Trigonométrie dans le triangle rectangle

## Objectifs et prérequis **Objectifs** À la fin de ce chapitre, l’élève sera capable de : 1. Définir précisément le sinus, le cosinus et la tangente d’un angle aigu dans un triangle rectangle. 2. Exprimer ces rapports à l’aide des côtés opposés, adjacent et hypoténuse. 3. Démontrer l’identité fondamentale $\sin ^2\theta+\cos ^2\theta=1$ à partir du théorème de Pythagore. 4. Utiliser les relations $\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ et les formules de complémentarité ($\sin(90^\circ-\theta)=\cos\theta$, etc.). 5. Calculer la mesure d’un angle aigu lorsqu’on connaît deux côtés du triangle rectangle (arcus). 6. Déterminer la longueur d’un côté inconnu lorsqu’on connaît un angle aigu et un autre côté. 7. Résoudre des problèmes réels (hauteur, distance, pente) en mettant en œuvre les rapports trigonométriques. 8. Interpréter les résultats obtenus avec une calculatrice en mode degrés et vérifier la plausibilité des réponses. **Prérequis** - Notions de triangle rectangle : sommets, côtés, angle droit. - Théorème de Pythagore : dans un triangle rectangle, $c^2=a^2+b^2$ où $c$ désigne l’hypoténuse. - Mesure d’un angle en degrés et connaissance du rapporteur. - Opérations sur les fractions, les racines carrées et les puissances. - Notion de proportionnalité et de raison. --- ## Introduction contextualisée La trigonométrie naît du besoin de mesurer des grandeurs inaccessibles directement : la hauteur d’un clocher, la largeur d’un fleuve, la distance d’un bateau au rivage, l’inclinaison d’une pente routière. Dès l’Antiquité, les astronomes grecques (Hipparque, Ptolémée) ont construit des tables de cordes, ancêtres du sinus, pour prédire les éclipses. Aujourd’hui, les rapports sinus, cosinus et tangente sont au cœur de la géométrie analytique, de la physique (mouvements ondulatoires, forces) et de nombreuses technologies (GPS, imagerie médicale, réalité virtuelle). Dans un triangle rectangle, la forme la plus simple, ces rapports dépendent uniquement de la mesure de l’angle aigu considéré : ils sont indépendants de l’échelle du triangle. Cette propriété permet de passer d’une relation de longueurs à une relation d’angles, et vice‑versa, ouvrant la voie à la résolution de problèmes pratiques avec seulement deux mesures connues. --- ## I. Leçon 14 : Sinus, cosinus et tangente d’un angle aigu dans un triangle rectangle ### A. Définitions Considérons un triangle rectangle $ABC$, rectangle en $A$. L’angle aigu choisi sera noté $\theta$ (par exemple $\angle B$ ou $\angle C$ selon la convention). On désigne : - **côté opposé** à $\theta$ : le côté qui ne touche pas le sommet de l’angle $\theta$ et qui n’est pas l’hypoténuse. - **côté adjacent** à $\theta$ : le côté qui forme l’angle $\theta$ avec l’hypoténuse (autre que l’hypoténuse). - **hypoténuse** : le côté opposé à l’angle droit, le plus long du triangle. Les rapports trigonométriques sont définis ainsi : $$ \sin\theta = \frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}},\qquad \cos\theta = \frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}},\qquad \tan\theta = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}. $$ > **À retenir** : Dans un triangle rectangle, le sinus, le cosinus et la tangente d’un angle aigu dépendent uniquement de la mesure de cet angle ; ils sont indépendants de la taille du triangle (théorème de similitude). ### B. Propriétés 1. **Bornes** : Pour $0^\circ<\theta<90^\circ$, on a $0<\sin\theta<1$, $0<\cos\theta<1$ et $\tan\theta>0$ (il peut être inférieur, égal ou supérieur à $1$). 2. **Identité pythagoricienne** : $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$. 3. **Relation entre tangente et sinus/cosinus** : $\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$. 4. **Complémentarité** : $$ \sin(90^\circ-\theta)=\cos\theta,\quad \cos(90^\circ-\theta)=\sin\theta,\quad \tan(90^\circ-\theta)=\cot\theta=\frac{1}{\tan\theta}. $$ ### C. Démonstration de l’identité fondamentale Dans le triangle rectangle $ABC$ (rectangle en $A$) : - opposé $=a$, adjacent $=b$, hypoténuse $=c$. - Par définition : $\sin\theta=\dfrac{a}{c}$, $\cos\theta=\dfrac{b}{c}$. En élevant au carré et en ajoutant : $$ \sin^2\theta+\cos^2\theta=\frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{c^2} =\frac{a^2+b^2}{c^2}. $$ Le théorème de Pythagore donne $a^2+b^2=c^2$. Donc $$ \sin^2\theta+\cos^2\theta=\frac{c^2}{c^2}=1. $$ > **À retenir** : L’identité $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ est une traduction algébrique du théorème de Pythagore dans le cercle trigonométrique. ### D. Exemples entièrement résolus **Exemple 1** – Triangle de côtés $3$, $4$, $5$ (classique). On prend l’angle aigu opposé au côté de longueur $3$. - opposé $=3$, adjacent $=4$, hypoténuse $=5$. - $\displaystyle \sin\theta=\frac{3}{5}=0,6$. - $\displaystyle \cos\theta=\frac{4}{5}=0,8$. - $\displaystyle \tan\theta=\frac{3}{4}=0,75$. Vérification de l’identité : $(0,6)^2+(0,8)^2=0,36+0,64=1$. **Exemple 2** – On connaît l’angle $\theta=30^\circ$ et l’hypoténuse $c=10\text{ cm}$. On veut les longueurs des côtés opposé et adjacent. - $\sin30^\circ=\dfrac{1}{2}$ → opposé $=c\cdot\sin30^\circ=10\times\frac12=5\text{ cm}$. - $\cos30^\circ=\dfrac{\sqrt3}{2}$ → adjacent $=c\cdot\cos30^\circ=10\times\frac{\sqrt3}{2}=5\sqrt3\text{ cm}\approx8,66\text{ cm}$. Vérification : $\tan30^\circ=\dfrac{\sin30^\circ}{\cos30^\circ}= \dfrac{1/2}{\sqrt3/2}= \dfrac{1}{\sqrt3}\approx0,577$. En effet, $\dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}=\dfrac{5}{5\sqrt3}= \dfrac{1}{\sqrt3}$, conforme. > **À retenir** : Pour passer d’un angle à un côté, on multiplie l’hypoténuse par le sinus ou le cosinus ; pour passer d’un côté à l’autre, on utilise la tangente. ### E. Table des valeurs remarquables (à connaître) | $\theta$ (°) | $\sin\theta$ | $\cos\theta$ | $\tan\theta$ | |--------------|--------------|--------------|--------------| | 0 | 0 | 1 | 0 | | 30 | $\frac12$ | $\frac{\sqrt3}{2}$ | $\frac{1}{\sqrt3}$ | | 45 | $\frac{\sqrt2}{2}$ | $\frac{\sqrt2}{2}$ | 1 | | 60 | $\frac{\sqrt3}{2}$ | $\frac12$ | $\sqrt3$ | | 90 | 1 | 0 | undefined | --- ## II. Leçon 15 : Mesure d’un angle aigu et longueur d’un côté dans un triangle rectangle ### A. Détermination d’un angle à partir de deux côtés Lorsque deux côtés sont connus, on calcule le rapport correspondant puis on utilise la fonction réciproque (arcus) : - Si on connaît opposé $a$ et hypoténuse $c$ : $\displaystyle \theta=\arcsin\!\left(\frac{a}{c}\right)$. - Si on connaît adjacent $b$ et hypoténuse $c$ : $\displaystyle \theta=\arccos\!\left(\frac{b}{c}\right)$. - Si on connaît opposé $a$ et adjacent $b$ : $\displaystyle \theta=\arctan\!\left(\frac{a}{b}\right)$. La calculatrice doit être réglée en **degrés** (mode *DEG*). Les fonctions arcsinus, arccosinus et arctangente renvoient une valeur comprise entre $0^\circ$ et $90^\circ$ pour des arguments positifs, ce qui convient parfaitement à un angle aigu. > **À retenir** : L’arcus donne l’angle dont le sinus, le cosinus ou la tangente vaut le nombre fourni ; il ne faut pas confondre $\sin^{-1}$ (arcsinus) avec $(\sin)^{-1}$ (cosecante). ### B. Détermination d’un côté à partir d’un angle et d’un autre côté Selon le côté connu, on choisit le rapport approprié : - Si l’hypoténuse $c$ est connue : - opposé $=c\sin\theta$, - adjacent $=c\cos\theta$. - Si l’opposé $a$ est connue : - hypoténuse $=\dfrac{a}{\sin\theta}$, - adjacent $=\dfrac{a}{\tan\theta}$. - Si l’adjacent $b$ est connue : - hypoténuse $=\dfrac{b}{\cos\theta}$, - opposé $=b\tan\theta$. > **À retenir** : On multiplie ou on divise par le rapport trigonométrique selon que le côté connu se trouve au numérateur ou au dénominateur de la définition. ### C. Exemples détaillés **Exemple 1** – Angle $\theta=60^\circ$, côté adjacent $b=8\text{ cm}$. On veut l’opposé $a$ et l’hypoténuse $c$. - $\tan60^\circ=\sqrt3$ → $a=b\tan60^\circ=8\sqrt3\approx13,86\text{ cm}$. - $\cos60^\circ=\dfrac12$ → $c=\dfrac{b}{\cos60^\circ}= \dfrac{8}{1/2}=16\text{ cm}$. Vérification : $\sin60^\circ=\dfrac{\sqrt3}{2}$ → opposé attendu $=c\sin60^\circ=16\times\frac{\sqrt3}{2}=8\sqrt3$, conforme. **Exemple 2** – Opposé $a=9\text{ cm}$, hypoténuse $c=15\text{ cm}$. On cherche l’angle $\theta$. - $\displaystyle \sin\theta=\frac{a}{c}= \frac{9}{15}= \frac{3}{5}=0,6$. - $\displaystyle \theta=\arcsin(0,6)$. Avec la calculatrice en mode DEG : $\theta\approx36,8699^\circ\approx36,9^\circ$. Vérification via cosinus : $\displaystyle \cos\theta=\sqrt{1-\sin^2\theta}= \sqrt{1-0,36}= \sqrt{0,64}=0,8$. Adjacent $=c\cos\theta=15\times0,8=12\text{ cm}$. En effet, $\tan\theta=\dfrac{a}{b}=9/12=0,75$ et $\arctan(0,75)\approx36,9^\circ$, cohérent. > **À retenir** : Lors du passage d’un rapport à l’angle, il faut toujours vérifier que le résultat se situe bien entre $0^\circ$ et $90^\circ$ ; sinon, on a probablement utilisé le mauvais rapport ou la mauvaise fonction inverse. ### D. Utilisation de la calculatrice - Mettre la calculatrice en mode **DEG** (degrés). - Pour $\arcsin$, $\arccos$, $\arctan$, utiliser les touches généralement notées $\sin^{-1}$, $\cos^{-1}$, $\tan^{-1}$. - Après chaque calcul, estimer l’ordre de grandeur : un sinus ou un cosinus ne peut dépasser $1$ ; une tangente très grande indique un angle proche de $90^\circ$. ### E. Remarque sur l’unicité Dans un triangle rectangle, l’angle aigu considéré est forcément compris entre $0^\circ$ et $90^\circ$. Pour un rapport positif donné, il n’existe qu’un seul angle dans cet intervalle qui satisfait l’égalité ; donc l’arcus renvoie une valeur unique et pertinente. --- ## III. Activités d’intégration Cette partie met en situation les acquis des deux leçons précédentes à travers des problèmes concrets où l’on doit choisir le bon rapport, effectuer le calcul et interpréter le résultat. ### A. Problème 1 – Hauteur d’un arbre à partir de son ombre On se place à $12\text{ m}$ du pied d’un arbre. On mesure l’angle d’élévation du sommet de l’arbre : $\theta=35^\circ$. On veut la hauteur $h$ de l’arbre. Le triangle formé par le sol, la ligne de vue et l’arbre est rectangle en pied d’arbre. Le côté adjacent à $\theta$ est la distance au sol ($12\text{ m}$), le côté opposé est la hauteur recherchée. $$ \tan\theta=\frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}=\frac{h}{12} \quad\Longrightarrow\quad h=12\tan35^\circ. $$ Avec la calculatrice : $\tan35^\circ\approx0,7002$. Donc $h\approx12\times0,7002=8,4024\text{ m}\approx8,4\text{ m}$. > **À retenir** : Dans un problème d’élévation, la hauteur se trouve toujours en multipliant la distance horizontale par la tangente de l’angle d’élévation. ### B. Problème 2 – Longueur d’une rampe d’accès Une rampe doit permettre de franchir un dénivelé de $0,9\text{ m}$ tout en faisant un angle de $12^\circ$ avec le sol. On cherche la longueur $L$ de la rampe (hypoténuse). Le triangle est rectangle au sol : le côté opposé à l’angle est le dénivelé ($0,9\text{ m}$), l’hypoténuse est la rampe. $$ \sin\theta=\frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}=\frac{0,9}{L} \quad\Longrightarrow\quad L=\frac{0,9}{\sin12^\circ}. $$ $\sin12^\circ\approx0,2079$. Ainsi $L\approx\frac{0,9}{0,2079}=4,329\text{ m}\approx4,33\text{ m}$. > **À retenir** : Quand on connaît le côté opposé et l’angle, on divise ce côté par le sinus pour obtenir l’hypoténuse. ### C. Problème 3 – Distance d’un bateau à la côte (utilisation du cosinus) Du haut d’une falaise de $20\text{ m}$ de hauteur, on observe un bateau sous un angle de dépression de $18^\circ$. On veut la distance horizontale $d$ entre le bateau et le pied de la falaise. L’angle de dépression est égal à l’angle d’élévation depuis le bateau vers le sommet de la falaise (angles alternes internes). Le triangle considéré a pour opposé la hauteur de la falaise ($20\text{ m}$) et pour adjacent la distance recherchée $d$. $$ \tan\theta=\frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}=\frac{20}{d} \quad\Longrightarrow\quad d=\frac{20}{\tan18^\circ}. $$ $\tan18^\circ\approx0,3249$. Donc $d\approx\frac{20}{0,3249}=61,55\text{ m}\approx61,6\text{ m}$. > **À retenir** : L’angle de dépression se traite comme un angle d’élévation dans le triangle formé par l’observateur, l’objet et la ligne horizontale. ### D. Problème 4 – Vérification de l’identité pythagoricienne par mesure On mesure dans un triangle rectangle les côtés : opposé $=7\text{ cm}$, adjacent $=24\text{ cm}$. On calcule l’hypoténuse théorique par Pythagore puis on vérifie que $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$. - Hypoténuse $c=\sqrt{7^2+24^2}=\sqrt{49+576}=\sqrt{625}=25\text{ cm}$. - $\sin\theta=\dfrac{7}{25}=0,28$, $\cos\theta=\dfrac{24}{25}=0,96$. - $\sin^2\theta+\cos^2\theta=0,28^2+0,96^2=0,0784+0,9216=1,0000$. L’identité est vérifiée expérimentalement (arrondi au dix‑millième). > **À retenir** : Toute mesure réelle doit respecter l’identité trigonométrique dans les limites de l’erreur d’instrument. --- ## Synthèse du chapitre - **Définitions** : $\displaystyle \sin\theta=\frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}},\; \cos\theta=\frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}},\; \tan\theta=\frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}$. - **Propriétés essentielles** : - $0<\sin\theta,\cos\theta<1$ pour $0^\circ<\theta<90^\circ$. - $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ (démonstration par Pythagore). - $\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$. - Complémentarité : $\sin(90^\circ-\theta)=\cos\theta$, $\cos(90^\circ-\theta)=\sin\theta$, $\tan(90^\circ-\theta)=\cot\theta$. - **Passage des côtés à l’angle** : $\theta=\arcsin\!\left(\frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}\right)$, $\theta=\arccos\!\left(\frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}\right)$, $\theta=\arctan\!\left(\frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}\right)$. - **Passage de l’angle et d’un côté à un autre côté** : - opposé $= \text{hypoténuse}\times\sin\theta$ ou $= \text{adjacent}\times\tan\theta$. - adjacent $= \text{hypoténuse}\times\cos\theta$ ou $= \dfrac{\text{opposé}}{\tan\theta}$. - hypoténuse $= \dfrac{\text{opposé}}{\sin\theta}= \dfrac{\text{adjacent}}{\cos\theta}$. - **Applications pratiques** : hauteur, distance, pente, longueur de rampe, angle de dépression/d’élévation. - **Vérification** : toujours contrôler que les valeurs de sinus et cosinus restent dans $[0,1]$ et que l’angle obtenu se situe entre $0^\circ$ et $90^\circ$. --- ## Glossaire | Terme | Définition | |-------|------------| | Angle aigu | Angle dont la mesure est comprise entre $0^\circ$ et $90^\circ$. | | Triangle rectangle | Triangle possédant un angle droit ($90^\circ$). | | Côté opposé | Côté qui ne touche pas le sommet de l’angle considéré et qui n’est pas l’hypoténuse. | | Côté adjacent | Côté qui touche le sommet de l’angle considéré et qui n’est pas l’hypoténuse (il forme l’angle avec l’hypoténuse). | | Hypoténuse | Côté opposé à l’angle droit, le plus long du triangle. | | Sinus ($\sin$) | Rapport du côté opposé sur l’hypoténuse. | | Cosinus ($\cos$) | Rapport du côté adjacent sur l’hypoténuse. | | Tangente ($\tan$) | Rapport du côté opposé sur le côté adjacent. | | Arcsinus ($\arcsin$ ou $\sin^{-1}$) | Fonction réciproque du sinus : donne l’angle dont le sinus vaut un nombre donné. | | Arccosinus ($\arccos$ ou $\cos^{-1}$) | Fonction réciproque du cosinus. | | Arctangente ($\arctan$ ou $\tan^{-1}$) | Fonction réciproque de la tangente. | | Identité pythagoricienne | Relation $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ découlant du théorème de Pythagore. | | Complémentarité | Relations liant les fonctions trigonométriques d’un angle et de son complément à $90^\circ$. | | Rapport trigonométrique | Tout quotient de deux côtés d’un triangle rectangle (sinus, cosinus, tangente). | | Angle d’élévation | Angle formé par la ligne horizontale et la ligne de vue dirigée vers un point situé au-dessus de l’horizontale. | | Angle de dépression | Angle formé par la ligne horizontale et la ligne de vue dirigée vers un point situé en dessous de l’horizontale (égal à l’angle d’élévation symétrique). | --- ## Exercices d'application corrigés ### Exercice 1 Dans un triangle rectangle $ABC$, rectangle en $A$, on connaît $AB=6\text{ cm}$ (côté adjacent à l’angle $B$) et $BC=10\text{ cm}$ (hypoténuse). 1. Calculer $\sin B$, $\cos B$, $\tan B$. 2. Déduire la mesure de l’angle $B$ au degré près. **Corrigé** 1. Opposé à $B$ : $AC$. Par Pythagore : $AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8\text{ cm}$. - $\displaystyle \sin B=\frac{AC}{BC}=\frac{8}{10}=0,8$. - $\displaystyle \cos B=\frac{AB}{BC}=\frac{6}{10}=0,6$. - $\displaystyle \tan B=\frac{AC}{AB}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}\approx1,333$. 2. $\displaystyle B=\arcsin(0,8)$ ou $\displaystyle B=\arccos(0,6)$. Avec la calculatrice : $\arcsin(0,8)=53,1301^\circ\approx53^\circ$. (Vérification : $\arccos(0,6)=53,1301^\circ$.) **Réponse** : $\sin B=0,8$, $\cos B=0,6$, $\tan B=\frac{4}{3}$ ; $B\approx53^\circ$. --- ### Exercice 2 Un pylône de $25\text{ m}$ de hauteur est observé depuis un point situé sur le sol. L’angle d’élévation du sommet du pylône vaut $22^\circ$. Quelle est la distance horizontale entre le point d’observation et le pied du pylône ? **Corrigé** Dans le triangle rectangle formé par le sol, le pylône et la ligne de vue : - opposé = hauteur du pylône = $25\text{ m}$. - adjacent = distance recherchée $d$. - $\displaystyle \tan22^\circ=\frac{25}{d}$ → $d=\frac{25}{\tan22^\circ}$. $\tan22^\circ\approx0,4040$. $d\approx\frac{25}{0,4040}=61,88\text{ m}\approx61,9\text{ m}$. **Réponse** : La distance est d’environ $61,9\text{ m}$. --- ### Exercice 3 On veut construire une rampe d’accès pour fauteuil roulant qui fasse un angle de $5^\circ$ avec le sol. La hauteur à franchir est de $0,20\text{ m}$. Déterminer la longueur de la rampe et l’emprise horizontale (distance du pied de la rampe au point de départ). **Corrigé** - Longueur de la rampe = hypoténuse $L$. $\displaystyle \sin5^\circ=\frac{0,20}{L}$ → $L=\frac{0,20}{\sin5^\circ}$. $\sin5^\circ\approx0,08716$. $L\approx\frac{0,20}{0,08716}=2,295\text{ m}\approx2,30\text{ m}$. - Emprise horizontale = adjacent $d$. $\displaystyle \tan5^\circ=\frac{0,20}{d}$ → $d=\frac{0,20}{\tan5^\circ}$. $\tan5^\circ\approx0,08749$. $d\approx\frac{0,20}{0,08749}=2,286\text{ m}\approx2,29\text{ m}$. **Réponse** : Longueur de la rampe ≈ $2,30\text{ m}$ ; emprise horizontale ≈ $2,29\text{ m}$. --- ### Exercice 4 Dans un triangle rectangle, on mesure l’angle aigu $\theta=48^\circ$ et le côté adjacent vaut $15\text{ cm}$. Trouver les longueurs du côté opposé et de l’hypoténuse. **Corrigé** - Opposé : $\displaystyle \text{opposé}= \text{adjacent}\times\tan\theta=15\times\tan48^\circ$. $\tan48^\circ\approx1,1106$. Opposé $\approx15\times1,1106=16,659\text{ cm}\approx16,7\text{ cm}$. - Hypoténuse : $\displaystyle \text{hypoténuse}= \frac{\text{adjacent}}{\cos\theta}= \frac{15}{\cos48^\circ}$. $\cos48^\circ\approx0,6691$. Hypoténuse $\approx\frac{15}{0,6691}=22,42\text{ cm}\approx22,4\text{ cm}$. Vérification via sinus : $\sin48^\circ\approx0,7431$. Opposé attendu $= \text{hypoténuse}\times\sin48^\circ\approx22,42\times0,7431=16,66\text{ cm}$, conforme. **Réponse** : opposé ≈ $16,7\text{ cm}$ ; hypoténuse ≈ $22,4\text{ cm}$. --- ### Exercice 5 Un bateau quitte le port et se dirige vers un phare situé à $300\text{ m}$ au large. Après avoir parcouru $180\text{ m}$ sur une route qui forme un angle de $20^\circ$ avec la ligne directe port‑phare, on veut savoir à quelle distance du phare se trouve le bateau. **Corrigé** On considère le triangle formé par : - le port (point $P$), - le phare (point $L$), - la position actuelle du bateau (point $B$). On connaît : - $PL=300\text{ m}$ (côté connu). - L’angle au port entre la route suivie ($PB$) et la ligne directe ($PL$) vaut $20^\circ$. - $PB=180\text{ m}$ (côté connu). On cherche $BL$ (côté opposé à l’angle de $20^\circ$ dans le triangle $PBL$). On peut utiliser la loi des cosinus, mais comme le triangle n’est pas forcément rectangle, on remarque que l’on peut décomposer le trajet en deux composantes : - La composante le long de $PL$ : $PB\cos20^\circ$. - La composante perpendiculaire à $PL$ : $PB\sin20^\circ$. La distance restante le long de $PL$ après le trajet du bateau est : $PL_{\text{rest}} = PL - PB\cos20^\circ$. La distance perpendiculaire (écart latéral) reste $PB\sin20^\circ$. La distance du bateau au phare est alors l’hypoténuse du triangle rectangle formé par ces deux composantes : $$ BL = \sqrt{\bigl(PL-PB\cos20^\circ\bigr)^2 + \bigl(PB\sin20^\circ\bigr)^2}. $$ Calcul numérique : $\cos20^\circ\approx0,9397$, $\sin20^\circ\approx0,3420$. - $PB\cos20^\circ = 180\times0,9397 = 169,146\text{ m}$. - $PL-PB\cos20^\circ = 300-169,146 = 130,854\text{ m}$. - $PB\sin20^\circ = 180\times0,3420 = 61,56\text{ m}$. Maintenant : $BL = \sqrt{(130,854)^2 + (61,56)^2}$ $= \sqrt{17122,9 + 3789,5}$ $= \sqrt{20912,4}$ $\approx144,6\text{ m}$. **Réponse** : Le bateau se trouve à environ $145\text{ m}$ du phare. *(Remarque : cet exercice montre comment la trigonométrie du triangle rectangle s’insère dans des problèmes plus généraux par décomposition de vecteurs.)* --- ### Exercice 6 (défi) Dans un triangle rectangle $ABC$, rectangle en $A$, on sait que $\sin B = \frac{3}{5}$. 1. Exprimer $\cos B$ et $\tan B$ en fonction de nombres rationnels ou de racines. 2. Si l’hypoténuse $BC$ mesure $25\text{ cm}$, déterminer les longueurs des côtés $AB$ et $AC$. 3. Vérifier que l’on obtient bien le même angle $B$ en utilisant l’arccosinus. **Corrigé** 1. D’après l’identité $\sin^2B+\cos^2B=1$ : $\displaystyle \cos^2B = 1-\sin^2B = 1-\left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1-\frac{9}{25}= \frac{16}{25}$. Puisque $B$ est aigu, $\cos B>0$ : $\displaystyle \cos B = \frac{4}{5}$. Ensuite $\displaystyle \tan B = \frac{\sin B}{\cos B}= \frac{3/5}{4/5}= \frac{3}{4}$. 2. Avec $BC=25\text{ cm}$ (hypoténuse) : - $\displaystyle AC = BC\cdot\sin B = 25\times\frac{3}{5}=15\text{ cm}$ (côté opposé à $B$). - $\displaystyle AB = BC\cdot\cos B = 25\times\frac{4}{5}=20\text{ cm}$ (côté adjacent à $B$). 3. En utilisant l’arccosinus : $\displaystyle B = \arccos\!\left(\frac{AB}{BC}\right)=\arccos\!\left(\frac{20}{25}\right)=\arccos\!\left(0,8\right)$. $\arccos(0,8)=36,8699^\circ\approx36,9^\circ$. En utilisant l’arcsinus : $\displaystyle B = \arcsin\!\left(\frac{AC}{BC}\right)=\arcsin\!\left(\frac{15}{25}\right)=\arcsin(0,6)=36,8699^\circ$. Les deux donnent la même valeur, confirmant la cohérence. **Réponse** : $\cos B=\frac{4}{5}$, $\tan B=\frac{3}{4}$ ; $AB=20\text{ cm}$, $AC=15\text{ cm}$ ; $B\approx36,9^\circ$. --- ## Erreurs fréquentes | Erreur fréquente | Pourquoi elle se produit | Comment l’éviter | |------------------|--------------------------|------------------| | **Confondre opposé et adjacent** | L’élève regarde le schéma sans identifier clairement l’angle considéré. | Toujours désigner l’angle, puis tracer le côté opposé (celui qui ne touche pas l’angle) et l’adjacent (celui qui forme l’angle avec l’hypoténuse). | | **Utiliser la mauvaise fonction (sinus au lieu de cosinus, etc.)** | Mémorisation mécanique des formules sans réfléchir au rapport côté/hypoténuse. | Se rappeler la définition : sinus = opposé/hypoténuse, cosinus = adjacent/hypoténuse, tangente = opposé/adjacent. Faire un petit schéma mental avant de calculer. | | **Oublier de mettre la calculatrice en degrés** | La calculatrice reste en radians par défaut ; les valeurs d’arcsinus, etc., deviennent étranges. | Avant chaque série de calculs, vérifier le mode (DEG). Si le résultat d’un arcsinus est proche de $0,5$ alors qu’on attendait un angle d’environ $30^\circ$, c’est un signe d’erreur. | | **Penser que la tangente ne peut jamais dépasser 1** | Confusion avec la notion de pente ou croyance que les rapports trigonométriques sont toujours ≤1. | Rappeler que $\tan\theta=1$ exactement à $45^\circ$ ; il augmente ensuite sans borne lorsqu’on approche $90^\circ$. | | **Diviser par zéro lorsqu’on utilise la tangente pour trouver l’hypoténuse** | On tente d’utiliser $\tan\theta=\frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}$ alors que l’adjacent est nul (angle de $90^\circ$). | Rappeler que la tangente n’est définie que pour les angles aigus strictement ($0^\circ<\theta<90^\circ$). Pour un angle droit, on ne utilise pas la tangente. | | **Arrêter trop tôt l’arrondi et perdre en précision** | Arrondir les valeurs intermédiaires (sinus, cosinus) trop tôt, ce qui fausse le résultat final. | Conserver au moins quatre décimales durant les calculs intermédiaires ; n’arrondir que le résultat final selon la précision demandée (souvent au dixième ou au centième). |