15 : Valorisation des déchets de L’Environnement de l’Homme

# 15 : Valorisation des déchets de L’Environnement de l’Homme ## Objectifs et prérequis Ce chapitre vise à comprendre les principes de la valorisation des déchets, en particulier des déchets papiers et plastiques, à travers des processus de recyclage et de transformation. Il s'agit d'appliquer des notions d'intégration (calcul différentiel et intégral) pour modéliser des phénomènes liés à la gestion des déchets, tels que les taux de dégradation, les rendements de recyclage ou les flux de matière dans des systèmes ouverts. **Prérequis :** - Maîtrise des techniques d'intégration : intégrales simples, par parties, par substitution. - Connaissances de base en chimie des polymères (cellulose, polyéthylène, polypropylène). - Notions de bilan de matière et de rendement en procédés industriels. - Capacité à interpréter des graphiques de variation (vitesse de réaction, concentration en fonction du temps). --- ## Introduction La valorisation des déchets constitue un enjeu majeur du développement durable. Elle consiste à transformer des déchets, considérés comme des résidus sans valeur, en ressources utilisables grâce à des procédés de recyclage, de compostage ou de transformation énergétique ou matérielle. Dans ce chapitre, nous étudions deux filières importantes : la valorisation des déchets papiers (séance 45) et celle des déchets plastiques (séance 46). Nous y intégrons des outils mathématiques (séances 44 et 47) pour modéliser les rendements, les vitesses de transformation et les bilans de matière associés à ces procédés. L’objectif est de passer d’une approche descriptive à une approche quantitative, permettant d’évaluer l’efficacité environnementale et économique des filières de valorisation. --- ## I. Séance 44 : Apprentissage de l’intégration CA 11 ### Notions clés : Intégrales définies et applications aux grandeurs physiques L’intégrale définie d’une fonction $f(x)$ sur un intervalle $[a, b]$ représente l’aire sous la courbe de $f$ entre $a$ et $b$. Elle permet de calculer des grandeurs cumulées : quantité totale de matière transformée, énergie consommée, masse de déchet traitée sur une période. > **Définition** : L’intégrale définie de $f$ sur $[a, b]$ est notée $\int_a^b f(x) \, dx$ et vaut $F(b) - F(a)$, où $F$ est une primitive de $f$ (c’est-à-dire $F'(x) = f(x)$). ### Exemple 1 : Calcul de la masse totale de papier recyclé sur une semaine Une usine de recyclage traite du papier à un débit variable donné par $r(t) = 20 + 5\sin\left(\frac{\pi t}{12}\right)$ kg/h, où $t$ est le temps en heures depuis le début de la semaine ($0 \leq t \leq 168$). **Question** : Quelle masse totale de papier est traitée durant la semaine ? **Résolution** : $$ M = \int_0^{168} r(t) \, dt = \int_0^{168} \left(20 + 5\sin\left(\frac{\pi t}{12}\right)\right) dt $$ On sépare l’intégrale : $$ M = \int_0^{168} 20 \, dt + 5 \int_0^{168} \sin\left(\frac{\pi t}{12}\right) dt $$ Première partie : $$ \int_0^{168} 20 \, dt = 20 \times 168 = 3360 \text{ kg} $$ Deuxième partie : on pose $u = \frac{\pi t}{12}$, donc $du = \frac{\pi}{12} dt$, $dt = \frac{12}{\pi} du$ Quand $t=0$, $u=0$ ; quand $t=168$, $u = \frac{\pi \cdot 168}{12} = 14\pi$ $$ \int_0^{168} \sin\left(\frac{\pi t}{12}\right) dt = \frac{12}{\pi} \int_0^{14\pi} \sin(u) \, du = \frac{12}{\pi} \left[ -\cos(u) \right]_0^{14\pi} = \frac{12}{\pi} \left( -\cos(14\pi) + \cos(0) \right) $$ Comme $\cos(14\pi) = \cos(0) = 1$ (puisque $14\pi$ est un multiple pair de $2\pi$) : $$ -\cos(14\pi) + \cos(0) = -1 + 1 = 0 $$ Donc : $$ M = 3360 + 5 \times 0 = 3360 \text{ kg} $$ > **À retenir** : L’intégrale d’une fonction périodique sur un nombre entier de périodes vaut zéro pour la partie sinusoïdale. Seul le terme constant contribue au total. ### Exercice 1 : Une usine de traitement des déchets plastiques reçoit des déchets à un débit $d(t) = 15 - 3e^{-0.05t}$ kg/h, où $t$ est en heures depuis le démarrage. Calculer la masse totale traitée durant les 24 premières heures. **Solution** : $$ M = \int_0^{24} \left(15 - 3e^{-0.05t}\right) dt = \left[ 15t - 3 \cdot \frac{e^{-0.05t}}{-0.05} \right]_0^{24} = \left[ 15t + 60 e^{-0.05t} \right]_0^{24} $$ À $t=24$ : $15 \times 24 + 60 e^{-1.2} = 360 + 60 \times 0.3012 \approx 360 + 18.07 = 378.07$ À $t=0$ : $0 + 60 e^{0} = 60$ $$ M = 378.07 - 60 = 318.07 \text{ kg} $$ **Réponse** : Environ 318 kg de déchets plastiques traités en 24 heures. --- ## II. Séance 45 : Valorisation des déchets papiers – TP 19 : Recyclage du papier en serviettes jetables, en papier hygiénique, en papier cadeau ### Notions clés : Cycle de vie du papier, taux de récupération, rendement de recyclage Le papier provient principalement de la cellulose des fibres végétales (bois, recyclage). Lors du recyclage, les fibres sont récupérées, déencrées, puis reformées. Cependant, à chaque cycle, les fibres s’altèrent et perdent de leur longueur et de leur résistance. On distingue : - **Papier vierge** : issu de bois neuf. - **Papier recyclé** : issu de fibres récupérées. - **Taux de récupération** : pourcentage de papier collecté destiné au recyclage. - **Rendement de recyclage** : masse de papier neuf obtenue par masse de papier usagé traité. > **Définition** : Le rendement de recyclage $\eta$ est défini par : > $$ > \eta = \frac{m_{\text{papier recyclé produit}}}{m_{\text{déchet papier collecté}}} \times 100\% > $$ > Il est généralement compris entre 70 % et 90 % selon la qualité du déchet et le procédé. ### Exemple 2 : Calcul du rendement dans une unité de fabrication de serviettes jetables Une unité collecte 500 kg de journaux usagés. Après traitement (tri, pulpage, déencrage, formation), elle produit 420 kg de serviettes jetables. **Question** : Quel est le rendement de recyclage ? **Résolution** : $$ \eta = \frac{420}{500} \times 100\% = 84\% $$ > **À retenir** : Un rendement de 84 % signifie que 16 % de la masse initiale est perdue sous forme de boues, d’encres retirées, ou de vapeur d’eau lors du séchage. ### Exercice 2 : Une usine produit du papier hygiénique à partir de déchets de bureau. Elle traite 1,2 tonne de papier de bureau et obtient 960 kg de produit fini. Calculer le rendement. Si l’usine souhaite produire 1,5 tonne de papier hygiénique, quelle masse de déchet doit-elle traiter, en supposant le même rendement ? **Solution** : $$ \eta = \frac{960}{1200} \times 100\% = 80\% $$ Pour produire 1500 kg avec $\eta = 80\%$ : $$ m_{\text{entrée}} = \frac{m_{\text{sortie}}}{\eta/100} = \frac{1500}{0.8} = 1875 \text{ kg} $$ **Réponse** : Rendement = 80 % ; masse de déchet nécessaire = 1875 kg. ### Tableau 1 : Comparaison des usages du papier recyclé selon la qualité des fibres | Type de produit papier | Qualité des fibres requise | Rendement typique | Exemples d’usage | |------------------------|----------------------------|-------------------|------------------| | Papier hygiénique | Moyenne à faible | 75–85 % | Serviettes, mouchoirs | | Papier cadeau | Moyenne | 80–90 % | Emballages légers | | Papier journal | Faible | 85–95 % | Recyclage en boucle fermée | | Papier bureautique | Élevée | 60–75 % | Nécessite apport de fibres vierges | > **À retenir** : Plus le produit final exige de résistance et de blancheur, plus le rendement de recyclage est faible et plus il faut mélanger avec des fibres vierges. --- ## III. Séance 46 : Avantages de la valorisation des déchets – TP 20 : Recyclage des déchets plastiques en bouteilles recyclées – Transformation des déchets plastiques en pavés ### Notions clés : Polymères thermoplastiques, identification, procédés de recyclage mécanique Les déchets plastiques les plus courants sont le PET (bouteilles d’eau), le PEHD (flacons de lessive), le PP (bouchons, barquettes), et le PS (emballages alimentaires). Le recyclage mécanique consiste à : trier → broyer → laver → fondre → regranuler → reformer. > **Définition** : Le recyclage mécanique des plastiques préserve la structure chimique du polymère. Il permet de produire des secondaires (flocons, granulés) utilisés pour fabriquer de nouveaux objets. ### Exemple 3 : Recyclage du PET en bouteilles Une tonne de bouteilles PET usagées est collectée. Après tri et lavage, 850 kg de flocons purs sont obtenus. Ces flocons sont fondus et reformés en nouvelles bouteilles, donnant 780 kg de bouteilles PET recyclées. **Question** : Calculer le rendement global du procédé (collecte → bouteille neuve). **Résolution** : $$ \eta_{\text{global}} = \frac{780}{1000} \times 100\% = 78\% $$ On peut aussi décomposer : - Rendement de préparation : $\frac{850}{1000} = 85\%$ - Rendement de reformage : $\frac{780}{850} \approx 91,8\%$ - Produit : $0,85 \times 0,918 \approx 0,78$ > **À retenir** : Les pertes proviennent des étiquettes, de la colle, des boues de lavage, et de la dégradation thermique légère du PET lors de la fusion. ### Exemple 4 : Transformation des déchets plastiques en pavés Un procédé innovant consiste à mélanger des déchets plastiques variés (PE, PP, PS) non triés avec du sable et à chauffer le mélange pour obtenir un matériau composite utilisé en revêtement de sol (pavés). On considère qu’une formulation contient 30 % en masse de plastique déchets et 70 % de sable. La densité du plastique est d’environ 0,9 g/cm³, celle du sable de 1,6 g/cm³. **Question** : Calculer la densité théorique du composite. **Résolution** : On utilise la règle des mélanges pour la densité (en supposant pas de retrait de volume) : $$ \rho_{\text{composite}} = \sum \phi_i \rho_i $$ où $\phi_i$ est la fraction volumique. Mais on a les fractions massiques. On convertit : Soit 1 kg de composite : - Masse plastique : 0,3 kg → volume $V_p = \frac{0,3}{0,9} = 0,333$ L - Masse sable : 0,7 kg → volume $V_s = \frac{0,7}{1,6} = 0,4375$ L - Volume total : $0,333 + 0,4375 = 0,7705$ L - Masse totale : 1 kg - Donc densité : $\rho = \frac{1}{0,7705} \approx 1,298$ g/cm³ > **À retenir** : La densité du composite est intermédiaire entre celle du plastique et celle du sable, mais plus proche du sable car il est majoritaire en masse et plus dense. ### Exercice 3 : Une usine transforme des déchets de PEHD en granulés. Elle traite 2,5 tonnes de déchets et obtient 2,1 tonnes de granulés purs. Après extrusion, elle produit 1,9 tonne de tuyaux en PEHD recyclé. a) Calculer le rendement de granulation. b) Calculer le rendement d’extrusion. c) Calculer le rendement global. **Solution** : a) $\eta_{\text{granulation}} = \frac{2100}{2500} \times 100\% = 84\%$ b) $\eta_{\text{extrusion}} = \frac{1900}{2100} \times 100\% \approx 90,5\%$ c) $\eta_{\text{global}} = \frac{1900}{2500} \times 100\% = 76\%$ ou $0,84 \times 0,905 \approx 0,76$ > **À retenir** : Le rendement global est le produit des rendements intermédiaires. Chaque étape génère des pertes (impuretés, dégradation, coupes). ### Tableau 2 : Avantages environnementaux de la valorisation des déchets plastiques | Type de valorisation | Énergie économisée (vs matière vierge) | Émission de CO₂ évitée | Déchet évité en décharge | |----------------------|----------------------------------------|-------------------------|---------------------------| | Recyclage PET en bouteille | ~60 % | ~1,5 t CO₂/t PET | 1 t de déchet évité | | Recyclage PEHD en tuyau | ~70 % | ~1,8 t CO₂/t PEHD | 1 t de déchet évité | | Transformation en pavés | ~40 % (substitution sable + plastique vierge) | ~0,8 t CO₂/t composite | 1 t de déchet évité + réduction extraction sable | > **À retenir** : Même lorsque le recyclage ne permet pas une boucle fermée (ex : pavés), il évite l’extraction de ressources vierges et réduit l’impact environnemental global. --- ## IV. Séance 47 : Apprentissage de l’intégration CA 11 et 12 ### Notions clés : Intégrales améliorées – intégration par parties et par substitution – applications aux bilans dynamiques Nous revisitons les techniques d’intégration pour modéliser des phénomènes où la vitesse de transformation dépend du temps ou de la concentration, comme dans la dégradation des déchets ou l’accumulation de produit dans un réacteur. > **Règle d’intégration par parties** : > $$ > \int u \, dv = uv - \int v \, du > $$ > Utile lorsque l’intégrande est un produit de deux fonctions dont une se simplifie en dérivant. > **Règle d’intégration par substitution** : > Si $x = g(t)$, alors $\int f(x) dx = \int f(g(t)) g'(t) dt$ > Utile pour linéariser une expression composée. ### Exemple 5 : Modélisation de la dégradation du papier en compostage Dans un composteur, la vitesse de dégradation de la cellulose du papier suit une loi du premier ordre : $$ \frac{dm}{dt} = -k m $$ où $m$ est la masse de papier restant (en kg), $k = 0,02$ j⁻¹ est la constante de dégradation. **Question** : Quelle masse de papier reste après 30 jours, sachant qu’on commence avec 10 kg ? **Résolution** : On sépare les variables : $$ \frac{dm}{m} = -k dt \quad \Rightarrow \quad \int \frac{dm}{m} = -k \int dt $$ $$ \ln m = -kt + C $$ À $t=0$, $m=10$ : $\ln 10 = C$ Donc : $$ \ln m = -kt + \ln 10 \quad \Rightarrow \quad m = 10 e^{-kt} $$ À $t=30$ j : $$ m = 10 \times e^{-0,02 \times 30} = 10 \times e^{-0,6} \approx 10 \times 0,5488 = 5,488 \text{ kg} $$ > **À retenir** : La loi d’exponentielle décroissante modélise bien la dégradation des matières organiques en absence de limitation. ### Exercice 4 : Dans un réacteur de dégradation anaérobie des déchets organiques, la vitesse de production de méthane est donnée par : $$ \frac{dV}{dt} = \frac{50}{1 + 0,1t} \quad \text{(en L/j)} $$ où $V$ est le volume cumulé de méthane produit. Calculer le volume total produit après 20 jours. **Solution** : $$ V = \int_0^{20} \frac{50}{1 + 0,1t} dt $$ On pose $u = 1 + 0,1t$, donc $du = 0,1 dt$, $dt = 10 du$ Quand $t=0$, $u=1$ ; quand $t=20$, $u=1+2=3$ $$ V = \int_1^3 \frac{50}{u} \cdot 10 du = 500 \int_1^3 \frac{du}{u} = 500 \left[ \ln u \right]_1^3 = 500 (\ln 3 - \ln 1) = 500 \ln 3 $$ $\ln 3 \approx 1,0986$, donc : $$ V \approx 500 \times 1,0986 = 549,3 \text{ L} $$ **Réponse** : Environ 549 L de méthane produits en 20 jours. > **À retenir** : L’intégration par substitution permet de traiter des vitesses rationnelles ou logarithmiques fréquentes en cinétique de réaction. ### Tableau 3 : Synthèse des techniques d’intégration et leurs applications en environnement | Technique | Condition d’usage | Exemple d’application | |---------|-------------------|------------------------| | Intégrale directe | $f(x)$ connue et élémentaire | Masse totale traitée = $\int \text{débit} \, dt$ | | Substitution | $f(g(t)) \cdot g'(t)$ | Intégration de $\frac{1}{at+b}$, $e^{kt}$ | | Parties | Produit $u \cdot v'$ où $u'$ simplifie | Intégration de $t e^{-kt}$, $\ln t$ | | Fractions simples | Fonction rationnelle | Décomposition de $\frac{1}{(t+a)(t+b)}$ | > **À retenir** : Le choix de la technique dépend de la forme de l’intégrande. L’objectif est de réduire à une forme connue. --- ## Synthèse du chapitre - La valorisation des déchets permet de transformer des résidus en ressources, réduisant l’extraction de matières vierges et l’enfouissement. - Le recyclage du papier implique un rendement typique de 70–90 %, limité par la dégradation des fibres à chaque cycle. - Le recyclage mécanique des plastiques (PET, PEHD, PP) permet de produire des secondaires, avec des rendements variant selon la pureté du déchet et le procédé. - La transformation des déchets plastiques en matériaux composites (ex : pavés) offre une valorisation même pour les plastiques difficiles à recycler en boucle fermée. - Les avantages environnementaux incluent l’économie d’énergie, la réduction des émissions de CO₂ et l’évitement de l’enfouissement. - L’intégration permet de modéliser les flux de matière (masse traitée, volume produit) et les vitesses de réaction (dégradation, production) dans les procédés de valorisation. - Les techniques d’intégration (directe, substitution, parties) sont essentielles pour résoudre les équations différentielles simples rencontrées en génie des procédés environnementaux. - Un bon bilan de matière nécessite de distinguer les rendements intermédiaires et le rendement global, qui est leur produit. --- ## Glossaire - **Valorisation des déchets** : Ensemble des procédés permettant de transformer des déchets en matières premières, en énergie ou en produits utilisables. - **Rendement de recyclage** : Rapport entre la masse de produit recyclé obtenu et la masse de déchet traité, exprimé en pourcentage. - **Fibres de cellulose** : Composant principal du papier, issu du bois ou du recyclage, permettant la cohésion du matériau lors de la reformage. - **Polymère thermoplastique** : Type de plastique pouvant être fondu et reformé plusieurs fois sans dégradation chimique significative (ex : PET, PEHD). - **Recyclage mécanique** : Procédé consistant à broyer, laver, fondre et regranuler des déchets plastiques pour produire des secondaires. - **Dégradation du premier ordre** : Modèle cinétique où la vitesse de réaction est proportionnelle à la quantité de substance restante ($dm/dt = -km$). - **Intégrale définie** : Opération mathématique permettant de calculer l’aire sous une courbe ou la somme continue d’une quantité variable sur un intervalle. - **Substitution** : Technique d’intégration consistant à changer de variable pour simplifier l’expression à intégrer. - **Intégration par parties** : Méthode basée sur la règle de dérivation d’un produit, utile pour intégrer des produits de fonctions. - **Composite plastique-sable** : Matériau obtenu par mélange et chauffage de déchets plastiques et de sable, utilisé en revêtement ou en construction. - **Bilan de matière** : Comptabilité des masses entrantes et sortantes dans un procédé, permettant de vérifier la conservation de la masse. - **Constant de dégradation (k)** : Paramètre cinétique caractérisant la vitesse de disparition d’une substance dans un modèle du premier ordre.