Section d'une pyramide ou d'un cône par un plan parallèle à la base

## Objectifs et prérequis **Objectifs** : À la fin de ce chapitre, l’élève sera capable de : - Déterminer la forme et les dimensions de la section d’un cône ou d’une pyramide par un plan parallèle à sa base. - Calculer le rayon (ou le côté) de la section, son aire ou son volume en fonction de la hauteur de coupe. - Démontrer les propriétés de similitude qui sous‑tendent ces résultats. - Résoudre des problèmes combinant cône et pyramide (activités d’intégration). **Prérequis** : - Notions de similitude de figures planes et solides (théorème de Thalès, rapports de longueurs, d’aires et de volumes). - Formules du volume d’un cône $V=\frac13\pi r^{2}h$ et d’une pyramide $V=\frac13 B h$ où $B$ est l’aire de la base. - Calcul d’aires de polygones réguliers et de cercles. > **À retenir** : La section d’un solide par un plan parallèle à sa base est toujours semblable à la base. --- ## Introduction contextualisée Dans la vie quotidienne, on rencontre souvent des objets tronqués : un cône de glace partiellement fondu, une pyramide de sable dont le sommet a été enlevé, un entonnoir coupé à mi‑hauteur. Ces situations modélisent exactement la **section d’un cône ou d’une pyramide par un plan parallèle à la base**. Comprendre comment les dimensions varient avec la hauteur de coupe permet de résoudre des problèmes de géométrie spatiale, d’optimisation de matériaux ou de modélisation architecturale, compétences essentielles pour le BEPC et au‑delà. --- ## I. Section d’un cône et éléments métriques ### 1. Définition et propriété de similitude Soit un cône de révolution de sommet $S$, de base de centre $O$ et de rayon $R$, de hauteur $h=SO$. Un plan $\Pi$ parallèle à la base coupe le cône en un cercle de centre $O'$ appartenant à la hauteur $SO' = x$ (avec $0<x<h$). > **À retenir** : Le cercle obtenu est semblable à la base ; son rayon $r$ vérifie $\displaystyle \frac{r}{R}= \frac{x}{h}$. **Démonstration** : Prenons un point $A$ de la circonférence de base et notons $A'$ l’intersection de la génératrice $SA$ avec le plan $\Pi$. Comme $\Pi\parallel$ base, les droites $SA$ et $SA'$ sont sécantes par deux plans parallèles, donc les triangles $SOA$ et $SO'A'$ sont semblables (angle commun en $S$ et angles correspondants égaux). Ainsi $\displaystyle \frac{SA'}{SA}= \frac{SO'}{SO}= \frac{x}{h}$. Mais $SA'$ est la génératrice du petit cône et $SA$ celle du grand cône ; le rapport des rayons est le même que celui des génératrices, d’où $\displaystyle \frac{r}{R}= \frac{x}{h}$. ### 2. Formules métriques - Rayon de la section : $r = R\frac{x}{h}$. - Aire de la section : $A_{\text{section}} = \pi r^{2}= \pi R^{2}\left(\frac{x}{h}\right)^{2}$. - Volume du cône tronqué (frustum) entre la base et la section : $$ V_{\text{frustum}} = \frac13\pi h\left(R^{2}+Rr+r^{2}\right) = \frac13\pi hR^{2}\left[1+\frac{x}{h}+\left(\frac{x}{h}\right)^{2}\right]. $$ > **À retenir** : L’aire de la section varie comme le carré du rapport des hauteurs ; le volume du frustum s’obtient par la différence des volumes du cône complet et du petit cône supérieur. ### 3. Exemples résolus **Exemple 1** : Un cône de hauteur $h=12$ cm et de rayon de base $R=5$ cm est coupé par un plan parallèle à la base à $x=4$ cm du sommet. Calculer le rayon de la section et son aire. *Solution* : $\displaystyle \frac{r}{R}= \frac{x}{h}= \frac{4}{12}= \frac13$ → $r = 5\times\frac13 = \frac{5}{3}$ cm ≈ 1,67 cm. $A = \pi r^{2}= \pi\left(\frac{5}{3}\right)^{2}= \pi\frac{25}{9}= \frac{25\pi}{9}$ cm² ≈ 8,73 cm². **Exemple 2** : Un cône de hauteur $h=18$ cm et de rayon $R=9$ cm est tronqué à une hauteur $x=6$ cm du sommet. Déterminer le volume du frustum obtenu. *Solution* : $\displaystyle \frac{x}{h}= \frac{6}{18}= \frac13$ → $r = 9\times\frac13 = 3$ cm. Volume du cône complet : $V_{\text{total}}= \frac13\pi R^{2}h = \frac13\pi\cdot81\cdot18 = 486\pi$ cm³. Volume du petit cône supérieur (hauteur $x$) : $V_{\text{petit}}= \frac13\pi r^{2}x = \frac13\pi\cdot9\cdot6 = 18\pi$ cm³. Volume du frustum : $V = V_{\text{total}}-V_{\text{petit}} = 486\pi-18\pi = 468\pi$ cm³ ≈ 1470 cm³. --- ## II. Section d’une pyramide et éléments métriques ### 1. Définition et propriété de similitude Soit une pyramide de sommet $S$, de base polygonale $B$ (aire $B_{0}$) et de hauteur $h=SO$ où $O$ est le pied de la hauteur provenant de $S$ sur le plan de la base. Un plan $\Pi$ parallèle à la base coupe la pyramide en un polygone $B'$ semblable à $B$, situé à une distance $x=SO'$ du sommet ($0<x<h$). > **À retenir** : Le polygone de section est semblable à la base ; le rapport des côtés (ou des longueurs quelconques) vaut $\displaystyle \frac{k}{k_{0}} = \frac{x}{h}$, où $k$ désigne une longueur du côté de la section et $k_{0}$ celle de la base. **Démonstration** : Prenons un côté $AB$ de la base et le côté correspondant $A'B'$ de la section. Les droites $SA$ et $SA'$ sont sécantes par les plans parallèles, donc les triangles $SA'B'$ et $SAB$ sont semblables (angle commun en $S$ et $AB\parallel A'B'$). Ainsi $\displaystyle \frac{A'B'}{AB}= \frac{SA'}{SA}= \frac{x}{h}$. Cette raison vaut pour tout côté, donc les deux polygones sont homothétiques de centre $S$ et de rapport $\frac{x}{h}$. ### 2. Formules métriques - Facteur de similitude : $\lambda = \dfrac{x}{h}$. - Longueur d’un côté de la section : $k = \lambda k_{0}$. - Aire de la section : $B = \lambda^{2} B_{0}$. - Volume du tronc de pyramide (frustum) entre la base et la section : $$ V_{\text{frustum}} = \frac13 h\left(B_{0}+B+\sqrt{B_{0}B}\right) = \frac13 h B_{0}\left[1+\lambda^{2}+\lambda\right]. $$ > **À retenir** : L’aire de la section varie comme le carré du rapport des hauteurs ; le volume du frustum se calcule par la formule moyenne des aires de base et de section, analogue à celle du cône. ### 3. Exemples résolus **Exemple 1** : Une pyramide carrée de hauteur $h=15$ cm a une base de côté $a_{0}=6$ cm. Elle est coupée par un plan parallèle à la base à $x=5$ cm du sommet. Trouver le côté de la section carrée et son aire. *Solution* : $\lambda = \frac{x}{h}= \frac{5}{15}= \frac13$. Côté de la section : $a = \lambda a_{0}= \frac13\times6 = 2$ cm. Aire de la section : $B = a^{2}= 4$ cm². **Exemple 2** : Une pyramide triangulaire régulière (tétraèdre) de hauteur $h=12$ cm a une base équilatérale de côté $b_{0}=9$ cm. Un plan parallèle à la base coupe la pyramide à $x=4$ cm du sommet. Calculer le volume du frustum obtenu. *Solution* : Aire de la base équilatérale : $B_{0}= \frac{\sqrt{3}}{4}b_{0}^{2}= \frac{\sqrt{3}}{4}\times81= \frac{81\sqrt{3}}{4}$ cm². $\lambda = \frac{x}{h}= \frac{4}{12}= \frac13$. Aire de la section : $B = \lambda^{2}B_{0}= \frac19\times\frac{81\sqrt{3}}{4}= \frac{9\sqrt{3}}{4}$ cm². Volume du frustum : $$ V = \frac13 h\left(B_{0}+B+\sqrt{B_{0}B}\right) = \frac13\cdot12\left(\frac{81\sqrt{3}}{4}+\frac{9\sqrt{3}}{4}+ \sqrt{\frac{81\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{9\sqrt{3}}{4}}\right). $$ Calcul du terme sous la racine : $\sqrt{B_{0}B}= \sqrt{\frac{81\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{9\sqrt{3}}{4}}= \sqrt{\frac{81\cdot9\cdot3}{16}}= \sqrt{\frac{2187}{16}}= \frac{\sqrt{2187}}{4}= \frac{27\sqrt{3}}{4}$ (puisque $2187=81\cdot27=9^{2}\cdot3^{3}$). Donc : $$ V = 4\left(\frac{81\sqrt{3}}{4}+\frac{9\sqrt{3}}{4}+\frac{27\sqrt{3}}{4}\right) = 4\left(\frac{117\sqrt{3}}{4}\right)= 117\sqrt{3}\;\text{cm}^{3}\approx 202,6\;\text{cm}^{3}. $$ --- ## III. Activités d’intégration Cette partie propose des exercices qui mobilisent simultanément les propriétés du cône et de la pyramide, afin de préparer l’élève à des situations où plusieurs solides sont imbriqués ou comparés. ### 1. Comparaison de sections Un cône et une pyramide carrée ont la même hauteur $h=20$ cm et la même aire de base $B_{0}=100$ cm² (pour le cône, $R$ tel que $\pi R^{2}=100$; pour la pyramide, côté $a_{0}$ tel que $a_{0}^{2}=100$). Un plan parallèle à la base coupe les deux solides à une hauteur $x=8$ cm du sommet. **Question** : Quelle est la différence entre les aires des deux sections ? *Solution* : - Pour le cône : $R^{2}= \frac{100}{\pi}$ → $R= \sqrt{\frac{100}{\pi}}$. $\lambda = \frac{x}{h}= \frac{8}{20}=0,4$. Aire de la section : $A_{\text{cône}}= \pi R^{2}\lambda^{2}= 100\times0,4^{2}= 100\times0,16=16$ cm². - Pour la pyramide : $a_{0}= \sqrt{100}=10$ cm. Aire de la section : $A_{\text{pyr}}= a_{0}^{2}\lambda^{2}=100\times0,16=16$ cm². Les aires sont égales ; la différence est $0$ cm². > **À retenir** : Lorsque deux solides ont la même hauteur et la même aire de base, leurs sections parallèles à la base à même hauteur ont des aires égales, indépendamment de la forme de la base (cône ou pyramide). ### 2. Volume d’un solide composé On considère un solide formé par la superposition d’un cône de hauteur $h_{c}=10$ cm et de rayon de base $R=4$ cm, sur lequel repose une pyramide carrée de hauteur $h_{p}=6$ cm dont la base coïncide avec la base du cône (la base du cône et la base de la pyramide ont la même aire). Un plan parallèle à la base commune coupe l’ensemble à une distance $x=7$ cm du sommet du cône (mesurée depuis l’apex du cône situé en bas). **Question** : Déterminer le volume de la partie inférieure du solide (c’est‑à‑dire la partie située sous le plan de coupe). *Solution* : Le cône a son apex en bas et sa base en haut ; la pyramide repose sur cette base commune. - Le plan se trouve à une distance $x=7$ cm de l’apex du cône. Comme la hauteur du cône est $h_{c}=10$ cm, le plan coupe le cône **à l’intérieur** : il définit un petit cône de hauteur $x$ et de rayon $r = R\frac{x}{h_{c}} = 4\times\frac{7}{10}=2,8$ cm. Volume de ce petit cône (partie inférieure du cône) : $$ V_{\text{cone,inf}} = \frac13\pi r^{2}x = \frac13\pi\cdot(2,8)^{2}\cdot7 = \frac13\pi\cdot7,84\cdot7 = \frac{54,88}{3}\pi \approx 18,29\pi\;\text{cm}^{3}. $$ - Comme le plan est situé sous la base commune, aucune partie de la pyramide n’est incluse dans la partie inférieure. Donc le volume de la partie située sous le plan de coupe est : $$ V_{\text{inf}} = \frac{54,88}{3}\pi \;\text{cm}^{3}\approx 57,4\;\text{cm}^{3}. $$ > **À retenir** : Lorsqu’un plan de coupe se situe sous la base commune d’un cône et d’une pyramide superposés, seule la partie du cône située sous ce plan contribue au volume inférieur ; la pyramide reste entièrement au-dessus du plan. ### 3. Application pratique : réservoir à forme de frustum de cône Un réservoir d’eau a la forme d’un frustum de cône supérieur (partie tronquée) de hauteur totale $H=25$ cm, rayon du bas $R_{b}=12$ cm et rayon du haut $R_{h}=6$ cm. On veut connaître le volume d’eau lorsqu’il est rempli jusqu’à une hauteur $h=15$ cm mesurée depuis le bas. **Solution** : Le frustum peut être vu comme la différence entre deux cônes : le grand cône de hauteur $H_{g}$ et rayon $R_{b}$, et le petit cône supprimé de hauteur $h_{s}$ et rayon $R_{h}$. Par similitude : $\displaystyle \frac{R_{h}}{R_{b}}= \frac{h_{s}}{H_{g}}$. On sait que $H_{g}-h_{s}=H=25$. Soit $k= \frac{R_{h}}{R_{b}}= \frac{6}{12}=0,5$. Alors $h_{s}=k H_{g}$ et $H_{g}-kH_{g}=H$ → $H_{g}(1-k)=25$ → $H_{g}= \frac{25}{1-0,5}=50$ cm. Ainsi $h_{s}=kH_{g}=0,5\times50=25$ cm. Le cône complet (bas) a volume $V_{g}= \frac13\pi R_{b}^{2}H_{g}= \frac13\pi\cdot144\cdot50=2400\pi$ cm³. Le petit cône supprimé (haut) a volume $V_{s}= \frac13\pi R_{h}^{2}h_{s}= \frac13\pi\cdot36\cdot25=300\pi$ cm³. Volume du frustum entier : $V_{\text{frustum}}=V_{g}-V_{s}=2100\pi$ cm³. Maintenant, le liquide occupe une hauteur $h=15$ cm depuis le bas. On considère le cône de hauteur $y$ depuis le sommet du grand cône jusqu’à la surface du liquide. La hauteur du liquide depuis le bas est $h$, donc la distance du sommet du grand cône à la surface est $H_{g}-h=50-15=35$ cm. Le rayon à cette hauteur, par similitude : $r = R_{b}\frac{H_{g}-h}{H_{g}}=12\times\frac{35}{50}=12\times0,7=8,4$ cm. Volume du cône vide au sommet (au-dessus du liquide) : $V_{\text{vide}}= \frac13\pi r^{2}(H_{g}-h)= \frac13\pi\cdot8,4^{2}\cdot35$. $8,4^{2}=70,56$. Donc $V_{\text{vide}}= \frac13\pi\cdot70,56\cdot35= \frac13\pi\cdot2469,6=823,2\pi$ cm³. Volume du liquide = $V_{g}-V_{\text{vide}}=2400\pi-823,2\pi=1576,8\pi$ cm³ ≈ 4955 cm³ (≈ 4,96 L). > **À retenir** : Pour déterminer le volume partiellement rempli d’un frustum, on utilise la similitude pour réduire le problème à la différence de deux cônes. --- ## Synthèse du chapitre - La section d’un cône ou d’une pyramide par un plan parallèle à la base est une figure semblable à la base. - Rapport de similitude : $\displaystyle \lambda = \frac{x}{h}$ où $x$ est la distance du sommet au plan de coupe et $h$ la hauteur totale. - Pour le cône : rayon $r = R\lambda$, aire $A = \pi R^{2}\lambda^{2}$, volume du frustum $V = \frac13\pi hR^{2}(1+\lambda+\lambda^{2})$. - Pour la pyramide : côté $k = k_{0}\lambda$, aire $B = B_{0}\lambda^{2}$, volume du frustum $V = \frac13 h B_{0}(1+\lambda+\lambda^{2})$. - Le volume d’un frustum se calcule aussi par la formule $V = \frac13 h (B_{1}+B_{2}+\sqrt{B_{1}B_{2}})$. - Ces propriétés permettent de résoudre des problèmes de volumes partiels, de comparaison de solides et d’applications pratiques (réservoirs, objets tronqués). > **À retenir** : Tous les résultats ci‑dessus découlent directement de la similitude des figures obtenues par coupe parallèle à la base. --- ## Glossaire | Terme | Définition | |-------|------------| | **Section plane** | Intersection d’un solide avec un plan. | | **Similitude** | Relation entre deux figures où les longueurs correspondantes sont proportionnelles et les angles égaux. | | **Rapport de similitude ($\lambda$)** | Rapport $x/h$ entre la distance du sommet au plan de coupe et la hauteur totale du solide. | | **Frustum** | Partie d’un solide située entre deux plans parallèles à sa base (ou entre la base et une section parallèle). | | **Génératrice** | Segment reliant le sommet d’un cône à un point de sa base. | | **Hauteur d’un solide** | Distance perpendiculaire du sommet au plan de la base (ou à la base considérée). | | **Aire de base ($B_{0}$)** | Aire de la face inférieure d’une pyramide ou d’un cône. | | **Volume** | Mesure de l’espace occupé par un solide, exprimée en unités cubes. | --- ## Exercices d'application corrigés ### Exercice 1 Un cône de hauteur $h=18$ cm et de rayon de base $R=9$ cm est coupé par un plan parallèle à la base à $x=6$ cm du sommet. 1. Calculer le rayon de la section. 2. Déterminer l’aire de cette section. 3. Trouver le volume du frustum obtenu entre la base et la section. **Corrigé** 1. $\lambda = x/h = 6/18 = 1/3$ → $r = R\lambda = 9\times\frac13 = 3$ cm. 2. $A = \pi r^{2}= \pi\times 9 = 9\pi$ cm² ≈ 28,27 cm². 3. Volume du cône total : $V_{tot}= \frac13\pi R^{2}h = \frac13\pi\cdot81\cdot18 = 486\pi$ cm³. Volume du petit cône supérieur : $V_{petit}= \frac13\pi r^{2}x = \frac13\pi\cdot9\cdot6 = 18\pi$ cm³. Volume du frustum : $V = V_{tot}-V_{petit}= 486\pi-18\pi = 468\pi$ cm³ ≈ 1470 cm³. --- ### Exercice 2 Une pyramide carrée de hauteur $h=24$ cm a une base de côté $a_{0}=10$ cm. Un plan parallèle à la base coupe la pyramide à $x=8$ cm du sommet. 1. Trouver le côté de la section carrée. 2. Calculer l’aire de cette section. 3. Déterminer le volume du tronc de pyramide situé entre la base et la section. **Corrigé** 1. $\lambda = x/h = 8/24 = 1/3$ → côté $a = a_{0}\lambda = 10\times\frac13 = \frac{10}{3}$ cm ≈ 3,33 cm. 2. Aire $B = a^{2}= \left(\frac{10}{3}\right)^{2}= \frac{100}{9}$ cm² ≈ 11,11 cm². 3. Aire de la base $B_{0}= a_{0}^{2}=100$ cm². Volume du frustum : $V = \frac13 h\left(B_{0}+B+\sqrt{B_{0}B}\right)$. $\sqrt{B_{0}B}= \sqrt{100\times\frac{100}{9}}= \frac{100}{3}$ cm². Donc $V = \frac13\cdot24\left(100+\frac{100}{9}+\frac{100}{3}\right)=8\left(100+\frac{100}{9}+\frac{100}{3}\right)$. Mettre au même dénominateur 9 : $100 = \frac{900}{9}$, $\frac{100}{3}= \frac{300}{9}$. Somme = $\frac{900+100+300}{9}= \frac{1300}{9}$. $V = 8\times\frac{1300}{9}= \frac{10400}{9}$ cm³ ≈ 1155,6 cm³. --- ### Exercice 3 Un réservoir a la forme d’un frustum de cône de hauteur totale $H=30$ cm, rayon du bas $R_{b}=15$ cm et rayon du haut $R_{h}=5$ cm. On remplit le réservoir jusqu’à une hauteur $h=12$ cm mesurée depuis le bas. Calculer le volume d’eau contenu. **Corrigé** Déterminer les hauteurs des cônes complets : $\displaystyle k = \frac{R_{h}}{R_{b}} = \frac{5}{15}= \frac13$. Soit $H_{g}$ la hauteur du grand cône (base $R_{b}$) et $h_{s}$ celle du petit cône supprimé (rayon $R_{h}$). On a $h_{s}=k H_{g}$ et $H_{g}-h_{s}=H$. Donc $H_{g}(1-k)=30$ → $H_{g}= \frac{30}{1-\frac13}= \frac{30}{\frac23}=45$ cm. Ainsi $h_{s}=kH_{g}= \frac13\times45=15$ cm. Volume du grand cône : $V_{g}= \frac13\pi R_{b}^{2}H_{g}= \frac13\pi\cdot225\cdot45=3375\pi$ cm³. Volume du petit cône : $V_{s}= \frac13\pi R_{h}^{2}h_{s}= \frac13\pi\cdot25\cdot15=125\pi$ cm³. Volume du frustum entier : $V_{frustum}=V_{g}-V_{s}=3250\pi$ cm³. Maintenant, le liquide occupe une hauteur $h=12$ cm depuis le bas. La distance du sommet du grand cône à la surface du liquide est $H_{g}-h = 45-12 =33$ cm. Le rayon à cette hauteur, par similitude : $r = R_{b}\frac{H_{g}-h}{H_{g}}=15\times\frac{33}{45}=15\times\frac{11}{15}=11$ cm. Volume du cône vide au-dessus du liquide : $V_{vide}= \frac13\pi r^{2}(H_{g}-h)= \frac13\pi\cdot121\cdot33= \frac13\pi\cdot3993=1331\pi$ cm³. Volume d’eau : $V_{eau}= V_{g}-V_{vide}=3375\pi-1331\pi=2044\pi$ cm³ ≈ 6420 cm³ (≈ 6,42 L). --- ### Exercice 4 Un solide est constitué d’un cône de hauteur $h_{c}=12$ cm et de rayon $R=6$ cm, sur lequel repose une pyramide carrée de hauteur $h_{p}=9$ cm dont la base coïncide avec la base du cône. Un plan parallèle à la base commune coupe l’ensemble à une distance $x=10$ cm du sommet du cône. Déterminer le volume de la partie située sous ce plan de coupe. **Corrigé** Le cône a son apex en bas et sa base en haut ; la pyramide repose sur cette base commune. - Le plan se trouve à une distance $x=10$ cm de l’apex du cône. Comme la hauteur du cône est $h_{c}=12$ cm, le plan coupe le cône **à l’intérieur** : il définit un petit cône de hauteur $x$ et de rayon $r = R\frac{x}{h_{c}} = 6\times\frac{10}{12}=5$ cm. Volume de ce petit cône (partie inférieure du cône) : $$ V_{\text{cone,inf}} = \frac13\pi r^{2}x = \frac13\pi\cdot5^{2}\cdot10 = \frac{250\pi}{3}\;\text{cm}^{3}\approx 261,8\;\text{cm}^{3}. $$ - Comme le plan est situé sous la base commune, aucune partie de la pyramide n’est incluse dans la partie inférieure. Donc le volume de la partie située sous le plan de coupe est : $$ V = \frac{250\pi}{3}\;\text{cm}^{3}. $$ --- ### Exercice 5 Un cône de hauteur $h=20$ cm et de rayon de base $R=10$ cm est tronqué par un plan parallèle à la base situé à $x=5$ cm du sommet. On obtient ainsi un petit cône supérieur et un frustum inférieur. 1. Calculer le volume du petit cône supérieur. 2. Calculer le volume du frustum inférieur. 3. Vérifier que la somme des deux volumes égale le volume du cône initial. **Corrigé** 1. $\lambda = x/h = 5/20 = 1/4$ → rayon du petit cône $r = R\lambda = 10\times\frac14 = 2,5$ cm. Volume petit cône : $V_{petit}= \frac13\pi r^{2}x = \frac13\pi\cdot6,25\cdot5 = \frac{31,25\pi}{3}$ cm³ ≈ 32,7 cm³. 2. Volume du cône total : $V_{tot}= \frac13\pi R^{2}h = \frac13\pi\cdot100\cdot20 = \frac{2000\pi}{3}$ cm³ ≈ 2094,4 cm³. Volume du frustum : $V_{frustum}= V_{tot}-V_{petit}= \frac{2000\pi}{3}-\frac{31,25\pi}{3}= \frac{1968,75\pi}{3}$ cm³ ≈ 2061,7 cm³. 3. Somme : $V_{petit}+V_{frustum}= \frac{31,25\pi}{3}+ \frac{1968,75\pi}{3}= \frac{2000\pi}{3}= V_{tot}$. La propriété est vérifiée. --- ### Exercice 6 Une pyramide triangulaire régulière (tétraèdre) de hauteur $h=16$ cm a une base équilatérale de côté $b_{0}=8$ cm. Un plan parallèle à la base coupe la pyramide à $x=4$ cm du sommet. 1. Déterminer le côté de la section triangulaire. 2. Calculer l’aire de cette section. 3. Trouver le volume du frustum situé entre la base et la section. **Corrigé** 1. $\lambda = x/h = 4/16 = 1/4$ → côté de la section $b = b_{0}\lambda = 8\times\frac14 = 2$ cm. 2. Aire d’un triangle équilatéral de côté $b$ : $A = \frac{\sqrt{3}}{4}b^{2}= \frac{\sqrt{3}}{4}\times4 = \sqrt{3}$ cm² ≈ 1,732 cm². 3. Aire de la base : $B_{0}= \frac{\sqrt{3}}{4}b_{0}^{2}= \frac{\sqrt{3}}{4}\times64 = 16\sqrt{3}$ cm². Aire de la section : $B = \lambda^{2}B_{0}= \frac1{16}\times16\sqrt{3}= \sqrt{3}$ cm² (comme trouvé). Volume du frustum : $$ V = \frac13 h\left(B_{0}+B+\sqrt{B_{0}B}\right) = \frac13\cdot16\left(16\sqrt{3}+\sqrt{3}+\sqrt{16\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}\right). $$ $\sqrt{B_{0}B}= \sqrt{16\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}= \sqrt{16\cdot3}= \sqrt{48}= 4\sqrt{3}$ cm². Donc $V = \frac{16}{3}\left(17\sqrt{3}+4\sqrt{3}\right)= \frac{16}{3}\times21\sqrt{3}= \frac{336\sqrt{3}}{3}=112\sqrt{3}$ cm³ ≈ 194,0 cm³. --- ## Erreurs fréquentes | Erreur fréquente | Pourquoi elle se produit | Comment l’éviter | |------------------|--------------------------|------------------| | **Confondre le rapport de similitude avec le rapport des hauteurs** | Certains élèves écrivent $\displaystyle \frac{r}{R}= \frac{h}{x}$ au lieu de $\frac{x}{h}$. | Rappeler que le petit solide (section) est **plus proche du sommet**, donc son rapport de taille est la fraction de la hauteur déjà parcourue. | | **Oublier de mettre au carré le facteur de similitude pour les aires** | On calcule l’aire de la section comme $A = \pi r$ au lieu de $\pi r^{2}$. | Toujours vérifier la dimension : l’aire implique le carré d’une longueur. | | **Utiliser la mauvaise formule de volume du frustum** (moyenne simple des aires au lieu de la formule avec la racine géométrique) | Confusion avec la formule du volume d’un prisme ou d’un cylindre. | Mémoriser $V = \frac13 h (B_{1}+B_{2}+\sqrt{B_{1}B_{2}})$ et la dériver si nécessaire par différence de deux cônes/pyramides. | | **Ne pas convertir les unités lorsqu’on mélange cm et m** | Résultat incohérent (ex. volume en cm³ alors qu’on attendait litres). | Toujours travailler dans une même unité de longueur ; convertir en fin de calcul si besoin (1 L = 1000 cm³). | | **Identifier mal la hauteur du petit solide lorsqu’on coupe au‑delà du sommet** | On considère une hauteur négative ou on oublie que le solide peut être entièrement inclus. | Dessiner une figure, repérer le sommet, la base et le plan de coupe ; vérifier si $x$ est inférieur ou supérieur à la hauteur du solide considéré. | | **Confondre le rayon de la base d’un cône avec le côté de la base d’une pyramide** | On applique la formule du cône à une pyramide sans changer la forme de la base. | Vérifier la nature de la base (cercle vs polygone) avant d’appliquer les formules spécifiques. | --- *Fin du cours.*