Equations de droites (partie 2/2)

## Objectifs et prérequis **Objectifs** : À la fin de ce chapitre, l’élève sera capable de - écrire l’équation cartésienne d’une droite lorsqu’on connaît son coefficient directeur et un point appartenant à la droite ; - déterminer, à partir de leurs équations, si deux droites sont parallèles, sécantes, confondues ou perpendiculaires ; - résoudre des problèmes géométriques simples en utilisant ces propriétés. **Prérequis** : - notion de coefficient directeur d’une droite (leçon précédente) ; - maîtrise du calcul avec les fractions et les nombres réels ; - capacité à résoudre une équation du premier degré à une inconnue. ## Introduction contextualisée Dans la vie quotidienne, on rencontre souvent des situations où il faut représenter une trajectoire, une route ou une frontière sous forme d’équation algébrique : un architecte trace la ligne de fuite d’un bâtiment, un géomètre détermine la frontière entre deux parcelles, un programmeur définit la trajectoire d’un objet dans un jeu vidéo. Toutes ces représentations passent par l’équation cartésienne d’une droite. Connaître le coefficient directeur (la pente) permet de savoir comment la droite s’incline par rapport à l’axe des abscisses, tandis qu’un point connu fixe son positionnement dans le plan. Ensuite, l’étude des positions relatives de deux droites (parallélisme, sécantes, perpendicularité) est essentielle pour résoudre des problèmes de géométrie analytique, notamment ceux qui apparaissent au BEPC. ## I. Équations cartésiennes d’une droite de coefficient directeur donné ### Définition et forme réduite > **Définition** : Une droite du plan munie d’un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j})$ s’écrit sous la forme réduite > $$y = ax + b$$ > où $a$ est le coefficient directeur (ou pente) et $b$ l’ordonnée à l’origine. Cette forme provient directement de la définition du coefficient directeur : pour deux points $M(x,y)$ et $M_0(x_0,y_0)$ appartenant à la droite, on a $$a = \frac{y-y_0}{x-x_0}\quad\text{si }x\neq x_0.$$ En isolant $y$, on obtient l’équation ci‑dessus. ### Dérivation de l’équation à partir d’un point et du coefficient directeur Soit une droite $d$ de coefficient directeur connu $a$ passant par le point $P(x_0,y_0)$. Pour tout point $M(x,y)$ de $d$, le vecteur $\vec{PM}$ est colinéaire avec le vecteur directeur $\vec{v} = (1;a)$. Donc il existe un réel $t$ tel que $$\vec{PM}=t\vec{v}\;\Longrightarrow\; \begin{cases} x-x_0 = t\\ y-y_0 = at \end{cases}$$ En éliminant $t$ ($t = x-x_0$) on obtient $$y-y_0 = a(x-x_0)\quad\Longrightarrow\quad y = ax + (y_0-ax_0).$$ Ainsi l’ordonnée à l’origine vaut $b = y_0-ax_0$. > **Règle à retenir** : L’équation cartésienne d’une droite de coefficient directeur $a$ passant par $P(x_0,y_0)$ est > $$\boxed{y = a(x-x_0)+y_0}\quad\text{ou}\quad\boxed{y = ax + (y_0-ax_0)}.$$ ### Exemples entièrement résolus **Exemple 1** : Trouver l’équation de la droite de coefficient directeur $a=2$ passant par $P(3,-1)$. *Solution* : En utilisant la forme $y = a(x-x_0)+y_0$ : $$y = 2(x-3)+(-1) = 2x-6-1 = 2x-7.$$ Donc l’équation recherchée est $\boxed{y = 2x-7}$. **Exemple 2** : Une droite $d$ a pour coefficient directeur $a=-\dfrac{3}{4}$ et passe par le point $P(-2,5)$. Déterminer son équation sous forme réduite. *Solution* : $$y = -\frac{3}{4}\bigl(x-(-2)\bigr)+5 = -\frac{3}{4}(x+2)+5.$$ On développe : $$y = -\frac{3}{4}x-\frac{3}{2}+5 = -\frac{3}{4}x+\frac{7}{2}.$$ Ainsi l’équation est $\boxed{y = -\frac{3}{4}x+\frac{7}{2}}$. > **À retenir** : Le terme constant $b$ s’obtient toujours par $b = y_0-ax_0$. ## II. Positions relatives de deux droites Soient deux droites $d_1$ et $d_2$ d’équations respectives $$d_1 : y = a_1x + b_1,\qquad d_2 : y = a_2x + b_2.$$ Leur position relative dépend des valeurs des coefficients directeurs $a_1,a_2$ et des ordonnées à l’origine $b_1,b_2$. ### Droites parallèles > **Définition** : Deux droites sont parallèles si elles n’ont aucun point commun, c’est‑à‑dire si leurs systèmes d’équations n’admettent aucune solution. Dans le cas des formes réduites, cela se traduit par $$a_1 = a_2\quad\text{et}\quad b_1 \neq b_2.$$ En effet, si les pentes sont égales, les droites ont la même direction ; si en plus leurs ordonnées à l’origine diffèrent, elles sont distinctes et ne se coupent jamais. **Exemple** : $d_1 : y = 3x+1$ et $d_2 : y = 3x-4$ sont parallèles car $a_1=a_2=3$ et $b_1\neq b_2$. ### Droites sécantes > **Définition** : Deux droites sont sécantes si elles possèdent exactement un point commun. Cela se produit lorsque leurs coefficients directeurs sont différents : $$a_1 \neq a_2.$$ Dans ce cas, on résout le système $$\begin{cases} y = a_1x+b_1\\ y = a_2x+b_2 \end{cases}$$ en égalant les deux secondes membres : $$a_1x+b_1 = a_2x+b_2 \;\Longrightarrow\; (a_1-a_2)x = b_2-b_1.$$ Comme $a_1\neq a_2$, on divise et on obtient l’abscisse du point d’intersection : $$x_I = \frac{b_2-b_1}{a_1-a_2},\qquad y_I = a_1x_I+b_1.$$ **Exemple** : $d_1 : y = 2x+3$ et $d_2 : y = -x+1$. Ici $a_1=2,\ a_2=-1\ (a_1\neq a_2)$. $$x_I = \frac{1-3}{2-(-1)} = \frac{-2}{3} = -\frac{2}{3},$$ $$y_I = 2\left(-\frac{2}{3}\right)+3 = -\frac{4}{3}+3 = \frac{5}{3}.$$ Le point d’intersection est $I\left(-\frac{2}{3},\frac{5}{3}\right)$. ### Droites confondues > **Définition** : Deux droites sont confondues lorsqu’elles possèdent exactement le même ensemble de points, autrement dit leurs équations sont identiques à un facteur multiplicatif près. Dans la forme réduite, cela implique $$a_1 = a_2\quad\text{et}\quad b_1 = b_2.$$ Exemple : $d_1 : y = -2x+5$ et $d_2 : 2y = -4x+10$ (après division par 2 on retrouve $y=-2x+5$) sont confondues. ### Droites perpendiculaires > **Définition** : Deux droites sont perpendiculaires si l’angle qu’elles forment vaut $90^\circ$. Dans un repère orthonormé, la condition se traduit par le produit de leurs coefficients directeur égal à $-1$ : $$a_1\cdot a_2 = -1.$$ Cette propriété résulte du fait que le vecteur directeur $(1;a)$ tourne de $90^\circ$ lorsqu’on le remplace par $(-a;1)$ (ou $(a;-1)$ selon le sens). **Exemple** : $d_1 : y = \frac{1}{2}x-4$ et $d_2 : y = -2x+7$. On vérifie $a_1a_2 = \frac{1}{2}\times(-2) = -1$, donc les droites sont perpendiculaires. ### Synthèse des cas | Relation entre $d_1$ et $d_2$ | Condition sur $a_1,a_2$ | Condition sur $b_1,b_2$ | |------------------------------|------------------------|------------------------| | Parallèles | $a_1 = a_2$ | $b_1 \neq b_2$ | | Sécantes | $a_1 \neq a_2$ | – (aucune condition) | | Confondues | $a_1 = a_2$ | $b_1 = b_2$ | | Perpendiculaires | $a_1 a_2 = -1$ | – | > **À retenir** : Pour décider rapidement de la position relative, comparez d’abord les pentes ; si elles sont égales, regardez les ordonnées à l’origine ; si le produit des pentes vaut $-1$, les droites sont perpendiculaires. ## Synthèse du chapitre - L’équation réduite d’une droite de coefficient directeur $a$ passant par $P(x_0,y_0)$ s’écrit $y = a(x-x_0)+y_0$ ou $y = ax + (y_0-ax_0)$. - Deux droites $y=a_1x+b_1$ et $y=a_2x+b_2$ sont : * parallèles si $a_1=a_2$ et $b_1\neq b_2$ ; * sécantes si $a_1\neq a_2$ ; * confondues si $a_1=a_2$ et $b_1=b_2$ ; * perpendiculaires si $a_1a_2=-1$. - Le point d’intersection de deux droites sécantes se trouve en résolvant $a_1x+b_1 = a_2x+b_2$, donnant $x_I=\frac{b_2-b_1}{a_1-a_2}$ et $y_I=a_1x_I+b_1$. ## Glossaire - **Coefficient directeur** : nombre $a$ représentant le rapport $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ d’une droite ; mesure de son inclinaison. - **Ordonnée à l’origine** : valeur $b$ telle que la droite coupe l’axe des ordonnées en $(0,b)$. - **Forme réduite** : écriture $y=ax+b$ d’une droite non verticale. - **Droites parallèles** : droites ayant même coefficient directeur mais ordonnées à l’origine différentes. - **Droites sécantes** : droites ayant des coefficients directeurs distincts ; elles se coupent en un point unique. - **Droites confondues** : droites dont les équations sont identiques (même pente et même ordonnée à l’origine). - **Droites perpendiculaires** : droites dont le produit des coefficients directeur vaut $-1$. - **Point d’intersection** : coordonnées $(x_I,y_I)$ solution commune du système formé par les deux équations. - **Vecteur directeur** : tout vecteur non nul parallèle à la droite ; on peut choisir $(1;a)$. ## Exercices d'application corrigés ### Exercice 1 Déterminer l’équation de la droite de coefficient directeur $a=-3$ passant par le point $P(4,2)$. **Corrigé** : On utilise $y = a(x-x_0)+y_0$ : $$y = -3(x-4)+2 = -3x+12+2 = -3x+14.$$ Donc l’équation est $\boxed{y = -3x+14}$. ### Exercice 2 Les droites $d_1 : y = \frac{1}{2}x-5$ et $d_2 : y = -2x+3$ sont‑elles perpendiculaires ? Justifier. **Corrigé** : On calcule le produit des coefficients directeur : $$a_1a_2 = \left(\frac{1}{2}\right)\times(-2) = -1.$$ Comme le produit vaut $-1$, les droites sont perpendiculaires. ### Exercice 3 Trouver le point d’intersection des droites $d_1 : y = 4x-7$ et $d_2 : y = -x+2$. **Corrigé** : Égalons les deux secondes membres : $$4x-7 = -x+2 \;\Longrightarrow\; 5x = 9 \;\Longrightarrow\; x = \frac{9}{5}.$$ On remplace dans l’une des équations, par exemple $d_1$ : $$y = 4\left(\frac{9}{5}\right)-7 = \frac{36}{5}-\frac{35}{5}= \frac{1}{5}.$$ Le point d’intersection est $I\left(\frac{9}{5},\frac{1}{5}\right)$. ### Exercice 4 Montrer que les droites $d_1 : y = 5x+1$ et $d_2 : y = 5x-8$ sont parallèles. **Corrigé** : Les deux droites ont le même coefficient directeur $a_1=a_2=5$. Leurs ordonnées à l’origine sont $b_1=1$ et $b_2=-8$, donc $b_1\neq b_2$. Par définition, deux droites ayant même pente et ordonnées à l’origine différentes sont parallèles. ### Exercice 5 Une droite $d$ passe par les points $A(-1,4)$ et $B(3,-2)$. 1. Calculer son coefficient directeur. 2. Écrire son équation sous forme réduite. **Corrigé** : 1. Le coefficient directeur est $$a = \frac{y_B-y_A}{x_B-x_A} = \frac{-2-4}{3-(-1)} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}.$$ 2. En utilisant le point $A(-1,4)$ dans $y = a(x-x_A)+y_A$ : $$y = -\frac{3}{2}\bigl(x-(-1)\bigr)+4 = -\frac{3}{2}(x+1)+4.$$ On développe : $$y = -\frac{3}{2}x-\frac{3}{2}+4 = -\frac{3}{2}x+\frac{5}{2}.$$ Ainsi l’équation réduite est $\boxed{y = -\frac{3}{2}x+\frac{5}{2}}$. ### Exercice 6 (défi) Les droites $d_1 : y = ax+3$ et $d_2 : y = 2x+b$ sont perpendiculaires et passent toutes deux par le point $P(2,7)$. Déterminer les réels $a$ et $b$. **Corrigé** : Comme $P$ appartient à chaque droite, on substitue ses coordonnées. Pour $d_1$ : $7 = a\cdot2+3 \;\Longrightarrow\; 2a = 4 \;\Longrightarrow\; a = 2.$ Pour $d_2$ : $7 = 2\cdot2+b \;\Longrightarrow\; 7 = 4+b \;\Longrightarrow\; b = 3.$ On vérifie la condition de perpendicularité : $a_1a_2 = a\cdot2 = 2\times2 = 4 \neq -1$. Il y a une contradiction : les valeurs obtenues ne satisfont pas la perpendicularité. Reprenons : la condition de perpendicularité doit être imposée **en même temps** que le passage par $P$. Nous avons deux inconnues $a,b$ et deux conditions : 1. $P\in d_1$ : $7 = 2a+3$ → $2a = 4$ → $a=2$. 2. $P\in d_2$ : $7 = 2\cdot2+b$ → $b=3$. 3. Perpendicularité : $a\cdot2 = -1$ → $2a = -1$ → $a=-\frac12$. Les trois équations sont incompatibles ; donc **aucun couple $(a,b)$ ne réalise simultanément** les trois exigences. Conclusion : il n’existe pas de telles droites. > **À retenir** : Lorsqu’on impose plusieurs conditions, il faut vérifier leur compatibilité avant de conclure. ## Erreurs fréquentes 1. **Confondre coefficient directeur et ordonnée à l’origine** : certains élèves écrivent $y = bx + a$ au lieu de $y = ax + b$. Rappel : $a$ multiplie $x$, $b$ est le terme constant. 2. **Oublier de vérifier la compatibilité des conditions** : comme dans l’exercice 6, imposer à la fois un point d’appartenance et une relation de perpendicularité peut conduire à un système sans solution. Toujours résoudre le système complet. 3. **Erreur de signe lors du calcul du coefficient directeur** : oublier de changer le signe lorsqu’on soustrait les coordonnées (ex. $\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$). Utiliser systématiquement la formule $\displaystyle a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$. 4. **Confondre droites parallèles et droites confondues** : croire que deux droites ayant la même pente sont forcément parallèles, alors qu’elles peuvent être confondues si leurs ordonnées à l’origine coïncident. Vérifier toujours $b_1=b_2$ pour la confusion. 5. **Mauvaise manipulation des fractions** : lors de la résolution $x_I=\frac{b_2-b_1}{a_1-a_2}$, certains oublient de mettre le dénominateur entre parenthèses et commettent des erreurs de signe. Écrire clairement $\displaystyle x_I=\frac{b_2-b_1}{a_1-a_2}$. 6. **Utiliser la forme réduite pour une droite verticale** : la forme $y=ax+b$ ne convient pas aux droites d’équation $x=c$. Rappeler que le coefficient directeur n’est pas défini pour une droite verticale. --- *Fin du cours.*