C.A.5 : Lutte contre les complications liées à la grossesse et la stérilité

# C.A.5 : Lutte contre les complications liées à la grossesse et la stérilité ## Objectifs et prérequis **Objectifs** : À l’issue de cette séance, l’élève sera capable de : - Définir l’intégrale d’une fonction continue sur un intervalle fermé et borné ; - Énoncer et appliquer le théorème fondamental du calcul intégral ; - Calculer des intégrales définies à l’aide des primitives connues ; - Interpréter géométriquement l’intégrale définie comme aire sous une courbe ; - Résoudre des problèmes d’application liés à l’accumulation de quantités (ex. : travail, charge électrique, probabilité) ; - Utiliser les propriétés de linéarité, d’additivité et de changement de variable dans le calcul intégral. **Prérequis** : Maîtrise des notions suivantes : - Fonctions réelles d’une variable réelle : continuité, dérivabilité ; - Notion de primitive d’une fonction ; - Règles de dérivation (somme, produit, quotient, chaîne) ; - Notions de limite et de continuité ; - Notation des intervalles et des ensembles de réels ; - Manipulation algébrique de base (factorisation, développement, simplification). --- ## Introduction L’intégration constitue l’opération inverse de la dérivation et permet de répondre à des questions d’accumulation : quelle quantité totale s’est accumulée sur un intervalle sachant le taux de variation instantané ? En physique, elle permet de calculer le travail d’une force variable, la charge totale traversée par un courant, ou la probabilité qu’une variable aléatoire tombe dans un certain intervalle. En biologie et en médecine, notamment dans le contexte du chapitre « Lutte contre les complications liées à la grossesse et la stérilité », l’intégration peut modéliser l’accumulation de substances hormonales dans le sang au cours du temps, l’exposition cumulative à un facteur de risque, ou encore la probabilité de survenue d’un événement complicationnel en fonction du temps de gestation. Bien que cette séance soit principalement mathématique, elle fournit les outils essentiels pour comprendre et exploiter des modèles quantitatifs en sciences de la vie et de la santé. Nous aborderons ici l’intégrale définie de fonctions continues, son lien avec la dérivation via le théorème fondamental du calcul, et ses propriétés de base, en insistant sur les exemples résolus et les exercices d’application. --- ## I. Intégrale définie d’une fonction continue ### Définition et interprétation géométrique Soit $ f $ une fonction définie et continue sur un intervalle fermé $[a, b]$, avec $ a < b $. On définit l’intégrale définie de $ f $ de $ a $ à $ b $ comme la limite des sommes de Riemann lorsque le pas de la subdivision tend vers zéro : $$ \int_a^b f(x) \, dx = \lim_{\| \mathcal{P} \| \to 0} \sum_{i=1}^n f(x_i^*) \Delta x_i $$ où $ \mathcal{P} = \{a = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b\} $ est une subdivision de $[a, b]$, $ \Delta x_i = x_i - x_{i-1} $, et $ x_i^* \in [x_{i-1}, x_i] $. > **À retenir** : L’intégrale définie $ \int_a^b f(x) \, dx $ représente l’aire signée entre la courbe $ y = f(x) $, l’axe des $ x $, et les droites $ x = a $ et $ x = b $. Elle est positive si $ f(x) \geq 0 $ sur $[a, b]$, négative si $ f(x) \leq 0 $, et peut être nulle si les aires positives et négatives s’annulent. ### Exemple 1 : Calcul direct d’une intégrale constante Calculer $ \int_1^4 3 \, dx $. **Solution** : La fonction $ f(x) = 3 $ est constante. Son intégrale sur $[1, 4]$ est égale à la hauteur fois la largeur : $$ \int_1^4 3 \, dx = 3 \times (4 - 1) = 3 \times 3 = 9. $$ Interprétation : aire d’un rectangle de hauteur 3 et de base 3. ### Exemple 2 : Intégrale d’une fonction linéaire Calculer $ \int_0^2 (2x + 1) \, dx $. **Solution** : On peut interpréter géométriquement : la courbe $ y = 2x + 1 $ est une droite. Sur $[0, 2]$, elle forme un trapèze avec l’axe des $ x $. - En $ x = 0 $ : $ y = 1 $ - En $ x = 2 $ : $ y = 5 $ Aire du trapèze : $ \dfrac{(1 + 5)}{2} \times 2 = 6 $. Alternativement, par linéarité (voir plus loin) : $$ \int_0^2 (2x + 1) \, dx = 2\int_0^2 x \, dx + \int_0^2 1 \, dx = 2 \cdot \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^2 + [x]_0^2 = 2 \cdot (2 - 0) + (2 - 0) = 4 + 2 = 6. $$ > **À retenir** : Pour une fonction linéaire $ f(x) = mx + p $, $ \int_a^b f(x) \, dx = m \cdot \frac{b^2 - a^2}{2} + p(b - a) $. ### Exercices d’application corrigés **Exercice 1** : Calculer $ \int_{-1}^2 (4 - x^2) \, dx $. **Solution** : $$ \int_{-1}^2 (4 - x^2) \, dx = \int_{-1}^2 4 \, dx - \int_{-1}^2 x^2 \, dx = 4 \cdot (2 - (-1)) - \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^2 = 4 \cdot 3 - \left( \frac{8}{3} - \left(-\frac{1}{3}\right) \right) = 12 - \left( \frac{9}{3} \right) = 12 - 3 = 9. $$ **Exercice 2** : Un réservoir reçoit de l’eau à un débit variable donné par $ r(t) = 2t + 1 $ litres par minute, où $ t $ est en minutes. Quelle quantité d’eau s’est accumulée entre $ t = 0 $ et $ t = 3 $ minutes ? **Solution** : La quantité totale est l’intégrale du débit sur l’intervalle de temps : $$ Q = \int_0^3 (2t + 1) \, dt = \left[ t^2 + t \right]_0^3 = (9 + 3) - (0 + 0) = 12 \text{ litres}. $$ --- ## II. Théorème fondamental du calcul intégral ### Énoncé et signification Le théorème fondamental du calcul établit un lien profond entre dérivation et intégration. Il comporte deux parties, mais nous nous concentrons ici sur celle qui permet le calcul effectif des intégrales définies. > **À retenir** (Théorème fondamental du calcul – partie 2) : > Si $ f $ est continue sur $[a, b]$ et si $ F $ est une primitive de $ f $ sur $[a, b]$ (c’est-à-dire que $ F'(x) = f(x) $ pour tout $ x \in [a, b] $), alors : > $$ > \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a). > $$ Cette formule permet de calculer une intégrale définie sans passer par les sommes de Riemann, à condition de connaître une primitive de la fonction intégrée. ### Remarque sur les primitives Une fonction $ f $ peut avoir une infinité de primitives, différant d’une constante. Cependant, dans la formule $ F(b) - F(a) $, cette constante se simplifie : si $ G(x) = F(x) + C $, alors $ G(b) - G(a) = (F(b) + C) - (F(a) + C) = F(b) - F(a) $. Le résultat est donc indépendant du choix de la primitive. ### Exemple 3 : Application du théorème fondamental Calculer $ \int_0^{\pi} \sin x \, dx $. **Solution** : On sait que la dérivée de $ -\cos x $ est $ \sin x $, donc une primitive de $ \sin x $ est $ F(x) = -\cos x $. $$ \int_0^{\pi} \sin x \, dx = \left[ -\cos x \right]_0^{\pi} = (-\cos \pi) - (-\cos 0) = -(-1) - (-1) = 1 + 1 = 2. $$ Interprétation : l’aire sous la courbe $ y = \sin x $ entre $ 0 $ et $ \pi $ vaut 2. ### Exemple 4 : Fonction polynomiale Calculer $ \int_1^3 (x^2 - 4x + 5) \, dx $. **Solution** : On cherche une primitive de $ x^2 - 4x + 5 $. - Primitive de $ x^2 $ : $ \frac{x^3}{3} $ - Primitive de $ -4x $ : $ -2x^2 $ - Primitive de $ 5 $ : $ 5x $ Donc $ F(x) = \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 5x $. $$ \int_1^3 (x^2 - 4x + 5) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 5x \right]_1^3 = \left( \frac{27}{3} - 2\cdot9 + 15 \right) - \left( \frac{1}{3} - 2\cdot1 + 5 \right) = (9 - 18 + 15) - \left( \frac{1}{3} - 2 + 5 \right) = 6 - \left( \frac{1}{3} + 3 \right) = 6 - \frac{10}{3} = \frac{18 - 10}{3} = \frac{8}{3}. $$ > **À retenir** : Pour calculer $ \int_a^b x^n \, dx $ avec $ n \neq -1 $, on utilise $ \left[ \frac{x^{n+1}}{n+1} \right]_a^b $. ### Exercices d’application corrigés **Exercice 3** : Calculer $ \int_0^2 (3x^2 - 2x + 4) \, dx $. **Solution** : Primitive : $ x^3 - x^2 + 4x $. $$ \left[ x^3 - x^2 + 4x \right]_0^2 = (8 - 4 + 8) - (0 - 0 + 0) = 12. $$ **Exercice 4** : Dans un modèle de diffusion d’un médicament dans le sang, la concentration résiduelle à l’instant $ t $ (en heures) est modélisée par $ C(t) = 5e^{-0,2t} $ mg/L. Quelle quantité totale de médicament a été éliminée entre $ t = 0 $ et $ t = 5 $ heures ? (On sait que l’élimination est proportionnelle à l’intégrale de la concentration.) **Solution** : On calcule $ \int_0^5 5e^{-0,2t} \, dt $. On sait que la primitive de $ e^{kt} $ est $ \frac{1}{k} e^{kt} $, donc celle de $ e^{-0,2t} $ est $ \frac{e^{-0,2t}}{-0,2} = -5e^{-0,2t} $. Donc primitive de $ 5e^{-0,2t} $ est $ 5 \cdot (-5e^{-0,2t}) = -25e^{-0,2t} $. $$ \int_0^5 5e^{-0,2t} \, dt = \left[ -25e^{-0,2t} \right]_0^5 = -25e^{-1} - (-25e^{0}) = -25/e + 25 = 25\left(1 - \frac{1}{e}\right) \approx 25(1 - 0,3679) \approx 25 \times 0,6321 \approx 15,80 \text{ mg·h/L}. $$ Cette valeur représente l’exposition cumulative (aire sous la courbe de concentration), liée à l’élimination totale. --- ## III. Propriétés de l’intégrale définie L’intégrale définie possède plusieurs propriétés utiles pour simplifier les calculs ou décomposer des problèmes complexes. ### 1. Linéarité > **À retenir** (Linéarité de l’intégrale) : > Pour toute fonction $ f, g $ continues sur $[a, b]$ et tout réel $ \lambda, \mu $ : > $$ > \int_a^b (\lambda f(x) + \mu g(x)) \, dx = \lambda \int_a^b f(x) \, dx + \mu \int_a^b g(x) \, dx. > $$ ### 2. Additivité par rapport à l’intervalle > **À retenir** (Additivité de l’intégrale) : > Si $ f $ est continue sur $[a, c]$ et si $ a < b < c $, alors : > $$ > \int_a^c f(x) \, dx = \int_a^b f(x) \, dx + \int_b^c f(x) \, dx. > $$ ### 3. Inversion des bornes > **À retenir** : > $$ > \int_b^a f(x) \, dx = -\int_a^b f(x) \, dx. > $$ > En particulier, $ \int_a^a f(x) \, dx = 0 $. ### 4. Comparaison > **À retenir** (Propriété de comparaison) : > Si $ f(x) \leq g(x) $ pour tout $ x \in [a, b] $, alors : > $$ > \int_a^b f(x) \, dx \leq \int_a^b g(x) \, dx. > $$ > En particulier, si $ f(x) \geq 0 $, alors $ \int_a^b f(x) \, dx \geq 0 $. ### Exemple 5 : Utilisation de la linéarité et de l’additivité Calculer $ \int_{-2}^2 (x^3 + |x|) \, dx $. **Solution** : On remarque que $ x^3 $ est une fonction impaire, et $ |x| $ est paire. Sur un intervalle symétrique $[-a, a]$ : - L’intégrale d’une fonction impaire est nulle. - L’intégrale d’une fonction paire vaut deux fois l’intégrale sur $[0, a]$. Donc : $$ \int_{-2}^2 x^3 \, dx = 0, \quad \int_{-2}^2 |x| \, dx = 2 \int_0^2 x \, dx = 2 \cdot \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^2 = 2 \cdot (2 - 0) = 4. $$ Ainsi, $ \int_{-2}^2 (x^3 + |x|) \, dx = 0 + 4 = 4 $. Alternativement, par linéarité : $$ \int_{-2}^2 (x^3 + |x|) \, dx = \int_{-2}^2 x^3 \, dx + \int_{-2}^2 |x| \, dx. $$ On calcule chaque terme séparément comme ci-dessus. ### Exercice 5 : Application de l’additivité Soit $ f $ une fonction telle que $ \int_0^3 f(x) \, dx = 7 $ et $ \int_3^5 f(x) \, dx = -2 $. Calculer $ \int_0^5 f(x) \, dx $. **Solution** : Par additivité : $$ \int_0^5 f(x) \, dx = \int_0^3 f(x) \, dx + \int_3^5 f(x) \, dx = 7 + (-2) = 5. $$ ### Exercice 6 : Utilisation de la comparaison Montrer que $ \int_0^1 \sqrt{1 + x^4} \, dx \leq \sqrt{2} $. **Solution** : Sur $[0, 1]$, on a $ x^4 \leq 1 $, donc $ 1 + x^4 \leq 2 $, et comme la racine carrée est croissante : $$ \sqrt{1 + x^4} \leq \sqrt{2}. $$ Par propriété de comparaison : $$ \int_0^1 \sqrt{1 + x^4} \, dx \leq \int_0^1 \sqrt{2} \, dx = \sqrt{2} \cdot (1 - 0) = \sqrt{2}. $$ --- ## Synthèse du chapitre - L’intégrale définie $ \int_a^b f(x) \, dx $ d’une fonction continue $ f $ sur $[a, b]$ représente l’aire signée sous la courbe $ y = f(x) $ entre $ x = a $ et $ x = b $. - Le théorème fondamental du calcul permet de calculer cette intégrale via une primitive : $ \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) $, où $ F' = f $. - Les primitives des fonctions usuelles sont connues : - $ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $ pour $ n \neq -1 $, - $ \int e^x \, dx = e^x + C $, - $ \int \sin x \, dx = -\cos x + C $, - $ \int \cos x \, dx = \sin x + C $. - L’intégrale est linéaire : $ \int (\lambda f + \mu g) = \lambda \int f + \mu \int g $. - Elle est additive par rapport à l’intervalle : $ \int_a^c f = \int_a^b f + \int_b^c f $ pour $ a < b < c $. - L’inversion des bornes change le signe : $ \int_b^a f = -\int_a^b f $. - Ces propriétés permettent de simplifier les calculs, d’interpréter géométriquement les résultats, et de modéliser des phénomènes d’accumulation en sciences (ex. : quantité de substance, travail, probabilité cumulative). --- ## Glossaire - **Intégrale définie** : Limite des sommes de Riemann, représentant l’aire signée sous une courbe sur un intervalle donné. - **Primitive** : Fonction dont la dérivée est égale à la fonction donnée sur un intervalle. - **Théorème fondamental du calcul** : Établit le lien entre dérivation et intégration, permettant le calcul des intégrales définies via les primitives. - **Fonction continue** : Fonction sans saut, ni trou, ni discontinuité sur son domaine d’étude. - **Linéarité de l’intégrale** : Propriété permettant de séparer l’intégrale d’une combinaison linéaire en combinaison linéaire d’intégrales. - **Additivité par rapport à l’intervalle** : Propriété permettant de scinder une intégrale sur un intervalle en somme d’intégrales sur des sous-intervalles. - **Fonction paire** : Fonction telle que $ f(-x) = f(x) $ ; son intégrale sur $[-a, a]$ vaut deux fois l’intégrale sur $[0, a]$. - **Fonction impaire** : Fonction telle que $ f(-x) = -f(x) $ ; son intégrale sur $[-a, a]$ vaut zéro. - **Somme de Riemann** : Approximation de l’intégrale par somme de aires de rectangles sur une subdivision de l’intervalle. - **Pas d’une subdivision** : Longueur du plus grand sous-intervalle dans une partition de $[a, b]$. - **Aire signée** : Aire entre la courbe et l’axe des $ x $, comptée positive au-dessus de l’axe, négative en dessous. - **Constante d’intégration** : Constante additive dans l’expression d’une primitive, qui disparaît dans le calcul d’une intégrale définie.