnes de pétrole brut**. > **À retenir :** Le recyclage d’une tonne de PET permet d’économiser environ 1,6 tonne de pétrole brut et d’éviter l’émission de 1,5 à 2,0 tonnes de CO₂. #### 6. Exercices d’application corrigés **Exercice 1 :** Une usine de recyclage du PEHD produit 800 kg de granulés par jour. Si le taux de perte lors du lavage et du séchage est de 8 %, quelle masse de plastique brut doit être traitée quotidiennement pour obtenir ce rendement ? **Solution :** Soit $ x $ la masse brute traitée. Après perte de 8 %, la masse récupérée est $ 0,92x $. On a : $ 0,92x = 800 $ kg → $ x = 800 / 0,92 ≈ 869,57 $ kg. Donc, il faut traiter environ **870 kg de plastique brut par jour**. **Exercice 2 :** Le polystyrène expansé (PSE) a une densité apparente de 20 kg/m³. Un camion de collecte peut transporter 15 m³ de déchets en vrac. Quelle masse de PSE peut-on transporter dans un tel camion ? **Solution :** Masse = densité × volume = 20 kg/m³ × 15 m³ = **300 kg**. **Exercice 3 :** Une bouteille en PET de 500 ml contient environ 25 g de plastique. Si un centre de recyclage traite 10 000 telles bouteilles par jour, quelle masse annuelle de PET est traitée (en supposant 300 jours de travail/an) ? **Solution :** Masse quotidienne = 10 000 × 25 g = 250 000 g = 250 kg. Masse annuelle = 250 kg/jour × 300 jours = 75 000 kg = **75 tonnes**. --- ## II. Séance 31 : Apprentissage de l’intégration ### A. Notion d’intégrale : définition et interprétation géométrique > **L’intégrale indéfinie d’une fonction $ f $ définie sur un intervalle $ I $ est l’ensemble de toutes ses primitives sur $ I $, notée $ \int f(x) \, dx $. Une primitive de $ f $ est une fonction $ F $ telle que $ F'(x) = f(x) $ pour tout $ x \in I $.** > **L’intégrale définie de $ f $ sur $ [a, b] $, notée $ \int_a^b f(x) \, dx $, représente l’aire signée délimitée par la courbe $ y = f(x) $, l’axe des $ x $, et les droites $ x = a $ et $ x = b $. Elle est égale à $ F(b) - F(a) $, où $ F $ est toute primitive de $ f $ sur $ [a, b] $ (théorème fondamental du calcul).** L’intégration est l’opération inverse de la dérivation. Alors que la dérivée mesure le taux de variation instantané d’une fonction, l’intégrale permet de reconstituer une quantité totale à partir de son taux de variation. Cette dualité est fondamentale en physique et en sciences de l’environnement : par exemple, si $ r(t) $ représente le débit de déchets (en kg/jour) entrant dans un site de stockage, alors la quantité totale de déchets accumulée entre $ t = a $ et $ t = b $ est donnée par $ \int_a^b r(t) \, dt $. ### B. Règles d’intégration de base Nous supposons connue la dérivation des fonctions usuelles. Les règles d’intégration s’en déduisent directement. #### 1. Intégrale d’une constante > **$ \int k \, dx = kx + C $, où $ k $ est une constante réelle et $ C $ est une constante d’intégration arbitraire.** *Justification :* la dérivée de $ kx $ est $ k $. #### 2. Intégrale d’une puissance de $ x $ > **Pour tout réel $ n \neq -1 $, $ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $.** *Justification :* la dérivée de $ \frac{x^{n+1}}{n+1} $ est $ x^n $. > **Cas particulier : $ n = -1 $** > $ \int \frac{1}{x} \, dx = \ln |x| + C $, pour $ x \neq 0 $. #### 3. Linéarité de l’intégrale > **Pour toute fonction $ f $ et $ g $ intégrables, et toute constante $ \alpha $, $ \beta $ :** > $ \int [\alpha f(x) + \beta g(x)] \, dx = \alpha \int f(x) \, dx + \beta \int g(x) \, dx $. Cette propriété permet d’intégrer terme à terme les sommes et différences de fonctions. #### 4. Intégrale de l’exponentielle > **$ \int e^x \, dx = e^x + C $.** > **Plus généralement, pour $ a > 0 $, $ a \neq 1 $ :** > $ \int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C $. *Justification :* la dérivée de $ e^x $ est $ e^x $ ; celle de $ \frac{a^x}{\ln a} $ est $ a^x $. #### 5. Intégrale des fonctions trigonométriques de base > **$ \int \sin x \, dx = -\cos x + C $.** > **$ \int \cos x \, dx = \sin x + C $.** > **$ \int \sec^2 x \, dx = \tan x + C $.** > **$ \int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C $.** *Justification :* ces résultats découlent des dérivées connues : $ \frac{d}{dx}(-\cos x) = \sin x $, etc. #### 6. Changement de variable (substitution simple) > **Si $ u = g(x) $ est dérivable et $ f $ est continue sur l’image de $ g $, alors :** > $ \int f(g(x)) g'(x) \, dx = \int f(u) \, du $. Cette règle permet de simplifier l’intégration de fonctions composées lorsque le dérivé de la fonction intérieure apparaît (à un facteur près). ### C. Intégrales définies : calcul et propriétés > **L’intégrale définie $ \int_a^b f(x) \, dx $ se calcule en trouvant une primitive $ F $ de $ f $, puis en évaluant $ F(b) - F(a) $. On écrit :** > $ \int_a^b f(x) \, dx = \big[ F(x) \big]_a^b = F(b) - F(a) $. #### Propriétés des intégrales définies 1. **Additivité par rapport à l’intervalle :** $ \int_a^c f(x) \, dx = \int_a^b f(x) \, dx + \int_b^c f(x) \, dx $, pour $ a < b < c $. 2. **Réversion des bornes :** $ \int_b^a f(x) \, dx = -\int_a^b f(x) \, dx $. 3. **Intégrale sur un intervalle nul :** $ \int_a^a f(x) \, dx = 0 $. 4. **Comparaison :** Si $ f(x) \geq g(x) $ pour tout $ x \in [a, b] $, alors $ \int_a^b f(x) \, dx \geq \int_a^b g(x) \, dx $. 5. **Factorisation d’une constante :** $ \int_a^b k f(x) \, dx = k \int_a^b f(x) \, dx $. ### D. Exemples résolus étape par étape **Exemple 1 :** Calculer $ \int (3x^2 - 4x + 5) \, dx $. **Solution :** On applique la linéarité et la règle pour les puissances : $ \int 3x^2 \, dx = 3 \cdot \frac{x^{3}}{3} = x^3 $, $ \int (-4x) \, dx = -4 \cdot \frac{x^{2}}{2} = -2x^2 $, $ \int 5 \, dx = 5x $. On ajoute la constante d’intégration : $ \int (3x^2 - 4x + 5) \, dx = x^3 - 2x^2 + 5x + C $. **Exemple 2 :** Calculer $ \int_0^2 (x^3 + 2x) \, dx $. **Solution :** On trouve une primitive : $ \int (x^3 + 2x) \, dx = \frac{x^4}{4} + x^2 + C $. On évalue entre 0 et 2 : $ \left[ \frac{x^4}{4} + x^2 \right]_0^2 = \left( \frac{16}{4} + 4 \right) - (0 + 0) = (4 + 4) = 8 $. Donc, $ \int_0^2 (x^3 + 2x) \, dx = 8 $. **Exemple 3 :** Calculer $ \int e^{3x} \, dx $ par changement de variable. **Solution :** On pose $ u = 3x $, donc $ du = 3 \, dx $, ou $ dx = \frac{du}{3} $. Alors : $ \int e^{3x} \, dx = \int e^u \cdot \frac{du}{3} = \frac{1}{3} \int e^u \, du = \frac{1}{3} e^u + C = \frac{1}{3} e^{3x} + C $. **Exemple 4 :** Calculer $ \int_0^{\pi/2} \sin x \, dx $. **Solution :** Primitive de $ \sin x $ est $ -\cos x $. $ \int_0^{\pi/2} \sin x \, dx = \big[ -\cos x \big]_0^{\pi/2} = (-\cos(\pi/2)) - (-\cos(0)) = (0) - (-1) = 1 $. > **À retenir :** L’intégrale définie $ \int_a^b f(x) \, dx $ donne l’aire signée sous la courbe $ y = f(x) $ entre $ x = a $ et $ x = b $, et se calcule comme $ F(b) - F(a) $, où $ F $ est une primitive de $ f $. ### E. Exercices d’application corrigés **Exercice 1 :** Calculer $ \int (5x^4 - 3x^{-2} + 7) \, dx $. **Solution :** $ \int 5x^4 \, dx = 5 \cdot \frac{x^5}{5} = x^5 $, $ \int -3x^{-2} \, dx = -3 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} = 3x^{-1} = \frac{3}{x} $, $ \int 7 \, dx = 7x $. Donc, $ \int (5x^4 - 3x^{-2} + 7) \, dx = x^5 + \frac{3}{x} + 7x + C $. **Exercice 2 :** Calculer $ \int_1^4 \frac{1}{x} \, dx $. **Solution :** Primitive de $ \frac{1}{x} $ est $ \ln |x| $. $ \int_1^4 \frac{1}{x} \, dx = \big[ \ln x \big]_1^4 = \ln 4 - \ln 1 = \ln 4 - 0 = \ln 4 $. Donc, $ \int_1^4 \frac{1}{x} \, dx = \ln 4 $. **Exercice 3 :** Une usine émet des polluants à un débit donné par $ r(t) = 2 + 0,5t $ kg/jour, où $ t $ est le temps en jours depuis le début du mois. Quelle quantité totale de polluants est émise entre le jour 5 et le jour 15 ? **Solution :** Quantité totale = $ \int_5^{15} (2 + 0,5t) \, dt $. Primitive : $ \int (2 + 0,5t) \, dt = 2t + 0,5 \cdot \frac{t^2}{2} = 2t + 0,25t^2 $. Évaluation : $ \big[ 2t + 0,25t^2 \big]_5^{15} = (2\cdot15 + 0,25\cdot225) - (2\cdot5 + 0,25\cdot25) = (30 + 56,25) - (10 + 6,25) = 86,25 - 16,25 = 70 $. Donc, **70 kg** de polluants sont émis entre le jour 5 et le jour 15. **Exercice 4 :** Calculer $ \int_0^{\pi} \cos x \, dx $. **Solution :** Primitive de $ \cos x $ est $ \sin x $. $ \int_0^{\pi} \cos x \, dx = \big[ \sin x \big]_0^{\pi} = \sin \pi - \sin 0 = 0 - 0 = 0 $. L’aire nette est nulle car les aires positives et négatives s’annulent. **Exercice 5 :** On modélise l’accumulation de déchets plastiques dans une rivière par la fonction $ a(t) = 10e^{-0,1t} $ kg/jour, où $ t $ est en jours. Quelle quantité de déchets s’accumule entre $ t = 0 $ et $ t = 10 $ jours ? **Solution :** Quantité = $ \int_0^{10} 10e^{-0,1t} \, dt $. On pose $ u = -0,1t $, donc $ du = -0,1 \, dt $, ou $ dt = -10 \, du $. Lorsque $ t = 0 $, $ u = 0 $ ; lorsque $ t = 10 $, $ u = -1 $. Alors : $ \int_0^{10} 10e^{-0,1t} \, dt = 10 \int_{u=0}^{u=-1} e^u \cdot (-10) \, du = -100 \int_0^{-1} e^u \, du = -100 \big[ e^u \big]_0^{-1} = -100 (e^{-1} - e^0) = -100 \left( \frac{1}{e} - 1 \right) = 100 \left(1 - \frac{1}{e} \right) $. Valeur numérique : $ e \approx 2,718 $, donc $ 1/e \approx 0,368 $, $ 100 \times (1 - 0,368) = 100 \times 0,632 = 63,2 $. Donc, environ **63,2 kg** de déchets s’accumulent en 10 jours. > **À retenir :** L’intégrale permet de passer d’un débit (taux de variation) à une quantité totale accumulée sur un intervalle de temps. --- ## Synthèse du chapitre - La valorisation des déchets consiste à transformer les déchets en ressources (matière, énergie) plutôt qu’à les éliminer. - Le recyclage du papier permet d’économiser arbres, eau et énergie, et réduit les émissions de CO₂. - Le recyclage du plastique nécessite un tri par polymère (code RIC) pour éviter la contamination et préserver les propriétés du matériau. - Chaque cycle de recyclage mécanique du plastique entraîne une légère dégradation des propriétés ; le recyclage chimique offre une alternative pour certaines matières. - L’intégration est l’opération inverse de la dérivation ; elle permet de calculer des primitives et des aires sous des courbes. - Les règles d’intégration de base (constantes, puissances, exponentielles, trigonométriques) découlent directement des règles de dérivation. - L’intégrale définie $ \int_a^b f(x) \, dx $ se calcule comme $ F(b) - F(a) $, où $ F $ est une primitive de $ f $. - L’intégrale a des interprétations physiques essentielles : accumulation d’une quantité à partir de son débit (déchets, polluants, flux d’énergie). - Le changement de variable (substitution) est une technique puissante pour intégrer des fonctions composées. - La linéarité et l’additivité de l’intégrale permettent de décomposer des problèmes complexes en parties simples. --- ## Glossaire - **Cellulose** : polysaccharide linéaire constitué d’unités de glucose liées par des liaisons β(1→4), principal composant du papier. - **Polymère** : grande molécule formée par la répétition d’unités structurales appelées monomères. - **Recyclage matière** : procédé visant à transformer des déchets en nouvelles matières premières secondaires. - **Valorisation énergétique** : conversion des déchets en chaleur, électricité ou carburants. - **Code RIC (Resin Identification Code)** : système de codage international permettant d’identifier le type de polymère dans un plastique (de 1 à 7). - **Primitive** : fonction $ F $ telle que $ F'(x) = f(x) $ sur un intervalle donné. - **Intégrale indéfinie** : ensemble de toutes les primitives d’une fonction, notée $ \int f(x) \, dx $. - **Intégrale définie** : quantité $ \int_a^b f(x) \, dx $ représentant l’aire signée sous la courbe $ y = f(x) $ entre $ x = a $ et $ x = b $. - **Théorème fondamental du calcul** : établit que $ \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) $, où $ F $ est une primitive de $ f $. - **Changement de variable** : technique d’intégration consistant à remplacer $ x $ par une nouvelle variable $ u = g(x) $ pour simplifier l’intégrale. - **Constante d’intégration** : constante arbitraire $ C $ ajoutée à une primitive pour représenter l’ensemble de toutes les primitives. - **Aire signée** : aire entre une courbe et l’axe des $ x $, comptée positive au-dessus de l’axe et négative en dessous. --- *Fin du cours.*